In der abstrakten Algebra und Logik ist distributivity ein Eigentum von binären Operationen, das das verteilende Gesetz von der elementaren Algebra verallgemeinert. In der Satzlogik bezieht sich Vertrieb auf zwei gültige Regeln des Ersatzes. Die Regeln erlauben, Verbindungen und Trennungen innerhalb von logischen Beweisen wiederzuformulieren.

Zum Beispiel, in der Arithmetik:

: 2 × (1 + 3) = (2 × 1) + (2 × 3).

In der linken Seite der ersten Gleichung multiplizieren die 2 die Summe 1 und 3; auf der rechten Seite multipliziert es 1 und die 3 individuell, mit den Produkten hinzugefügt später.

Weil diese dieselbe Endantwort geben (8) sagen wir, dass Multiplikation durch 2 über die Hinzufügung von 1 und 3 verteilt.

Seitdem wir irgendwelche reellen Zahlen im Platz 2, 1, und 3 oben gestellt haben könnten, und noch eine wahre Gleichung erhalten haben, sagen wir, dass die Multiplikation von reellen Zahlen über die Hinzufügung von reellen Zahlen verteilt.

Definition

In Anbetracht eines Satzes S und zwei binärer Maschinenbediener · und + auf S sagen wir dass die Operation

· ist

• über + wenn, in Anbetracht irgendwelcher Elemente x, y, und z von S, nach links verteilend

::x · (y + z) = (x · y) + (x · z);

ist

• über + wenn, in Anbetracht irgendwelcher Elemente x, y, und z von S richtig-verteilend:

:: (y + z) · x = (y · x) + (z · x);

ist

• über + verteilend, wenn es nach links und richtig-verteilend ist.

Bemerken Sie dass wenn · ist dann auswechselbar die drei über Bedingungen sind logisch gleichwertig.

Satzlogik

Regel des Ersatzes

In der mit der Wahrheit funktionellen Standardsatzlogik ist Vertrieb zwei gültige Regel des Ersatzes. Die Regeln erlauben, bestimmte logische Bindewörter innerhalb von logischen Ausdrücken in logischen Beweisen zu verteilen. Die Regeln sind:

:und:

wo "" ein metalogical Symbol-Darstellen ist, "kann in einem Beweis damit ersetzt werden."

Wahrheit funktionelle Bindewörter

Distributivity ist ein Eigentum von einigen logischen Bindewörtern der mit der Wahrheit funktionellen Satzlogik. Die folgenden logischen Gleichwertigkeiten demonstrieren, dass distributivity ein Eigentum von besonderen Bindewörtern ist. Der folgende ist mit der Wahrheit funktionelle Tautologie.

Vertrieb der Verbindung über die Verbindung

:

Vertrieb der Verbindung über die Trennung

:

Vertrieb der Trennung über die Verbindung

:

Vertrieb der Trennung über die Trennung

:

Vertrieb der Implikation

:

Vertrieb der Implikation über die Gleichwertigkeit

:

Vertrieb der Trennung über die Gleichwertigkeit

:

Vertrieb der Ablehnung über die Gleichwertigkeit

:

Doppelter Vertrieb

::

Selbst verteilendes Gesetz der Implikation

:

Beispiele

1. Die Multiplikation von Zahlen ist über die Hinzufügung von Zahlen, für eine breite Klasse von verschiedenen Arten von Zahlen im Intervall von natürlichen Zahlen zu komplexen Zahlen und Grundzahlen verteilend.
2. Die Multiplikation von Ordinalzahlen ist nur im Gegensatz nach links verteilend, nicht richtig-verteilend.
3. Das Kreuzprodukt ist nach links und über die Vektor-Hinzufügung, obwohl nicht auswechselbar richtig-verteilend.
4. Matrixmultiplikation ist über die Matrixhinzufügung, obwohl auch nicht auswechselbar verteilend.
5. Die Vereinigung von Sätzen ist über die Kreuzung verteilend, und Kreuzung ist über die Vereinigung verteilend.
6. Logische Trennung ("oder") ist über die logische Verbindung verteilend ("und"), und Verbindung ist über die Trennung verteilend.
7. Für reelle Zahlen (oder für jeden völlig bestellten Satz) ist die maximale Operation über die minimale Operation, und umgekehrt verteilend: max (a, Minute (b, c)) = Minute (max (a, b), max (a, c)) und Minute (a, max (b, c)) = max (Minute (a, b), Minute (a, c)).
8. Für ganze Zahlen ist der größte allgemeine Teiler über kleinstes Gemeinsames Vielfaches, und umgekehrt verteilend: gcd (a, lcm (b, c)) = lcm (gcd (a, b), gcd (a, c)) und lcm (a, gcd (b, c)) = gcd (lcm (a, b), LCM (a, c)).
9. Für reelle Zahlen verteilt Hinzufügung über die maximale Operation, und auch über die minimale Operation: + max (b, c) = max (a+b, a+c) und + Minute (b, c) = Minute (a+b, a+c).

Distributivity und das Runden

In der Praxis kann das verteilende Eigentum der Multiplikation (und Abteilung) über die Hinzufügung scheinen, in Verlegenheit gebracht oder wegen der Beschränkungen der arithmetischen Präzision verloren zu werden. Zum Beispiel die Identität ⅓ + ⅓ + ⅓ = (1+1+1) scheint/3 zu scheitern, wenn die Hinzufügung in der dezimalen Arithmetik geführt wird; jedoch, wenn viele positive Ziffern verwendet werden, wird die Berechnung auf eine nähere Annäherung an die richtigen Ergebnisse hinauslaufen. Zum Beispiel, wenn die arithmetische Berechnung die Form annimmt: 0.33333+0.33333+0.33333 = 0.99999  1, dieses Ergebnis ist eine nähere Annäherung, als wenn weniger positive Ziffern verwendet worden waren. Selbst wenn Bruchzahlen genau in der arithmetischen Form vertreten werden können, werden Fehler eingeführt, wenn jene arithmetischen Werte rund gemacht oder gestutzt werden. Zum Beispiel, zwei Bücher, jeder kaufend, der an 14.99 £ bevor bewertet ist, wird eine Steuer von 17.5 %, in zwei getrennten Transaktionen wirklich 0.01 £, über das Kaufen von ihnen zusammen sparen: 14.99 £ ×1.175 = 17.61 £ zu den nächsten 0.01 £, einen Gesamtverbrauch an 35.22 £, aber 29.98 £ ×1.175 = 35.23 £ gebend. Methoden wie das Runden des Bankiers können in einigen Fällen helfen, wie kann, die verwendete Präzision vergrößernd, aber schließlich sind einige Berechnungsfehler unvermeidlich.

Distributivity in Ringen

Distributivity wird meistens in Ringen und verteilenden Gittern gefunden.

Ein Ring hat zwei binäre Operationen (allgemein genannt "+" und "*"), und eine der Voraussetzungen eines Rings ist, dass * über + verteilen muss.

Die meisten Arten von Zahlen (Beispiel 1) und matrices (Beispiel 4) bilden Ringe.

Ein Gitter ist eine andere Art der algebraischen Struktur mit zwei binären Operationen,  und .

Wenn jede dieser Operationen (sagen ), über den anderen () verteilt, dann muss  auch über  verteilen, und das Gitter wird verteilend genannt. Siehe auch den Artikel über distributivity (Ordnungstheorie).

Beispiele 4 und 5 sind Algebra von Boolean, die irgendein als eine spezielle Art des Rings (ein Ring von Boolean) oder eine spezielle Art des verteilenden Gitters (ein Gitter von Boolean) interpretiert werden können. Jede Interpretation ist für verschiedene verteilende Gesetze in der Algebra von Boolean verantwortlich. Beispiele 6 und 7 sind verteilende Gitter, die nicht Algebra von Boolean sind.

Ringe und verteilende Gitter sind beide spezielle Arten von Bohrtürmen, bestimmte Generalisationen von Ringen.

Jene Zahlen im Beispiel 1, die Ringe mindestens nicht bilden, bilden Bohrtürme.

Nahe Bohrtürme sind eine weitere Generalisation von Bohrtürmen, die nach links verteilend, aber nicht richtig-verteilend sind; Beispiel 2 ist ein naher Bohrturm.

Generalisationen von distributivity

In mehreren mathematischen Gebieten werden verallgemeinerte distributivity Gesetze betrachtet. Das kann die Schwächung der obengenannten Bedingungen oder die Erweiterung auf infinitary Operationen einschließen. Besonders in der Ordnungstheorie findet man zahlreiche wichtige Varianten von distributivity, von denen einige infinitary Operationen wie das unendliche verteilende Gesetz einschließen; andere, die in Gegenwart von nur einer binärer Operation, solcher als gemäß Definitionen und ihren Beziehungen definieren werden, werden im Artikel distributivity (Ordnungstheorie) gegeben. Das schließt auch den Begriff eines völlig verteilenden Gitters ein.

In Gegenwart von einer Einrichtungsbeziehung kann man auch die obengenannten Gleichheiten schwächen, indem man = entweder durch  oder durch  ersetzt. Natürlich wird das zu bedeutungsvollen Konzepten nur in einigen Situationen führen. Eine Anwendung dieses Grundsatzes ist der Begriff von sub-distributivity, wie erklärt, im Artikel über die Zwischenraum-Arithmetik.

In der Kategorie-Theorie, wenn (S, μ, η) und (S, μ ', η') monads auf einer Kategorie C sind, ist ein  der verteilenden GesetzS. S'.S eine natürliche Transformation λ: Der  von S. S'.S solch, der (S, λ) eine lockere Karte von monads S  S ist und (S, λ) ist eine colax Karte von  S von monads S. Das ist genau die Daten musste eine monad Struktur auf S'.S definieren: Die Multiplikationskarte ist S'μ.μ'S ². S'λS und die Einheitskarte sind η'S.η. Sieh: verteilendes Gesetz zwischen monads.

Ein verallgemeinertes verteilendes Gesetz ist auch im Gebiet der Informationstheorie vorgeschlagen worden.

Referenzen

• Ayres, Offenherzig, der Umriss von Schaum der Modernen Abstrakten Algebra, McGraw-Hügels; 1. Ausgabe (am 1. Juni 1965). Internationale Standardbuchnummer 0-07-002655-6.

Außenverbindungen

• Eine Demonstration des Verteilenden Gesetzes für die Arithmetik der ganzen Zahl (von der Knoten-Kürzung)