Algebraische Geometrie ist ein Zweig der Mathematik, die Techniken der abstrakten Algebra, besonders auswechselbaren Algebra, mit der Sprache und den Problemen der Geometrie verbindet. Es besetzt einen Hauptplatz in der modernen Mathematik und hat vielfache Begriffsverbindungen mit solchen verschiedenen Feldern als komplizierte Analyse, Topologie und Zahlentheorie. Am Anfang eine Studie von Systemen von polynomischen Gleichungen in mehreren Variablen, das Thema der algebraischen Geometrie fängt an, wo das Gleichungslösen aufhört, und es noch wichtiger wird, die inneren Eigenschaften der Gesamtheit von Lösungen eines Gleichungssystems zu verstehen, als, eine spezifische Lösung zu finden; das führt in einige der tiefsten Gebiete in der ganzen Mathematik sowohl begrifflich als auch in Bezug auf die Technik.

Die grundsätzlichen Gegenstände der Studie in der algebraischen Geometrie sind algebraische Varianten, geometrische Manifestationen von Lösungen von Systemen von polynomischen Gleichungen. Flugzeug algebraische Kurven, die Linien, Kreise, Parabeln, Ellipsen, Hyperbeln, Kubikkurven wie elliptische Kurven und Quartic-Kurven wie lemniscates und Ovale von Cassini einschließen, ist einige der am meisten studierten Klassen von algebraischen Varianten. Ein Punkt des Flugzeugs gehört einer algebraischen Kurve, wenn seine Koordinaten eine gegebene polynomische Gleichung befriedigen. Grundlegende Fragen schließen die Studie der Punkte vom speziellen Interesse wie die einzigartigen Punkte, die Beugungspunkte und die Punkte an der Unendlichkeit ein. Fortgeschrittenere Fragen schließen die Topologie der Kurve und Beziehungen zwischen den durch verschiedene Gleichungen gegebenen Kurven ein.

Im 20. Jahrhundert hat sich algebraische Geometrie in mehrere Teilbereiche aufgespalten.

• Der Hauptstrom der algebraischen Geometrie wird der Studie der komplizierten Punkte der algebraischen Varianten und mehr allgemein zu den Punkten mit Koordinaten in einem algebraisch geschlossenen Feld gewidmet.
• Die Studie der Punkte einer algebraischen Vielfalt mit Koordinaten im Feld der rationalen Zahlen oder in einem numerischen Feld ist Theorie der algebraischen Zahl geworden.
• Die Studie der echten Punkte einer algebraischen Vielfalt ist das Thema der echten algebraischen Geometrie.
• Ein großer Teil der Eigenartigkeitstheorie wird den Eigenartigkeiten von algebraischen Varianten gewidmet.
• Mit dem Anstieg der Computer ist ein rechenbetontes algebraisches Geometrie-Gebiet erschienen, der an der Kreuzung der algebraischen Geometrie und Computeralgebra liegt. Es besteht im Wesentlichen in sich entwickelnden Algorithmen und Software, um die Eigenschaften ausführlich gegebener algebraischer Varianten zu studieren und zu finden.
• Viel von der Entwicklung des Hauptstroms der algebraischen Geometrie ist im 20. Jahrhundert innerhalb eines abstrakten algebraischen Fachwerks mit der zunehmenden Betonung vorgekommen, die auf 'inneren' Eigenschaften von algebraischen von jeder besonderen Weise nicht abhängigen Varianten wird legt, die Vielfalt in einem umgebenden Koordinatenraum einzubetten; das passt Entwicklungen in der Topologie, unterschiedlicher und komplizierter Geometrie an. Ein Schlüsselzu-Stande-Bringen dieser abstrakten algebraischen Geometrie ist die Schema-Theorie von Grothendieck, die erlaubt, Bündel-Theorie zu verwenden, algebraische Varianten in einem Weg zu studieren, der seinem Gebrauch in der Studie von unterschiedlichen und analytischen Sammelleitungen sehr ähnlich ist. Das wird durch das Verlängern des Begriffs des Punkts erhalten: In der klassischen algebraischen Geometrie kann ein Punkt einer affine Vielfalt durch den Nullstellensatz von Hilbert mit einem maximalen Ideal des Koordinatenrings identifiziert werden, während die Punkte des entsprechenden affine Schemas alle Hauptideale dieses Rings sind. Das bedeutet, dass ein Punkt solch eines Schemas entweder ein üblicher Punkt oder eine Subvielfalt sein kann. Diese Annäherung ermöglicht auch eine Vereinigung der Sprache und die Werkzeuge der klassischen algebraischen Geometrie, die hauptsächlich mit komplizierten Punkten, und der Theorie der algebraischen Zahl betroffen ist. Der Beweis des List der seit langer Zeit bestehenden Vermutung hat gerufen der letzte Lehrsatz von Fermat ist ein Beispiel der Macht dieser Annäherung.

Basisbegriffe

Nullen von gleichzeitigen Polynomen

In der klassischen algebraischen Geometrie sind die Hauptgegenstände von Interesse die verschwindenden Sätze von Sammlungen von Polynomen, den Satz aller Punkte bedeutend, die gleichzeitig eine oder mehr polynomische Gleichungen befriedigen. Zum Beispiel konnte der zweidimensionale Bereich im dreidimensionalen Euklidischen Raum R als der Satz aller Punkte (x, y, z) mit definiert werden

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Ein "abgeschrägter" Kreis in R kann als der Satz aller Punkte definiert werden (x, y, z), die die zwei polynomischen Gleichungen befriedigen

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Varianten von Affine

Zuerst fangen wir mit einem Feld k an. In der klassischen algebraischen Geometrie war dieses Feld immer die komplexen Zahlen C, aber viele derselben Ergebnisse sind wahr, wenn wir nur annehmen, dass k algebraisch geschlossen wird. Wir denken den affine Raum der Dimension n über k, angezeigt (k) (oder einfacher A, wenn k vom Zusammenhang klar ist). Wenn man ein Koordinatensystem befestigt, kann man sich (k) mit k identifizieren. Der Zweck des nicht Arbeitens mit k soll betonen, dass man die Vektorraum-Struktur "vergisst", die k trägt.

Eine Funktion f: Wie man sagt, ist ein  A Polynom oder regelmäßig, wenn es als ein Polynom geschrieben werden kann, d. h. wenn es ein Polynom p in k [x..., x] solch dass f (M) = p (t..., t) für jeden Punkt M mit Koordinaten (t..., t) in A gibt. Das Eigentum einer Funktion, regelmäßig zu sein, hängt von der Wahl eines Koordinatensystems in A nicht ab.

Regelmäßige Funktionen auf dem affine N-Raum sind so genau dasselbe als Polynome über k in n Variablen. Wir werden uns auf den Satz aller regelmäßigen Funktionen auf als k beziehen.

Wir sagen, dass ein Polynom an einem Punkt verschwindet, wenn das Auswerten davon an diesem Punkt Null gibt. Lassen Sie S eine Reihe von Polynomen in k sein. Der verschwindende Satz von S (oder verschwindender geometrischer Ort) ist der Satz V (S) aller Punkte in, wo jedes Polynom in S verschwindet. Mit anderen Worten,

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Eine Teilmenge, der V (S) für einen S ist, wird einen algebraischen Satz genannt. Die V treten für Vielfalt (ein spezifischer Typ des algebraischen Satzes ein, der unten zu definieren ist).

In Anbetracht einer Teilmenge U A kann man den Satz von Polynomen wieder erlangen die erzeugen es? Wenn U eine Teilmenge von A ist, definieren Sie mich (U), um der Satz aller Polynome zu sein, deren verschwindender Satz U enthält. Ich tritt für Ideal ein: Wenn zwei Polynome f und g sowohl auf U verschwinden, dann verschwindet f+g auf U, als auch wenn h ein Polynom ist, dann verschwindet hf auf U, so bin ich (U) immer ein Ideal von k.

Zwei natürliche Fragen zu fragen sind:

• In Anbetracht einer Teilmenge U A, wenn ist U = V (ich (U))?
• In Anbetracht eines Satzes S Polynome, wenn ist S = ich (V (S))?

Die Antwort auf die erste Frage wird durch das Einführen der Topologie von Zariski, einer Topologie auf zur Verfügung gestellt, wessen geschlossene Sätze die algebraischen Sätze sind, und der direkt die algebraische Struktur von k widerspiegelt. Dann U = V (ich (U)) wenn, und nur wenn U ein algebraischer Satz oder gleichwertig ein GeZariski-schlossener Satz ist. Die Antwort auf die zweite Frage wird durch den Nullstellensatz von Hilbert gegeben. In einer seiner Formen sagt es, dass ich (V (S)) der Radikale des durch S erzeugten Ideales bin. Auf der abstrakteren Sprache gibt es eine Verbindung von Galois, zwei Verschluss-Maschinenbediener verursachend; sie können identifiziert werden, und natürlich eine grundlegende Rolle in der Theorie spielen; das Beispiel wird bei der Verbindung von Galois sorgfältig ausgearbeitet.

Aus verschiedenen Gründen können wir nicht immer mit dem kompletten Ideal entsprechend einem algebraischen Satz-Basislehrsatz von U. Hilbert arbeiten wollen deutet dass Ideale in k an immer begrenzt erzeugt zu sein.

Ein algebraischer Satz wird nicht zu vereinfachend genannt, wenn er als die Vereinigung von zwei kleineren algebraischen Sätzen nicht geschrieben werden kann. Jeder algebraische Satz ist eine begrenzte Vereinigung von nicht zu vereinfachenden algebraischen Sätzen, und diese Zergliederung ist einzigartig. So werden seine Elemente die nicht zu vereinfachenden Bestandteile des algebraischen Satzes genannt. Ein nicht zu vereinfachender algebraischer Satz wird auch eine Vielfalt genannt. Es stellt sich heraus, dass ein algebraischer Satz eine Vielfalt ist, wenn, und nur wenn es als der verschwindende Satz eines Hauptideales des polynomischen Rings definiert werden kann.

Einige Autoren machen keine klare Unterscheidung zwischen algebraischen Sätzen und Varianten und verwenden nicht zu vereinfachende Vielfalt, um die Unterscheidung, wenn erforderlich, zu machen.

Regelmäßige Funktionen

Da dauernde Funktionen die natürlichen Karten auf topologischen Räumen sind und Funktionen glätten, sind die natürlichen Karten auf Differentiable-Sammelleitungen, es gibt eine natürliche Klasse von Funktionen auf einem algebraischen Satz, genannt regelmäßige Funktionen oder polynomische Funktionen. Eine regelmäßige Funktion auf einem algebraischen Satz V enthalten in A ist die Beschränkung zu V einer regelmäßigen Funktion auf A. Für einen algebraischen auf dem Feld der komplexen Zahlen definierten Satz sind die regelmäßigen Funktionen glatt und sogar analytisch.

Es kann unnatürlich einschränkend scheinen, um zu verlangen, dass sich eine regelmäßige Funktion immer bis zu den umgebenden Raum ausstreckt, aber es ist der Situation in einem normalen topologischen Raum sehr ähnlich, wo der Erweiterungslehrsatz von Tietze versichert, dass sich eine dauernde Funktion auf einer geschlossenen Teilmenge immer bis zu den umgebenden topologischen Raum ausstreckt.

Ebenso mit den regelmäßigen Funktionen auf dem affine Raum bilden die regelmäßigen Funktionen auf V einen Ring, den wir durch k [V] anzeigen. Dieser Ring wird den Koordinatenring V genannt.

Da regelmäßige Funktionen auf V aus regelmäßigen Funktionen auf A kommen, gibt es eine Beziehung zwischen den Koordinatenringen. Spezifisch, wenn eine regelmäßige Funktion auf V die Beschränkung von zwei Funktionen f und g in k, dann f &minus ist; g ist eine polynomische Funktion, die auf V ungültig ist und so mir (V) gehört. So k [V] kann mit k [Ein]/I (V) identifiziert werden.

Morphism von affine Varianten

Mit regelmäßigen Funktionen von einer affine Vielfalt bis A können wir regelmäßige Karten von einer affine Vielfalt bis einen anderen definieren. Zuerst werden wir eine regelmäßige Karte von einer Vielfalt in den affine Raum definieren: Lassen Sie V eine in A enthaltene Vielfalt sein. Wählen Sie M regelmäßige Funktionen auf V, und nennen Sie sie f..., f. Wir definieren eine regelmäßige Karte f von V bis, indem wir f = (f..., f) lassen. Mit anderen Worten bestimmt jeder f eine Koordinate der Reihe von f.

Wenn V eine in A enthaltene Vielfalt ist, sagen wir, dass f eine regelmäßige Karte von V bis V ist, wenn die Reihe von f in V enthalten wird.

Die Definition der regelmäßigen Karten gilt auch für algebraische Sätze.

Die regelmäßigen Karten werden auch morphisms genannt, weil sie die Sammlung aller affine algebraischen Sätze in eine Kategorie machen, wo die Gegenstände die affine algebraischen Sätze sind und die morphisms die regelmäßigen Karten sind. Die affine Varianten sind eine Unterkategorie der Kategorie der algebraischen Sätze.

In Anbetracht einer regelmäßigen Karte g von V bis V und eine regelmäßige Funktion f k [V], dann fgk [V]. Die Karte ffg ist ein Ringhomomorphismus von k [V] zu k [V]. Umgekehrt definiert jeder Ringhomomorphismus von k [V] zu k [V] eine regelmäßige Karte von V bis V. Das definiert eine Gleichwertigkeit von Kategorien zwischen der Kategorie von algebraischen Sätzen und der entgegengesetzten Kategorie der begrenzt erzeugten reduzierten K-Algebra. Diese Gleichwertigkeit ist einer der Startpunkte der Schema-Theorie.

Vernünftige Funktion und birational Gleichwertigkeit

Entgegengesetzt zu den vorhergehenden betrifft diese Abteilung nur Varianten und nicht algebraische Sätze. Andererseits strecken sich die Definitionen natürlich bis zu projektive Varianten (folgende Abteilung) aus, weil eine affine Vielfalt und seine projektive Vollziehung denselben Aufgabenbereich haben.

Wenn V eine affine Vielfalt ist, ist sein Koordinatenring ein integriertes Gebiet und hat so ein Feld von Bruchteilen, das k (V) angezeigt und das Feld der vernünftigen Funktionen auf V oder, kurz, das Funktionsfeld V genannt wird. Seine Elemente sind die Beschränkungen zu V der vernünftigen Funktionen über den affine Raum, der V enthält. Das Gebiet einer vernünftigen Funktion f ist nicht V, aber die Ergänzung der Subvielfalt (eine Hyperoberfläche), wo der Nenner von f verschwindet.

Wie für regelmäßige Karten kann man eine vernünftige Karte von einer Vielfalt V zu einer Vielfalt V definieren. Wie für die regelmäßigen Karten können die vernünftigen Karten von V bis V zum Feldhomomorphismus von k (V) zu k (V) identifiziert werden.

Zwei affine Varianten sind birationally Entsprechung, wenn dort zwei vernünftige Funktionen zwischen ihnen, die ein zu anderem in den Gebieten umgekehrt sind, wo beide definiert werden. Gleichwertig sind sie birationally Entsprechung, wenn ihre Funktionsfelder isomorph sind.

Eine affine Vielfalt ist vernünftige Vielfalt, wenn es birationally Entsprechung zu einem affine Raum ist. Das bedeutet, dass die Vielfalt einen vernünftigen parameterization zulässt. Zum Beispiel, der Kreis der Gleichung x^2 + y^2 − 1 = 0 ist eine vernünftige Kurve, weil sie den parameterization hat

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der auch als eine vernünftige Karte von der Linie bis den Kreis angesehen werden kann.

Das Problem der Entschlossenheit von Eigenartigkeiten soll wissen, ob jede algebraische Vielfalt birationally Entsprechung zu einer Vielfalt ist, deren projektive Vollziehung nicht einzigartig ist (sieh auch glatte Vollziehung). Es ist in der Eigenschaft 0 von Hironaka 1964 positiv gelöst worden und ist noch in der begrenzten Eigenschaft ungelöst.

Projektive Vielfalt

Viele Eigenschaften der affine Varianten hängen von ihrem Verhalten "an der Unendlichkeit" ab.

Denken Sie zum Beispiel die Vielfalt V (y − x). Wenn wir es ziehen, bekommen wir eine Parabel. Als x Zunahmen wird der Hang der Linie vom Ursprung bis den Punkt (x, x) größer und größer. Als x Abnahmen wird der Hang derselben Linie kleiner und kleiner.

Vergleichen Sie das mit der Vielfalt V (y − x). Das ist eine Kubikkurve. Als x Zunahmen wird der Hang der Linie vom Ursprung bis den Punkt (x, x) größer und größer gerade als vorher. Aber unterschiedlich vorher, als x Abnahmen, wird der Hang derselben Linie wieder größer und größer. So das Verhalten "an der Unendlichkeit" V (y − x) ist vom Verhalten "an der Unendlichkeit" V verschieden (y − x).

Die Rücksicht der projektiven Vollziehung der zwei Kurven, die ihre Verlängerung "an der Unendlichkeit" im projektiven Flugzeug ist, erlaubt, diesen Unterschied zu messen: Der Punkt an der Unendlichkeit der Parabel ist ein regelmäßiger Punkt, dessen Tangente die Linie an der Unendlichkeit ist, während der Punkt an der Unendlichkeit der Kubikkurve eine Spitze ist. Außerdem sind beide Kurven vernünftig, weil sie durch x parametrisiert werden, und Lehrsatz von Riemann-Roch andeutet, dass die Kubikkurve eine Eigenartigkeit haben muss, die an der Unendlichkeit sein muss, weil alle seine Punkte im affine Raum regelmäßig sind.

So hängen viele der Eigenschaften der algebraischen Varianten, einschließlich der birational Gleichwertigkeit und aller topologischen Eigenschaften vom Verhalten "an der Unendlichkeit" ab und, beziehen Sie so ein, um die Varianten im projektiven Raum zu studieren. Außerdem hat die Einführung von projektiven Techniken viele Lehrsätze in der algebraischen Geometrie einfacher und schärfer gemacht: Zum Beispiel kann der Lehrsatz von Bézout auf der Zahl von Kreuzungspunkten zwischen zwei Varianten in seiner schärfsten Form nur im projektiven Raum festgesetzt werden. Aus diesen Gründen spielt projektiver Raum eine grundsätzliche Rolle in der algebraischen Geometrie.

Heutzutage wird der projektive Raum P der Dimension n gewöhnlich als der Satz der Linien definiert, die einen Punkt, betrachtet als der Ursprung, im affine Raum der Dimension n+1, oder gleichwertig zum Satz der Vektor-Linien in einem Vektorraum der Dimension n+1 durchführen. Als ein Koordinatensystem im Raum von der Dimension n+1 gewählt worden ist, haben alle Punkte einer Linie denselben Satz von Koordinaten bis zur Multiplikation durch ein Element von k. Das definiert die homogenen Koordinaten eines Punkts von P als eine Folge von n+1 Elementen des Grundfeldes k, definiert bis zur Multiplikation durch ein nicht Nullelement von k (dasselbe für die ganze Folge).

In Anbetracht eines Polynoms in n+1 Variablen verschwindet es am ganzen Punkt einer Linie, die den Ursprung durchführt, wenn, und nur wenn es homogen ist. In diesem Fall sagt man, dass das Polynom am entsprechenden Punkt von P verschwindet. Das erlaubt, einen projektiven algebraischen Satz in P als der Satz V zu definieren (f..., f), wo ein begrenzter Satz von homogenen Polynomen {f..., f} verschwindet. Wie für affine algebraische Sätze gibt es eine Bijektion zwischen den projektiven algebraischen Sätzen und den reduzierten homogenen Idealen, die sie definieren. Die projektiven Varianten sind die projektiven algebraischen Sätze, deren Definieren des Ideales erst ist. Mit anderen Worten ist eine projektive Vielfalt ein projektiver algebraischer Satz, dessen homogener Koordinatenring ein integriertes Gebiet, der projektive Koordinatenring ist, der als der Quotient des abgestuften Rings oder der Polynome in n+1 Variablen durch das homogene (reduzierte) Ideal wird definiert, das die Vielfalt definiert. Jeder projektive algebraische Satz kann in eine begrenzte Vereinigung von projektiven Varianten einzigartig zersetzt werden.

Die einzigen regelmäßigen Funktionen, die richtig auf einer projektiven Vielfalt definiert werden können, sind die unveränderlichen Funktionen. So wird dieser Begriff in projektiven Situationen nicht verwendet. Andererseits sind das Feld der vernünftigen Funktionen oder Funktionsfeld ein nützlicher Begriff, der, ähnlich als im affine Fall, als der Satz der Quotienten von zwei homogenen Elementen desselben Grads im homogenen Koordinatenring definiert wird.

Echte algebraische Geometrie

Die echte algebraische Geometrie ist die Studie der echten Punkte der algebraischen Geometrie.

Die Tatsache, dass das Feld der reals Zahl ein bestelltes Feld ist, kann nicht occulted in solch einer Studie sein. Zum Beispiel ist die Kurve der Gleichung ein Kreis, wenn, aber keinen echten Punkt wenn hat

Eines der schwierigen Probleme der echten algebraischen Geometrie ist das sechzehnte Problem des ungelösten Hilberts: Entscheiden Sie, welche jeweilige Positionen für die Ovale einer nicht einzigartigen Flugzeug-Kurve des Grads 8 möglich sind.

Rechenbetonte algebraische Geometrie

Man kann auf den Ursprung der rechenbetonten algebraischen Geometrie zum Treffen mit EUROSAM '79 (Internationales Symposium auf der Symbolischen und Algebraischen Manipulation) gehalten an Marseilles, Frankreich im Juni 1979 datieren. Auf dieser Sitzung,

• Dennis S. Arnon hat gezeigt, dass die Zylindrische Algebraische Zergliederung (CAD) von George E. Collins erlaubt, die Topologie der halbalgebraischen Sätze, zu schätzen
• Bruno Buchberger hat die Basen von Gröbner und seinen Algorithmus präsentiert, um sie, zu schätzen
• Daniel Lazard hat einen neuen Algorithmus präsentiert, um Systeme von homogenen polynomischen Gleichungen mit einer rechenbetonten Kompliziertheit zu lösen, die im Wesentlichen Polynom in der erwarteten Zahl von Lösungen und so einfach Exponential-in der Zahl des unknowns ist. Dieser Algorithmus ist stark mit dem multivariate Endergebnis von Macaulay verbunden.

Seit ihnen laufen die meisten auf dieses Gebiet hinaus sind mit ein oder mehrere dieser Sachen entweder durch das Verwenden oder die Besserung von einem dieser Algorithmen, oder durch die Entdeckung von Algorithmen verbunden, deren Kompliziertheit einfach in der Zahl der Variablen Exponential-ist.

Basis von Gröbner

Eine Gröbner Basis ist ein System von Generatoren eines polynomischen Ideales, dessen Berechnung erlaubt, viele Eigenschaften der affine algebraischen durch das Ideal definierten Vielfalt abzuleiten.

In Anbetracht eines Ideales ich, einen algebraischen Satz V definierend:

• V ist leer (über eine algebraisch geschlossene Erweiterung des Basisfeldes), wenn, und nur wenn die Basis von Gröbner für jedes Monom, das bestellt, auf {1} reduziert wird.
• Durch bösartige von der Reihe von Hilbert kann man die Dimension und den Grad V von jeder Basis von Gröbner von mir für eine Monom-Einrichtung schätzen, die den Gesamtgrad raffiniert.
• Wenn die Dimension V 0 ist, kann man die Punkte (begrenzt in der Zahl) von V von jeder Basis von Gröbner von mir schätzen (sieh Systeme von polynomischen Gleichungen.
• Eine Gröbner Basisberechnung erlaubt, von V allen nicht zu vereinfachenden Bestandteilen umzuziehen, die in einer gegebenen Hyper-Oberfläche enthalten werden.
• Eine Gröbner Basisberechnung erlaubt zu rechnen der Verschluss von Zariski des Images V durch den Vorsprung auf dem k koordiniert zuerst, und die Teilmenge des Images, wo der Vorsprung nicht richtig ist.
• Mehr allgemein erlaubt Basisberechnung von Gröbner, den Verschluss von Zariski des Images und die kritischen Punkte einer vernünftigen Funktion V in eine andere affine Vielfalt zu schätzen.

Basisberechnung von Gröbner erlaubt nicht, direkt die primäre Zergliederung von mir noch den Hauptidealen zu schätzen, die die nicht zu vereinfachenden Bestandteile V definieren, aber die meisten Algorithmen dafür schließen Basisberechnung von Gröbner ein. Die Algorithmen, die auf Basen von Gröbner nicht basieren, verwenden regelmäßige Ketten, aber können Basen von Gröbner in einigen außergewöhnlichen Situationen brauchen.

Wie man

hält, ist Basis von Gröbner schwierig zu rechnen. Tatsächlich können sie, im Grenzfall, Polynome enthalten, deren Grad in der Zahl von Variablen und mehreren Polynomen doppelt Exponential-ist, der auch doppelt Exponential-ist. Jedoch ist das nur eine Grenzfall-Kompliziertheit, und die des Algorithmus von Lazard von 1979 gebundene Kompliziertheit kann oft gelten. Der F4 von Faugère und F5 Algorithmen begreifen diese Kompliziertheit, weil F5 Algorithmus als eine Verbesserung des 1979-Algorithmus von Lazard angesehen werden kann. Hieraus folgt dass die besten Durchführungen erlauben, fast alltäglich mit algebraischen Sätzen des Grads mehr als 100 zu schätzen. Das bedeutet, dass, jetzt, die Schwierigkeit, eine Basis von Gröbner zu schätzen, stark mit der inneren Schwierigkeit des Problems verbunden ist.

Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD)

CAD ist ein Algorithmus, der 1973 von G. Collins eingeführt worden ist, um mit einem annehmbaren Kompliziertheitslehrsatz von Tarski auf der quantifier Beseitigung über die reellen Zahlen durchzuführen.

Dieser Lehrsatz betrifft die Formeln der Logik der ersten Ordnung, deren Atomformeln polynomische Gleichheiten oder Ungleichheit zwischen Polynomen mit echten Koeffizienten sind. Diese Formeln sind so die Formeln, die von den Atomformeln von den logischen Maschinenbedienern und (dem ) oder (dem ), nicht (¬), für ganzen () gebaut werden können und () bestehen. Der Lehrsatz von Tarsky behauptet, dass, von solch einer Formel, man eine gleichwertige Formel ohne quantifier (, ) schätzen kann.

Die Kompliziertheit des CAD ist in der Zahl von Variablen doppelt Exponential-. Das bedeutet, dass CAD in der Theorie erlaubt, jedes Problem der echten algebraischen Geometrie zu beheben, die durch solch eine Formel ausgedrückt werden kann, die fast jedes Problem bezüglich ausführlich gegebener Varianten und halbalgebraischer Sätze ist.

Während Gröbner Basisberechnung doppelt Exponentialkompliziertheit nur in seltenen Fällen hat, hat CAD fast immer diese hohe Kompliziertheit. Das deutet an, dass, wenn, wenn die meisten Polynome, die im Eingang erscheinen, geradlinig sind, es Probleme mit mehr als vier Variablen nicht beheben kann.

Seit 1973 wird der grösste Teil der Forschung über dieses Thema gewidmet, entweder um CAD zu verbessern oder abwechselnde Algorithmen in speziellen Fällen vom allgemeinen Interesse zu finden.

Als ein Beispiel des Staates der Kunst gibt es effiziente Algorithmen, um mindestens einen Punkt in jedem verbundenen Bestandteil eines halbalgebraischen Satzes zu finden, und so zu prüfen, wenn ein halbalgebraischer Satz leer ist. Andererseits ist CAD noch, in der Praxis, der beste Algorithmus, um die Zahl von verbundenen Bestandteilen aufzuzählen.

Asymptotische Kompliziertheit gegen die praktische Leistungsfähigkeit

Die grundlegenden allgemeinen Algorithmen der rechenbetonten Geometrie haben eine doppelte Exponentialgrenzfall-Kompliziertheit. Genauer, wenn d der maximale Grad der Eingangspolynome und n die Zahl von Variablen ist, ist ihre Kompliziertheit höchstens für einen unveränderlichen c, und für einige Eingänge, die Kompliziertheit ist mindestens für einen anderen unveränderlichen c .

Während der letzten 20 Jahre des 20. Jahrhunderts sind verschiedene Algorithmen eingeführt worden, um spezifische Teilprobleme mit einer besseren Kompliziertheit zu lösen. Die meisten dieser Algorithmen haben eine Kompliziertheit.

Unter diesen Algorithmen, die ein U-Boot-Problem der durch Basen von Gröbner behobenen Probleme beheben, kann man Prüfung zitieren, wenn eine affine Vielfalt leer und nicht homogene polynomische Systeme lösend ist, die eine begrenzte Zahl von Lösungen haben. Solche Algorithmen werden selten durchgeführt, weil, auf dem grössten Teil von Einträge-F4 von Faugère und F5 Algorithmen eine bessere praktische Leistungsfähigkeit und wahrscheinlich eine ähnliche oder bessere Kompliziertheit haben (wahrscheinlich, weil die Einschätzung der Kompliziertheit von Basisalgorithmen von Gröbner auf einer besonderen Klasse von Einträgen eine schwierige Aufgabe ist, die hat, nur in wenigen speziellen Fällen getan werden).

Die Hauptalgorithmen der echten algebraischen Geometrie, die ein durch das CAD gelöstes Problem beheben, sind mit der Topologie von halbalgebraischen Sätzen verbunden. Man kann das Zählen der Zahl von verbundenen Bestandteilen, Prüfung zitieren, wenn zwei Punkte in denselben Bestandteilen oder Computerwissenschaft einer Schichtung von Whitney eines echten algebraischen Satzes sind. Sie haben eine Kompliziertheit von

, aber die durch die O Notation beteiligte Konstante ist so hoch, dass das Verwenden von ihnen, um irgendwelchen nicht triviales durch das CAD effektiv behobenes Problem zu lösen, unmöglich ist, selbst wenn man die ganze vorhandene Rechenmacht in der Welt verwenden konnte. Deshalb sind diese Algorithmen nie durchgeführt worden, und das ist ein aktives Forschungsgebiet, um nach Algorithmen damit zu suchen, haben zusammen eine gute asymptotische Kompliziertheit und eine gute praktische Leistungsfähigkeit.

Abstrakter moderner Gesichtspunkt

Die modernen Annäherungen an die algebraische Geometrie definieren wieder und erweitern effektiv die Reihe von grundlegenden Gegenständen in verschiedenen Niveaus der Allgemeinheit zu Schemas, formellen Schemas, Ind-Schemas, algebraischen Räumen, algebraische Stapel und so weiter. Das Bedürfnis danach entsteht bereits aus den nützlichen Ideen innerhalb der Theorie von Varianten, z.B können die formellen Funktionen von Zariski durch das Einführen nilpotent von Elementen in Struktur-Ringen angepasst werden; das Betrachten von Räumen von Schleifen und Kreisbogen, das Konstruieren von Quotienten durch Gruppenhandlungen und das Entwickeln formellen Bodens für die natürliche Kreuzungstheorie und Deformierungstheorie führen zu einigen der weiteren Erweiterungen.

Am bemerkenswertesten, gegen Ende der 1950er Jahre, wurden algebraische Varianten ins Konzept von Alexander Grothendieck eines Schemas untergeordnet. Ihre lokalen Gegenstände sind affine Schemas oder Hauptspektren, die lokal gerungene Räume sind, die eine Kategorie bilden, die zur Kategorie von Ersatzunital-Ringen antigleichwertig ist, die Dualität zwischen der Kategorie von affine algebraischen Varianten über ein Feld k und der Kategorie begrenzt erzeugter reduzierter K-Algebra erweiternd. Das Kleben ist entlang der Topologie von Zariski; man kann innerhalb der Kategorie lokal beringter Räume, sondern auch mit dem Einbetten von Yoneda innerhalb der abstrakteren Kategorie von Vorbündeln von Sätzen über die Kategorie von affine Schemas kleben. Die Topologie von Zariski im Satz theoretischer Sinn wird dann durch eine Topologie von Zariski im Sinne der Topologie von Grothendieck ersetzt. Grothendieck hat Topologien von Grothendieck eingeführt, die exotischere, aber geometrisch feinere und empfindlichere Beispiele im Sinn haben als das Rohöl Topologie von Zariski, nämlich die étale Topologie und die zwei Wohnung Topologien von Grothendieck: ffpf und fpqc; heutzutage sind einige andere Beispiele prominent einschließlich der Topologie von Nisnevich geworden. Bündel können außerdem zu Stapeln im Sinne Grothendiecks, gewöhnlich mit einigen zusätzlichen representability Bedingungen führend zu Stapeln von Artin und, noch feiner, Deligne-Mumford Stapeln verallgemeinert werden, beide haben häufig algebraische Stapel genannt.

Manchmal ersetzen andere algebraische Seiten die Kategorie von affine Schemas. Zum Beispiel hat Nikolai Durov auswechselbaren algebraischen monads als eine Generalisation von lokalen Gegenständen in einer verallgemeinerten algebraischen Geometrie eingeführt. Versionen einer tropischen Geometrie, einer absoluten Geometrie über ein Feld eines Elements und eine algebraische Entsprechung der Geometrie von Arakelov wurden in dieser Einstellung begriffen.

Eine andere formelle Generalisation ist zur Universalen algebraischen Geometrie möglich, in der jede Vielfalt der Algebra seine eigene algebraische Geometrie hat. Der Begriff Vielfalt der Algebra sollte mit der algebraischen Vielfalt nicht verwirrt sein.

Die Sprache von Schemas, Stapeln und Generalisationen hat sich erwiesen, eine wertvolle Weise zu sein, sich mit geometrischen Konzepten zu befassen, und ist Ecksteine der modernen algebraischen Geometrie geworden.

Algebraische Stapel können weiter verallgemeinert werden und für viele praktische Fragen wie Deformierungstheorie und Kreuzungstheorie, das ist häufig die natürlichste Annäherung. Man kann die Seite von Grothendieck von affine Schemas zu einer höheren kategorischen Seite von abgeleiteten affine Schemas erweitern, durch das Ersetzen der Ersatzringe durch eine Unendlichkeitskategorie des Differenzials hat Ersatzalgebra, oder simplicial Ersatzringe oder einer ähnlichen Kategorie mit einer passenden Variante einer Topologie von Grothendieck sortiert. Man kann auch Vorbündel von Sätzen durch Vorbündel von Simplicial-Sätzen (oder der Unendlichkeit groupoids) ersetzen. Dann in die Anwesenheit einer passenden homotopic Maschinerie kann man einen Begriff des abgeleiteten Stapels als solch ein Vorbündel auf der Unendlichkeitskategorie von abgeleiteten affine Schemas entwickeln, die satifsying bestimmte unendliche kategorische Version eines Bündel-Axioms ist (und, induktiv eine Folge von representability Bedingungen algebraisch zu sein). Musterkategorien von Quillen, Kategorien von Segal und Quasikategorien sind einige der meistenteils verwendeten Werkzeuge, um das zu formalisieren, die abgeleitete algebraische Geometrie nachgebend, die von der Schule von Carlos Simpson, einschließlich Andre Hirschowitz, Bertrand Toëns, Gabrielle Vezzosis, Michel Vaquiés und anderer eingeführt ist; und entwickelt weiter von Jacob Lurie, Bertrand Toën und Gabrielle Vezzosi. Eine andere (nichtauswechselbare) Version der abgeleiteten algebraischen Geometrie, das Verwenden von A-Unendlichkeitskategorien ist vom Anfang der 1990er Jahre von Maxim Kontsevich und Anhängern entwickelt worden.

Geschichte

Vorgeschichte: Vor dem 19. Jahrhundert

Einige der Wurzeln der algebraischen Geometrie gehen auf die Arbeit der hellenistischen Griechen aus dem 5. Jahrhundert v. Chr. zurück Das Delian Problem war zum Beispiel, eine Länge x zu bauen, so dass der Würfel der Seite x dasselbe Volumen wie der rechteckige Kasten ab für gegebene Seiten a und b enthalten hat. Menechmus (um 350 v. Chr.) hat das Problem geometrisch durch das Schneiden des Paares des Flugzeugs conics ja = x und xy = ab gedacht. Die spätere Arbeit, im 3. Jahrhundert v. Chr., Archimedes und Apollonius hat systematischer Probleme auf konischen Abteilungen studiert, und ist auch mit dem Gebrauch von Koordinaten verbunden gewesen. Die arabischen Mathematiker sind im Stande gewesen, durch bestimmte kubische Gleichungen des rein algebraischen Mittel zu lösen, und dann die Ergebnisse geometrisch zu interpretieren. Das wurde zum Beispiel von Ibn al-Haytham im 10. Jahrhundert n.Chr. getan. Nachher, persischer Mathematiker Omar Khayyám (geboren 1048 n. Chr.) entdeckt die allgemeine Methode, kubische Gleichungen durch das Schneiden einer Parabel mit einem Kreis zu lösen. Jede dieser frühen Entwicklungen in der algebraischen Geometrie hat sich mit Fragen der Entdeckung und des Beschreibens der Kreuzungen von algebraischen Kurven befasst.

Solche Techniken, geometrische Aufbauten auf algebraische Probleme anzuwenden, wurden auch von mehreren Renaissancemathematikern wie Gerolamo Cardano und Niccolò Fontana "Tartaglia" auf ihren Studien der kubischen Gleichung angenommen. Die geometrische Annäherung an Bauprobleme, aber nicht die algebraische, wurde durch den am meisten 16. und die Mathematiker des 17. Jahrhunderts, namentlich Blaise Pascal bevorzugt, der gegen den Gebrauch von algebraischen und analytischen Methoden in der Geometrie argumentiert hat. Die französischen Mathematiker Franciscus Vieta und später René Descartes und Pierre de Fermat haben die herkömmliche Denkart über Bauprobleme durch die Einführung der Koordinatengeometrie revolutioniert. Sie haben sich in erster Linie für die Eigenschaften von algebraischen Kurven, wie diejenigen interessiert, die durch Gleichungen von Diophantine (im Fall von Fermat), und die algebraische neue Darlegung der klassischen griechischen Arbeiten an conics und cubics (im Fall von Descartes) definiert sind.

Während derselben Periode haben sich Blaise Pascal und Gérard Desargues Geometrie von einer verschiedenen Perspektive genähert, die synthetischen Begriffe der projektiven Geometrie entwickelnd. Pascal und Desargues haben auch Kurven, aber aus dem rein geometrischen Gesichtspunkt studiert: das Analogon des griechischen Lineals und Kompass-Aufbaus. Schließlich hat die analytische Geometrie von Descartes und Fermat gewonnen, weil sie die Mathematiker des 18. Jahrhunderts mit konkreten quantitativen Werkzeugen versorgt hat, musste physische Probleme mit der neuen Rechnung von Newton und Leibniz studieren. Jedoch, am Ende des 18. Jahrhunderts, wurde der grösste Teil des algebraischen Charakters der Koordinatengeometrie durch die Rechnung von infinitesimals von Lagrange und Euler untergeordnet.

Neunzehnt und Anfang des 20. Jahrhunderts

Es hat die gleichzeitigen Entwicklungen des 19. Jahrhunderts der nicht-euklidischen Geometrie und Integrale von Abelian genommen, um die alten algebraischen Ideen in die geometrische Falte zurückzubringen. Die erste von diesen neuen Entwicklungen wurde von Edmond Laguerre und Arthur Cayley festgefressen, der versucht hat, die verallgemeinerten metrischen Eigenschaften des projektiven Raums festzustellen. Cayley hat die Idee von homogenen polynomischen Formen und mehr spezifisch quadratischen Formen auf dem projektiven Raum eingeführt. Nachher hat Felix Klein projektive Geometrie (zusammen mit anderen Sorten der Geometrie) aus dem Gesichtspunkt studiert, dass die Geometrie auf einem Raum in einer bestimmten Klasse von Transformationen auf dem Raum verschlüsselt wird. Am Ende des 19. Jahrhunderts studierten projektive geometers allgemeinere Arten von Transformationen auf Zahlen im projektiven Raum. Anstatt der projektiven geradlinigen Transformationen, die normalerweise als das Geben der grundsätzlichen Geometrie von Kleinian auf dem projektiven Raum betrachtet wurden, haben sie sich auch mit dem höheren Grad birational Transformationen beschäftigt. Dieser schwächere Begriff der Kongruenz würde später Mitglieder der italienischen Schule des 20. Jahrhunderts der algebraischen Geometrie dazu bringen, algebraische Oberflächen bis zum birational Isomorphismus zu klassifizieren.

Das zweite Anfang Entwicklung des 19. Jahrhunderts, dieses von Integralen von Abelian, würde Bernhard Riemann zur Entwicklung von Oberflächen von Riemann führen.

In derselben Periode hat den algebraization der algebraischen Geometrie durch die Ersatzalgebra begonnen. Die prominenten Ergebnisse in dieser Richtung sind der Basislehrsatz von David Hilbert ans Nullstellensatz, die die Basis der Verbindung zwischen der algebraischen Geometrie und Ersatzalgebra und dem multivariate Endergebnis von Francis Sowerby Macaulay sind, das die Basis der Beseitigungstheorie ist. Wahrscheinlich wegen der Größe der Berechnung, die durch das multivariate Endergebnis einbezogen wird, ist Beseitigungstheorie während der Mitte des 20. Jahrhunderts vorher vergessen worden, um durch die Eigenartigkeitstheorie und rechenbetonte algebraische Geometrie erneuert zu werden.

Das zwanzigste Jahrhundert

B. L. van der Waerden, Oskar Zariski und André Weil haben ein Fundament für die algebraische Geometrie entwickelt, die auf der zeitgenössischen Ersatzalgebra, einschließlich der Schätzungstheorie und der Theorie von Idealen gestützt ist. Eine der Absichten war dazu gibt ein strenges Fachwerk, für die Ergebnisse der italienischen Schule der algebraischen Geometrie zu beweisen. Insbesondere diese Schule hat systematisch den Begriff des allgemeinen Punkts ohne jede genaue Definition verwendet, die zuerst von diesen Autoren während der 1930er Jahre gegeben wurde.

In den 1950er Jahren und 1960er Jahren arbeiten Jean-Pierre Serre und Alexander Grothendieck die von der Bündel-Theorie Gebrauch machenden Fundamente um. Später, ungefähr von 1960, und größtenteils angeführt von Grothendieck, wurde die Idee von Schemas in Verbindung mit einem sehr raffinierten Apparat von homological Techniken ausgearbeitet. Nach einem Jahrzehnt der schnellen Entwicklung wurde das Feld stabilisiert in den 1970er Jahren, und neue Anwendungen gemacht, sowohl zur Zahlentheorie als auch zu mehr klassischen geometrischen Fragen auf algebraischen Varianten, Eigenartigkeiten und Modulen.

Eine wichtige Klasse von Varianten, nicht leicht verstanden direkt von ihren Definieren-Gleichungen, ist die abelian Varianten, die die projektiven Varianten sind, deren Punkte eine abelian Gruppe bilden. Die archetypischen Beispiele sind die elliptischen Kurven, die eine reiche Theorie haben. Sie waren im Beweis des letzten Lehrsatzes von Fermat instrumental und werden auch in der elliptischen Kurve-Geheimschrift verwendet.

In der Parallele mit der abstrakten Tendenz der algebraischen Geometrie, die mit allgemeinen Behauptungen über Varianten beschäftigt ist, sind Methoden für die wirksame Berechnung mit konkret gegebenen Varianten auch entwickelt worden, die zum neuen Gebiet der rechenbetonten algebraischen Geometrie führen. Eine der Gründungsmethoden dieses Gebiets ist die Theorie von Basen von Gröbner, die von Bruno Buchberger 1965 eingeführt sind. Eine andere Finanzierungsmethode, die mehr besonders der echten algebraischen Geometrie gewidmet ist, ist die zylindrische algebraische Zergliederung, die von George E. Collins 1973 eingeführt ist.

Anwendungen

Algebraische Geometrie findet jetzt Anwendung in Statistik, Steuerungstheorie, Robotertechnik, Fehlerkorrekturcodes, phylogenetics und dem geometrischen Modellieren. Es gibt auch Verbindungen, um Theorie, Spieltheorie, Graph matchings, solitons und Programmierung der ganzen Zahl zu spannen.

Siehe auch

• Algebraische Statistik
• Differenzialgeometrie
• Geometrische Algebra
• Wörterverzeichnis von archaischen Begriffen in der algebraischen Geometrie
• Kreuzungstheorie
• Wichtige Veröffentlichungen in der algebraischen Geometrie
• Liste von algebraischen Oberflächen
• Algebraische Nichtersatzgeometrie
• Algebraische Differenzialgeometrie
• Echte algebraische Geometrie

Referenzen

Ein klassisches Lehrbuch, Schemas zurückdatierend:

Moderne Lehrbücher, die die Sprache von Schemas nicht verwenden:

Lehrbücher in der rechenbetonten algebraischen Geometrie

Lehrbücher und Verweisungen für Schemas:

Im Internet:

• Kevin R. Coombes: Algebraische Geometrie: Ein Gesamthypertext Online-System. Im Aufbau; zurzeit des sehr beschränkten Gebrauches für selbst Studie.
• Algebraischer Geometrie-Zugang auf PlanetMath