In der Mathematik sind pro-begrenzte Gruppen topologische Gruppen, die im gewissen Sinne von begrenzten Gruppen versammelt werden; sie teilen viele Eigenschaften mit ihren begrenzten Quotienten.

Eine Nichtkompaktgeneralisation einer pro-begrenzten Gruppe ist eine lokal pro-begrenzte Gruppe.

Definition

Formell ist eine pro-begrenzte Gruppe Hausdorff, kompakt, und hat völlig topologische Gruppe getrennt: D. h. eine topologische Gruppe, die auch ein Steinraum ist. Gleichwertig kann man eine pro-begrenzte Gruppe definieren, um eine topologische Gruppe zu sein, die zur umgekehrten Grenze eines umgekehrten Systems von getrennten begrenzten Gruppen isomorph ist. In kategorischen Begriffen ist das ein spezieller Fall (co) gefilterter Grenze-Aufbau.

Beispiele

• Begrenzte Gruppen, sind wenn gegeben, die getrennte Topologie pro-begrenzt.
• Die Gruppe von p-adic ganzen Zahlen Z unter der Hinzufügung ist (tatsächlich pro-zyklisch) pro-begrenzt. Es ist die umgekehrte Grenze der begrenzten Gruppen Z/pZ, wo N-Reihen über alle natürlichen Zahlen und die natürlichen Karten Z/pZ  Z/pZ (n  m) für den Grenze-Prozess verwendet werden. Die Topologie auf dieser pro-begrenzten Gruppe ist dasselbe als die Topologie, die aus der p-adic Schätzung auf Z entsteht.
• Die Galois Theorie von Felderweiterungen des unendlichen Grads führt natürlich zu Gruppen von Galois, die pro-begrenzt sind. Spezifisch, wenn L/K eine Erweiterung von Galois ist, denken wir die Gruppe G = Mädchen (L/K), der aus dem ganzen Feld automorphisms L besteht, die alle Elemente von K befestigt halten. Diese Gruppe ist die umgekehrte Grenze des begrenzten Gruppenmädchens (F/K), wo sich F über alle solche Zwischenfelder erstreckt, dass F/K eine begrenzte Erweiterung von Galois ist. Für den Grenze-Prozess verwenden wir das Beschränkungshomomorphismus-Mädchen (F/K)  Mädchen (F/K), wo F  F. Die Topologie, die wir auf dem Mädchen (L/K) erhalten, ist als die Topologie von Krull nach Wolfgang Krull bekannt. Waterhouse hat gezeigt, dass jede pro-begrenzte Gruppe zu einem Entstehen aus der Theorie von Galois von einem Feld K isomorph ist; aber man kann nicht (noch) kontrollieren, der Feld K in diesem Fall sein wird. Tatsächlich für viele Felder K weiß man im Allgemeinen genau nicht, welche begrenzte Gruppen als Gruppen von Galois über K vorkommen. Das ist das umgekehrte Problem von Galois für Feld K. (Für einige Felder K das umgekehrte Problem von Galois wird wie das Feld von vernünftigen Funktionen in einer Variable über die komplexen Zahlen gesetzt.)
• Die grundsätzlichen in der algebraischen Geometrie betrachteten Gruppen sind auch pro-begrenzte Gruppen, grob sprechend, weil die Algebra nur begrenzte Bedeckungen einer algebraischen Vielfalt 'sehen' kann. Die grundsätzlichen Gruppen der algebraischen Topologie sind im Allgemeinen jedoch nicht pro-begrenzt.

Eigenschaften und Tatsachen

• Jedes Produkt (willkürlich viele) pro-begrenzte Gruppen ist pro-begrenzt; die Topologie, die aus der Pro-Endlichkeit entsteht, stimmt mit der Produkttopologie überein. Die umgekehrte Grenze eines umgekehrten Systems von pro-begrenzten Gruppen mit dauernden Übergang-Karten ist pro-begrenzt, und die umgekehrte Grenze ist functor auf der Kategorie von pro-begrenzten Gruppen genau. Weiter pro-begrenzt zu sein, ist ein Erweiterungseigentum.
• Jede geschlossene Untergruppe einer pro-begrenzten Gruppe ist selbst pro-begrenzt; die Topologie, die aus der Pro-Endlichkeit entsteht, stimmt mit der Subraumtopologie überein. Wenn N eine geschlossene normale Untergruppe einer pro-begrenzten Gruppe G ist, dann ist die Faktor-Gruppe G/N pro-begrenzt; die Topologie, die aus der Pro-Endlichkeit entsteht, stimmt mit der Quotient-Topologie überein.
• Da jede pro-begrenzte Gruppe G kompakter Hausdorff ist, lassen wir einen Haar auf G messen, der uns erlaubt, die "Größe" von Teilmengen von G zu messen, bestimmte Wahrscheinlichkeiten zu schätzen, und Funktionen auf G zu integrieren.
• Eine Untergruppe einer pro-begrenzten Gruppe ist offen, wenn, und nur wenn sie geschlossen wird und begrenzten Index hat.
• Gemäß einem Lehrsatz von Nikolay Nikolov und Dan Segal, in jeder topologisch begrenzt erzeugten pro-begrenzten Gruppe (d. h. eine pro-begrenzte Gruppe, die eine dichte begrenzt erzeugte Untergruppe hat) sind die Untergruppen des begrenzten Index offen. Das verallgemeinert ein früheres analoges Ergebnis von Jean-Pierre Serre für topologisch begrenzt erzeugte Stütze-Gruppen. Der Beweis verwendet die Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen.
• Als eine leichte Folgeerscheinung des Nikolov-Segal resultieren oben, jeder surjective getrennte Gruppenhomomorphismus φ: G  H zwischen pro-begrenzten Gruppen G und H ist dauernd, so lange G topologisch begrenzt erzeugt wird. Tatsächlich ist jede offene Untergruppe von H des begrenzten Index, so ist sein Vorimage in G auch des begrenzten Index, folglich muss es offen sein.
• Nehmen Sie G an, und H werden pro-begrenzte Gruppen topologisch begrenzt erzeugt, die als getrennte Gruppen durch einen Isomorphismus ι isomorph sind. Dann ist ι bijektiv und durch das obengenannte Ergebnis dauernd. Außerdem ist ι auch dauernd, so ist ι ein homeomorphism. Deshalb wird die Topologie auf einer topologisch begrenzt erzeugten pro-begrenzten Gruppe durch seine algebraische Struktur einzigartig bestimmt.

Pro-begrenzte Vollziehung

In Anbetracht einer willkürlichen Gruppe G gibt es eine verwandte pro-begrenzte Gruppe G, die pro-begrenzte Vollziehung von G. Es wird als die umgekehrte Grenze der Gruppen G/N definiert, wo N die normalen Untergruppen in G des begrenzten Index durchbohrt (diese normalen Untergruppen werden durch die Einschließung teilweise bestellt, die in ein umgekehrtes System des natürlichen Homomorphismus zwischen den Quotienten übersetzt). Es gibt einen natürlichen Homomorphismus η: G  G, und das Image von G unter diesem Homomorphismus ist in G dicht. Der Homomorphismus η ist injective, wenn, und nur wenn die Gruppe G restlich begrenzt ist (d. h.,

, wo die Kreuzung alle normalen Untergruppen des begrenzten Index durchbohrt).

Der Homomorphismus η wird durch das folgende universale Eigentum charakterisiert: in Anbetracht jeder pro-begrenzten Gruppe H und jedes Gruppenhomomorphismus f: G  H, dort besteht ein einzigartiger dauernder Gruppenhomomorphismus g: G  H mit f = gη.

Ind-begrenzte Gruppen

Es gibt einen Begriff der ind-begrenzten Gruppe, die das zu pro-begrenzten Gruppen Doppel-Konzept ist; d. h. eine Gruppe G ist ind-begrenzt, wenn es die direkte Grenze eines induktiven Systems von begrenzten Gruppen ist. (Insbesondere es ist eine Ind-Gruppe.) Die übliche Fachsprache ist verschieden: Eine Gruppe G wird lokal begrenzt genannt, wenn jede begrenzt erzeugte Untergruppe begrenzt ist. Das ist tatsächlich dazu gleichwertig, 'ind-begrenzt' zu sein.

man Dualität von Pontryagin anwendet, kann man sehen, dass abelian pro-begrenzte Gruppen in der Dualität mit lokal begrenzten getrennten abelian Gruppen sind. Die Letzteren sind gerade die abelian Verdrehungsgruppen.

Siehe auch

• Lokal zyklische Gruppe
• Stütze-Gruppe
• Restliches Eigentum (Mathematik)

• . Rezension von mehreren Büchern über pro-begrenzte Gruppen.