In der Vektor-Rechnung ist Abschweifung ein Vektor-Maschinenbediener, der den Umfang einer Quelle eines Vektorfeldes oder Beckens an einem gegebenen Punkt in Bezug auf einen unterzeichneten Skalar misst. Mehr technisch vertritt die Abschweifung die Volumen-Dichte des äußeren Flusses eines Vektorfeldes von einem unendlich kleinen Volumen um einen gegebenen Punkt. Betrachten Sie zum Beispiel Luft, weil sie geheizt oder abgekühlt wird. Das relevante Vektorfeld für dieses Beispiel ist die Geschwindigkeit der bewegenden Luft an einem Punkt. Wenn Luft in einem Gebiet geheizt wird, wird sie sich in allen solchen Richtungen dass die von diesem Gebiet äußeren Geschwindigkeitsfeldpunkte ausbreiten. Deshalb würde die Abschweifung des Geschwindigkeitsfeldes in diesem Gebiet einen positiven Wert haben, weil das Gebiet eine Quelle ist. Wenn die Luft kühl wird und sich zusammenzieht, ist die Abschweifung negativ, und das Gebiet wird ein Becken genannt.

Definition der Abschweifung

In physischen Begriffen ist die Abschweifung eines dreidimensionalen Vektorfeldes das Ausmaß, in dem sich der Vektorfeld-Fluss wie eine Quelle oder ein Becken an einem gegebenen Punkt benimmt. Es ist ein lokales Maß seiner "Abtretendkeit" - das Ausmaß, in dem dort über ein unendlich kleines Gebiet des Raums mehr herrscht als das Eingehen darin. Wenn die Abschweifung Nichtnull an einem Punkt dann ist, muss es eine Quelle oder Becken an dieser Position geben. (Bemerken Sie, dass wir uns das Vektorfeld vorstellen, dem Geschwindigkeitsvektorfeld einer Flüssigkeit ähnlich zu sein (in der Bewegung), wenn wir die Begriffe Fluss gebrauchen, und so weiter sinken.)

Strenger wird die Abschweifung eines Vektorfeldes F an einem Punkt p als die Grenze des Nettoflusses von F über die glatte Grenze eines dreidimensionalen Gebiets V geteilt durch das Volumen V definiert, weil V zu p zurückweicht. Formell,

:

\lim_ {V \rightarrow \{p\} }\

\iint_ {S (V)} {\\mathbf {F }\\cdot\mathbf {n} \over |V |} \; dS </Mathematik>

wo |V | das Volumen V ist, S (V) ist die Grenze V, und das Integral ist ein Oberflächenintegral mit n die äußere zu dieser Oberfläche normale Einheit zu sein. Das Ergebnis, div F, ist eine Funktion der Position p in einem Schwerefeld. Aus dieser Definition wird es auch ausführlich sichtbar, dass div F als die Quelldichte des Flusses von F gesehen werden kann.

Im Licht der physischen Interpretation wird ein Vektorfeld mit der unveränderlichen Nullabschweifung incompressible oder solenoidal - in diesem Fall genannt, kein Nettofluss kann über jede geschlossene Oberfläche vorkommen.

Die Intuition, dass die Summe aller Quellen minus die Summe des ganzen Beckens den Nettofluss nach außen eines Gebiets geben sollte, wird genau durch den Abschweifungslehrsatz gemacht.

Anwendung in Kartesianischen Koordinaten

Lassen Sie x, y, z ein System von Kartesianischen Koordinaten im 3-dimensionalen Euklidischen Raum sein, und mich, j, k die entsprechende Basis von Einheitsvektoren sein zu lassen.

Die Abschweifung unaufhörlich differentiable Vektorfeld F = U i + V j + W k ist der skalargeschätzten Funktion gleich:

:

\frac {\\teilweise U\{\\teilweiser x }\

+ \frac {\\teilweise V\{\\teilweiser y }\

+ \frac {\\teilweise W\{\\teilweiser z

}. </Mathematik>

Obwohl ausgedrückt, in Bezug auf Koordinaten ist das Ergebnis invariant unter orthogonalen Transformationen, wie die physische Interpretation darauf hinweist.

Die allgemeine Notation für die Abschweifung  · F ist ein günstiger mnemonischer, wo der Punkt eine an das Punktprodukt erinnernde Operation anzeigt: Nehmen Sie die Bestandteile von  (sieh del), wenden Sie sie auf die Bestandteile von F an, und summieren Sie die Ergebnisse. Weil Verwendung eines Maschinenbedieners davon verschieden ist, die Bestandteile zu multiplizieren, wird das als ein Missbrauch der Notation betrachtet.

Die Abschweifung unaufhörlich differentiable Tensor-Feld der zweiten Reihe ist ein Tensor-Feld der ersten Reihe:

:

\begin {bmatrix }\

\frac {\\teilweiser \epsilon_ {xx}} {\\teilweise x\+ \frac {\\teilweiser \epsilon_ {xy}} {\\teilweise y\+ \frac {\\teilweiser \epsilon_ {xz}} {\\teilweise z\\\[6pt]

\frac {\\teilweiser \epsilon_ {yx}} {\\teilweise x\+ \frac {\\teilweiser \epsilon_ {yy}} {\\teilweise y\+ \frac {\\teilweiser \epsilon_ {yz}} {\\teilweise z\\\[6pt]

\frac {\\teilweiser \epsilon_ {zx}} {\\teilweise x\+ \frac {\\teilweiser \epsilon_ {zy}} {\\teilweise y\+ \frac {\\teilweiser \epsilon_ {zz}} {\\teilweiser z }\

\end {bmatrix }\

</Mathematik>

Zylindrische Koordinaten

Für einen Vektoren, der in zylindrischen Koordinaten als ausgedrückt ist

:

wo e der Einheitsvektor in der Richtung a ist, ist die Abschweifung

:

\nabla\cdot\mathbf F

\frac1r \frac {\\teilweise} {\\teilweise r\(rF_r) + \frac1r \frac {\\teilweiser F_\theta} {\\partial\theta} + \frac {\\teilweiser F_z} {\\teilweiser z }\\.

</Mathematik>

Kugelförmige Koordinaten

In kugelförmigen Koordinaten, mit dem Winkel mit der z Achse und der Folge um die z Achse, liest die Abschweifung

:

\nabla\cdot\mathbf F

\frac1 {R^2} \frac {\\teilweise} {\\teilweise r\(r^2 F_r) + \frac1 {r\sin\theta} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser \theta} (\sin\theta \, F_\theta) + \frac1 {r\sin\theta} \frac {\\teilweiser F_\varphi} {\\teilweiser \varphi}.

</Mathematik>

Zergliederungslehrsatz

Es kann gezeigt werden, dass jeder stationäre Fluss v (r), der mindestens zweimal unaufhörlich differentiable darin ist und genug schnell dafür verschwindet, in einen rotationsfreien Teil E(r) und ein quellfreier Teil B(r) zersetzt werden kann. Außerdem werden diese Teile durch die jeweiligen Quelldichten ausführlich bestimmt (sieh oben), und Umlauf-Dichten (sieh den Artikel Curl):

Für den rotationsfreien Teil hat man

:

mit

:

Der quellfreie Teil, B, kann ähnlich geschrieben werden: Ein einziger muss das Skalarpotenzial Φ (r) durch ein Vektor-Potenzial A(r) und die Begriffe &minus; durch + ×A, und schließlich die Quelldichte ersetzen

durch die Umlauf-Dichte ×v.

Dieser "Zergliederungslehrsatz" ist tatsächlich ein Nebenprodukt des stationären Falls der Elektrodynamik. Es ist ein spezieller Fall von mehr Zergliederung von General Helmholtz, die in Dimensionen arbeitet, die größer sind als drei ebenso.

Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften können alle aus den gewöhnlichen Unterscheidungsregeln der Rechnung abgeleitet werden. Am wichtigsten ist die Abschweifung ein geradliniger Maschinenbediener, d. h.

:

\;\operatorname {div} (\mathbf {F})

+ b \;\operatorname {div} (\mathbf {G}) </Mathematik>

für alle Vektorfelder F und G und alle reellen Zahlen a und b.

Es gibt eine Produktregel des folgenden Typs: Wenn geschätzte Funktion eines Skalars ist und F ein Vektorfeld, dann ist

:

\operatorname {Student im Aufbaustudium} (\varphi) \cdot \mathbf {F}

+ \varphi \; \operatorname {div} (\mathbf {F}), </Mathematik>

oder in der andeutenderen Notation

:

(\nabla\varphi) \cdot \mathbf {F}

+ \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf {F}). </Mathematik>

Eine andere Produktregel für das Kreuzprodukt von zwei Vektorfeldern F und G in drei Dimensionen schließt die Locke ein und liest wie folgt:

:

\operatorname {Locke} (\mathbf {F}) \cdot\mathbf {G}

\; - \; \mathbf {F} \cdot \operatorname {Locke} (\mathbf {G}), </Mathematik>

oder

:

(\nabla\times\mathbf {F}) \cdot\mathbf {G }\

- \mathbf {F }\\cdot (\nabla\times\mathbf {G}). </Mathematik>

Der Laplacian eines Skalarfeldes ist die Abschweifung des Anstiegs des Feldes:

:

\operatorname {div} (\nabla\varphi) = \Delta\varphi.

</Mathematik>

Die Abschweifung der Locke jedes Vektorfeldes (in drei Dimensionen) ist der Null gleich:

:

Wenn ein Vektorfeld F mit der Nullabschweifung auf einem Ball in R definiert wird, dann dort besteht ein Vektorfeld G auf dem Ball mit F = Locke (G). Für Gebiete im R, der mehr kompliziert ist als das, könnte die letzte Behauptung falsch sein (sieh Lemma von Poincaré). Der Grad des Misserfolgs der Wahrheit der Behauptung, die durch die Homologie des Kettenkomplexes gemessen ist

:

::

:::

::::

(wo die erste Karte der Anstieg ist, ist das zweite die Locke, das dritte ist die Abschweifung) Aufschläge als eine nette Quantifizierung der Kompliziertkeit des zu Grunde liegenden Gebiets U. Das sind die Anfänge und Hauptmotivationen von de Rham cohomology.

Beziehung mit der Außenableitung

Man kann die Abschweifung als ein besonderer Fall der Außenableitung ausdrücken, die einen 2-Formen-in einen 3-Formen-in R bringt.

Definieren Sie die aktuelle zwei Form

:.

Es misst den Betrag "des Zeugs", das durch eine Oberfläche pro Einheitszeit in einer "Zeug-Flüssigkeit" der Dichte fließt, die sich mit der lokalen Geschwindigkeit F bewegt. Seine Außenableitung wird dann durch gegeben

:

+ \frac {\\teilweiser F_2} {\\teilweiser y }\

+ \frac {\\teilweiser F_3} {\\teilweise z\\right) dx\wedge dy\wedge dz

= (\nabla\cdot \mathbf {F}) \rho </Mathematik>

So kann die Abschweifung des Vektorfeldes F als ausgedrückt werden:

:

Hier ist der Exponent einer des zwei Musikisomorphismus, und ist der Doppel-Hodge. Bemerken Sie jedoch, dass das Arbeiten mit den aktuellen zwei sich bildet und die Außenableitung gewöhnlich leichter ist als das Arbeiten mit dem Vektorfeld und der Abschweifung, weil verschieden von der Abschweifung die Außenableitung mit einer Änderung (des krummlinigen) Koordinatensystems pendelt.

Generalisationen

Die Abschweifung eines Vektorfeldes kann in jeder Zahl von Dimensionen definiert werden. Wenn

:

in einem Euklidischen Koordinatensystem wo und, definieren Sie

:

\frac {\\teilweiser F_1} {\\teilweiser x_1 }\

+ \frac {\\teilweiser F_2} {\\teilweiser x_2} + \cdots

+ \frac {\\teilweiser F_n} {\\teilweiser x_n}. </Mathematik>

Der passende Ausdruck ist in krummlinigen Koordinaten mehr kompliziert.

Für jeden n ist die Abschweifung ein geradliniger Maschinenbediener, und es befriedigt die "Produktregel"

:

(\nabla\varphi) \cdot \mathbf {F }\

+ \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf {F}). </Mathematik>

für jede skalargeschätzte Funktion.

Die Abschweifung kann auf jeder Sammelleitung der Dimension n mit einer Volumen-Form (oder Dichte) z.B eine Sammelleitung von Riemannian oder Lorentzian definiert werden. Die Generalisierung des Aufbaus zwei formt sich für ein Vektorfeld auf auf solch einer Sammelleitung, mit der ein Vektorfeld X eine erhaltene N-1-Form durch das Zusammenziehen X definiert. Die Abschweifung ist dann die durch definierte Funktion

:

Standardformeln für die Lüge-Ableitung erlauben uns, das als wiederzuformulieren

:

Das bedeutet, dass die Abschweifung die Rate der Vergrößerung eines Volumen-Elements misst, weil wir es lassen

Fluss mit dem Vektorfeld.

Auf Riemannian oder Lorentzian vervielfältigen die Abschweifung in Bezug auf die metrische Volumen-Form

kann in Bezug auf die Verbindung von Levi Civita geschätzt werden

:

wo der zweite Ausdruck die Zusammenziehung des Vektorfeldes ist, hat 1 geschätzt - formen sich mit sich, und der letzte Ausdruck ist der traditionelle von Physikern verwendete Koordinatenausdruck.

Abschweifung kann auch zum Tensor verallgemeinert werden. In der Notation von Einstein wird die Abschweifung eines kontravarianten Vektoren durch gegeben

:

wo die kovariante Ableitung ist. Gleichwertig definieren einige Autoren die Abschweifung jedes Mischtensor, indem sie die "Musiknotation #" verwenden:

Wenn T (p, q) - Tensor ist (p für den kontravarianten Vektoren und q für den kovarianten), dann definieren wir die Abschweifung von T, um (p, q-1) - Tensor zu sein

das ist wir verfolgen die kovariante Ableitung auf den ersten zwei kovarianten Indizes.

Siehe auch

• Abschweifungslehrsatz
• Locke
• Anstieg
• Laplacian
• Del in zylindrischen und kugelförmigen Koordinaten

Referenzen

Außenverbindungen

• Die Idee von der Abschweifung eines Vektorfeldes
• Khan-Akademie: Abschweifungsvideolehre