Ein dynamisches System ist ein Konzept in der Mathematik, wo eine feste Regel die Zeitabhängigkeit eines Punkts in einem geometrischen Raum beschreibt. Beispiele schließen die mathematischen Modelle ein, die das Schwingen eines Uhr-Pendels, den Fluss von Wasser in einer Pfeife und die Zahl des Fisches jedes Frühjahr in einem See beschreiben.

Zu jeder vorgegebenen Zeit ließ ein dynamisches System einen Staat durch eine Reihe von reellen Zahlen geben (ein Vektor), der durch einen Punkt in einem passenden Zustandraum (eine geometrische Sammelleitung) vertreten werden kann. Kleine Änderungen im System schaffen kleine Änderungen in den Zahlen. Die Evolutionsregel des dynamischen Systems ist eine feste Regel, die das beschreibt, welche zukünftige Staaten aus dem aktuellen Staat folgen. Die Regel ist deterministisch; mit anderen Worten für einen gegebenen Zeitabstand folgt nur ein zukünftiger Staat aus dem aktuellen Staat.

Übersicht

Das Konzept eines dynamischen Systems hat seine Ursprünge in der Newtonischen Mechanik. Dort, als in anderen Naturwissenschaften und Technikdisziplinen, wird die Evolutionsregel von dynamischen Systemen implizit durch eine Beziehung gegeben, die den Staat des Systems nur eine kurze Zeit in die Zukunft gibt. (Die Beziehung ist entweder eine Differenzialgleichung, Unterschied-Gleichung oder anderer zeitlicher Rahmen.), Den Staat seit allen zukünftigen Zeiten zu bestimmen, verlangt das Wiederholen der Beziehung oft - jedes zunehmende Mal ein kleiner Schritt. Das Wiederholungsverfahren wird das Lösen des Systems oder die Integrierung des Systems genannt. Sobald das System gelöst, ein anfänglicher Punkt gegeben werden kann, ist es möglich, alle seine zukünftigen Positionen, eine Sammlung von Punkten zu bestimmen, die als eine Schussbahn oder Bahn bekannt sind.

Bevor das Advent von schnellen Rechenmaschinen, ein dynamisches System lösend, hoch entwickelte mathematische Techniken verlangt hat und nur für eine kleine Klasse von dynamischen Systemen vollbracht werden konnte. Numerische auf elektronischen Rechenmaschinen durchgeführte Methoden haben die Aufgabe vereinfacht, die Bahnen eines dynamischen Systems zu bestimmen.

Für einfache dynamische Systeme, die Schussbahn wissend, ist häufig genügend, aber die meisten dynamischen Systeme werden zu kompliziert, um in Bezug auf individuelle Schussbahnen verstanden zu werden. Die Schwierigkeiten entstehen weil:

• Die studierten Systeme können nur ungefähr bekannt sein - die Rahmen des Systems dürfen genau nicht bekannt sein, oder Begriffe können von den Gleichungen vermisst werden. Die verwendeten Annäherungen bringen in die Frage die Gültigkeit oder Relevanz von numerischen Lösungen. Um diese Fragen zu richten, sind mehrere Begriffe der Stabilität in der Studie von dynamischen Systemen, wie Stabilität von Lyapunov oder Strukturstabilität eingeführt worden. Die Stabilität des dynamischen Systems deutet an, dass es eine Klasse von Modellen oder anfänglichen Bedingungen gibt, für die die Schussbahnen gleichwertig sein würden. Die Operation, wegen Bahnen zu vergleichen, um ihre Gleichwertigkeit zu gründen, ändert sich mit den verschiedenen Begriffen der Stabilität.
• Der Typ der Schussbahn kann wichtiger sein als eine besondere Schussbahn. Einige Schussbahnen können periodisch sein, wohingegen andere durch viele verschiedene Staaten des Systems wandern können. Anwendungen verlangen häufig das Aufzählen dieser Klassen oder Aufrechterhalten des Systems innerhalb einer Klasse. Das Klassifizieren alle möglichen Schussbahnen haben zur qualitativen Studie von dynamischen Systemen, d. h. Eigenschaften geführt, die sich unter Koordinatenänderungen nicht ändern. Geradlinige dynamische Systeme und Systeme, die zwei Zahlen haben, die einen Staat beschreiben, sind Beispiele von dynamischen Systemen, wo die möglichen Klassen von Bahnen verstanden werden.
• Das Verhalten von Schussbahnen als eine Funktion eines Parameters kann sein, was für eine Anwendung erforderlich ist. Da ein Parameter geändert wird, können die dynamischen Systeme Gabelungspunkte haben, wo sich das qualitative Verhalten des dynamischen Systems ändert. Zum Beispiel kann es davon gehen, nur periodische Bewegungen zum anscheinend unregelmäßigen Verhalten, als im Übergang zur Turbulenz einer Flüssigkeit zu haben.
• Die Schussbahnen des Systems können unregelmäßig, als ob zufällig scheinen. In diesen Fällen kann es notwendig sein, Durchschnitte mit einer sehr langer Schussbahn oder vielen verschiedenen Schussbahnen zu schätzen. Die Durchschnitte werden für ergodic Systeme gut definiert, und ein ausführlicheres Verstehen ist für Hyperbelsysteme ausgearbeitet worden. Das Verstehen der probabilistic Aspekte von dynamischen Systemen hat geholfen, die Fundamente der statistischen Mechanik und der Verwirrung zu gründen.

Es war in der Arbeit von Poincaré, den diese dynamischen Systemthemen entwickelt haben.

Grundlegende Definitionen

Ein dynamisches System ist eine mannigfaltige M genannt die Phase (oder Staat) Raum, der mit einer Familie von glatten Evolutionsfunktionen Φ ausgestattet ist, dass für jedes Element von t  T, die Zeit, einen Punkt des Phase-Raums zurück in den Phase-Raum kartografisch darstellen. Der Begriff der Glätte ändert sich mit Anwendungen und dem Typ der Sammelleitung. Es gibt mehrere Wahlen für den Satz T. Wenn T genommen wird, um der reals zu sein, wird das dynamische System einen Fluss genannt; und wenn T auf den nichtnegativen reals eingeschränkt wird, dann ist das dynamische System ein Halbfluss. Wenn T genommen wird, um die ganzen Zahlen zu sein, ist es eine Kaskade oder eine Karte; und die Beschränkung zu den natürlichen Zahlen ist eine Halbkaskade.

Beispiele

Die Evolutionsfunktion Φ ist häufig die Lösung einer Differenzialgleichung der Bewegung

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Die Gleichung gibt die Zeitableitung, die durch den Punkt, von einer Schussbahn x (t) auf dem Phase-Raum vertreten ist, der an einem Punkt x anfängt. Das Vektorfeld v (x) ist eine glatte Funktion, dass an jedem Punkt des Phase-Raums M den Geschwindigkeitsvektoren des dynamischen Systems an diesem Punkt zur Verfügung stellt. (Diese Vektoren sind nicht Vektoren im Phase-Raum M, aber im Tangente-Raum TM des Punkts x.) Gegeben ein glatter Φ, ein autonomes Vektorfeld kann daraus abgeleitet werden.

Es gibt kein Bedürfnis nach höheren Ordnungsableitungen in der Gleichung, noch für die Zeitabhängigkeit in v (x), weil diese durch das Betrachten von Systemen von höheren Dimensionen beseitigt werden können. Andere Typen von Differenzialgleichungen können verwendet werden, um die Evolutionsregel zu definieren:

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ist ein Beispiel einer Gleichung, die aus dem Modellieren von mechanischen Systemen mit komplizierten Einschränkungen entsteht.

Die Differenzialgleichungen, die die Evolutionsfunktion Φ bestimmen, sind häufig gewöhnliche Differenzialgleichungen: In diesem Fall ist der Phase-Raum M eine begrenzte dimensionale Sammelleitung. Viele der Konzepte in dynamischen Systemen können zu unendlich-dimensionalen Sammelleitungen - diejenigen erweitert werden, die lokal Banachräume sind - in welchem Fall die Differenzialgleichungen teilweise Differenzialgleichungen sind. Gegen Ende des 20. Jahrhunderts hat die dynamische Systemperspektive zu teilweisen Differenzialgleichungen angefangen, Beliebtheit zu gewinnen.

Weitere Beispiele

• Logistische Karte
• Kompliziertes quadratisches Polynom
• Dyadische Transformation
• Zelt-Karte
• Doppeltes Pendel
• Die Katze von Arnold stellt kartografisch dar
• Hufeisen-Karte
• Die Karte des Bäckers ist ein Beispiel einer chaotischen piecewise geradlinigen Karte
• Billard und Außenbillard
• Hénon stellen kartografisch dar
• System von Lorenz
• Kreiskarte
• Rössler stellen kartografisch dar
• Karte von Kaplan-Yorke
• Liste von chaotischen Karten
• Das Schwingen der Maschine von Atwood
• Quadratisches Karte-Simulierungssystem
• Stramme Ball-Dynamik

Geradlinige dynamische Systeme

Geradlinige dynamische Systeme können in Bezug auf einfache Funktionen und das Verhalten aller klassifizierten Bahnen gelöst werden. In einem geradlinigen System ist der Phase-Raum der N-dimensional Euklidische Raum, so kann jeder Punkt im Phase-Raum durch einen Vektoren mit N Zahlen vertreten werden. Die Analyse von geradlinigen Systemen ist möglich, weil sie einen Überlagerungsgrundsatz befriedigen: Wenn u (t) und w (t) die Differenzialgleichung für das Vektorfeld befriedigen (aber nicht notwendigerweise die anfängliche Bedingung), dann auch wird u (t) + w (t).

Flüsse

Für einen Fluss ist das Vektorfeld Φ (x) eine geradlinige Funktion der Position im Phase-Raum, der, ist

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mit eine Matrix, b ein Vektor von Zahlen und x der Positionsvektor. Die Lösung dieses Systems kann durch das Verwenden des Überlagerungsgrundsatzes (Linearität) gefunden werden.

Der Fall b  0 mit = 0 ist gerade eine Gerade in der Richtung auf b:

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Wenn b Null und Ein  0 ist, ist der Ursprung ein Gleichgewicht (oder einzigartig) Punkt des Flusses, d. h. wenn x = 0, dann bleibt die Bahn dort.

Für andere anfängliche Bedingungen wird die Gleichung der Bewegung durch die Exponential-von einer Matrix gegeben: für einen anfänglichen Punkt x,

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Wenn b = 0, die eigenvalues von A die Struktur des Phase-Raums bestimmen. Vom eigenvalues und den Eigenvektoren von ihm ist möglich zu bestimmen, ob ein anfänglicher Punkt zusammenlaufen oder zum Gleichgewicht-Punkt am Ursprung abweichen wird.

Die Entfernung zwischen zwei verschiedenen anfänglichen Bedingungen im Fall Ein  0 wird sich exponential in die meisten Fälle ändern, entweder exponential schnell zu einem Punkt zusammenlaufend, oder exponential schnell abweichend. Geradlinige Systeme zeigen empfindliche Abhängigkeit von anfänglichen Bedingungen im Fall von der Abschweifung. Für nichtlineare Systeme ist das einer (notwendig, aber nicht genügend) Bedingungen für das chaotische Verhalten.

Karten

Eine diskrete Zeit, affine dynamisches System hat die Form

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mit eine Matrix und b ein Vektor. Als im dauernden Fall entfernt die Änderung von Koordinaten x  x + (1  A) b den Begriff b von der Gleichung. Im neuen Koordinatensystem ist der Ursprung ein fester Punkt der Karte, und die Lösungen sind der geradlinigen Systemaxt.

Die Lösungen für die Karte sind nicht mehr Kurven, aber spitzt dass Sprung im Phase-Raum an. Die Bahnen werden in Kurven oder Fasern organisiert, die Sammlungen von Punkten dass Karte in sich unter der Handlung der Karte sind.

Als im dauernden Fall bestimmen der eigenvalues und die Eigenvektoren von A die Struktur des Phase-Raums. Zum Beispiel, wenn u ein Eigenvektor von A mit einem echten eigenvalue kleineren ist als einer, dann sind die Geraden, die durch die Punkte entlang α u, mit α  R gegeben sind, eine invariant Kurve der Karte. Punkte in dieser Gerade geraten in den festen Punkt.

Es gibt auch viele andere getrennte dynamische Systeme.

Lokale Dynamik

Die qualitativen Eigenschaften von dynamischen Systemen ändern sich unter einer glatten Änderung von Koordinaten nicht (das wird manchmal als eine Definition von qualitativen genommen): Ein einzigartiger Punkt des Vektorfeldes (ein Punkt wo v (x) = 0) wird ein einzigartiger Punkt unter glatten Transformationen bleiben; eine periodische Bahn ist eine Schleife im Phase-Raum, und glatte Deformierungen des Phase-Raums können es nicht verändern, eine Schleife seiend. Es ist in der Nachbarschaft von einzigartigen Punkten und periodischen Bahnen, dass die Struktur eines Phase-Raums eines dynamischen Systems gut verstanden werden kann. In der qualitativen Studie von dynamischen Systemen soll die Annäherung zeigen, dass es eine Änderung von Koordinaten gibt (gewöhnlich unangegeben, aber berechenbar), der das dynamische System so einfach macht wie möglich.

Korrektur

Ein Fluss in kleinsten Flecken des Phase-Raums kann sehr einfach gemacht werden. Wenn y ein Punkt wo das Vektorfeld v (y)  0 ist, dann gibt es eine Änderung von Koordinaten für ein Gebiet um y, wo das Vektorfeld eine Reihe von parallelen Vektoren desselben Umfangs wird. Das ist als der Korrektur-Lehrsatz bekannt.

Der Korrektur-Lehrsatz sagt, dass weg von einzigartigen Punkten die Dynamik eines Punkts in einem kleinen Fleck eine Gerade ist. Der Fleck kann manchmal durch die Näherei mehrerer Flecke zusammen vergrößert werden, und wenn das im ganzen Phase-Raum gut läuft, ist M das dynamische System integrable. In den meisten Fällen kann der Fleck nicht zum kompletten Phase-Raum erweitert werden. Es kann einzigartige Punkte im Vektorfeld (wo v (x) = 0) geben; oder die Flecke können kleiner und kleiner werden, weil einem Punkt genähert wird. Der feinere Grund ist eine globale Einschränkung, wo die Schussbahn in einem Fleck aufbricht, und nach dem Besuch einer Reihe anderer Flecke zum ursprünglichen zurückkommt. Wenn das nächste Mal die Bahn-Schleifen um den Phase-Raum auf eine verschiedene Weise dann es unmöglich ist, das Vektorfeld in der ganzen Reihe von Flecken zu berichtigen.

In der Nähe von periodischen Bahnen

Im Allgemeinen in der Nachbarschaft einer periodischen Bahn kann der Korrektur-Lehrsatz nicht verwendet werden. Poincaré hat eine Annäherung entwickelt, die die Analyse in der Nähe von einer periodischen Bahn zur Analyse einer Karte umgestaltet. Picken Sie einen Punkt x in der Bahn γ auf und denken Sie die Punkte im Phase-Raum in dieser Nachbarschaft, die auf v (x) rechtwinklig sind. Diese Punkte sind ein Abschnitt S von Poincaré (γ, x) der Bahn. Der Fluss definiert jetzt eine Karte, die Karte F von Poincaré: S  S, für Punkte, die in S anfangen und zu S zurückkehren. Nicht alle diese Punkte werden dieselbe Zeitdauer nehmen, um zurückzukommen, aber die Zeiten werden der Zeit nah sein es nimmt x.

Die Kreuzung der periodischen Bahn mit der Abteilung von Poincaré ist ein fester Punkt der Karte F von Poincaré. Durch eine Übersetzung, wie man annehmen kann, ist der Punkt an x = 0. Die Reihe von Taylor der Karte ist F (x) = J · x + O (x), so eine Änderung von Koordinaten, wie man nur erwarten kann, vereinfacht h F zu seinem geradlinigen Teil

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Das ist als die Konjugationsgleichung bekannt. Die Entdeckung von Bedingungen für diese Gleichung zu halten ist eine der Hauptaufgaben der Forschung in dynamischen Systemen gewesen. Poincaré hat sich ihm zuerst genähert annehmend, dass alle Funktionen, analytisch zu sein, und im Prozess die nichtwiderhallende Bedingung entdeckt haben. Wenn λ..., λ der eigenvalues von J sind, werden sie widerhallend sein, wenn ein eigenvalue eine ganze Zahl geradlinige Kombination von zwei oder mehr von anderen ist. Als Begriffe der Form λ -  (Vielfachen anderen eigenvalues) kommt im Nenner der Begriffe für die Funktion h vor, die nichtwiderhallende Bedingung ist auch bekannt als das kleine Teiler-Problem.

Konjugationsergebnisse

Die Ergebnisse auf der Existenz einer Lösung der Konjugationsgleichung hängen vom eigenvalues von J und dem Grad der von h erforderlichen Glätte ab. Da J keinen speziellen symmetries zu haben braucht, wird sein eigenvalues normalerweise komplexe Zahlen sein. Wenn die eigenvalues von J nicht im Einheitskreis sind, wird die Dynamik in der Nähe vom festen Punkt x F hyperbolisch genannt, und wenn die eigenvalues auf dem Einheitskreis und Komplex sind, wird die Dynamik elliptisch genannt.

Im Hyperbelfall gibt der Lehrsatz von Hartman-Grobman die Bedingungen für die Existenz einer dauernden Funktion, die die Nachbarschaft des festen Punkts der Karte zur geradlinigen Karte J kartografisch darstellt · x. Der Hyperbelfall ist auch strukturell stabil. Kleine Änderungen im Vektorfeld werden nur kleine Änderungen in der Karte von Poincaré erzeugen, und diese kleinen Änderungen werden in kleinen Änderungen in der Position des eigenvalues von J im komplizierten Flugzeug nachdenken, andeutend, dass die Karte noch hyperbolisch ist.

Der Lehrsatz von Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) gibt das Verhalten in der Nähe von einem elliptischen Punkt.

Gabelungstheorie

Wenn die Evolutionskarte Φ (oder das Vektorfeld wird es abgeleitet), von einem Parameter μ abhängt, wird die Struktur des Phase-Raums auch von diesem Parameter abhängen. Kleine Änderungen können keine qualitativen Änderungen im Phase-Raum erzeugen, bis ein spezieller Wert μ erreicht wird. An diesem Punkt ändert sich der Phase-Raum qualitativ, und, wie man sagt, ist das dynamische System eine Gabelung durchgegangen.

Gabelungstheorie denkt eine Struktur im Phase-Raum (normalerweise ein fester Punkt, eine periodische Bahn oder ein invariant Ring) und studiert sein Verhalten als eine Funktion des Parameters μ. Am Gabelungspunkt kann die Struktur seine Stabilität ändern, sich in neue Strukturen aufspalten, oder sich mit anderen Strukturen verschmelzen. Durch das Verwenden von Reihe-Annäherungen von Taylor der Karten und einem Verstehen der Unterschiede, die durch eine Änderung von Koordinaten beseitigt werden können, ist es möglich, die Gabelungen von dynamischen Systemen zu katalogisieren.

Die Gabelungen eines festen Hyperbelpunkts x einer Systemfamilie F können durch den eigenvalues der ersten Ableitung des Systems DF (x) geschätzt auf den Gabelungspunkt charakterisiert werden. Für eine Karte wird die Gabelung vorkommen, wenn es eigenvalues von DF auf dem Einheitskreis gibt. Für einen Fluss wird es vorkommen, wenn es eigenvalues auf der imaginären Achse gibt. Für mehr Information, sieh den Hauptartikel über die Gabelungstheorie.

Einige Gabelungen können zu sehr komplizierten Strukturen im Phase-Raum führen. Zum Beispiel beschreibt das Ruelle-Takens Drehbuch, wie sich eine periodische Bahn in einen Ring und den Ring in einen fremden attractor gabelt. In einem anderen Beispiel beschreibt Periode-Verdoppelung von Feigenbaum, wie eine stabile periodische Bahn eine Reihe von Periode verdoppelnden Gabelungen durchgeht.

Systeme von Ergodic

In vielen dynamischen Systemen ist es möglich, die Koordinaten des Systems zu wählen, so dass das Volumen (wirklich ein ν-dimensional Volumen) im Phase-Raum invariant ist. Das geschieht für mechanische Systeme ist auf Newtonsche Gesetze zurückzuführen gewesen, so lange die Koordinaten die Position und der Schwung sind und das Volumen in Einheiten (der Position) × (Schwung) gemessen wird. Der Fluss nimmt Punkte einer Teilmenge in die Punkte Φ (A), und invariance des Phase-Raums bedeutet das

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Im Formalismus von Hamiltonian in Anbetracht einer Koordinate ist es möglich, den passenden (verallgemeinerten) solchen Schwung abzuleiten, dass das verbundene Volumen durch den Fluss bewahrt wird. Wie man sagt, wird das Volumen durch das Maß von Liouville geschätzt.

In einem System von Hamiltonian können nicht alle möglichen Konfigurationen der Position und des Schwungs von einer anfänglichen Bedingung erreicht werden. Wegen der Energiebewahrung, nur die Staaten mit derselben Energie wie die anfängliche Bedingung sind zugänglich. Die Staaten mit derselben Energie bilden eine Energieschale Ω, eine Subsammelleitung des Phase-Raums. Das Volumen der Energieschale, das geschätzte Verwenden des Maßes von Liouville, wird unter der Evolution bewahrt.

Für Systeme, wo das Volumen durch den Fluss bewahrt wird, hat Poincaré den Wiederauftreten-Lehrsatz entdeckt: Nehmen Sie An, dass der Phase-Raum ein begrenztes Volumen von Liouville hat und lassen Sie F eine Phase-Raumkarte der Volumen-Bewahrung und eine Teilmenge des Phase-Raums sein. Dann fast jeder Punkt Umsatz zu ungeheuer häufig. Der Wiederauftreten-Lehrsatz von Poincaré wurde von Zermelo verwendet, um gegen die Abstammung von Boltzmann der Zunahme im Wärmegewicht in einem dynamischen System von kollidierenden Atomen zu protestieren.

Eine der durch die Arbeit von Boltzmann aufgebrachten Fragen war die mögliche Gleichheit zwischen Zeitdurchschnitten und Raumdurchschnitten, was er die ergodic Hypothese genannt hat. Die Hypothese stellt fest, dass die Zeitdauer, die eine typische Schussbahn in einem Gebiet A ausgibt, vol (A)/vol (Ω) ist.

Die ergodic Hypothese hat sich erwiesen, das wesentliche für die Entwicklung der statistischen Mechanik erforderliche Eigentum nicht zu sein, und eine Reihe anderer ergodic ähnlicher Eigenschaften wurden eingeführt, um die relevanten Aspekte von physischen Systemen zu gewinnen. Koopman hat sich der Studie von ergodic Systemen durch den Gebrauch der Funktionsanalyse genähert. Ein erkennbarer einer Funktion zu sein, die zu jedem Punkt des Phase-Raums eine Zahl vereinigt (sagen sofortigen Druck oder Durchschnittshöhe). Der Wert eines erkennbaren kann in einer anderen Zeit durch das Verwenden der Evolutionsfunktion φ geschätzt werden. Das stellt einen Maschinenbediener U, den Übertragungsmaschinenbediener, vor

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Durch das Studieren der geisterhaften Eigenschaften des geradlinigen Maschinenbedieners U wird es möglich, die ergodic Eigenschaften von Φ zu klassifizieren. Im Verwenden der Annäherung von Koopman, die Handlung des Flusses auf einer erkennbaren Funktion zu denken, wird das endlich-dimensionale nichtlineare Problem, das Φ einschließt, in ein unendlich-dimensionales geradliniges Problem kartografisch dargestellt, das U einschließt.

Das Liouville-Maß, das auf die Energieoberfläche Ω eingeschränkt ist, ist die Basis für die Durchschnitte, die im Gleichgewicht statistische Mechanik geschätzt sind. Ein Durchschnitt rechtzeitig entlang einer Schussbahn ist zu einem Durchschnitt im Raum gleichwertig, der mit dem Faktor von Boltzmann exp (−H) geschätzt ist. Diese Idee ist von Sinai, Bowen und Ruelle (SRB) zu einer größeren Klasse von dynamischen Systemen verallgemeinert worden, die dissipative Systeme einschließt. SRB Maßnahmen ersetzen den Faktor von Boltzmann, und sie werden auf attractors von chaotischen Systemen definiert.

Nichtlineare dynamische Systeme und Verwirrung

Einfache nichtlineare dynamische Systeme und sogar piecewise geradlinige Systeme können ein völlig unvorhersehbares Verhalten ausstellen, das scheinen könnte, zufällig zu sein, ungeachtet der Tatsache dass sie im Wesentlichen deterministisch sind. Dieses anscheinend unvorhersehbare Verhalten ist Verwirrung genannt worden. Hyperbelsysteme werden dynamische Systeme genau definiert, die die chaotischen Systemen zugeschriebenen Eigenschaften ausstellen. In Hyperbelsystemen kann die Tangente-Raumsenkrechte zu einer Schussbahn in zwei Teile gut getrennt werden: Ein mit den Punkten, die zur Bahn (die stabile Sammelleitung) und ein anderer der Punkte zusammenlaufen, die aus der Bahn (die nicht stabile Sammelleitung) abweichen.

Dieser Zweig der Mathematik befasst sich mit dem langfristigen qualitativen Verhalten von dynamischen Systemen. Hier ist der Fokus nicht auf der Entdeckung genauer Lösungen der Gleichungen, die das dynamische System definieren (welcher ist häufig hoffnungslos), aber eher zu antworten, dass werden sich Fragen wie "Das System zu einem unveränderlichen Staat auf lange Sicht niederlassen, und wenn so, wie ist der mögliche attractors?" oder "Tut das Langzeitverhalten des Systems hängen von seiner anfänglichen Bedingung ab?"

Bemerken Sie, dass das chaotische Verhalten von komplizierten Systemen nicht das Problem ist. Wie man bekannt hat, hat die Meteorologie seit Jahren kompliziert-gleiches chaotisches Verhalten eingeschlossen. Verwirrungstheorie ist so überraschend gewesen, weil Verwirrung innerhalb von fast trivialen Systemen gefunden werden kann. Die logistische Karte ist nur ein zweiten Grades Polynom; die Hufeisen-Karte ist geradlinig piecewise.

Geometrische Definition

Ein dynamisches System ist das Tupel, mit einer Sammelleitung (lokal ein Banachraum oder Euklidischer Raum), das Gebiet für die Zeit (nichtnegativer reals, die ganzen Zahlen...) und f eine Evolutionsregel t  f (mit) dem solchem, dass f ein diffeomorphism der Sammelleitung zu sich ist. Also, f ist des Zeitabschnittes in den Raum von diffeomorphisms der Sammelleitung zu sich kartografisch darzustellen. In anderen Begriffen f ist (t) ein diffeomorphism, für jedes Mal t im Gebiet.

Messen Sie theoretische Definition

:See wichtige Artikel-Maß-Bewahrung dynamisches System.

Ein dynamisches System kann formell, als eine Maß bewahrende Transformation einer Sigma-Algebra, der Vierling (X, Σ, μ, τ) definiert werden. Hier, X ist ein Satz, und Σ ist eine Sigma-Algebra auf X, so dass das Paar (X, Σ) ein messbarer Raum ist. μ ist ein begrenztes Maß auf der Sigma-Algebra, so dass der Drilling (X, Σ, μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist. Eine Karte τ: Wie man sagt, sind X  X Σ-measurable, wenn, und nur wenn, für jeden σ  Σ, man hat. Wie man sagt, bewahrt eine Karte τ das Maß, wenn, und nur wenn, für jeden σ  Σ, man hat. Das obengenannte verbindend, wie man sagt, ist eine Karte τ eine Maß bewahrende Transformation X, wenn es eine Karte von X bis sich ist, ist es Σ-measurable, und ist Maß-Bewahrung. Das Vierfache (X, Σ, μ, τ), für solch einen τ, wird dann definiert, um ein dynamisches System zu sein.

Die Karte τ nimmt die Zeitevolution des dynamischen Systems auf. So für getrennte dynamische Systeme das Wiederholen für die ganze Zahl werden n studiert. Für dauernde dynamische Systeme, wie man versteht, ist die Karte τ eine Evolutionskarte der endlichen Zeit, und der Aufbau ist mehr kompliziert.

Beispiele von dynamischen Systemen

Innere Verbindungen

Die Katze von Arnold stellt kartografisch dar Die Karte des Bäckers ist ein Beispiel einer chaotischen piecewise geradlinigen Karte Kreiskarte Doppeltes Pendel

• Billard und Außenbillard

Hénon stellen kartografisch dar Hufeisen-Karte

• Vernunftwidrige Folge

Liste von chaotischen Karten Logistische Karte System von Lorenz

• Rossler stellen kartografisch dar

Links

• Interaktiver applet für die Standard- und Henon-Karten von A. Luhn

Mehrdimensionale Generalisation

Dynamische Systeme werden über eine einzelne unabhängige Variable definiert, gewöhnlich hat als Zeit gedacht. Eine allgemeinere Klasse von Systemen wird über vielfache unabhängige Variablen definiert und wird deshalb mehrdimensionale Systeme genannt. Solche Systeme sind für das Modellieren, zum Beispiel, die Bildverarbeitung nützlich.

Siehe auch

• Das Verhaltensmodellieren
• Dynamische Systemtheorie
• Feed-Back-Passivierung
• Liste von dynamischen Systemthemen
• Schwingung
• Leute in Systemen und Kontrolle
• Der Lehrsatz von Sarkovskii
• Systemdynamik
• Systemtheorie
• Unendliche Zusammensetzungen von analytischen Funktionen

Weiterführende Literatur

Arbeiten, die einen breiten Einschluss zur Verfügung stellen:

• (verfügbar als ein Nachdruck: Internationale Standardbuchnummer 0-201-40840-6)
• Die Enzyklopädie von Mathematischen Wissenschaften (ISSN 0938-0396) hat eine Subreihe auf dynamischen Systemen mit Rezensionen der aktuellen Forschung.

Einleitende Texte mit einer einzigartigen Perspektive:

Lehrbücher

Popularizations:

Links

• Eine Sammlung von dynamischen und nichtlinearen Systemmodellen und Demo applets (im Virtuellen Laboratorium der Monash Universität)
• Vorabdruck-Server von Arxiv hat tägliche Vorlagen von (Schiedsrichter nichtgewesenen) Manuskripten in dynamischen Systemen.
• DSWeb gibt aktuelle Auskunft über dynamische Systeme und seine Anwendungen.
• Die Enzyklopädie von dynamischen Systemen Ein Teil von Scholarpedia — Gleicher hat nachgeprüft und geschrieben von eingeladenen Experten.
• Nichtlineare Dynamik. Modelle der Gabelung und Verwirrung durch Elmer G. Wiens
• Oliver Knill hat eine Reihe von Beispielen von dynamischen Systemen mit Erklärungen und interaktiven Steuerungen.

• Sci. Nichtlineare häufig gestellte Fragen 2.0 (September 2003) stellen Definitionen, Erklärungen und Mittel zur Verfügung, die mit der nichtlinearen Wissenschaft verbunden sind

Online-Bücher oder Vortrag-Zeichen:

• Geometrische Theorie von dynamischen Systemen. Der Vortrag von Nils Berglund bemerkt für einen Kurs an ETH am fortgeschrittenen Studentenniveau.
• Dynamische Systeme. Das 1927-Buch von George D. Birkhoff bringt bereits eine moderne Annäherung an dynamische Systeme.

• Verwirrung: klassisch und Quant. Eine Einführung in dynamische Systeme aus dem periodischen Bahn-Gesichtspunkt.
• Das Modellieren Dynamischer Systeme. Eine Einführung in die Entwicklung von mathematischen Modellen von dynamischen Systemen.
• Das Lernen Dynamischer Systeme. Tutorenkurs beim Lernen dynamischer Systeme.
• Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Dynamische Systeme. Vortrag bemerkt durch Gerald Teschl

Forschungsgruppen:

• Dynamical Systems Group Groningen, IWI, Universität von Groningen.
• Verwirrung UMD. Konzentriert sich auf die Anwendungen dynamischer Systeme.
• Dynamische Systeme, SUNY Steiniger Bach. Listen von Konferenzen, Forschern und einigen offenen Problemen.
• Zentrum für die Dynamik und Geometrie, den Staat Pennsylvanien.
• Kontrolle und dynamische Systeme, Caltech.
• Laboratorium von Nichtlinearen Systemen, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL).
• Zentrum für dynamische Systeme, Universität Bremens
• Systemanalyse, Modelling and Prediction Group, Universität Oxfords
• Non-Linear Dynamics Group, Instituto höherer Técnico, technische Universität Lissabons
• Dynamische Systeme, IMPA, Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicada.
• Nichtlineare Dynamik Workgroup, Institut für die Informatik, tschechische Akademie von Wissenschaften.

Simulierungssoftware hat auf der Dynamischen Systemannäherung gestützt:

• FyDiK
• iDMC, Simulation und dynamische Analyse von nichtlinearen Modellen