In der Mathematik klingelt Boolean R ist ein Ring (mit der Identität) für der x = x für den ganzen x in R; d. h. R besteht nur aus idempotent Elementen.

Ein Boolean-Ring ist im Wesentlichen dasselbe Ding wie eine Algebra von Boolean mit der Ringmultiplikation entsprechend der Verbindung, oder entsprechen Sie  und Ringhinzufügung zur exklusiven Trennung oder dem symmetrischen Unterschied (nicht Trennung ).

Notationen

Es gibt mindestens vier verschiedene und unvereinbare Systeme der Notation für Ringe von Boolean und Algebra.

• In der Ersatzalgebra soll die Standardnotation x + y = (x  ¬ y)  (¬ x  y) für die Ringsumme von x und y und Gebrauch xy = x  y für ihr Produkt verwenden.
• In der Logik soll eine allgemeine Notation x  y für das Entsprechen (dasselbe als das Ringprodukt) und Gebrauch x  y für die Verbindungslinie verwenden, die in Bezug auf die Ringnotation gegeben ist (gegeben gerade oben) durch x + y + xy.
• In der Mengenlehre und Logik ist es auch üblich, x zu verwenden · y für das Entsprechen und x + y für die Verbindungslinie x  y. Dieser Gebrauch + ist vom Gebrauch in der Ringtheorie verschieden.
• Eine seltene Tagung ist, xy für das Produkt und x  y für die Ringsumme zu verwenden, um die Zweideutigkeit + zu vermeiden.

Die alte Fachsprache sollte "Ring von Boolean" verwenden, um einen "Ring von Boolean vielleicht ohne eine Identität", und "Algebra von Boolean" zu bedeuten, einen Ring von Boolean mit einer Identität zu bedeuten. (Das ist dasselbe weil der alte Gebrauch der Begriffe "Ring" und "Algebra" in der Maß-Theorie) (Bemerken auch, dass, wenn ein Ring von Boolean eine Identität dann hat, eine Ergänzungsoperation definierbar darauf, und eine Schlüsseleigenschaft der modernen Definitionen sowohl der Algebra von Boolean als auch Sigma-Algebra wird, ist, dass sie Ergänzungsoperationen haben.)

Beispiele

Ein Beispiel eines Rings von Boolean ist der Macht-Satz jedes Satzes X, wo die Hinzufügung im Ring symmetrischer Unterschied ist, und die Multiplikation Kreuzung ist. Als ein anderes Beispiel können wir auch den Satz aller begrenzten oder cofinite Teilmengen X, wieder mit dem symmetrischen Unterschied und der Kreuzung als Operationen denken. Mehr allgemein mit diesen Operationen ist jedes Feld von Sätzen ein Ring von Boolean. Durch den Darstellungslehrsatz des Steins ist jeder Ring von Boolean zu einem Feld von Sätzen isomorph (hat als ein Ring mit diesen Operationen behandelt).

Beziehung zu Algebra von Boolean

Da die Verbindungslinie-Operation  in einer Algebra von Boolean häufig zusätzlich geschrieben wird, hat es Sinn in diesem Zusammenhang, Ringhinzufügung durch , ein Symbol anzuzeigen, das häufig verwendet wird, um exklusiv anzuzeigen, oder.

In Anbetracht eines RingR von Boolean für x und y in R können wir definieren

:x  y = xy,

:x  y = x  y  xy,

: ¬ x = 1  x.

Diese Operationen befriedigen dann alle Axiome dafür treffen sich, schließt sich, und Ergänzungen in einer Algebra von Boolean an. So wird jeder Ring von Boolean eine Algebra von Boolean. Ähnlich wird jede Algebra von Boolean ein Ring von Boolean so:

:xy = x  y,

:x  y = (x  y)  ¬ (x  y).

Wenn ein Ring von Boolean in eine Algebra von Boolean auf diese Weise übersetzt wird, und dann die Algebra von Boolean in einen Ring übersetzt wird, ist das Ergebnis der ursprüngliche Ring. Das analoge Ergebnis hält Anfang mit einer Algebra von Boolean.

Eine Karte zwischen zwei Ringen von Boolean ist ein Ringhomomorphismus, wenn, und nur wenn es ein Homomorphismus der entsprechenden Algebra von Boolean ist. Außerdem ist eine Teilmenge eines Rings von Boolean ein Ringideal (Hauptring ideales, maximales Ringideal), wenn, und nur wenn es ein Ordnungsideal (Hauptordnung ideales, maximales Ordnungsideal) der Algebra von Boolean ist. Der Quotient-Ring von Boolean ruft modulo an ein Ringideal entspricht der Faktor-Algebra der entsprechenden Algebra von Boolean modulo das entsprechende Ordnungsideal.

Eigenschaften von Ringen von Boolean

Jeder Boolean klingelt R befriedigt x  x = 0 für den ganzen x in R, weil wir wissen

:x  x = (x  x) = x  2x  x = x  2x  x = x  x  x  x

und seitdem

:x  y = (x  y) = x  xy  yx  y = x  xy  yx  y

und das gibt xy  yx = 0 nach, was xy = yx (das Verwenden des ersten Eigentums oben) bedeutet.

Das Eigentum x  x = 0 Shows, dass jeder Ring von Boolean eine assoziative Algebra über Feld F mit zwei Elementen auf gerade eine Weise ist. Insbesondere jeder begrenzte Ring von Boolean hat als cardinality eine Macht zwei. Nicht jede assoziative Algebra mit einer über F ist ein Ring von Boolean: Denken Sie zum Beispiel den polynomischen Ring F [X].

Die Quotient-RingR/I jedes Boolean rufen R modulo jedes Ideal an ich bin wieder ein Ring von Boolean. Ebenfalls ist jeder Subring eines Rings von Boolean ein Ring von Boolean.

Jedes Hauptideal P in Boolean klingelt R ist maximal: Der Quotient-RingR/P ist ein integriertes Gebiet und auch ein Ring von Boolean, so ist es nach Feld F isomorph, das den maximality von P zeigt. Da maximale Ideale immer Haupt-, Hauptideale sind und maximale Ideale in Ringen von Boolean zusammenfallen.

Ringe von Boolean sind von Neumann regelmäßige Ringe.

Ringe von Boolean sind absolut flach: Das bedeutet, dass jedes Modul über sie flach ist.

Jedes begrenzt erzeugte Ideal eines Rings von Boolean ist (tatsächlich, (x, y) = (x+y+xy)) hauptsächlich.