In der Mathematik, besonders in der abstrakten Algebra, ist eine Quasigruppe eine algebraische Struktur, die einer Gruppe im Sinn ähnelt, dass "Abteilung" immer möglich ist. Quasigruppen unterscheiden sich von Gruppen hauptsächlich darin sie brauchen nicht assoziativ zu sein.

Eine Quasigruppe mit einem Identitätselement wird eine Schleife genannt.

Definitionen

Es gibt zwei gleichwertige formelle Definitionen der Quasigruppe mit, beziehungsweise, eine und drei primitive binäre Operationen. Wir beginnen mit der ersten Definition, die leichter ist zu folgen.

Eine Quasigruppe (Q, *) ist ein Satz Q mit einer binären Operation * (d. h. ein Magma), solch, dass für jeden a und b in Q, dort einzigartige Elemente x und y in solchem Q dass bestehen Sie:

• * x = b;
• y * = b.

(Mit anderen Worten: Für zwei Elemente kann a und b, b in der Reihe a und in der Säule a des Tisches von Cayley der Quasigruppe gefunden werden. So sind die Tische von Cayley von Quasigruppen einfach lateinische Quadrate.)

Die einzigartigen Lösungen dieser Gleichungen werden x = \b und y = b / a geschrieben. Die Operationen '\' und '/' werden beziehungsweise genannt verlassen und richtige Abteilung.

Universale Algebra

In Anbetracht einer algebraischen Struktur ist eine Identität eine Gleichung, in der alle Variablen stillschweigend allgemein gemessen werden, und in dem alle Operationen unter den primitiven zur Struktur richtigen Operationen sind. Algebraische Strukturen axiomatized allein durch die Identität werden Varianten genannt. Viele Standard läuft auf universale Algebra hinaus, halten nur für Varianten. Quasigruppen sind Varianten, wenn verlassen, und richtige Abteilung werden als primitiv genommen.

Eine Quasigruppe (Q, *, \,/) ist eine Algebra des Typs (2,2,2), die die Identität befriedigt:

• y = x * (x \y);
• y = x \(x * y);
• y = (y / x) * x;
• y = (y * x) / x.

Folglich, wenn (Q, *) eine Quasigruppe gemäß der ersten Definition ist, dann (Q, *, \,/) ist dieselbe Quasigruppe im Sinne der universalen Algebra.

Schleife

Eine Schleife ist eine Quasigruppe mit einem Identitätselement e solch dass:

• x * e = x = e * x für den ganzen x in Q.

Hieraus folgt dass das Identitätselement e einzigartig ist, und dass jedes Element von Q ein einzigartiges und richtiges Gegenteil übrighat.

Eine Moufang Schleife ist eine Schleife, die die Identität von Moufang befriedigt:

• (x * y) * (z * x) = x * ((y * z) * x).

Beispiele

• Jede Gruppe ist eine Schleife, weil * x = b wenn und nur wenn x = * b, und y * = b wenn und nur wenn y = b * a.
• Die ganzen Zahlen Z mit der Subtraktion (&minus) bilden eine Quasigruppe.
• Die Nichtnull rationals Q* (oder die Nichtnull reals R *) mit der Abteilung (÷) bilden eine Quasigruppe.
• Jeder Vektorraum über ein Feld der Eigenschaft, die 2 Formen ein idempotent, Ersatzquasigruppe unter der Operation x * y = (x + y) / 2 nicht gleich ist.
• Jeder Steiner dreifaches System definiert einen idempotent, Ersatzquasigruppe: * ist b das dritte Element des dreifachen, das a und b enthält.
• Der Satz {±1, ±i, ±j, ±k}, wo ii = jj = kk = +1 und mit allen anderen Produkten als in der quaternion Gruppe eine nichtassoziative Schleife des Auftrags 8 bildet. Sieh hyperbolischen quaternions für seine Anwendung. (Die hyperbolischen quaternions selbst bilden keine Schleife oder Quasigruppe).
• Die Nichtnull octonions bildet eine nichtassoziative Schleife unter der Multiplikation. Die octonions sind ein spezieller Typ der als eine Schleife von Moufang bekannten Schleife.
• Der folgende Aufbau ist wegen Hans Julius Zassenhaus. Auf dem zu Grunde liegenden Satz des vier dimensionalen Vektorraums F über 3-Elemente-Galois Feld F = definieren Z/3Z

: (x, x, x, x) * (y, y, y, y) = (0, 0, 0, (x - y) (xy - xy)).

:Then, (F, *) ist eine Ersatzschleife von Moufang, die nicht eine Gruppe ist.

• Mehr allgemein, der Satz von Nichtnullelementen jeder Abteilungsalgebra bilden eine Quasigruppe.

Eigenschaften

:

Quasigruppen haben das Annullierungseigentum: wenn ab = ac, dann b = c. Das folgt aus der Einzigartigkeit der linken Abteilung von ab oder ac durch a. Ähnlich, wenn ba = ca, dann b = c.

Multiplikationsmaschinenbediener

Die Definition einer Quasigruppe kann als Bedingungen auf dem verlassenen und den richtigen Multiplikationsmaschinenbedienern L (x), R (y) behandelt werden: Q  Q, definiert durch

::

Die Definition sagt, dass beide mappings Bijektionen von Q bis sich sind. Ein Magma Q ist eine Quasigruppe genau, wenn alle diese Maschinenbediener, für jeden x in Q, bijektiv sind. Das Gegenteil mappings wird verlassen und richtige Abteilung, d. h.

::

In dieser Notation ist die Identität unter der Multiplikation der Quasigruppe und Abteilungsoperationen (hat in der Abteilung auf der universalen Algebra festgesetzt)

:

L (x) L (x) ^ {-1} &= 1\qquad&\text {entsprechend }\\qquad x (x\backslash y) &= y, \\

L (x) ^ {-1} L (x) &= 1\qquad&\text {entsprechend }\\qquad x\backslash (xy) &= y, \\

R (x) R (x) ^ {-1} &= 1\qquad&\text {entsprechend }\\qquad (y/x) x &= y, \\

R (x) ^ {-1} R (x) &= 1\qquad&\text {entsprechend }\\qquad (yx)/x &= y,

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo 1 die auf Q kartografisch darstellende Identität anzeigt.

Lateinische Quadrate

Die Multiplikationstabelle einer begrenzten Quasigruppe ist ein lateinisches Quadrat: ein n &times; n Tisch hat sich mit n verschiedenen Symbolen auf solche Art und Weise gefüllt, dass jedes Symbol genau einmal in jeder Reihe und genau einmal in jeder Säule vorkommt.

Umgekehrt kann jedes lateinische Quadrat als die Multiplikationstabelle einer Quasigruppe auf viele Weisen genommen werden: Die Grenzreihe (die Säulenkopfbälle enthaltend), und die Grenzsäule (die Reihe-Kopfbälle enthaltend), kann jeder jede Versetzung der Elemente sein. Sieh kleine lateinische Quadrate und Quasigruppen.

Umgekehrte Eigenschaften

Jedes Schleife-Element hat ein einzigartiges und richtiges durch gegebenes Gegenteil übrig

::Wie man

sagt, hat eine Schleife (zweiseitige) Gegenteile wenn für den ganzen x. In diesem Fall wird das umgekehrte Element gewöhnlich dadurch angezeigt.

Es gibt einige stärkere Begriffe von Gegenteilen in Schleifen, die häufig nützlich sind:

• Eine Schleife hat das linke umgekehrte Eigentum wenn für alle und. Gleichwertig, oder.
• Eine Schleife hat das richtige umgekehrte Eigentum wenn für alle und. Gleichwertig, oder.
• Eine Schleife hat das antiautomorphic umgekehrte Eigentum wenn oder, gleichwertig, wenn.
• Eine Schleife hat das schwache umgekehrte Eigentum wenn wenn und nur wenn. Das kann in Bezug auf Gegenteile über oder gleichwertig festgesetzt werden.

Eine Schleife hat das umgekehrte Eigentum, wenn es sowohl den verlassenen als auch die richtigen umgekehrten Eigenschaften hat. Umgekehrte Eigentumsschleifen haben auch den antiautomorphic und die schwachen umgekehrten Eigenschaften. Tatsächlich hat jede Schleife, die jede zwei der obengenannten vier Identität befriedigt, das umgekehrte Eigentum und befriedigt deshalb alle vier.

Jede Schleife, die den verlassenen, das Recht oder die antiautomorphic umgekehrten Eigenschaften automatisch befriedigt, hat zweiseitige Gegenteile.

Morphisms

Quasigruppen- oder Schleife-Homomorphismus ist eine Karte f: Q  P zwischen zwei solchen Quasigruppen dass f (xy) = f (x) f (y). Quasigruppenhomomorphismus bewahrt notwendigerweise verlassen und richtige Abteilung, sowie Identitätselemente (wenn sie bestehen).

Homotopy und isotopy

Lassen Sie Q und P Quasigruppen sein. Eine Quasigruppe homotopy von Q bis P ist ein dreifacher (α, β, γ) Karten von Q bis solchen P dass

:

für den ganzen x, y in Q. Ein Quasigruppenhomomorphismus ist gerade ein homotopy, für den die drei Karten gleich sind.

Ein isotopy ist ein homotopy, für den jede der drei Karten (α, β, γ) eine Bijektion ist. Zwei Quasigruppen sind isotopic, wenn es einen isotopy zwischen ihnen gibt. In Bezug auf lateinische Quadrate wird ein isotopy (α, β, γ) durch eine Versetzung von Reihen α, eine Versetzung von Säulen β gegeben, und eine Versetzung auf dem zu Grunde liegenden Element hat γ gesetzt.

Ein autotopy ist ein isotopy von einer Quasigruppe zu sich. Der Satz des ganzen autotopies einer Quasigruppe bildet eine Gruppe mit der automorphism Gruppe als eine Untergruppe.

Jede Quasigruppe ist isotopic zu einer Schleife. Wenn eine Schleife isotopic zu einer Gruppe ist, dann ist es zu dieser Gruppe isomorph und ist so selbst eine Gruppe. Jedoch braucht eine Quasigruppe, die isotopic zu einer Gruppe ist, keine Gruppe zu sein. Zum Beispiel ist die Quasigruppe auf R mit der Multiplikation, die durch (x+y)/2 gegeben ist, isotopic zur zusätzlichen Gruppe (R, +), aber ist nicht selbst eine Gruppe. Jede mittlere Quasigruppe ist isotopic zu einer abelian Gruppe durch den Lehrsatz von Bruck-Toyoda.

Konjugation (Parastrophe)

Verlassen und richtige Abteilung sind Beispiele, eine Quasigruppe durch das Permutieren der Variablen in der Definieren-Gleichung zu bilden. Von der ursprünglichen Operation * (d. h. x * y = z) können wir fünf neue Operationen bilden: x o y: = y * x (die entgegengesetzte Operation), / und \, und ihre Gegenteile. Das macht insgesamt sechs Quasigruppenoperationen, die das Konjugieren oder die Parastrophen * genannt werden. Wie man sagt, sind irgendwelche zwei dieser Operationen "verbunden" oder "parastrophic" zu einander (und zu sich).

Paratopy

Wenn der Satz Q zwei Quasigruppenoperationen, * hat und · und einer von ihnen ist isotopic zu einem verbundenen vom anderen, wie man sagt, sind die Operationen Parathema zu einander. Es gibt auch viele andere Namen für diese Beziehung von "paratopy", z.B, isostrophe".

Generalisationen

Polyadic oder multiary Quasigruppen

Eine n-stufige Quasigruppe ist ein Satz mit einer n-stufigen Operation, (Q, f) mit f: Q  Q, solch, dass die Gleichung f (x..., x) = y eine einzigartige Lösung für irgendwelche Variable hat, wenn alle anderen n Variablen willkürlich angegeben werden. Polyadic oder Multiary-Mittel, die für eine natürliche Zahl n n-stufig sind.

Ein 0-ary, oder nullary, Quasigruppe ist gerade ein unveränderliches Element von Q. Eine 1-ary oder unäre, Quasigruppe ist eine Bijektion von Q zu sich. Eine binäre oder 2-ary, Quasigruppe ist eine gewöhnliche Quasigruppe.

Ein Beispiel einer multiary Quasigruppe ist eine wiederholte Gruppenoperation, y = x · x ····· x; es ist nicht notwendig, Parenthesen zu verwenden, um die Ordnung von Operationen anzugeben, weil die Gruppe assoziativ ist. Man kann auch eine multiary Quasigruppe bilden, indem man jede Folge derselben oder verschiedenen Gruppen- oder Quasigruppenoperationen ausführt, wenn die Ordnung von Operationen angegeben wird.

Dort bestehen Sie multiary Quasigruppen, die auf keine dieser Weisen vertreten werden können. Eine n-stufige Quasigruppe ist nicht zu vereinfachend, wenn seine Operation factored in die Zusammensetzung von zwei Operationen folgendermaßen nicht sein kann:

:

wo 1  i &lt; j  n und (ich, j)  (1, n). Begrenzte nicht zu vereinfachende n-stufige Quasigruppen bestehen für den ganzen n> 2; sieh Akivis und Goldberg (2001) für Details.

Eine n-stufige Quasigruppe mit einer n-stufigen Version von associativity ist eine n-stufige Gruppe.

Recht - und nach links Quasigruppen

Eine richtige Quasigruppe (Q, *,/) ist eine Algebra des Typs (2,2), die die Identität befriedigt:

• y = (y / x) * x;
• y = (y * x) / x.

Ähnlich ist eine nach links Quasigruppe (Q, *, \) eine Algebra des Typs (2,2), die die Identität befriedigt:

• y = x * (x \y);
• y = x \(x * y).

Siehe auch

• Schleife von Moufang
• Schleife von Bol
• Halbgruppe
• Monoid
• Kleine lateinische Quadrate und Quasigruppen
• Probleme in der Schleife-Theorie und Quasigruppentheorie
• Mathematik von Sudoku
• Akivis, M. A. und Vladislav V. Goldberg (2001), "Lösung des Problems von Belousov," Discussiones Mathematicae. Allgemeine Algebra und Anwendungen 21: 93-103.
• Bruck, R.H. (1958), ein Überblick über binäre Systeme. Springer-Verlag.
• Chein, O., H. O. Pflugfelder, und J.D.H. Smith, Hrsg. (1990), Quasigruppen und Schleifen: Theorie und Anwendungen. Berlin: Heldermann. Internationale Standardbuchnummer 3-88538-008-0.
• Dudek, W.A. und Glazek, K. (2008), "Um den Hosszu-Gluskin Lehrsatz für n-stufige Gruppen," Getrennte Mathematik. 308: 4861-4876.
• Pflugfelder, H.O. (1990), Quasigruppen und Schleifen: Einführung. Berlin: Heldermann. Internationale Standardbuchnummer 3-88538-007-2.
• Schmied, J.D.H. (2007), Eine Einführung in Quasigruppen und ihre Darstellungen. Chapman & Hall/CRC Press. Internationale Standardbuchnummer 1-58488-537-8.
• Schmied, J.D.H. und Anna B. Romanowska (1999), Postmoderne Algebra. Wiley-Zwischenwissenschaft. Internationale Standardbuchnummer 0-471-12738-8.

Links

• Quasigruppen