In der Mathematik, dem arithmetischen geometrischen Mittel (AGM) von zwei positiven reellen Zahlen und wird wie folgt definiert:

Schätzen Sie zuerst die Arithmetik, die dessen bösartig ist, und und nennen Sie sie. Schätzen Sie als nächstes das geometrische Mittel dessen und und nennen Sie es; das ist die Quadratwurzel des Produktes:

::.

Dann wiederholen Sie diese Operation mit der Einnahme des Platzes und Einnahme des Platzes dessen. Auf diese Weise werden zwei Folgen und definiert:

::

Diese zwei Folgen laufen zu derselben Zahl zusammen, die das arithmetische geometrische Mittel ist und; es wird durch, oder manchmal dadurch angezeigt.

Das kann zu algorithmischen Zwecken als in der AGM Methode verwendet werden.

Beispiel

Um das arithmetische geometrische Mittel dessen zu finden, und, berechnen Sie zuerst ihre Arithmetik bösartig und geometrisches Mittel so:

::

und dann wiederholen Sie wie folgt:

::

usw.

Die ersten vier Wiederholungen geben die folgenden Werte:

:

Das arithmetische geometrische Mittel 24 und 6 ist die allgemeine Grenze dieser zwei Folgen, die etwa 13.45817148173 ist.

Eigenschaften

Das geometrische Mittel von zwei positiven Zahlen ist nie größer als die bösartige Arithmetik (sieh Ungleichheit der Arithmetik und geometrischen Mittel); demzufolge, ist eine zunehmende Folge, ist eine abnehmende Folge, und. Das ist strenge Ungleichheit wenn.

ist so eine Zahl zwischen dem geometrischen und der Arithmetik, die bösartig ist und; insbesondere ist es zwischen und.

Wenn, dann.

Es gibt einen Ausdruck der integrierten Form für:

:

wo das ganze elliptische Integral der ersten Art ist:

:

Tatsächlich, da der arithmetisch-geometrische Prozess so schnell zusammenläuft, stellt er eine wirksame Weise zur Verfügung, elliptische Integrale über diese Formel zu schätzen.

Das Gegenstück des arithmetischen geometrischen Mittels 1 und der Quadratwurzel 2 wird die Konstante von Gauss genannt.

:

genannt nach Carl Friedrich Gauss.

Das geometrisch-harmonische bösartige kann durch eine analoge Methode mit Folgen der geometrischen und harmonischen Mittel berechnet werden. Das arithmetisch-harmonische bösartige kann ähnlich definiert werden, aber nimmt denselben Wert wie das geometrische Mittel.

Beweis der Existenz

Von der Ungleichheit der Arithmetik und geometrischen Mittel können wir dass beschließen:

:und so:

d. h. die Folge nimmt nichtab.

Außerdem ist es leicht zu sehen, dass es auch oben durch den größeren von und begrenzt wird (der aus der Tatsache folgt, dass sowohl Arithmetik als auch geometrische Mittel von zwei Zahlen beider zwischen ihnen liegen). So durch den Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatz ist die Folge konvergent, also dort besteht ein solcher dass:

:

Jedoch können wir auch dass sehen:

:

und so:

:

Q.E.D.

Beweis des Ausdrucks der integrierten Form

Der folgende Beweis verlässt sich auf die Arbeit von Carl Wilhelm Borchardt.

Anstatt x und y als Anfangswerte der Folgen und (wie verwendet, oben) zu verwenden, werden wir sie einfach und nennen

So

::

Es ist das offensichtlich

Wie oben erwähnt, wenn dann. Deshalb hält folgender Ausdruck:

:

Als nächstes definieren wir 4 neue Variablen:

::

Außerdem von (1) können wir die folgende Beziehung zwischen ableiten und:

::

Von (2) und (3) können wir das ableiten

::

Wenn wir (4) zum letzten Ausdruck vertreten und ihn damit multiplizieren, werden uns bekommen

Wenn wir

Ableitung an beiden Seiten nehmen werden, werden wir den folgenden Ausdruck bekommen:

:

Nach etwas elementarer Neuordnung kommen wir:

: