In der Mathematik sind ein Identitätselement (oder neutrales Element) ein spezieller Typ des Elements eines Satzes in Bezug auf eine binäre Operation auf diesem Satz. Es verlässt andere Elemente unverändert, wenn verbunden, mit ihnen. Das wird für Gruppen und zusammenhängende Konzepte verwendet.

Das Begriff-Identitätselement wird häufig zur Identität verkürzt (wie in diesem Artikel getan wird), wenn es keine Möglichkeit der Verwirrung gibt.

Lassen Sie (S, *), ein Satz S mit einer binären Operation * darauf (bekannt als ein Magma) zu sein. Dann wird ein Element e S eine linke Identität wenn e * = für alle in S und einer richtigen Identität wenn * e = für alle in S genannt. Wenn e sowohl eine linke Identität als auch eine richtige Identität ist, dann wird es eine zweiseitige Identität oder einfach eine Identität genannt.

Eine Identität in Bezug auf die Hinzufügung wird eine zusätzliche Identität genannt (häufig angezeigt als 0), und eine Identität in Bezug auf die Multiplikation wird eine multiplicative Identität (häufig angezeigt als 1) genannt. Die Unterscheidung wird meistenteils für Sätze verwendet, die beide binären Operationen wie Ringe unterstützen. Die multiplicative Identität wird häufig die Einheit im letzten Zusammenhang genannt, wo, leider, eine Einheit auch manchmal verwendet wird, um ein Element mit einem multiplicative Gegenteil zu bedeuten.

Beispiele

Eigenschaften

Da sich das letzte Beispiel zeigt, ist es für (S, *) möglich, mehrere linke Identität zu haben. Tatsächlich kann jedes Element eine linke Identität sein. Ähnlich kann es mehrere richtige Identität geben. Aber wenn es sowohl eine richtige Identität als auch eine linke Identität gibt, dann sind sie gleich, und es gibt gerade eine einzelne zweiseitige Identität. Um das zu sehen, bemerken Sie, dass, wenn l eine linke Identität und r ist, eine richtige Identität dann l = l * r = r ist. Insbesondere es kann mehr als eine zweiseitige Identität nie geben. Wenn es zwei, e und f gäbe, dann würde e * f sowohl e als auch f gleich sein müssen.

Es ist auch für (S, *) ziemlich möglich, kein Identitätselement zu haben. Das allgemeinste Beispiel davon ist das Kreuzprodukt von Vektoren. Die Abwesenheit eines Identitätselements ist mit der Tatsache verbunden, dass die Richtung jedes Nichtnullkreuzproduktes immer zu jedem Element multipliziert orthogonal ist - so dass es nicht möglich ist, einen Nichtnullvektoren in derselben Richtung wie das Original zu erhalten. Ein anderes Beispiel würde die zusätzliche Halbgruppe von positiven natürlichen Zahlen sein.

Siehe auch

• Fesselndes Element
• Umgekehrtes Element
• Zusätzliches Gegenteil
• Monoid
• Unital
• Quasigruppe
• Eigenschaften, die schwächer sind als, eine Identität zu haben
• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Gesetze und Kategorien mit Anwendungen auf Kranz-Produkte und Graphen, De Gruyter Expositions in der Mathematik vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, internationale Standardbuchnummer 3110152487, p. 14-15