In der Vektor-Rechnung ist ein Vektorfeld eine Anweisung eines Vektoren zu jedem Punkt in einer Teilmenge des Euklidischen Raums. Ein Vektorfeld im Flugzeug kann zum Beispiel vergegenwärtigt werden, weil ein Pfeil, mit einem gegebenen Umfang und Richtung, jedem Punkt im Flugzeug angehaftet hat. Vektorfelder werden häufig verwendet, um, zum Beispiel, die Geschwindigkeit und Richtung einer bewegenden Flüssigkeit überall im Raum, oder die Kraft und Richtung von einer Kraft wie die magnetische oder Gravitationskraft zu modellieren, als es sich vom Punkt bis Punkt ändert.

Die Elemente der unterschiedlichen und Integralrechnung strecken sich bis zu Vektorfelder auf eine natürliche Weise aus. Wenn ein Vektorfeld Kraft vertritt, vertritt die eines Vektorfeldes integrierte Linie die geleistete Arbeit durch eine Kraft, die vorankommt, ein Pfad, und unter dieser Interpretationsbewahrung der Energie wird als ein spezieller Fall des Hauptsatzes der Rechnung ausgestellt. Von Vektorfeldern kann als das Darstellen der Geschwindigkeit eines bewegenden Flusses im Raum nützlich gedacht werden, und diese physische Intuition führt zu Begriffen wie die Abschweifung (der die Rate der Änderung des Volumens eines Flusses vertritt) und Locke (der die Folge eines Flusses vertritt).

In Koordinaten kann ein Vektorfeld auf einem Gebiet im n-dimensional Euklidischen Raum als eine Vektor-geschätzte Funktion vertreten werden, die ein N-Tupel von reellen Zahlen zu jedem Punkt des Gebiets vereinigt. Diese Darstellung eines Vektorfeldes hängt vom Koordinatensystem ab, und es gibt ein bestimmtes Transformationsgesetz im Vorbeigehen von einem Koordinatensystem bis den anderen. Vektorfelder werden häufig auf offenen Teilmengen des Euklidischen Raums besprochen, sondern auch haben Sinn auf anderen Teilmengen wie Oberflächen, wo sie eine Pfeil-Tangente zur Oberfläche an jedem Punkt (ein Tangente-Vektor) vereinigen.

Mehr allgemein werden Vektorfelder auf Differentiable-Sammelleitungen definiert, die Räume sind, die wie Euklidischer Raum auf kleinen Skalen aussehen, aber mehr komplizierte Struktur auf größeren Skalen haben können. In dieser Einstellung gibt ein Vektorfeld einen Tangente-Vektoren an jedem Punkt der Sammelleitung (d. h. eine Abteilung des Tangente-Bündels zur Sammelleitung). Vektorfelder sind eine Art des Tensor-Feldes.

Definition

Vektorfelder auf Teilmengen des Euklidischen Raums

In Anbetracht einer Teilmenge S in R wird ein Vektorfeld durch eine Vektor-geschätzte Funktion vertreten

in Kartesianischen Standardkoordinaten (x..., x). Wenn jeder Bestandteil V dauernd ist, dann V ist ein dauerndes Vektorfeld, und mehr allgemein V sind ein C Vektorfeld, wenn jeder Bestandteil V k Zeiten unaufhörlich differentiable ist.

Ein Vektorfeld kann als das Zuweisen eines Vektoren zu individuellen Punkten innerhalb eines n-dimensional Raums vergegenwärtigt werden.

In Anbetracht zwei C-Vektorfelder V, W definiert auf S und einer echten geschätzten C-Funktion f definiert auf S, der zwei Operationsskalarmultiplikation und Vektor-Hinzufügung

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definieren Sie das Modul von C-Vektorfeldern über den Ring von C-Funktionen.

Koordinatentransformationsgesetz

In der Physik ist ein Vektor dadurch zusätzlich bemerkenswert, wie sich seine Koordinaten ändern, wenn man denselben Vektoren in Bezug auf ein verschiedenes Hintergrundkoordinatensystem misst. Die Transformationseigenschaften von Vektoren unterscheiden einen Vektoren als eine geometrisch verschiedene Entität von einer einfachen Liste von Skalaren, oder von einem covector.

Nehmen Sie so an, dass (x..., x) eine Wahl von Kartesianischen Koordinaten ist, in Bezug auf die die Koordinaten des Vektoren V sind

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und nehmen Sie an, dass (y..., y) n Funktionen des x das Definieren eines verschiedenen Koordinatensystems sind. Dann sind die Koordinaten des Vektoren V in den neuen Koordinaten erforderlich, das Transformationsgesetz zu befriedigen

Solch ein Transformationsgesetz wird Kontravariante genannt. Ein ähnliches Transformationsgesetz charakterisiert Vektorfelder in der Physik: Spezifisch ist ein Vektorfeld eine Spezifizierung von N-Funktionen in jedem Koordinatensystemthema dem Transformationsgesetz Verbindung der verschiedenen Koordinatensysteme.

Vektorfeldern wird so mit Skalarfeldern gegenübergestellt, die eine Zahl oder Skalar zu jedem Punkt im Raum vereinigen, und auch mit einfachen Listen von Skalarfeldern gegenübergestellt werden, die sich unter Koordinatenänderungen nicht verwandeln.

Vektorfelder auf Sammelleitungen

In Anbetracht einer Differentiable-SammelleitungsM ist ein Vektorfeld auf der M eine Anweisung eines Tangente-Vektoren zu jedem Punkt in der M. Genauer ist ein Vektorfeld F von der M in den Tangente-Bündel-TM kartografisch darzustellen, so dass die Identität ist, die kartografisch darstellt

wo p den Vorsprung von TM bis M anzeigt. Mit anderen Worten ist ein Vektorfeld eine Abteilung des Tangente-Bündels.

Wenn die mannigfaltige M

ist

(beziehungsweise analytisch)---d. h. die Änderung von glatt

Koordinaten sind (beziehungsweise analytisch)---dann glatt man kann Sinn haben

des Begriffs von glatten (beziehungsweise analytisch) Vektorfelder.

Die Sammlung aller glatten Vektorfelder auf einer glatten Sammelleitung

M wird häufig durch Γ (TM) oder C (M, TM) (besonders angezeigt, wenn man an Vektorfelder als Abteilungen denkt); die Sammlung aller glatten Vektorfelder wird auch durch (ein fraktur "X") angezeigt.

Beispiele

• Ein Vektorfeld für die Bewegung von Luft auf der Erde wird für jeden Punkt auf der Oberfläche der Erde einen Vektoren mit der Windgeschwindigkeit und Richtung für diesen Punkt vereinigen. Das kann mit Pfeilen gezogen werden, um den Wind zu vertreten; die Länge (Umfang) des Pfeils wird eine Anzeige der Windgeschwindigkeit sein. Ein "hoher" auf der üblichen barometrischen Druck-Karte würde dann als eine Quelle (Pfeile handeln, die weg hinweisen), und ein "niedriger" würde ein Becken sein (Pfeile, die zu hinweisen), da Luft dazu neigt, sich von Gebieten des Hochdrucks bis Tiefdruck-Gebiete zu bewegen.
• Geschwindigkeitsfeld einer bewegenden Flüssigkeit. In diesem Fall wird ein Geschwindigkeitsvektor zu jedem Punkt in der Flüssigkeit vereinigt.
• Stromlinien, Streaklines und Pathlines sind 3 Typen von Linien, die von Vektorfeldern gemacht werden können. Sie sind:

:: streaklines - wie offenbart, in Windkanälen mit Rauch.

:: Stromlinien (oder fieldlines) - als eine Linie, die das sofortige Feld zu einem festgelegten Zeitpunkt zeichnet.

:: pathlines - Vertretung des Pfads, dem eine gegebene Partikel (der Nullmasse) folgen würde.

• Magnetische Felder. Der fieldlines kann mit dem kleinen Eisenfeilstaub offenbart werden.
• Die Gleichungen von Maxwell erlauben uns, einen gegebenen Satz von anfänglichen Bedingungen zu verwenden, für jeden Punkt im Euklidischen Raum, einem Umfang und der Richtung für die Kraft abzuleiten, die durch eine beladene Testpartikel an diesem Punkt erfahren ist; das resultierende Vektorfeld ist das elektromagnetische Feld.
• Ein durch jeden massiven Gegenstand erzeugtes Schwerefeld ist auch ein Vektorfeld. Zum Beispiel würden die Schwerefeld-Vektoren für einen kugelförmig symmetrischen Körper alle zum Zentrum des Bereichs mit dem Umfang der Vektoren hinweisen, die als radiale Entfernung von den Körperzunahmen abnehmen.

Anstieg-Feld

Vektorfelder können aus Skalarfeldern mit dem Anstieg-Maschinenbediener gebaut werden (angezeigt durch den del:).

Ein Vektorfeld V definiert auf einem Satz S wird ein Anstieg-Feld oder ein konservatives Feld genannt, wenn dort eine reellwertige Funktion (ein Skalarfeld) f auf solchem S dass besteht

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Der verbundene Fluss wird den Anstieg-Fluss genannt, und wird in der Methode des Anstieg-Abstiegs verwendet.

Der Pfad, der entlang jeder geschlossenen Kurve γ (γ (0) = γ (1)) in einem Anstieg-Feld integriert ist, ist Null:

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Hauptfeld

Ein C-Vektorfeld über R \{0} wird ein Hauptfeld wenn genannt

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wo O (n, R) die orthogonale Gruppe ist. Wir sagen, dass Hauptfelder invariant unter orthogonalen Transformationen ungefähr 0 sind.

Der Punkt 0 wird das Zentrum des Feldes genannt.

Da orthogonale Transformationen wirklich Folgen und Nachdenken sind, bedeuten die invariance Bedingungen, dass Vektoren eines Hauptfeldes immer zu, oder weg von, 0 geleitet werden; das ist ein Stellvertreter (und einfacher) Definition.

Ein Hauptfeld ist immer ein Anstieg-Feld, seit dem Definieren davon auf einer Halbachse, und Integrierung gibt einen Antianstieg.

Operationen auf Vektorfeldern

Integrierte Linie

Eine allgemeine Technik in der Physik soll ein Vektorfeld entlang einer Kurve integrieren: Eine integrierte Linie zu bestimmen. In Anbetracht einer Partikel in einem Gravitationsvektorfeld, wo jeder Vektor die Kraft vertritt, die der Partikel an einem gegebenen Punkt im Raum folgt, ist die integrierte Linie die geleistete Arbeit auf der Partikel, wenn es entlang einem bestimmten Pfad reist.

Die integrierte Linie wird analog dem integrierten Riemann gebaut, und sie besteht, wenn die Kurve korrigierbar ist (hat begrenzte Länge), und das Vektorfeld ist dauernd.

In Anbetracht eines Vektorfeldes V und einer Kurve γ parametrisiert durch [0 1] wird die integrierte Linie als definiert

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Abschweifung

Die Abschweifung eines Vektorfeldes auf dem Euklidischen Raum ist eine Funktion (oder Skalarfeld). In drei Dimensionen wird die Abschweifung durch definiert

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mit der offensichtlichen Generalisation zu willkürlichen Dimensionen. Die Abschweifung an einem Punkt vertritt den Grad, zu dem ein kleines Volumen um den Punkt eine Quelle oder ein Becken für den Vektor-Fluss, ein Ergebnis ist, das genau durch den Abschweifungslehrsatz gemacht wird.

Die Abschweifung kann auch auf einer Sammelleitung von Riemannian, d. h. einer Sammelleitung mit metrischem Riemannian definiert werden, der die Länge von Vektoren misst.

Locke

Die Locke ist eine Operation, die ein Vektorfeld nimmt und ein anderes Vektorfeld erzeugt. Die Locke wird nur in drei Dimensionen definiert, aber einige Eigenschaften der Locke können in höheren Dimensionen mit der Außenableitung gewonnen werden. In drei Dimensionen wird es durch definiert

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Die Locke misst die Dichte des winkeligen Schwungs des Vektor-Flusses an einem Punkt, d. h. dem Betrag, zu dem der Fluss um eine feste Achse zirkuliert. Diese intuitive Beschreibung wird genau durch den Lehrsatz von Stokes gemacht.

Geschichte

Vektorfelder sind ursprünglich in der klassischen Feldtheorie in der Physik des 19. Jahrhunderts spezifisch im Magnetismus entstanden. Sie wurden von Michael Faraday in seinem Konzept von Linien der Kraft formalisiert, wer betont hat, dass das Feld selbst ein Gegenstand der Studie sein sollte, die es überall in der Physik in der Form der Feldtheorie geworden ist.

Zusätzlich zum magnetischen Feld schließen andere Phänomene, die als Vektorfelder von Faraday modelliert wurden, das elektrische leichte und Feldfeld ein.

Fluss-Kurven

Denken Sie den Fluss einer Flüssigkeit durch ein Gebiet des Raums. Zu jeder vorgegebenen Zeit hat jeder Punkt der Flüssigkeit eine besondere damit vereinigte Geschwindigkeit; so gibt es ein zu jedem Fluss vereinigtes Vektorfeld. Das gegenteilige ist auch wahr: Es ist möglich, einen Fluss zu einem Vektorfeld zu vereinigen, das dieses Vektorfeld als seine Geschwindigkeit hat.

In Anbetracht eines Vektorfeldes V definiert auf S definiert man Kurven auf S solch das für jeden t in einem Zwischenraum I

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Durch den Picard-Lindelöf Lehrsatz, wenn V dauernder Lipschitz ist, gibt es eine einzigartige C-Kurve γ für jeden Punkt x in S so dass

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Die Kurven γ werden Fluss-Kurven des Vektorfeldes V und der Teilung S in Gleichwertigkeitsklassen genannt. Es ist nicht immer möglich, den Zwischenraum (-ε, + ε) zur ganzen Linie der reellen Zahl zu erweitern. Der Fluss kann zum Beispiel den Rand von S in einer endlichen Zeit erreichen.

In zwei oder drei Dimensionen kann man sich das Vektorfeld als das Verursachen eines Flusses auf S vergegenwärtigen. Wenn wir eine Partikel in diesen Fluss an einem Punkt p fallen lassen, wird er die Kurve γ im Fluss abhängig vom anfänglichen Punkt p vorankommen. Wenn p ein stationärer Punkt V dann ist, wird die Partikel an p bleiben.

Typische Anwendungen sind Stromlinie im flüssigen, geodätischen Fluss, und Ein-Parameter-Untergruppen und die Exponentialkarte in Lüge-Gruppen.

Ganze Vektorfelder

Ein Vektorfeld ist abgeschlossen, wenn seine Fluss-Kurven für alle Zeiten bestehen. Insbesondere kompakt unterstützte Vektorfelder auf einer Sammelleitung sind abgeschlossen. Wenn X ein ganzes Vektorfeld auf der M ist, dann besteht die Ein-Parameter-Gruppe von diffeomorphisms, der durch den Fluss vorwärts X erzeugt ist, für alle Zeiten.

Unterschied zwischen Skalar und Vektorfeld

Der Unterschied zwischen einem Skalar und Vektorfeld ist nicht, dass ein Skalar gerade eine Zahl ist, während ein Vektor mehrere Zahlen ist. Der Unterschied ist darin, wie ihre Koordinaten antworten, um Transformationen zu koordinieren. Ein Skalar ist eine Koordinate, wohingegen ein Vektor durch Koordinaten beschrieben werden kann, aber es ist nicht die Sammlung seiner Koordinaten.

Beispiel 1

Dieses Beispiel ist über den 2-dimensionalen Euklidischen Raum (R), wo wir Euklidisch (x, y) und polar (r, θ) Koordinaten untersuchen (die am Ursprung unbestimmt sind). So x = r, weil θ und y = r θ und auch r = x + y, weil θ = x / (x + y) und Sünde θ = y / (x + y) sündigen. Nehmen Sie an, dass wir ein Skalarfeld haben, das durch die unveränderliche Funktion 1, und ein Vektorfeld gegeben wird, das einen Vektoren in der R-Richtung mit der Länge 1 zu jedem Punkt beifügt. Genauer wird ihnen durch die Funktionen gegeben

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Lassen Sie uns diese Felder zu Euklidischen Koordinaten umwandeln. Der Vektor der Länge 1 in der R-Richtung hat die X-Koordinate, weil θ und der y Sünde θ koordinieren. So in Euklidischen Koordinaten werden dieselben Felder durch die Funktionen beschrieben

::

Wir sehen, dass, während das Skalarfeld dasselbe bleibt, das Vektorfeld jetzt verschieden aussieht. Dasselbe hält sogar im 1-dimensionalen Fall, wie illustriert, durch das folgende Beispiel.

Beispiel 2

Denken Sie den 1-dimensionalen Euklidischen Raum R mit seiner normalen Euklidischen Koordinate x. Nehmen Sie an, dass wir ein Skalarfeld und ein Vektorfeld haben, die beide in der X-Koordinate durch die unveränderliche Funktion 1, gegeben werden

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So haben wir ein Skalarfeld, das den Wert 1 überall und ein Vektorfeld hat, das einen Vektoren in der X-Richtung mit dem Umfang 1 Einheit von x zu jedem Punkt beifügt.

Denken Sie jetzt die Koordinate ξ: = 2x. Wenn sich x ändert, eine Einheit dann ändert ξ 2 Einheiten. So hat dieses Vektorfeld einen Umfang 2 in Einheiten von ξ. Deshalb, im ξ koordinieren das Skalarfeld, und das Vektorfeld werden durch die Funktionen beschrieben

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die verschieden sind.

F-Zusammenhängendkeit

In Anbetracht einer glatten Funktion zwischen Sammelleitungen, ist die Ableitung eine veranlasste Karte auf Tangente-Bündeln. Gegebene Vektorfelder und, wir können fragen, ob sie unter im folgenden Sinn vereinbar sind. Wir sagen, dass das - verbunden damit ist, wenn die Gleichung hält.

Generalisationen

Das Ersetzen von Vektoren durch P-Vektoren (pth Außenmacht von Vektoren) gibt P-Vektorfelder nach; die Einnahme der Doppel-Raum- und Außenmächte geben DifferenzialK-Formen und das Kombinieren dieser Erträge allgemeine Tensor-Felder nach.

Algebraisch können Vektorfelder als Abstammungen der Algebra von glatten Funktionen auf der Sammelleitung charakterisiert werden, die zum Definieren eines Vektorfeldes auf einer Ersatzalgebra als eine Abstammung auf der Algebra führt, die in der Theorie der Differenzialrechnung über Ersatzalgebra entwickelt wird.

Siehe auch

• Eisenbud-Levine-Khimshiashvili-Unterschrift-Formel
• Feldlinie
• Lügen Sie Ableitung
• Skalarfeld
• Zeitabhängiges Vektorfeld
• Vektorfelder in zylindrischen und kugelförmigen Koordinaten

Bibliografie

Links

• Vektorfeld - Mathworld
• Vektorfeld - PlanetMath
• Magnetischer 3D-Feldzuschauer
• Vektorfeld-Simulation Java applet Veranschaulichung von Vektor-Feldern
• Vektorfelder und Feldlinien
• Vektorfeld-Simulation Eine interaktive Anwendung, um die Effekten von Vektorfeldern zu zeigen
• 2. & 3. elektromagnetische Designsoftware der Software von Vektorfeldern, die verwendet werden kann, um sich Vektorfelder und Feldlinien zu vergegenwärtigen