In der klassischen Mechanik ist ein harmonischer Oszillator ein System, das, wenn versetzt, von seiner Gleichgewicht-Position, eine Wiederherstellungskraft, F, proportional zur Versetzung, x erfährt:

:

wo k eine positive Konstante ist.

Wenn F die einzige Kraft ist, die dem System folgt, wird das System einen einfachen harmonischen Oszillator genannt, und es erlebt einfache harmonische Bewegung: Harmonische Oszillationen über den Gleichgewicht-Punkt, mit einem unveränderlichen Umfang und einer unveränderlichen Frequenz (der vom Umfang nicht abhängt).

Wenn eine Reibungskraft, die proportional zur Geschwindigkeit (befeuchtet), auch da ist, wird der harmonische Oszillator als ein gedämpfter Oszillator beschrieben. Abhängig vom Reibungskoeffizienten kann das System:

• Schwingen Sie mit einer Frequenz, die kleiner ist als im nichtgedämpften Fall und einem Umfang, der mit der Zeit (Oszillator mit geringer Dämpfung) abnimmt.
• Zerfall zur Gleichgewicht-Position, ohne Schwingungen (überbefeuchteter Oszillator).

Die Grenzlösung zwischen einem Oszillator mit geringer Dämpfung und einem übergedämpften Oszillator kommt an einem besonderen Wert des Reibungskoeffizienten vor und wird "kritisch befeuchtet" genannt.

Wenn eine Außenzeit-Abhängiger-Kraft da ist, wird der harmonische Oszillator als ein gesteuerter Oszillator beschrieben.

Mechanische Beispiele schließen pendula (mit kleinen Winkeln der Versetzung), Massen ein, die mit Frühlingen und akustischen Systemen verbunden sind. Andere analoge Systeme schließen elektrische harmonische Oszillatoren wie RLC-Stromkreise ein. Das harmonische Oszillator-Modell ist in der Physik sehr wichtig, weil jedes Massenthema einer Kraft im stabilen Gleichgewicht als ein harmonischer Oszillator für kleine Vibrationen handelt. Harmonische Oszillatoren kommen weit in der Natur vor und werden in vielen künstlichen Geräten, wie Uhren und Radiostromkreise ausgenutzt. Sie sind die Quelle eigentlich aller sinusförmigen Vibrationen und Wellen.

Einfacher harmonischer Oszillator

Ein einfacher harmonischer Oszillator ist ein Oszillator, der weder gesteuert noch befeuchtet wird. Es besteht aus einer MassenM, die eine einzelne Kraft, F erfährt, der die Masse in der Richtung auf den Punkt x=0 zieht und nur von der Position der Masse x und einem unveränderlichen k abhängt. Das zweite Gesetz des Newtons für das System ist

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Diese Differenzialgleichung lösend, finden wir, dass die Bewegung durch die Funktion beschrieben wird

:

wo

:

Die Bewegung ist — das Wiederholen von sich auf eine sinusförmige Mode mit dem unveränderlichen Umfang, A periodisch. Zusätzlich zu seinem Umfang wird die Bewegung eines einfachen harmonischen Oszillators vor seiner Periode T, der Zeit für eine einzelne Schwingung oder seine Frequenz f =, die Zahl von Zyklen pro Einheitszeit charakterisiert. Die Position zu einem festgelegten Zeitpunkt t hängt auch von der Phase, φ ab, der den Startpunkt auf der Sinus-Welle bestimmt. Die Periode und Frequenz werden durch die Größe der MassenM und der Kraft unveränderlicher k bestimmt, während der Umfang und die Phase durch die Startposition und Geschwindigkeit bestimmt werden.

Die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines einfachen harmonischen Oszillators schwingen mit derselben Frequenz wie die Position, aber mit ausgewechselten Phasen. Die Geschwindigkeit ist für die Nullversetzung maximal, während die Beschleunigung in der entgegengesetzten Richtung als die Versetzung ist.

Die potenzielle Energie, die in einem einfachen harmonischen Oszillator an der Position x versorgt ist, ist

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Gedämpfter harmonischer Oszillator

In echten Oszillatoren verlangsamt Reibung oder Dämpfung, die Bewegung des Systems. In vielen vibrierenden Systemen kann die Reibungskraft F als proportional seiend zur Geschwindigkeit v des Gegenstands modelliert werden: wo c den klebrigen Dämpfungskoeffizienten genannt wird.

Das zweite Gesetz des Newtons für gedämpfte harmonische Oszillatoren ist dann

:

Das wird in die Form umgeschrieben

:wo

: wird die 'ungedämpfte winkelige Frequenz des Oszillators' und genannt

: wird das 'Dämpfungsverhältnis' genannt.

Der Wert des Dämpfungsverhältnisses ζ bestimmt kritisch das Verhalten des Systems. Ein gedämpfter harmonischer Oszillator kann sein:

• Überbefeuchtet (ζ> 1): Der Systemumsatz (exponential Zerfall) zum Gleichgewicht ohne das Oszillieren. Größere Werte des Dämpfungsverhältnisses ζ kehren zum Gleichgewicht langsamer zurück.
• Kritisch befeuchtet (ζ = 1): Das System kehrt zum Gleichgewicht so schnell zurück wie möglich ohne das Oszillieren. Das wird häufig für die Dämpfung von Systemen wie Türen gewünscht.
• Mit geringer Dämpfung (ζ

Der Q Faktor eines gedämpften Oszillators wird als definiert

:

Q ist mit dem Dämpfungsverhältnis durch die Gleichung verbunden

Gesteuerte harmonische Oszillatoren

Gesteuerte harmonische Oszillatoren sind befeuchtete Oszillatoren, die weiter durch eine äußerlich angewandte Kraft F (t) betroffen sind.

Das zweite Gesetz des Newtons nimmt die Form an

:

Es wird gewöhnlich in die Form umgeschrieben

:

Diese Gleichung kann genau für jede treibende Kraft mit den Lösungen z (t) zur ungezwungenen Gleichung gelöst werden, die befriedigen

:

und der als befeuchtete harmonische Oszillationen, ausgedrückt werden kann

:

im Fall wo ζ  1. Der Umfang A und Phase φ beschließt, dass das Verhalten die anfänglichen Bedingungen vergleichen musste.

Schritt eingegeben

Im Fall ζ

die Lösung ist:

:

mit der Phase φ gegeben durch

:

Dieses Verhalten wird in (zum Beispiel) Feed-Back-Verstärkern gefunden, wo das Verstärker-Design angepasst wird, um die schnellste Schritt-Antwort zu erhalten, die ohne übermäßiges Überschwingen oder Unterschwingung und mit einer entsprechenden Stabilisierungszeit möglich ist.

Die Zeit, die ein Oszillator an geänderte Außenbedingungen anpassen muss, ist von der Ordnung τ = 1 / (ζω). In der Physik wird die Anpassung Entspannung genannt, und τ wird die Entspannungszeit genannt.

In der Elektrotechnik wird ein Vielfache von τ die Stabilisierungszeit, d. h. die Zeit genannt, die notwendig ist, um sicherzustellen, dass das Signal innerhalb einer festen Abfahrt vom Endwert normalerweise innerhalb von 10 % ist. Der Begriff Überschwingen bezieht sich auf das Ausmaß die maximale Antwort überschreitet Endwert, und Unterschwingung bezieht sich auf das Ausmaß die Antwort fällt unter dem Endwert seit Zeiten im Anschluss an die maximale Antwort.

Sinusförmige treibende Kraft

Im Fall von einer sinusförmigen treibenden Kraft:

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wo der Fahrumfang ist und die Fahrfrequenz für einen sinusförmigen Fahrmechanismus ist. Dieser Typ des Systems erscheint in AC gesteuerte RLC Stromkreise gesteuerte und (mit dem Widerstandmit dem Induktorkondensator)-Frühlingssysteme, die inneren mechanischen Widerstand oder Außenluftwiderstand haben.

Die allgemeine Lösung ist eine Summe einer vergänglichen Lösung, die von anfänglichen Bedingungen und einem unveränderlichen Staat abhängt, der von anfänglichen Bedingungen unabhängig ist und nur vom Fahrumfang abhängt, Frequenz, ungedämpfte winkelige Frequenz und das Dämpfungsverhältnis steuernd.

Die Steady-Statelösung ist zur treibenden Kraft mit einer veranlassten Phase-Änderung proportional:

:

wo

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ist der absolute Wert des Scheinwiderstands oder der geradlinigen Ansprechfunktion und

des:

ist die Phase der Schwingung hinsichtlich der treibenden Kraft.

Für ein besonderes Fahren hat Frequenz die Klangfülle oder Resonanzfrequenz genannt, der Umfang (für einen gegebenen) ist maximal. Diese Klangfülle-Wirkung kommt nur wenn vor

Die vergänglichen Lösungen sind dasselbe, weil das ungezwungene harmonischen Oszillator befeuchtet hat und vertreten Sie die Systemantwort auf andere Ereignisse, die vorher vorgekommen sind. Die vergänglichen Lösungen sterben normalerweise schnell genug aus, dass sie ignoriert werden können.

Parametrische Oszillatoren

Ein parametrischer Oszillator ist ein harmonischer Oszillator, dessen Rahmen rechtzeitig schwingen.

Ein vertrautes Beispiel sowohl der parametrischen als auch gesteuerten Schwingung spielt auf einem Schwingen. Das Schaukeln pumpt hin und her das Schwingen als ein gesteuerter harmonischer Oszillator, aber einmal das Bewegen, das Schwingen kann auch durch abwechselnd das Stehen parametrisch gesteuert werden und an Stichpunkten im Schwingen hockend. Das Verändern der Rahmen steuert das System. Beispiele von Rahmen, die geändert werden können, sind seine Klangfülle-Frequenz und Dämpfung.

Parametrische Oszillatoren werden in vielen Anwendungen verwendet. Der klassische varactor parametrische Oszillator schwingt, wenn die Kapazität der Diode regelmäßig geändert wird. Der Stromkreis, der die Kapazität der Diode ändert, wird die "Pumpe" oder "den Treiber" genannt. In der Mikrowellenelektronik hat waveguide/YAG parametrische Oszillatoren gestützt funktionieren auf dieselbe Mode. Der Entwerfer ändert einen Parameter regelmäßig, um Schwingungen zu veranlassen.

Parametrische Oszillatoren sind als rauscharme Verstärker besonders in der Radio- und Mikrowellenfrequenzreihe entwickelt worden. Thermalgeräusch ist minimal, da eine Reaktanz (nicht ein Widerstand) geändert wird. Eine andere übliche Anwendung ist Frequenzkonvertierung, z.B, Konvertierung vom Audio-bis Radiofrequenzen. Zum Beispiel wandelt der Optische parametrische Oszillator eine Eingangslaserwelle in zwei Produktionswellen der niedrigeren Frequenz um.

Parametrische Klangfülle kommt in einem mechanischen System vor, wenn ein System parametrisch aufgeregt ist und an einer seiner Resonanzfrequenzen schwingt. Parametrische Erregung unterscheidet sich vom Zwingen, da die Handlung als eine Zeit unterschiedliche Modifizierung auf einem Systemparameter erscheint. Diese Wirkung ist von der regelmäßigen Klangfülle verschieden, weil es das Instabilitätsphänomen ausstellt.

Universale Oszillator-Gleichung

Die Gleichung

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ist als die universale Oszillator-Gleichung seit der ganzen zweiten Ordnung bekannt geradlinige Schwingungssysteme können auf diese Form reduziert werden. Das wird durch nondimensionalization getan.

Wenn die Zwingen-Funktion f (t) = ist, weil (ωt) = weil (ωtτ) = weil (ωτ), wo ω = ωt, die Gleichung wird

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Die Lösung dieser Differenzialgleichung enthält zwei Teile, den "Übergangsprozeß" und den "unveränderlichen Staat".

Vergängliche Lösung

Die auf dem Lösen der gewöhnlichen Differenzialgleichung gestützte Lösung ist für willkürliche Konstanten c und c

Die vergängliche Lösung ist der Zwingen-Funktion unabhängig.

Steady-Statelösung

Wenden Sie die "komplizierte Variable-Methode" an, indem Sie die Hilfsgleichung unten lösen und dann den echten Teil seiner Lösung finden:

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Angenommen, dass die Lösung von der Form ist

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Seine Ableitungen von der Null bis 2. Ordnung sind

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Das Ersetzen dieser Mengen in die Differenzialgleichung gibt

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Das Teilen durch den Exponentialbegriff läuft links auf hinaus

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Gleichstellung der echten und imaginären Teile läuft auf zwei unabhängige Gleichungen hinaus

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Umfang-Teil

Quadrieren beide Gleichungen und das Hinzufügen von ihnen gibt zusammen

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Deshalb,

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Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der Theorie-Abteilung auf der Klangfülle, sowie den "Umfang-Teil" des RLC Stromkreises. Diese Umfang-Funktion ist in der Analyse und dem Verstehen der Frequenzantwort von Systemen der zweiten Ordnung besonders wichtig.

Phase-Teil

Um für φ zu lösen, teilen Sie beide Gleichungen, um zu bekommen

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Diese Phase-Funktion ist in der Analyse und dem Verstehen der Frequenzantwort von Systemen der zweiten Ordnung besonders wichtig.

Volle Lösung

Das Kombinieren des Umfangs und der Phase-Teile läuft auf die Steady-Statelösung hinaus

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Die Lösung der ursprünglichen universalen Oszillator-Gleichung ist eine Überlagerung (Summe) der vergänglichen und Steady-Statelösungen

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Für eine mehr ganze Beschreibung dessen, wie man die obengenannte Gleichung löst, sieh geradlinige ODEN mit unveränderlichen Koeffizienten.

Gleichwertige Systeme

Harmonische Oszillatoren, die in mehreren Gebieten der Technik vorkommen, sind im Sinn gleichwertig, dass ihre mathematischen Modelle identisch sind (sieh universale Oszillator-Gleichung oben). Unten ist ein Tisch, analoge Mengen in vier harmonischen Oszillator-Systemen in der Mechanik und Elektronik zeigend. Wenn analoge Rahmen auf derselben Linie im Tisch numerisch gleiche Werte, das Verhalten der Oszillatoren gegeben werden - sind ihre Produktionswellenform, Resonanzfrequenz, Faktor usw. befeuchtend - dasselbe.

Anwendung auf eine konservative Kraft

Das Problem des einfachen harmonischen Oszillators kommt oft in der Physik vor, weil sich eine Masse am Gleichgewicht unter dem Einfluss jeder konservativen Kraft, in der Grenze von kleinen Bewegungen, als ein einfacher harmonischer Oszillator benimmt.

Eine konservative Kraft ist diejenige, die eine potenzielle Energiefunktion hat. Die potenzielle Energiefunktion eines harmonischen Oszillators ist:

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In Anbetracht einer willkürlichen potenziellen Energiefunktion kann man eine Vergrößerung von Taylor in Bezug auf ungefähr ein Energieminimum tun, um das Verhalten von kleinen Unruhen vom Gleichgewicht zu modellieren.

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Weil ein Minimum ist, muss die erste Ableitung, die daran bewertet ist, Null sein, so steigt der geradlinige Begriff aus:

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Der unveränderliche Begriff V (x) ist willkürlich und kann so fallen gelassen sein, und eine Koordinatentransformation erlaubt der Form des einfachen harmonischen Oszillators, wiederbekommen zu werden:

:

So, in Anbetracht einer willkürlichen potenziellen Energiefunktion mit einer nichtverschwindenden zweiten Ableitung, kann man die Lösung des einfachen harmonischen Oszillators verwenden, um eine ungefähre Lösung für kleine Unruhen um den Gleichgewicht-Punkt zur Verfügung zu stellen.

Beispiele

Einfaches Pendel

Keine Dämpfung und kleine Umfänge annehmend, ist die Differenzialgleichung, ein einfaches Pendel regelnd

,:

Durch die Lösung dieser Gleichung wird gegeben:

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wo der größte durch das Pendel erreichte Winkel ist. Die Periode, die Zeit für eine ganze Schwingung, wird durch den geteilten dadurch gegeben, dass die Zeit mit dem Argument des Kosinus (hier) multipliziert.

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Pendel, das über den Plattenteller schwingt

Wie man

in einigen Fällen betrachten kann, ist einfache harmonische Bewegung der eindimensionale Vorsprung der zweidimensionalen kreisförmigen Bewegung. Denken Sie ein langes Pendel, das über den Plattenteller eines Rekordspielers schwingt. Am Rand des Plattentellers gibt es einen Gegenstand. Wenn der Gegenstand von demselben Niveau wie der Plattenteller angesehen wird, scheint ein Vorsprung der Bewegung des Gegenstands, sich umgekehrt und vorwärts auf einer Gerade zu bewegen, die zur Ansicht-Richtung sinusförmig wie das Pendel orthogonal ist.

Frühlingsmassensystem

Wenn ein Frühling gestreckt oder durch eine Masse zusammengepresst wird, entwickelt der Frühling eine Wiederherstellungskraft. Das Gesetz von Hooke gibt die Beziehung der vor dem Frühling ausgeübten Kraft, wenn der Frühling zusammengepresst wird oder eine bestimmte Länge gestreckt hat:

:

wo F die Kraft ist, ist k die Frühlingskonstante, und x ist die Versetzung der Masse in Bezug auf die Gleichgewicht-Position. Diese Beziehung zeigt, dass die Entfernung des Frühlings immer gegenüber der Kraft des Frühlings ist.

Durch das Verwenden, entweder Gleichgewicht oder eine Energiemethode zu zwingen, kann es sogleich gezeigt werden, dass die Bewegung dieses Systems durch die folgende Differenzialgleichung gegeben wird:

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... das zweite Gesetz des letzten zweifellos seienden Newtons der Bewegung.

Wenn die anfängliche Versetzung A ist, und es keine anfängliche Geschwindigkeit gibt, wird durch die Lösung dieser Gleichung gegeben:

:

In Anbetracht eines Ideales massless Frühling, ist die Masse auf dem Ende des Frühlings. Wenn der Frühling selbst Masse hat, muss seine wirksame Masse darin eingeschlossen werden.

Energieschwankung im frühlingsbefeuchtenden System

In Bezug auf die Energie haben alle Systeme zwei Typen der Energie, potenziellen Energie und kinetischen Energie. Wenn ein Frühling gestreckt oder zusammengepresst wird, versorgt er elastische potenzielle Energie, die dann in die kinetische Energie übertragen wird. Die potenzielle Energie innerhalb eines Frühlings wird durch die Gleichung bestimmt

Wenn der Frühling gestreckt oder zusammengepresst wird, wird die kinetische Energie der Masse in die potenzielle Energie des Frühlings umgewandelt. Durch die Bewahrung der Energie, die Gegebenheit annehmend, wird an der Gleichgewicht-Position definiert, wenn der Frühling seine maximale potenzielle Energie erreicht, ist die kinetische Energie der Masse Null. Wenn der Frühling veröffentlicht wird, versucht er, zum Gleichgewicht zurückzukehren, und seine ganze potenzielle Energie wandelt sich zur kinetischen Energie der Masse um.

Siehe auch

• Oszillator von Anharmonic
• Kritische Geschwindigkeit
• Wirksame Masse (Frühlingsmassensystem)
• Normale Weise
• Parametrischer Oszillator
• Q Faktor
• Quant harmonischer Oszillator
• Radialer harmonischer Oszillator

Referenzen

Links

• Harmonischer Oszillator aus dem Verwirrungshyperlehrbuch
• Java applet des harmonischen Oszillators mit der Dämpfung proportional zur Geschwindigkeit oder Dämpfung, die durch die trockene Reibung verursacht ist