In der komplizierten Analyse ist eine elliptische Funktion eine Funktion, die auf dem komplizierten Flugzeug definiert ist, das in zwei Richtungen (eine doppelt periodische Funktion) periodisch ist und zur gleichen Zeit meromorphic ist. Historisch wurden elliptische Funktionen als umgekehrte Funktionen von elliptischen Integralen entdeckt; diese wurden der Reihe nach im Zusammenhang mit dem Problem der Kreisbogen-Länge einer Ellipse studiert, woher stammt der Name ab.

Definition

Formell ist eine elliptische Funktion eine Meromorphic-Funktion f definiert auf C, für den dort zwei komplexe Nichtnullzahlen a und b mit a/b nicht echt, solch dass bestehen

:f (z + a) = f (z + b) = f (z) für den ganzen z in C

wo auch immer f (z) definiert wird. Davon hieraus folgt dass

:f (z + ma + nb) = f (z) für den ganzen z in C und alle ganzen Zahlen M und n.

Es gibt zwei Methoden, 'kanonische' elliptische Funktionen zu bauen: diejenigen von Jacobi und Weierstrass. In der Theorie folgen moderne Autoren größtenteils Karl Weierstrass: Die Notationen der elliptischen Funktionen von Weierstrass, die auf seinem gestützt sind - Funktion ist günstig, und jede elliptische Funktion kann in Bezug auf diese ausgedrückt werden. Jedoch sind es die Funktionen von Jacobi, die meistens in praktischem erscheinen

Probleme, besonders das Bedürfnis, komplexe Zahlen zu vermeiden, habend, vom echten bis echten kartografisch darzustellen, wo der imaginäre Teil unnötig oder physisch unbedeutend ist. Weierstrass ist interessiert für diese Funktionen als ein Student von Christoph Gudermann, ein Student von Carl Friedrich Gauss geworden.

Die elliptischen Funktionen, die von Jacobi und den Hilfstheta-Funktionen (nicht doppelt eingeführt sind, periodisch), sind mehr kompliziert, aber sowohl für die Geschichte als auch für die allgemeine Theorie wichtig. Der primäre Unterschied zwischen diesen zwei Theorien ist, dass die Funktionen von Weierstrass zweite Ordnung und höherwertige an den Ecken des periodischen Gitters gelegene Pole haben, wohingegen die Funktionen von Jacobi einfache Pole haben. Die Entwicklung der Theorie von Weierstrass ist leichter, zu präsentieren und zu verstehen, weniger Komplikationen habend.

Mehr allgemein ist die Studie von elliptischen Funktionen nah mit der Studie von Modulfunktionen und Modulformen, eine durch den Modularitätslehrsatz bewiesene Beziehung verbunden. Beispiele dieser Beziehung schließen den j-invariant, die Reihe von Eisenstein und die Funktion von Dedekind eta ein.

Eigenschaften

• Jede komplexe Zahl ω solch, dass f (z + ω) = f (z) für den ganzen z in C eine Periode von f genannt wird. Wenn die zwei Perioden a und b solch sind, dass jede andere Periode ω als ω = ma + nb mit ganzen Zahlen M und n geschrieben werden kann, dann werden a und b grundsätzliche Perioden genannt. Jede elliptische Funktion hat ein grundsätzliches Paar von Perioden, aber dieses Paar, ist wie beschrieben, unten nicht einzigartig.
• Wenn a und b grundsätzliche Perioden sind, ein Gitter beschreibend, dann genau kann dasselbe Gitter durch die grundsätzlichen Perioden' und b' wo' = p + q b und b' = r + s b wo p, q, r und s erhalten werden ganze Zahlen zu sein, die p s &minus befriedigen; q r = 1. D. h. die Matrix

::

:has-Determinante ein, und gehört so der Modulgruppe. Mit anderen Worten, wenn a und b grundsätzliche Perioden einer elliptischen Funktion sind, dann so sind' und b'.

• Wenn a und b grundsätzliche Perioden sind, dann wird jedes Parallelogramm mit Scheitelpunkten z, z + a, z + b, z + + b ein grundsätzliches Parallelogramm genannt. Die Verschiebung solch eines Parallelogramms durch integrierte Vielfachen von a und b gibt eine Kopie des Parallelogramms nach, und die Funktion f benimmt sich identisch auf allen diesen Kopien wegen der Periodizität.
• Die Zahl von Polen in jedem grundsätzlichen Parallelogramm ist (und dasselbe für alle grundsätzlichen Parallelogramme) begrenzt. Wenn die elliptische Funktion nicht unveränderlich ist, hat jedes grundsätzliche Parallelogramm mindestens einen Pol, eine Folge des Lehrsatzes von Liouville.
• Die Summe der Ordnungen der Pole in jedem grundsätzlichen Parallelogramm wird die Ordnung der elliptischen Funktion genannt. Die Summe der Rückstände der Pole in jedem grundsätzlichen Parallelogramm ist der Null gleich, so insbesondere kann keine elliptische Funktion Ordnung ein haben.
• Die Zahl von Nullen (aufgezählt mit der Vielfältigkeit) in jedem grundsätzlichen Parallelogramm ist der Ordnung der elliptischen Funktion gleich.
• Der Satz aller elliptischen Funktionen, die ungefähr zwei Perioden teilen, bildet ein Feld.
• Die Ableitung einer elliptischen Funktion ist wieder eine elliptische Funktion mit denselben Perioden.
• Die Weierstrass elliptische Funktion ℘ ist die archetypische elliptische Funktion, und tatsächlich, das Feld von elliptischen Funktionen in Bezug auf ein gegebenes Gitter wird durch &#x2118 erzeugt; und seine Ableitung

℘′.

Siehe auch

• Die elliptischen Funktionen von Jacobi
• Elliptischer integrierter
• Jacobi theta fungieren
• Ramanujan theta fungieren

• (nur zieht den Fall von echtem invariants in Betracht).
• N. Ich. Akhiezer, Elemente der Theorie von Elliptischen Funktionen, (1970) Moskau, das ins Englisch als AMS Übersetzungen des Mathematischen Monografie-Bands 79 (1990) AMS, internationale Standardbuchnummer von Rhode Island 0-8218-4532-2 übersetzt ist
• Tom M. Apostol, Modulfunktionen und Dirichlet Reihe in der Zahlentheorie, dem Springer-Verlag, New York, 1976. Internationale Standardbuchnummer 0-387-97127-0 (Sieh Kapitel 1.)
• E. T. Whittaker und G. N. Watson. Ein Kurs der modernen Analyse, Universität von Cambridge Presse, 1952

Links

• Übersetzung der Forschung von Niels Abel über elliptische Funktionen an der Konvergenz