In der Integralrechnung sind elliptische Integrale ursprünglich im Zusammenhang mit dem Problem entstanden, die Kreisbogen-Länge einer Ellipse zu geben. Sie wurden zuerst von Giulio Fagnano und Leonhard Euler studiert. Moderne Mathematik definiert ein "elliptisches Integral" als jede Funktion, die in der Form ausgedrückt werden kann

:

wo eine vernünftige Funktion seiner zwei Argumente ist, ein Polynom des Grads 3 oder 4 ohne wiederholte Wurzeln ist, und eine Konstante ist.

Im Allgemeinen können elliptische Integrale nicht in Bezug auf Elementarfunktionen ausgedrückt werden. Ausnahmen zu dieser allgemeinen Regel sind, als Wurzeln wiederholt hat, oder wenn keine sonderbaren Mächte dessen enthält. Jedoch, mit der passenden Verminderungsformel, kann jedes elliptische Integral in eine Form gebracht werden, die Integrale über vernünftige Funktionen und drei Legendre kanonische Formen (d. h. die elliptischen Integrale der ersten, zweiten und dritten Art) einschließt.

Außer der Form von Legendre, die unten gegeben ist, können die elliptischen Integrale auch in Carlson symmetrische Form ausgedrückt werden. Die zusätzliche Scharfsinnigkeit in die Theorie des elliptischen Integrals kann durch die Studie des Schwarz-Christoffel gewonnen werden, der kartografisch darstellt. Historisch wurden elliptische Funktionen als umgekehrte Funktionen von elliptischen Integralen entdeckt.

Argument-Notation

Elliptische Integrale sind eine Funktion von zwei Argumenten. Diese Argumente werden in einer Vielfalt von verschiedenen, aber völlig gleichwertigen Wegen ausgedrückt (sie geben dasselbe elliptische Integral). Die meisten Texte kleben an einem kanonischen Namengeben-Schema mit der folgenden Namengeben-Vereinbarung.

Um ein Argument auszudrücken:

• der Modulwinkel;

• das elliptische Modul oder die Seltsamkeit;

• der Parameter.

Jede der obengenannten drei Mengen wird durch einigen von anderen völlig bestimmt (vorausgesetzt, dass sie nichtnegativ sind). So können sie austauschbar verwendet werden.

Das andere Argument kann als, der Umfang, oder als ebenfalls ausgedrückt werden oder, wo und einer von Jacobian elliptische Funktionen ist.

Das Spezifizieren des Werts von irgendwelchen dieser Mengen bestimmt andere. Bemerken Sie, dass auch abhängt. Einige zusätzliche Beziehungen, die u einschließen, schließen ein

:.

Der Letztere wird manchmal den Delta-Umfang genannt und als geschrieben. Manchmal bezieht sich die Literatur auch auf den Ergänzungsparameter, das Ergänzungsmodul oder den Ergänzungsmodulwinkel. Diese werden weiter im Artikel über Viertel-Perioden definiert.

Unvollständiges elliptisches Integral der ersten Art

Das unvollständige elliptische Integral der ersten Art wird als definiert

:.

Das ist die trigonometrische Form des Integrals; das Ersetzen, man erhält die Form von Jacobi:

:.

Gleichwertig in Bezug auf den Umfang und Modulwinkel hat man:

:.

In unserer Notation, dem Gebrauch einer vertikalen Bar weil zeigt Begrenzungszeichen an, dass das Argument im Anschluss daran der "Parameter" ist (wie definiert, oben), während der umgekehrte Schrägstrich anzeigt, dass es der Modulwinkel ist. Der Gebrauch eines Strichpunkts deutet an, dass das Argument, das ihm vorangeht, der Sinus des Umfangs ist:

:.

Dieser potenziell verwirrende Gebrauch von verschiedenen Argument-Begrenzungszeichen ist in elliptischen Integralen traditionell, und viel von unserer Notation ist damit vereinbar, das im Nachschlagewerk durch Abramowitz und Stegun und das verwendet ist, das in den integrierten Tischen durch Gradshteyn und Ryzhik verwendet ist.

Mit hat man:

:;

so sind Jacobian elliptische Funktionen Gegenteile zu den elliptischen Integralen.

Varianten von Notational

Es gibt noch andere Vereinbarung für die Notation von elliptischen in der Literatur verwendeten Integralen. So wird auf die Notation mit ausgewechselten Argumenten auch häufig gestoßen; und ähnlich für das Integral der zweiten Art. Abramowitz und Stegun setzen das Integral der ersten Art für das Argument in ihrer Definition der Integrale der zweiten und dritten Arten ein, wenn diesem Argument von einem umgekehrten Schrägstrich nicht gefolgt wird: d. h. für unseren. Außerdem verwenden ihre ganzen Integrale den "Parameter" als Argument im Platz unseres Moduls, d. h. aber nicht. Und das Integral der dritten Art, die von Gradshteyn und Ryzhik definiert ist, stellt den Umfang zuerst und nicht die "Eigenschaft".

Unvollständiges elliptisches Integral der zweiten Art

Das unvollständige elliptische Integral der zweiten Art in der trigonometrischen Form ist

:.

Das Ersetzen, man erhält die Form von Jacobi:

:.

Gleichwertig, in Bezug auf den Umfang und Modulwinkel:

:.

Beziehungen mit Jacobi elliptische Funktionen schließen ein

:.

Unvollständiges elliptisches Integral der dritten Art

Das unvollständige elliptische Integral der dritten Art ist

:

\frac {d\theta} {\\sqrt {1-(\sin\theta\sin \alpha) ^2}} </Mathematik>, oder

:

\frac {dt} {\\sqrt {(1-m t^2) (1-t^2)}} </Mathematik>.

Die Zahl wird die Eigenschaft genannt und kann jeden Wert unabhängig von den anderen Argumenten übernehmen. Bemerken Sie, obwohl das der Wert, für irgendwelchen unendlich ist.

Eine Beziehung mit Jacobian elliptische Funktionen ist

:.

Vollenden Sie elliptisches Integral der ersten Art

Wie man

sagt, sind elliptische Integrale wenn der Umfang und deshalb 'abgeschlossen'. Das ganze elliptische Integral der ersten Art kann so als definiert werden

:

oder kompakter in Bezug auf das unvollständige Integral der ersten Art als

:.

Es kann als eine Macht-Reihe ausgedrückt werden

:

wo das Polynom von Legendre ist, das zu gleichwertig

ist:

wo den doppelten factorial anzeigt. In Bezug auf den Gauss hypergeometrische Funktion kann das ganze elliptische Integral der ersten Art als ausgedrückt werden

:.

Das ganze elliptische Integral der ersten Art wird manchmal die Viertel-Periode genannt. Es kann in Bezug auf das arithmetische geometrische Mittel geschätzt werden:

:.

Spezielle Werte

:::::

Beziehung zu Jacobi θ-function

Die Beziehung zur θ-Funktion von Jacobi wird durch gegeben

:

wo der nome q ist.

Asymptotische Ausdrücke

:

Diese Annäherung hat eine Verhältnispräzision besser als dafür