In der Ringtheorie, einem Zweig der abstrakten Algebra, ist ein Ideal eine spezielle Teilmenge eines Rings. Das Ideal verallgemeinert begrifflich das Eigentum von bestimmten Teilmengen der ganzen Zahlen, wie die "geraden Zahlen" oder "Vielfachen 3", dass das Produkt jedes Elements des Rings mit einem Element der Teilmenge wieder in der Teilmenge ist: Das Produkt jeder ganzen Zahl mit einer gleichen ganzen Zahl ist wieder eine gleiche ganze Zahl. Wie man deshalb sagt, absorbiert ein Ideal die Elemente des Rings unter der Multiplikation.

Ideale selbst tragen Analogien mit Zahlen: Zum Beispiel sind Hauptideale eines Rings Primzahlen analog, und der chinesische Rest-Lehrsatz kann zu Idealen verallgemeinert werden. Es gibt eine Version des Hauptsatzes der Arithmetik für das Gebiet von Dedekind, eine Klasse von Ringen, die in der Zahlentheorie wichtig sind, in der jedes Nichtnullideal ein einzigartiges Produkt von Hauptidealen ist

Ein Ideal kann verwendet werden, um einen Quotient-Ring auf eine ähnliche Weise zu bauen, wie eine normale Untergruppe in der Gruppentheorie verwendet werden kann, um eine Quotient-Gruppe zu bauen. Das Konzept eines Ordnungsideales in der Ordnungstheorie wird aus dem Begriff des Ideales in der Ringtheorie abgeleitet.

Ein Bruchideal ist eine Generalisation eines Ideales, und die üblichen Ideale werden manchmal integrierte Ideale nach der Klarheit genannt.

Geschichte

Ideale wurden zuerst von Richard Dedekind 1876 in der dritten Ausgabe seines Buches Vorlesungen über Zahlentheorie vorgeschlagen (Englisch: Vorträge auf der Zahlentheorie). Sie waren eine Generalisation des Konzepts idealer von Ernst Kummer entwickelter Zahlen.

Später wurde das Konzept von David Hilbert und besonders Emmy Noether ausgebreitet.

Definitionen

Für einen willkürlichen Ring, lassen Sie, die zu Grunde liegende zusätzliche Gruppe zu sein. Eine Teilmenge wird ein zweiseitiges Ideal (oder einfach ein Ideal) dessen genannt, wenn es eine zusätzliche Untergruppe von R ist, der "Multiplikation durch Elemente von R absorbiert". Formell meinen wir, dass das ein Ideal ist, wenn es die folgenden Bedingungen befriedigt:

1. ist eine Untergruppe von

Gleichwertig ist ein Ideal von R ein sub-R-bimodule von R.

Eine Teilmenge dessen wird ein richtiges Ideal dessen genannt, wenn es eine zusätzliche Untergruppe von R ist und Multiplikation rechts absorbiert, die ist:

ist eine Untergruppe von

Gleichwertig ist ein richtiges Ideal dessen ein Recht - Untermodul dessen.

Ähnlich wird eine Teilmenge dessen ein linkes Ideal dessen genannt, wenn es eine zusätzliche Untergruppe von R fesselnde Multiplikation links ist:

ist eine Untergruppe von

Gleichwertig ist ein linkes Ideal dessen ein linker - Untermodul dessen.

In allen Fällen kann die erste Bedingung durch das folgende wohl bekannte Kriterium ersetzt werden, das sicherstellt, dass eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe eine Untergruppe ist:

:1. ist nichtleer und.

Die linken Ideale in R sind genau die richtigen Ideale im entgegengesetzten Ring R und umgekehrt. Ein zweiseitiges Ideal ist ein linkes Ideal, das auch ein richtiges Ideal ist, und häufig ein Ideal genannt wird außer zu betonen, dass dort einseitig bespannte Ideale bestehen könnte. Wenn R ein Ersatzring ist, fallen die Definitionen des linken, richtigen und zweiseitigen Ideales zusammen, und der Begriff Ideal wird allein gebraucht.

Da normale Untergruppen von Gruppen Kerne des Gruppenhomomorphismus sind, haben linke/richtige/zweiseitige Ideale Interpretationen als Kerne. Für eine nichtleere Teilmenge R:

• A ist ein Ideal von R, wenn, und nur wenn es ein Kern eines Ringhomomorphismus von R ist.
• A ist ein richtiges Ideal von R, wenn, und nur wenn es ein Kern eines Homomorphismus vom Recht R Modul R zu einem anderen Recht R Modul ist.
• A ist ein linkes Ideal von R, wenn, und nur wenn es ein Kern eines Homomorphismus vom links R Modul R zu einem anderen ist, R Modul verlassen hat.

Wenn p in R ist, dann ist pR ein richtiges Ideal, und Rp ist ein linkes Ideal von R. Diese, werden beziehungsweise, die linken und richtigen durch p erzeugten Hauptideale genannt. Um sich zu erinnern, der ist, der, bemerken Sie, dass richtige Ideale unter der richtigen Multiplikation stabil sind (IR  I) und verlassene Ideale unter der nach links Multiplikation (RI  I) stabil sind.

Die Verbindung zwischen cosets und Idealen kann durch die Schaltung der Operation von "der Multiplikation" bis "Hinzufügung" gesehen werden.

Wir rufen I ein richtiges Ideal, wenn es eine richtige Teilmenge von R ist, d. h. komme ich R nicht gleich. Das Ideal R wird das Einheitsideal genannt.

Motivation

Intuitiv kann die Definition wie folgt motiviert werden: Nehmen Sie An, dass wir eine Teilmenge von Elementen Z eines Rings R haben, und dass wir gern einen Ring mit derselben Struktur wie R erhalten würden, außer dass die Elemente von Z Null sein sollten (sie sind in einem Sinn "unwesentlich").

Aber wenn und in unserem neuen Ring, dann sicher sollte Null auch sein, und sowie sollte Null für jedes Element r (Null oder nicht) sein.

Die Definition eines Ideales ist solch, dass das Ideal, das ich (sieh unten) durch Z erzeugt habe, genau der Satz von Elementen ist, die gezwungen werden, Null zu werden, wenn Z Null wird, und der Quotient klingelt, ist R/I der gewünschte Ring, wo Z Null ist, und nur Elemente, die durch Z gezwungen werden, Null zu sein, Null sind. Die Voraussetzung, dass R und R/I dieselbe Struktur haben sollten (außer dass ich Null werde) wird durch die Bedingung formalisiert, dass der Vorsprung von R bis R/I (surjective) Ringhomomorphismus ist.

Beispiele

• Die gleichen ganzen Zahlen bilden ein Ideal im Ring Z von allen ganzen Zahlen; es wird gewöhnlich durch 2Z angezeigt. Das ist, weil die Summe irgendwelcher gleichen ganzen Zahlen sogar ist, und das Produkt jeder ganzen Zahl mit einer gleichen ganzen Zahl auch gleich ist. Ähnlich ist der Satz aller ganzen Zahlen, die durch eine feste ganze Zahl n teilbar sind, angezeigter nZ eines Ideales.
• Der Satz aller Polynome mit echten Koeffizienten, die durch das Polynom x + 1 teilbar sind, ist ein Ideal im Ring aller Polynome.
• Der Satz des ganzen n-by-n matrices, dessen letzte Reihe Null ist, bildet ein richtiges Ideal im Ring des ganzen n-by-n matrices. Es ist nicht ein linkes Ideal. Der Satz des ganzen n-by-n matrices, dessen letzte Säule Null ist, bildet ein linkes Ideal, aber nicht ein richtiges Ideal.
• Der Ring C(R) aller dauernden Funktionen f von R bis R enthält das Ideal aller dauernden Funktionen f solch dass f (1) = 0. Ein anderes Ideal in C(R) wird durch jene Funktionen gegeben, die für große genug Argumente, d. h. jene dauernden Funktionen f verschwinden, für den dort eine Zahl L> 0 solches dass f (x) = 0 wann auch immer x> L besteht.
• {0} und R sind Ideale in jedem Ring R. Wenn R ein Abteilungsring oder ein Feld ist, dann sind das seine einzigen Ideale.
• Kompaktmaschinenbediener bilden ein Ideal im Ring von begrenzten Maschinenbedienern.

Ideal durch einen Satz erzeugt

Lassen Sie R (vielleicht nicht unital) Ring sein. Jede Kreuzung jeder nichtleeren Familie von linken Idealen von R ist wieder ein linkes Ideal von R. Wenn X eine Teilmenge von R ist, dann ist die Kreuzung aller linken Ideale von R, der X enthält, ein linkes Ideal I von R, die X enthalten, und ist klar das kleinste linke Ideal, um so zu tun. Dieses Ideal, wie man sagt, bin ich das linke Ideal, das durch X erzeugt ist. Ähnliche Definitionen können durch das Verwenden richtiger Ideale oder zweiseitiger Ideale im Platz von linken Idealen geschaffen werden.

Wenn R, der verlassene, das Recht und die zweiseitigen durch eine Teilmenge erzeugten Ideale auswechselbar ist, sind X von R dasselbe, seit dem verlassenen, Recht, und zweiseitige Ideale von R sind dasselbe. Wir sprechen dann vom Ideal von R, der durch X, ohne weitere Spezifizierung erzeugt ist. Jedoch, wenn R nicht auswechselbar ist, können sie nicht dasselbe sein.

Wenn R Einheit hat, dann der verlassene, das Recht oder das zweiseitige Ideal von durch eine Teilmenge erzeugtem R X von R können innerlich ausgedrückt werden, wie wir jetzt beschreiben werden. Der folgende Satz ist ein linkes Ideal:

:

Jedes beschriebene Element würde in jedem linken Ideal sein müssen, das X enthält, so ist dieses linke Ideal tatsächlich das linke Ideal, das durch X erzeugt ist. Das richtige Ideal und Ideal, das durch X erzeugt ist, können auch ebenso ausgedrückt werden:

::

Der erstere ist das richtige Ideal, das durch X erzeugt ist, und der Letztere ist das durch X. erzeugte Ideal

Durch die Tagung, 0 wird als die Summe der Null solche Begriffe angesehen, mit der Tatsache übereinstimmend, dass das Ideal von durch  erzeugtem R {0} durch die vorherige Definition ist.

Wenn ein linkes Ideal I von R haben eine begrenzte Teilmenge F solch, dass ich das linke durch F erzeugte Ideal bin, dann das linke Ideal, wie man sagt, werde ich begrenzt erzeugt. Ähnliche Begriffe werden auch auf richtige Ideale und zweiseitige durch begrenzte Teilmengen erzeugte Ideale angewandt.

Im speziellen Fall, wo der Satz X gerade ein Singleton für einige in R dann ist, verwandeln sich die obengenannten Definitionen in den folgenden:

:::

Diese Ideale sind als die linken/richtigen/zweiseitigen durch a erzeugten Hauptideale bekannt. Es ist auch sehr üblich, das zweiseitige Ideal anzuzeigen, das durch als (a) erzeugt ist.

Wenn R keine Einheit hat, dann müssen die inneren Beschreibungen oben ein bisschen modifiziert werden. Zusätzlich zu den begrenzten Summen von Produkten von Dingen in X mit Dingen in R müssen wir die Hinzufügung von n-fold Summen der Form x+x +... +x und n-fold Summen der Form (x) + (x) +... + (x) für jeden x in X und jeden n in den natürlichen Zahlen erlauben. Wenn R eine Einheit hat, wird diese Extravoraussetzung überflüssig.

Beispiel

• Im Ring Z ganzer Zahlen kann jedes Ideal durch eine einzelne Zahl erzeugt werden (so ist Z ein ideales Hauptgebiet), und die nur zwei Generatoren von pR p und p sind. Die Konzepte "des Ideales" und "der Zahl" sind deshalb fast in Z identisch. Wenn aR = bR in einem willkürlichen Gebiet, dann au = b für eine Einheit u. Umgekehrt, für jede Einheit u, aR = auuR = auR. Also, in einem idealen Ersatzhauptgebiet sind die Generatoren des Ideales aR gerade die Elemente au, wo u eine willkürliche Einheit ist. Das erklärt den Fall von Z, da 1 und 1 die einzigen Einheiten von Z sind.

Typen von Idealen

:To vereinfachen die Beschreibung, wie man annimmt, sind alle Ringe auswechselbar. Der Nichtersatzfall wird im Detail in den jeweiligen Artikeln besprochen.

Ideale sind wichtig, weil sie als Kerne des Ringhomomorphismus erscheinen und erlauben, Faktor-Ringe zu definieren. Verschiedene Typen von Idealen werden studiert, weil sie verwendet werden können, um verschiedene Typen von Faktor-Ringen zu bauen.

• Maximales Ideal: Ein richtiges Ideal ich werde ein maximales Ideal genannt, wenn dort kein anderes richtiges Ideal J mit mir eine Teilmenge von J besteht. Der Faktor-Ring eines maximalen Ideales ist ein einfacher Ring im Allgemeinen und ist ein Feld für Ersatzringe.
• Minimales Ideal: Ein Nichtnullideal wird minimal genannt, wenn es kein anderes Nichtnullideal enthält.
• Hauptideal: Ein richtiges Ideal ich werde ein Hauptideal genannt, wenn für einen a und b in R, wenn ab in mir dann ist, mindestens ein von a und b in mir sind. Der Faktor-Ring eines Hauptideales ist ein Hauptring im Allgemeinen und ist ein integriertes Gebiet für Ersatzringe.
• Radikales ideales oder halberstes Ideal: Ein richtiges Ideal werde ich radikal oder halberst wenn für irgendwelchen in R, wenn genannt in mir für einen n zu sein, dann in mir zu sein. Der Faktor-Ring eines radikalen Ideales ist ein Halbhauptring für allgemeine Ringe, und ist ein reduzierter Ring für Ersatzringe.
• Primäres Ideal: Ein Ideal ich werde ein primäres Ideal genannt, wenn für den ganzen a und b in R, wenn ab in mir dann ist, mindestens ein von a und b in mir für eine natürliche Zahl n sind. Jedes Hauptideal, ist aber nicht umgekehrt primär. Ein primäres Halbhauptideal ist erst.
• Hauptideal: Ein Ideal durch ein Element erzeugt.
• Begrenzt erzeugtes Ideal: Dieser Typ des Ideales wird als ein Modul begrenzt erzeugt.
• Primitives Ideal: Ein linkes primitives Ideal ist der Vernichter eines einfachen linken Moduls. Ein richtiges primitives Ideal wird ähnlich definiert. Wirklich (trotz des Namens) sind der verlassene und die richtigen primitiven Ideale immer zweiseitige Ideale. Primitive Ideale sind erst. Mit (verlassenen) primitiven Idealen eines Rechts gebaute Faktor-Ringe sind (verlassener) primitiver Ring eines Rechts. Für Ersatzringe sind die primitiven Ideale maximal, und so sind primitive Ersatzringe alle Felder.
• Nicht zu vereinfachendes Ideal: Wie man sagt, ist ein Ideal nicht zu vereinfachend, wenn es als eine Kreuzung von Idealen nicht geschrieben werden kann, die es richtig enthalten.
• Ideale von Comaximal: Wie man sagt, sind zwei Ideale comaximal wenn für einige und.
• Regelmäßiges Ideal: Dieser Begriff hat vielfachen Nutzen. Sieh den Artikel für eine Liste.

Zwei andere wichtige Begriffe mit "dem Ideal" sind nicht immer Ideale ihres Rings. Sieh ihre jeweiligen Artikel für Details:

• Bruchideal: Das wird gewöhnlich definiert, wenn R ein Ersatzgebiet mit dem Quotienten Feld K ist. Trotz ihrer Namen sind Bruchideale R Untermodule von K mit einem speziellen Eigentum. Wenn das Bruchideal völlig in R enthalten wird, dann ist es aufrichtig ein Ideal von R.
• Ideal von Invertible: Gewöhnlich wird ein invertible Ideal A als ein Bruchideal definiert, für das es ein anderes Bruchideal B solch dass AB=BA=R gibt. Einige Autoren können auch "invertible Ideal" auf gewöhnliche Ringideale A und B mit AB=BA=R in Ringen außer Gebieten anwenden.

Eigenschaften

• In Ringen mit der Identität ist ein Ideal richtig, wenn, und nur wenn es 1 nicht enthält.
• Die richtigen Ideale jedes Rings werden über die Teilmenge-Einschließung teilweise bestellt, tatsächlich sind sie zusätzlich ein ganzes Modulgitter in dieser Ordnung mit der Verbindungslinie-Operation, die durch die Hinzufügung von Idealen gegeben ist, und entsprechen durch die Satz-Kreuzung gegebene Operation. Das Gitter ist nicht, im Allgemeinen, ein verteilendes Gitter.
• Leider gilt das Lemma von Zorn für die Sammlung von richtigen Idealen von R nicht notwendigerweise. Jedoch, wenn R Identität 1 hat, kann diese Sammlung als "die Sammlung von Idealen wiederausgedrückt werden, die 1 nicht enthalten". Es kann überprüft werden, dass das Lemma von Zorn jetzt für diese Sammlung gilt, und folglich es maximale richtige Ideale von R gibt. Mit etwas mehr Arbeit kann es gezeigt werden, dass jedes richtige Ideal in einem maximalen Ideal enthalten wird. Sieh den Lehrsatz von Krull am maximalen Ideal.
• Ideale sind nichtleere Teilmengen von R, weil sie zusätzliche Untergruppen von R sind, und deshalb die zusätzliche Identität {0} enthalten müssen.
• Der Ring R kann als ein linkes Modul über sich betrachtet werden, und die linken Ideale von R werden dann als die Untermodule dieses Moduls gesehen. Ähnlich sind die richtigen Ideale Untermodule von R als ein richtiges Modul über sich, und die zweiseitigen Ideale sind Untermodule von R als ein bimodule über sich. Wenn R auswechselbar ist, dann sind alle drei Sorten des Moduls dasselbe, wie alle drei Sorten des Ideales dasselbe sind.
• Jedes Ideal ist ein Pseudoring.
• Die Ideale eines Rings bilden einen Halbring (mit dem Identitätselement R) unter der Hinzufügung und Multiplikation von Idealen.

Ideale Operationen

Die Summe und das Produkt von Idealen werden wie folgt definiert. Für und, Ideale eines Rings R,

:und:

d. h. das Produkt von zwei Idealen und wird definiert, um das Ideal zu sein, das durch alle Produkte der Form ab mit in und b darin erzeugt ist. Das Produkt wird in der Kreuzung enthalten und.

Die Summe und die Kreuzung von Idealen sind wieder ein Ideal; mit diesen zwei Operationen, wie sich anschließen und sich treffen, bildet der Satz aller Ideale eines gegebenen Rings ein ganzes Modulgitter. Außerdem ist die Vereinigung von zwei Idealen eine Teilmenge der Summe jener zwei Ideale, weil für jedes Element ein Inneres ein Ideal wir es als a+0, oder 0+a deshalb schreiben können, wird es in der Summe ebenso enthalten. Jedoch ist die Vereinigung von zwei Idealen nicht notwendigerweise ein Ideal.

Ideale und Kongruenz-Beziehungen

Es gibt eine bijektive Ähnlichkeit zwischen Idealen und Kongruenz-Beziehungen (Gleichwertigkeitsbeziehungen, die die Ringstruktur respektieren) auf dem Ring:

In Anbetracht eines Ideales I eines Rings R, lassen Sie x ~ y wenn x-y  I. Dann ist ~ eine Kongruenz-Beziehung auf R.

Umgekehrt, in Anbetracht einer Kongruenz-Beziehung ~ auf R, lassen Sie mich = {x: x ~ 0\. Dann bin ich ein Ideal von R.

Siehe auch

• Modularithmetik
• Isomorphismus-Lehrsatz von Noether
• Boolean idealer Hauptlehrsatz
• Ideale Theorie
• Ideal (bestellen Theorie)
• Idealer Quotient
• Norm eines Ideales
• Ideal von Artinian
• Nichtersatzring
• Regelmäßiges Ideal
• Idealizer
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebra, Ringe und Module. Band 1. 2004. Springer, 2004. Internationale Standardbuchnummer 1-4020-2690-0