In der Mathematik ist eine Ellipse (von Griechisch  elleipsis, ein "Zurückbleiben") eine Flugzeug-Kurve, die sich aus der Kreuzung eines Kegels durch ein Flugzeug in einem Weg ergibt, der eine geschlossene Kurve erzeugt. Kreise sind spezielle Fälle von Ellipsen, erhalten, wenn das Schneidflugzeug zur Achse des Kegels orthogonal ist. Eine Ellipse ist auch der geometrische Ort aller Punkte des Flugzeugs, dessen Entfernungen zu zwei festen Punkten zu derselben Konstante beitragen.

Ellipsen werden Kurven geschlossen und sind der begrenzte Fall der konischen Abteilungen, die Kurven, die sich aus der Kreuzung eines kreisförmigen Kegels und eines Flugzeugs ergeben, das seine Spitze nicht durchführt; die anderen zwei (offen und unbegrenzt) Fälle sind Parabeln und Hyperbeln. Ellipsen entstehen aus der Kreuzung eines richtigen kreisförmigen Zylinders mit einem Flugzeug, das zur Hauptachse des Zylinders der Symmetrie nicht parallel ist. Ellipsen entstehen auch als Images eines Kreises unter dem parallelen Vorsprung und den begrenzten Fällen des Perspektivevorsprungs, die einfach Kreuzungen des projektiven Kegels mit dem Flugzeug des Vorsprungs sind. Es ist auch die einfachste Zahl von Lissajous, gebildet, wenn das horizontale und die vertikalen Bewegungen sinusoids mit derselben Frequenz sind.

Elemente einer Ellipse

Eine Ellipse ist eine glatte geschlossene Kurve, die über seine horizontalen und vertikalen Äxte symmetrisch ist. Die Entfernung zwischen antipodischen Punkten auf der Ellipse oder Paare von Punkten, deren Mittelpunkt am Zentrum der Ellipse ist, ist entlang der Hauptachse oder dem Querdiameter und einem Minimum entlang der rechtwinkligen geringen Achse oder dem verbundenen Diameter maximal.

Die Halbhauptachse (angezeigt durch in der Zahl) und die halbgeringe Achse (angezeigt durch b in der Zahl) sind eine Hälfte der größeren und geringen Äxte beziehungsweise. Diese werden manchmal (besonders in technischen Feldern) die größeren und geringen Halbäxte, die größeren und geringen Halbäxte, oder den Hauptradius und den geringen Radius genannt.

Die Fokusse der Ellipse sind zwei spezielle Punkte F und F auf der Hauptachse der Ellipse und sind vom Zentrum-Punkt gleich weit entfernt. Die Summe der Entfernungen von jedem Punkt P auf der Ellipse zu jenen zwei Fokussen ist unveränderlich und der Hauptachse (PF + PF = 2a) gleich. Jeder dieser zwei Punkte wird einen Fokus der Ellipse genannt.

Beziehen Sie sich auf die niedrigere Abteilung von Directrix dieses Artikels für einen zweiten gleichwertigen Aufbau einer Ellipse.

Die Seltsamkeit einer Ellipse, die gewöhnlich durch ε oder e angezeigt ist, ist das Verhältnis der Entfernung zwischen den zwei Fokussen, zur Länge der Hauptachse oder e = 2f/2a = f/a. Für eine Ellipse ist die Seltsamkeit zwischen 0 und 1 (0

Die Entfernung ae von einem Brennpunkt bis das Zentrum wird die geradlinige Seltsamkeit der Ellipse (f = ae) genannt.

Zeichnung von Ellipsen

Methode der Nadeln-Und-Schnur

Die Charakterisierung einer Ellipse als der geometrische Ort von Punkten, so dass die Summe der Entfernungen zu den Fokussen unveränderlich ist, führt zu einer Methode, ein Verwenden von zwei Zeichnungsnadeln, einer Länge der Schnur und einem Bleistift zu ziehen. In dieser Methode werden Nadeln ins Papier an zwei Punkten gestoßen, die die Fokusse der Ellipse werden werden. Eine Schnur, die an jedem Ende zu den zwei Nadeln und dem Tipp eines Kugelschreibers gebunden ist, wird verwendet, um die gespannte Schleife zu ziehen, um ein Dreieck zu bilden. Der Tipp des Kugelschreibers wird dann eine Ellipse verfolgen, wenn es bewegt wird, während man die Schnur gespannt hält. Mit zwei Haken und einem Tau wird dieses Verfahren von Gärtnern traditionell verwendet, um ein elliptisches Blumenbeet zu entwerfen; so wird es die Ellipse des Gärtners genannt.

Andere Methoden

Eine Ellipse kann auch mit einem Lineal, einem Zeichenwinkel und einem Bleistift gezogen werden:

:Draw zwei Lotlinien M, N auf dem Papier; das werden die größeren und geringen Äxte der Ellipse sein. Drei Zeichen spitzen A, B, C auf dem Lineal an. A-> C die Länge der Hauptachse und B-> C die Länge der geringen Achse zu sein. Mit einer Hand, bewegen Sie das Lineal auf dem Papier, sich drehend und es gleiten lassend, um Punkt immer online N, und B auf der Linie M zu behalten. Mit der anderen Hand, behalten Sie den Tipp des Bleistifts auf dem Papier, im Anschluss an spitzen C des Lineals an. Der Tipp wird eine Ellipse verfolgen.

Das Netz von Archimedes oder ellipsograph ist ein mechanisches Gerät, das diesen Grundsatz durchführt. Das Lineal wird durch eine Stange mit einem Bleistift-Halter ersetzt (spitzen Sie C an) an einem Ende und zwei regulierbaren Seitennadeln (spitzt A und B an), dass Gleiten in zwei rechtwinklige Ablagefach-Kürzung in einen Metallteller. Der Mechanismus kann mit einem Router verwendet werden, um Ellipsen vom Vorstandsmaterial zu schneiden. Der Mechanismus wird auch in einem Spielzeug genannt "nichts Schleifer" verwendet.

Annäherungen an Ellipsen

Eine Ellipse der niedrigen Seltsamkeit kann vernünftig genau durch einen Kreis mit seinem Zentrum-Ausgleich vertreten werden. Mit Ausnahme von Quecksilber haben alle Planeten im Sonnensystem eine Bahn, deren sich geringe Achse von der Hauptachse durch die weniger als Hälfte von einem Prozent unterscheidet. Um die Bahn mit einem Paar von Kompassen zu ziehen, sollte das Zentrum des Kreises vom Fokus durch einen Betrag ausgeglichen werden, der der mit dem Radius multiplizierten Seltsamkeit gleich ist.

Mathematische Definitionen und Eigenschaften

In der Euklidischen Geometrie

Definition

In der Euklidischen Geometrie wird eine Ellipse gewöhnlich als der begrenzte Fall einer konischen Abteilung, oder als der Satz von solchen Punkten definiert, dass die Summe der Entfernungen zu zwei festen Punkten unveränderlich ist. Die Gleichwertigkeit dieser zwei Definitionen kann verwendend der Bereiche von Dandelin bewiesen werden.

Gleichungen

Die Gleichung einer Ellipse, deren größere und geringe Äxte mit den Kartesianischen Äxten zusammenfallen, ist

Fokus

Die Entfernung vom Zentrum C zu jedem Fokus ist f = ae, der in Bezug auf die größeren und geringen Radien ausgedrückt werden kann:

:

Seltsamkeit

Die Seltsamkeit der Ellipse (allgemein angezeigt entweder als e oder als) ist

:

= \sqrt {1-\left (\frac {b} {ein }\\Recht) ^2 }\

=f/a </Mathematik>

(wo wieder a und b eine Hälfte der größeren und geringen Äxte der Ellipse beziehungsweise sind, und f die im Brennpunkt stehende Entfernung ist), oder, wie ausgedrückt, in Begriffen mit dem flach werdenden Faktor

:

Wenn die Ellipse in der allgemeinen quadratischen Form ausgedrückt wird, wird seine Seltsamkeit durch diesen Ausdruck gegeben. Andere Ausdrücke für die Seltsamkeit werden hier gegeben.

Directrix

Jeder Fokus F der Ellipse wird mit einer Linienparallele zur geringen Achse genannt einen directrix vereinigt. Beziehen Sie sich auf die Illustration rechts. Die Entfernung von jedem Punkt P auf der Ellipse zum Fokus F ist ein unveränderlicher Bruchteil der rechtwinkligen Entfernung dieses Punkts zum directrix, der auf die Gleichheit, e=PF/PD hinausläuft. Das Verhältnis dieser zwei Entfernungen ist die Seltsamkeit der Ellipse. Dieses Eigentum (der verwendend der Bereiche von Dandelin bewiesen werden kann) kann als eine andere Definition der Ellipse genommen werden.

Außer dem wohl bekannten Verhältnis e=f/a ist es auch das e=a/d wahr.

Rundschreiben directrix

Die Ellipse kann auch als der Satz von Punkten definiert werden, die von einem Fokus und einem besonderen Kreis, dem directrix Kreis gleich weit entfernt sind, der auf den anderen Fokus in den Mittelpunkt gestellt wird. Der Radius des directrix Kreises ist größer als die Entfernung zwischen dem Zentrum dieses Kreises und dem Fokus; so ist der Fokus innerhalb des directrix Kreises, wie die komplette Ellipse ist.

Ellipse als hypotrochoid

Die Ellipse ist ein spezieller Fall des hypotrochoid wenn R = 2r.

Gebiet

Das durch eine Ellipse eingeschlossene Gebiet ist πab, wo a und b eine Hälfte der größeren und geringen Äxte der Ellipse beziehungsweise sind.

Wenn die Ellipse durch die implizite Gleichung gegeben wird, dann ist das Gebiet.

Kreisumfang

Der Kreisumfang einer Ellipse ist:

:

wo wieder e die Seltsamkeit ist, und wo die Funktion das ganze elliptische Integral der zweiten Art ist.

Die genaue unendliche Reihe ist:

:oder:

Zu rechenbetonten Zwecken wird durch eine viel schnellere Reihe, wo die Nenner an einer Rate verschwinden, gegeben:

:

C = \frac {8\pi} {Q^ {5/4} }\\sum_ {n=0} ^\\infty \frac {(\tfrac {1} {12}) _ {n} (\tfrac {5} {12}) _ {n} (v_ {1} +nv_ {2}) R^ {n}} {(n!) ^ {2} }\

</Mathematik>

::

r = \frac {432 (a^ {2}-b^ {2}) ^ {2} (a-b) ^ {6} ba} {Q^3}

</Mathematik>::

Q = b^ {4} +60ab^ {3} +134a^ {2} b^ {2} +60a^ {3} b+a^ {4 }\\,

</Mathematik>::

v_ {1} = ba (15b^ {4} +68ab^ {3} +90a^ {2} b^ {2} +68a^ {3} b+15a^ {4}) \,

</Mathematik>::

v_ {2} =-a^ {6}-b^ {6} +126ab^ {5} +1041a^ {2} b^ {4} +1764a^ {3} b^ {3} +1041a^ {4} b^ {2} +126a^ {5} b \,

</Mathematik>

Eine gute Annäherung ist Ramanujan:

:

und eine bessere Annäherung ist

:

Für den speziellen Fall, wo die geringe Achse Hälfte der Hauptachse ist, werden diese:

:

oder, als eine Schätzung der besseren Annäherung,

:

Mehr allgemein wird die Kreisbogen-Länge eines Teils des Kreisumfangs, als eine Funktion des entgegengesetzten Winkels, durch ein unvollständiges elliptisches Integral gegeben.

Die umgekehrte Funktion, der als eine Funktion der Kreisbogen-Länge entgegengesetzte Winkel, wird durch die elliptischen Funktionen gegeben.

Akkorde

Die Mittelpunkte von einer Reihe paralleler Akkorde einer Ellipse sind collinear.

In der projektiven Geometrie

In der projektiven Geometrie kann eine Ellipse als der Satz aller Punkte der Kreuzung zwischen entsprechenden Linien von zwei Bleistiften von Linien definiert werden, die durch eine projektive Karte verbunden sind. Durch die projektive Dualität kann eine Ellipse auch als der Umschlag aller Linien definiert werden, die entsprechende Punkte von zwei Linien verbinden, die durch eine projektive Karte verbunden sind.

Diese Definition erzeugt auch Hyperbeln und parabolae. Jedoch in der projektiven Geometrie ist jede konische Abteilung zu einer Ellipse gleichwertig. Eine Parabel ist eine Ellipse, die Tangente zur Linie an der Unendlichkeit Ω ist, und die Hyperbel eine Ellipse ist, die Ω durchquert.

Eine Ellipse ist auch das Ergebnis, einen Kreis, Bereich oder Ellipse in drei Dimensionen auf ein Flugzeug durch parallele Linien zu planen. Es ist auch das Ergebnis des konischen (perspektivischen) Vorsprungs von einigen jener geometrischen Gegenstände von einem Punkt O auf ein Flugzeug P, vorausgesetzt, dass das Flugzeug Q, der O durchgeht und zu P parallel ist, den Gegenstand nicht schneidet. Das Image einer Ellipse durch jede Affine-Karte ist eine Ellipse, und ist auch das Image einer Ellipse durch jede projektive Karte solche M, dass die Linie M (Ω) nicht berührt oder die Ellipse durchquert.

In der analytischen Geometrie

Allgemeine Ellipse

In der analytischen Geometrie wird die Ellipse als der Satz von Punkten des Kartesianischen Flugzeugs definiert, die, in nichtdegenerierten Fällen, die implizite Gleichung befriedigen

:

vorausgesetzt dass

Um die degenerierten Fälle vom nichtdegenerierten Fall zu unterscheiden, lassen Sie  die Determinante 3×3 Matrix [A, B/2, D/2 sein; B/2, C, E/2; D/2, E/2, F]: d. h.  = (AC - B/4) F + BETT/4 - CD/4 - AE/4. Dann ist die Ellipse eine nichtdegenerierte echte Ellipse wenn und nur wenn C 

Kanonische Form

Lassen. Durch eine richtige Wahl des Koordinatensystems kann die Ellipse durch die kanonische implizite Gleichung beschrieben werden

:

Hier sind die Punkt-Koordinaten im kanonischen System, dessen Ursprung das Zentrum der Ellipse ist, deren - Achse der Einheitsvektor ist, der mit der Hauptachse zusammenfällt, und dessen - Achse der rechtwinklige Vektor ist, der mit der geringen Achse zusammenfällt. D. h. und.

In diesem System ist das Zentrum der Ursprung, und die Fokusse sind und.

Jede Ellipse kann durch die Folge und Übersetzung einer kanonischen Ellipse mit den richtigen Halbdiametern erhalten werden. Die Übersetzung einer Ellipse, die daran in den Mittelpunkt gestellt ist, wird als ausgedrückt

:

Außerdem kann jede kanonische Ellipse durch das Schuppen des Einheitskreises dessen erhalten, durch die Gleichung definiert werden

:

durch Faktoren a und b entlang den zwei Äxten.

Für eine Ellipse in der kanonischen Form haben wir

:

Die Entfernungen von einem Punkt auf der Ellipse dem verlassenen und den richtigen Fokussen sind und beziehungsweise.

In der Trigonometrie

Allgemeine parametrische Form

Eine Ellipse in der allgemeinen Position kann parametrisch als der Pfad eines Punkts, wo ausgedrückt werden

::

als der Parameter ändert sich t von 0 bis 2π. Hier ist das Zentrum der Ellipse, und ist der Winkel zwischen - Achse und die Hauptachse der Ellipse.

Parametrische Form in der kanonischen Position

Für eine Ellipse in der kanonischen Position (Zentrum am Ursprung, der Hauptachse entlang der X-Achse), vereinfacht die Gleichung zu

::

Bemerken Sie, dass der Parameter t (hat die exzentrische Anomalie in der Astronomie genannt), nicht der Winkel mit der X-Achse ist.

Formeln, die einen tangentialen Winkel, den Winkel verbinden, der am Zentrum der Ellipse verankert ist (genannt auch der polare Winkel vom Ellipse-Zentrum) und der parametrische Winkel t sind:

:::

Polare Form hinsichtlich des Zentrums

In Polarkoordinaten, mit dem Ursprung am Zentrum der Ellipse und mit der winkeligen von der Hauptachse gemessenen Koordinate, ist die Gleichung der Ellipse

:

Polare Form hinsichtlich des Fokus

Wenn stattdessen wir Polarkoordinaten mit dem Ursprung an einem Fokus mit der winkeligen von der Hauptachse noch gemessenen Koordinate verwenden, ist die Gleichung der Ellipse

:

wo das Zeichen im Nenner negativ ist, wenn die Bezugsrichtung zum Zentrum (wie illustriert, rechts), und positiv hinweist, wenn diese Richtung weg vom Zentrum hinweist.

Im ein bisschen allgemeineren Fall einer Ellipse mit einem Fokus am Ursprung und dem anderen Fokus an der winkeligen Koordinate ist die polare Form

:

Der Winkel in diesen Formeln wird die wahre Anomalie des Punkts genannt. Der Zähler dieser Formeln ist der semi-latus Mastdarm der Ellipse, gewöhnlich angezeigt. Es ist die Entfernung von einem Fokus der Ellipse zur Ellipse selbst, gemessen entlang einer Liniensenkrechte zur Hauptachse.

Allgemeine polare Form

Die folgende Gleichung auf den Polarkoordinaten (r, θ) beschreibt eine allgemeine Ellipse mit Halbdiametern a und b, der an einem Punkt (r, θ), mit eine Achse in den Mittelpunkt gestellt ist, die durch φ hinsichtlich der polaren Achse rotieren gelassen ist:

:wo:

\right) + \left (a^2+b^2\right) \cos \left (\theta-\theta_0\right) \right] </Mathematik>

::

Winkelige Seltsamkeit

Die winkelige Seltsamkeit ist der Winkel, dessen Sinus die Seltsamkeit e ist; das, ist

:

Grade der Freiheit

Eine Ellipse im Flugzeug hat fünf Grade der Freiheit (dasselbe als eine allgemeine konische Abteilung), seine Position, Orientierung, Gestalt und Skala definierend. Im Vergleich haben Kreise nur drei Grade der Freiheit (Position und Skala), während parabolae vier haben. Gesagt ein anderer Weg, der Satz aller Ellipsen im Flugzeug, mit irgendwelchem natürlich metrisch (wie die Entfernung von Hausdorff) ist eine fünfdimensionale Sammelleitung. Diese Grade können mit, zum Beispiel, die Koeffizienten A, B, C, D, E der impliziten Gleichung, oder mit den Koeffizienten X, Y, φ, a, b der allgemeinen parametrischen Form identifiziert werden.

Ellipsen in der Physik

Elliptische Reflektoren und Akustik

Wenn die Oberfläche von Wasser an einem Fokus einer elliptischen Wasserzisterne, die kreisförmigen durch diese Störung geschaffenen Wellen gestört wird, durch die Wände widerspiegelt, gleichzeitig zu einem einzelnen Punkt - der zweite Fokus zusammenlaufen wird. Das ist eine Folge der Gesamtreiselänge, die dasselbe entlang jedem wanddrängenden Pfad zwischen den zwei Fokussen ist.

Ähnlich, wenn eine leichte Quelle an einem Fokus eines elliptischen Spiegels gelegt wird, werden alle leichten Strahlen auf dem Flugzeug der Ellipse zum zweiten Fokus widerspiegelt. Da keine andere glatte Kurve solch ein Eigentum hat, kann sie als eine alternative Definition einer Ellipse verwendet werden. (Im speziellen Fall eines Kreises mit einer Quelle an seinem Zentrum würde das ganze Licht zurück zum Zentrum widerspiegelt.), Wenn die Ellipse entlang seiner Hauptachse rotieren gelassen wird, um einen ellipsenförmigen Spiegel (spezifisch, ein pro-spätes Sphäroid) zu erzeugen, wird dieses Eigentum für alle Strahlen aus der Quelle halten. Wechselweise kann ein zylindrischer Spiegel mit dem elliptischen Querschnitt verwendet werden, um Licht von einer geradlinigen Leuchtstofflampe entlang einer Linie des Papiers einzustellen; solche Spiegel werden in einigen Dokumentenscannern verwendet.

Schallwellen werden auf eine ähnliche Weise widerspiegelt, so in einem großen elliptischen Zimmer kann eine Person, die sich auf einen Fokus beläuft, ein Person-Stehen am anderen Fokus bemerkenswert gut hören. Die Wirkung ist unter einem gewölbten als eine Abteilung eines pro-späten Sphäroids gestalteten Dach noch offensichtlicher. Solch ein Zimmer wird einen Flüstern-Raum genannt. Dieselbe Wirkung kann mit zwei wie die Endkappen solch eines Sphäroids gestalteten Reflektoren demonstriert werden, hat Einfassungen einander in der richtigen Entfernung gelegt. Beispiele sind der Nationale Bildhauersaal am USA-Kapitol (wo, wie man sagt, John Quincy Adams dieses Eigentum verwendet hat, um politische Sachen zu lauschen), auf einem Ausstellungsstück auf dem Ton am Museum der Wissenschaft und Industrie in Chicago, vor der Universität Illinois am Urbana-Champaign Foellinger Auditorium, und auch an einem Seitenraum des Palasts von Charles V, in Alhambra.

Planetarische Bahnen

Im 17. Jahrhundert hat Johannes Kepler entdeckt, dass die Bahnen, entlang denen die Planeten um die Sonne reisen, Ellipsen mit der Sonne an einem Fokus in seinem ersten Gesetz der planetarischen Bewegung sind. Später hat Isaac Newton das als eine Folgeerscheinung seines Gesetzes der universalen Schwerkraft erklärt.

Mehr allgemein, im Gravitationszwei-Körper-Problem, wenn die zwei Körper zu einander gebunden werden (d. h. ist die Gesamtenergie negativ), sind ihre Bahnen ähnliche Ellipsen mit dem allgemeinen barycenter einer der Fokusse jeder Ellipse zu sein. Der andere Fokus jeder Ellipse hat keine bekannte physische Bedeutung. Interessanterweise ist die Bahn jedes Körpers im Bezugsrahmen vom anderen auch eine Ellipse mit dem anderen Körper an einem Fokus.

Elliptische Bahnen von Keplerian sind das Ergebnis jeder radial geleiteten Anziehungskraft-Kraft, deren Kraft zum Quadrat der Entfernung umgekehrt proportional ist. So, im Prinzip, würde die Bewegung von zwei entgegengesetzt beladenen Partikeln im leeren Raum auch eine Ellipse sein. (Jedoch ignoriert dieser Beschluss Verluste wegen der elektromagnetischen Radiation und Quant-Effekten, die bedeutend werden, wenn sich die Partikeln mit der hohen Geschwindigkeit bewegen.)

Für elliptische Bahnen, nützliche Beziehungen, die die Seltsamkeit einschließen, sind:

wo:

• ist Radius an apoapsis (d. h., die weiteste Entfernung).
• ist Radius an periapsis (die nächste Entfernung).
• ist die Länge der Halbhauptachse.

Außerdem ist die Halbhauptachse die Arithmetik, die dessen bösartig ist, und, oder, und die halbgeringe Achse ist das geometrische Mittel und, oder.

Auch der semi-latus Mastdarm (die Entfernung von einem Fokus bis einen Punkt auf der Ellipse entlang einer Linienparallele zur geringen Achse) ist die Harmonische, die bösartig ist und, oder.

Harmonische Oszillatoren

Die allgemeine Lösung für einen harmonischen Oszillator in zwei oder mehr Dimensionen ist auch eine Ellipse. Solcher ist zum Beispiel eines langen Pendels der Fall, das in zwei Dimensionen bewegungsfrei ist; einer Masse, die einem festen Punkt vor einem vollkommen elastischen Frühling beigefügt ist; oder jedes Gegenstands, der sich unter dem Einfluss einer attraktiven Kraft bewegt, die zu seiner Entfernung von einem festen attractor direkt proportional ist. Verschieden von Keplerian Bahnen, jedoch, haben diese "harmonischen Bahnen" das Zentrum der Anziehungskraft am geometrischen Zentrum der Ellipse, und haben ziemlich einfache Gleichungen der Bewegung.

Phase-Vergegenwärtigung

In der Elektronik kann die Verhältnisphase von zwei sinusförmigen Signalen durch die Fütterung von ihnen zu den vertikalen und horizontalen Eingängen eines Oszilloskops verglichen werden. Wenn die Anzeige eine Ellipse, aber nicht eine Gerade ist, sind die zwei Signale gegenphasig.

Elliptische Getriebe

Zwei nichtkreisförmige Getriebe mit demselben elliptischen Umriss, jeder, sich um einen Fokus und eingestellt am richtigen Winkel drehend, werden sich glatt drehen, während sie Kontakt zu jeder Zeit aufrechterhalten werden. Wechselweise können sie durch eine Verbindungskette oder Timing-Riemen verbunden werden, oder im Fall von einem Rad kann der wichtige chainring, oder ein eiförmiger ähnlicher einer Ellipse in der Form elliptisch sein. Solche elliptischen Getriebe können im Maschinenpark verwendet werden, um variable winkelige Geschwindigkeit oder Drehmoment von einer unveränderlichen Folge der Fahrachse, oder im Fall von einem Rad zu erzeugen, um eine unterschiedliche Kurbelfolge-Geschwindigkeit mit dem umgekehrten Verändern mechanischen Vorteils zu erlauben.

Elliptische Rad-Getriebe machen es leichter für die Kette, vom Zahn wenn Schalten zu gleiten.

Eine Beispiel-Zahnrad-Anwendung würde ein Gerät sein, das Winde auf eine konische Spule auf einer spinnenden Maschine einfädeln. Die Spule würde sich schneller winden müssen, wenn der Faden in der Nähe von der Spitze ist als, wenn es in der Nähe von der Basis ist.

Optik

In einem Material, das optisch anisotropic (birefringent) ist, hängt der Brechungsindex von der Richtung des Lichtes ab. Die Abhängigkeit kann durch ein Index-Ellipsoid beschrieben werden. (Wenn das Material optisch isotropisch ist, ist dieses Ellipsoid ein Bereich.)

Ellipsen in der Statistik und Finanz

In der Statistik wird ein zufälliger Vektor (X, Y) gemeinsam elliptisch verteilt, wenn seine Iso-Dichte die Umrisse zeichnet — sind geometrische Orte von gleichen Werten der Dichte-Funktion — Ellipsen. Das Konzept streckt sich bis zu eine beliebige Zahl von Elementen des zufälligen Vektoren aus, in welchem Fall im Allgemeinen die Iso-Dichte-Konturen Ellipsoide sind. Ein spezieller Fall ist die multivariate Normalverteilung. Der elliptische Vertrieb ist in der Finanz wichtig, weil, wenn Raten der Rückkehr auf dem Vermögen dann gemeinsam elliptisch verteilt werden, alle Mappen völlig durch ihr bösartiges und Abweichung charakterisiert werden können — d. h. haben irgendwelche zwei Mappen mit dem identischen bösartig und Abweichung der Mappe-Rückkehr identischen Vertrieb der Mappe-Rückkehr.

Ellipsen in der Computergrafik

Zeichnung einer Ellipse als ein Grafikprimitiver ist in Standardanzeigebibliotheken, wie der Macintosh API von QuickDraw und Direct2D auf Windows üblich. Jack Bresenham an IBM ist wegen der Erfindung von 2. Zeichnungsprimitiven einschließlich der Linie am berühmtesten, und Kreiszeichnung, mit nur schnelle Operationen der ganzen Zahl wie Hinzufügung und Zweig darauf trägt Bit. M. L. V. Pitteway hat den Algorithmus von Bresenham für Linien zu conics 1967 erweitert. Eine andere effiziente Generalisation, um Ellipsen zu ziehen, wurde 1984 von Jerry Van Aken (IEEE CG&A, September 1984) erfunden.

1970 hat Danny Cohen auf der "Computergrafik 1970" Konferenz in England einen geradlinigen Algorithmus präsentiert, um Ellipsen und Kreise zu ziehen. 1971 hat L. B. Smith ähnliche Algorithmen für alle konischen Abteilungen veröffentlicht und hat sie bewiesen, um gute Eigenschaften zu haben. Diese Algorithmen brauchen nur einige Multiplikationen und Hinzufügungen, um jeden Vektoren zu berechnen.

Es ist vorteilhaft, um eine parametrische Formulierung in der Computergrafik zu verwenden, weil die Dichte von Punkten am größten ist, wo es den grössten Teil der Krümmung gibt. So ist die Änderung im Hang zwischen jedem aufeinander folgenden Punkt klein, die offenbare "Zackigkeit" der Annäherung reduzierend.

Die Zeichnung mit Fugenbrett-Pfaden von Bezier

Vielfache Bezier Fugenbretter können auch verwendet werden, um eine Ellipse zur genügend Genauigkeit zu ziehen, da jede Ellipse als eine affine Transformation eines Kreises analysiert werden kann. Die Fugenbrett-Methoden, die verwendet sind, um einen Kreis zu ziehen, können verwendet werden, um eine Ellipse zu ziehen, da sich die konstituierenden Bezierkurven passend unter solchen Transformationen benehmen werden.

Liniensegment als ein Typ der degenerierten Ellipse

Ein Liniensegment ist eine degenerierte Ellipse mit der halbgeringen Achse = 0 und Seltsamkeit = 1, und mit den Brennpunkten an den Enden. Obwohl die Seltsamkeit 1 ist, ist das nicht eine Parabel. Eine radiale elliptische Schussbahn ist ein nichttrivialer spezieller Fall einer elliptischen Bahn, wo die Ellipse ein Liniensegment ist.

Ellipsen in der Optimierungstheorie

Es ist manchmal nützlich, die minimale begrenzende Ellipse auf einer Reihe von Punkten zu finden. Die Ellipsoid-Methode ist ziemlich nützlich, um dieses Problem anzugreifen

Siehe auch

• Apollonius von Perga, der klassischen Autorität
• Kartesianisches Oval, eine Generalisation der Ellipse
• Circumconic und inconic
• Konische Abteilung
• Ellipsoid, ein höheres dimensionales Analogon einer Ellipse
• Elliptische Koordinaten, ein orthogonales Koordinatensystem, das auf Familien von Ellipsen und Hyperbeln gestützt ist
• Elliptischer Vertrieb, in der Statistik
• Elliptische teilweise Differenzialgleichung
• Große Ellipse
• Hyperbel
• Die Gesetze von Kepler der planetarischen Bewegung
• Matrixdarstellung von konischen Abteilungen
• N-Ellipse, eine Generalisation der Ellipse für n Fokusse
• Ovaler
• Parabel
• Beweise, die die Ellipse einschließen
• Sphäroid, die erhaltenen Ellipsoide durch das Drehen einer Ellipse über seine größere oder geringe Achse.
• Superellipse, eine Generalisation einer Ellipse, die mehr rechteckig oder mehr "spitzer" schauen kann
• Stimmt, exzentrische und bösartige Anomalie
• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Grundlagen der Universitätsalgebra. 3. Ausgabe Scott Foresman/Little 1990. Internationale Standardbuchnummer 0-673-38638-4, Seite 381
• Coxeter, H. S. M.: Einführung in die Geometrie. 2. Hrsg. New York: Wiley, Seiten 115-119, 1969.
• Ellipse an Planetmath

Referenzen

Außenverbindungen

• Video: Wie man Ellipse zieht
• Die Abstammung von Apollonius der Ellipse an der Konvergenz
• Ellipse & Hyperbel-Aufbau - Zwei interaktive applets, die sich zeigen, wie man die Kurven der Ellipse und Hyperbel verfolgt. (Verlangt Java.)
• Die Gestalt und Geschichte der Ellipse in Washington, D.C. durch Clark Kimberling
• Sammlung von belebten Ellipse-Demonstrationen. Ellipse, Äxte, Halbäxte, Gebiet, Umfang, Tangente, Fokusse.