Eine Superellipse, auch bekannt als eine Kurve von Lamé nachdem ist Gabriel Lamé eine geometrische Zahl, die im Kartesianischen Koordinatensystem als der Satz aller Punkte (x, y) mit definiert ist

:

wo n, a und b positive Zahlen sind.

Diese Formel definiert eine geschlossene Kurve, die im Rechteck −a  x  +a und −b  y  +b enthalten ist. Die Rahmen a und b werden die Halbdiameter der Kurve genannt.

Wenn n zwischen 0 und 1 ist, sieht die Superellipse wie ein vierarmiger Stern mit (nach innen gekrümmten) Seiten aus. Für n = 1/2, insbesondere sind die Seiten Kreisbogen von Parabeln.

Wenn n 1 ist, ist die Kurve ein Diamant mit Ecken (±a, 0) und (0, ±b). Wenn n zwischen 1 und 2 ist, sieht er wie ein Diamant mit jenen denselben Ecken, aber mit konvexen (nach außen gekrümmten) Seiten aus. Die Krümmungszunahmen ohne Grenze weil nähert man sich den Ecken.

Wenn n 2 ist, ist die Kurve eine gewöhnliche Ellipse (insbesondere ein Kreis wenn = b). Wenn n größer ist als 2, ist er oberflächlich einem Rechteck mit abgeschrägten (rund gemachten) Ecken ähnlich. Die Krümmung ist Null an den Punkten (±a, 0) und (0, ±b).

Wenn n

Wenn n  1 und = b, die Superellipse die Grenze eines Balls von R in der N-Norm ist.

Die äußersten Punkte der Superellipse sind (±a, 0) und (0, ±b), und seine vier "Ecken" sind (±sa, ±sb), wo (hat manchmal die "Fantastischkeit" genannt).

Mathematische Eigenschaften

Wenn n eine rationale Nichtnullzahl p / q ist (in niedrigsten Begriffen), dann ist die Superellipse ein Flugzeug algebraische Kurve. Für positiven n ist die Ordnung pq; für negativen n ist die Ordnung 2pq. Insbesondere, wenn a und b sowohl ein als auch n sind, ist eine gleiche ganze Zahl, dann ist es eine Kurve von Fermat des Grads n. In diesem Fall ist es nichtsingulär, aber im Allgemeinen wird es einzigartig sein. Wenn der Zähler nicht sogar ist, dann wird die Kurve zusammen von Teilen derselben algebraischen Kurve in verschiedenen Orientierungen aufgeklebt.

Die Kurve wird durch die parametrischen Gleichungen gegeben

:\begin {richten }\aus

x\left (\theta\right) &= \plusmn a\cos^ {\\frac {2} {n}} \theta \\

y\left (\theta\right) &= \plusmn b\sin^ {\\frac {2} {n}} \theta

\end {richten} \right\} \qquad 0 \le \theta {aus}

oder:\begin {richten }\aus

x\left (\theta\right) &= ^ {\\frac {2} {n}} \cdot ein \sgn (\cos \theta) \\

y\left (\theta\right) &= ^ {\\frac {2} {n}} \cdot b \sgn (\sin \theta).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das Gebiet innerhalb der Superellipse kann in Bezug auf die Gammafunktion, Γ (x), als ausgedrückt werden

:

Die Pedal-Kurve ist relativ aufrichtig, um zu rechnen. Spezifisch, das Pedal von

:

wird in Polarkoordinaten durch gegeben

:

Generalisationen

Die Superellipse wird weiter als verallgemeinert:

:oder:\begin {richten }\aus

x\left (\theta\right) &= ^ {\\frac {2} {M}} \cdot ein \sgn (\cos \theta) \\

y\left (\theta\right) &= ^ {\\frac {2} {n}} \cdot b \sgn (\sin \theta).\end {richten }\aus</Mathematik>

(Bemerken Sie, dass das NICHT ein physischer Winkel der Zahl, aber gerade ein Parameter ist)

Geschichte

Die allgemeine Kartesianische Notation der Form kommt aus dem französischen Mathematiker Gabriel Lamé (1795-1870), wer die Gleichung für die Ellipse verallgemeinert hat.

Obwohl ihm häufig seine Erfindung zugeschrieben wird, haben der dänische Dichter und Wissenschaftler Piet Hein (1905-1996) die Superellipse nicht entdeckt. 1959, Stadtplaner in Stockholm, hat Schweden eine Designherausforderung für ein Karussell in ihrem Stadtquadrat Sergels Torg bekannt gegeben. Der gewinnende Vorschlag von Piet Hein hat auf einer Superellipse mit n = 2.5 und a/b = 6/5 basiert. Weil er es erklärt hat:

:Man ist das Tier, das Linien zieht, über die er selbst dann strauchelt. Im ganzen Muster der Zivilisation hat es zwei Tendenzen, ein zu Geraden und rechteckigen Mustern und ein zu kreisförmigen Linien gegeben. Es gibt Gründe, mechanisch und psychologisch für beide Tendenzen. Mit Geraden gemachte Dinge passen gut zusammen und sparen Raum. Und wir können uns leicht - physisch oder geistig - um mit runden Linien gemachte Dinge bewegen. Aber wir sind in einer Zwangsjacke, die Notwendigkeit habend, ein oder der andere zu akzeptieren, wenn häufig eine Zwischenform besser sein würde. Um etwas Freihändiges - wie das Patchwork-Rondell zu ziehen, haben sie in Stockholm versucht - wird nicht tun. Es wird nicht befestigt, ist wie ein Kreis oder Quadrat nicht bestimmt. Sie wissen nicht, wie es ist. Es befriedigt nicht ästhetisch. Die Superellipse hat das Problem behoben. Es ist weder rund noch, aber zwischen rechteckig. Und doch wird es befestigt, es ist bestimmt - es hat eine Einheit.

Sergels Torg wurde 1967 vollendet. Inzwischen hat Piet Hein fortgesetzt, die Superellipse in anderen Kunsterzeugnissen, wie Betten, Teller, Tische usw. zu verwenden. Indem er eine Superellipse um die längste Achse rotieren gelassen hat, hat er das Superei, eine feste einem Ei ähnliche Gestalt geschaffen, die aufrecht auf einer flachen Oberfläche stehen konnte, und wurde als ein Neuheitsspielzeug auf den Markt gebracht.

1968, als sich Unterhändler in Paris für den Krieg von Vietnam über die Gestalt des Verhandlungstischs nicht einigen konnten, haben Balinski, Kieron Underwood und Holt einen superelliptischen Tisch in einem Brief an die New York Times vorgeschlagen. Die Superellipse wurde für die Gestalt des 1968-Azteca Olympisches Stadion in Mexiko City verwendet.

Waldo R. Tobler hat einen Karte-Vorsprung, der Tobler hyperelliptischer Vorsprung, veröffentlicht 1973 entwickelt, in dem die Meridiane Kreisbogen von Superellipsen sind.

Das Schriftbild von Hermann Zapf Melior, veröffentlicht 1952, verwendet Superellipsen für Briefe wie o. Viele Websites sagen, dass Zapf wirklich die Gestalten von Melior mit der Hand gezogen hat, ohne das mathematische Konzept der Superellipse zu wissen, und nur später Punkt von Piet Hein Zapf gesäubert hat, dass seine Kurven der mathematischen Konstruktion äußerst ähnlich waren, aber diese Websites zitieren keine primäre Quelle dieser Rechnung. Dreißig Jahre später hat Donald Knuth in seine Typ-Familie Computer Modern die Fähigkeit eingebaut, zwischen wahren Ellipsen und Superellipsen (beide zu wählen, die durch Kubikfugenbretter näher gekommen sind).

Drei verbundene Superellipsen werden im Firmenzeichen Pittsburghs Steelers verwendet.

Siehe auch

• Astroid, die Superellipse mit n = und = b sind ein hypocycloid mit vier Spitzen.
• Deltaförmige Kurve, die drei Spitzen hypocycloid.
• Squircle, die Superellipse mit n = 4 und = b sehen "Wie das Viereckige Rad aus."
• Dreieck von Reuleaux, "Das Dreieckige Rad."
• Superformel, eine Generalisation der Superellipse
• Superquadrics, die dreidimensionalen "Verwandten" von Superellipsen

• (Doktordoktorarbeit mit Superellipsoiden)

Links

• "Courbe de Lamé" an Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (in Französisch)
• "Superellipse" auf 2dcurves.com
• Superellipse-Rechenmaschine & Schablone-Generator