In der Arithmetik und Zahlentheorie, kleinstes Gemeinsames Vielfaches (hat auch das niedrigste Gemeinsame Vielfache oder kleinste Gemeinsame Vielfache genannt), zwei ganzer Zahlen a und b, der gewöhnlich durch LCM angezeigt ist (a, b), ist die kleinste positive ganze Zahl, die ein Vielfache sowohl von a als auch von b ist. Es ist von der Grundschule-Arithmetik als der "kleinste gemeinsame Nenner" vertraut, der bestimmt werden muss, bevor zwei Bruchteile hinzugefügt werden können.

Wenn entweder a oder b 0 sind, wird LCM (a, b) definiert, um Null zu sein.

Der LCM von mehr als zwei ganzen Zahlen ist auch bestimmt: Es ist die kleinste Zahl, die eine ganze Zahl ist, die von jedem von ihnen vielfach ist.

Übersicht

Notation

In diesem Artikel werden wir kleinstes Gemeinsames Vielfaches von zwei ganzen Zahlen a und b als lcm (a, b) anzeigen. Etwas älterer Lehrbuch-Gebrauch [a, b].

Beispiel

Wie ist der LCM 4 und 6?

Vielfachen 4 sind:

: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76 usw.

und die Vielfachen 6 sind:

: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72...

Gemeinsame Vielfache 4 und 6 sind einfach die Zahlen, die in beiden Listen sind:

: 12, 24, 36, 48, 60, 72....

So ist kleinstes Gemeinsames Vielfaches 4 und 6 der kleinste von denjenigen: 12

Anwendungen

Wenn

man beiträgt, Abstriche machend, oder vulgäre Bruchteile vergleichend, ist es nützlich, kleinstes Gemeinsames Vielfaches der Nenner, häufig genannt den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden, weil jeder der Bruchteile als ein Bruchteil mit diesem Nenner ausgedrückt werden kann. Zum Beispiel,

:

wo der Nenner 42 verwendet wurde, weil es kleinstes Gemeinsames Vielfaches 21 und 6 ist.

Die Computerwissenschaft kleinsten Gemeinsamen Vielfachen

Die Verminderung durch den größten allgemeinen Teiler

Die folgende Formel reduziert das Problem, kleinstes Gemeinsames Vielfaches zum Problem zu schätzen, den größten allgemeinen Teiler (GCD) zu schätzen:

:

Diese Formel ist auch gültig, wenn genau einer von a und b 0, seitdem gcd (a, 0) = |a ist.

Es gibt schnelle Algorithmen, für die GCD zu schätzen, die nicht verlangen, dass die Zahlen factored wie der Euklidische Algorithmus sind. Zum Beispiel oben, zurückzukehren

:

{21\cdot6\over\operatorname {gcd} (21,6) }\

{21\cdot 6\over 3}

\frac {126} {3} = 42. </math>

Weil gcd (a, b) ein Teiler sowohl von a als auch von b ist, ist es effizienter, den LCM durch das Teilen vor dem Multiplizieren zu schätzen:

:

Überprüfen Sie jetzt, ob sich 2 wieder teilt:

Einmal 2 teilt sich nicht mehr, teilen Sie sich durch 3. Wenn sich 3 nicht mehr teilt, versuchen Sie 5 und 7. Setzen Sie fort zu gehen, bis alle Anzahlen zu 1 vermindert worden sind.

Multiplizieren Sie jetzt die Zahlen auf der Spitze, und Sie haben den LCM. In diesem Fall ist es 2 &times; 2 &times; 3 &times; 7 = 84. Sie werden zum LCM das schnellste bekommen, wenn Sie Primzahlen und Anfang von der niedrigsten Blüte, 2 verwenden.

Formeln

Hauptsatz der Arithmetik

Gemäß dem Hauptsatz der Arithmetik ist eine positive ganze Zahl das Produkt von Primzahlen, und abgesehen von ihrer Ordnung, diese Darstellung ist einzigartig:

:

wo die Hochzahlen n, n... natürliche Zahlen sind; zum Beispiel, 84 = 2 3 5 7 11 13...

In Anbetracht zwei ganzer Zahlen und ihres kleinsten Gemeinsamen Vielfachen und größten allgemeinen Teilers werden durch die Formeln gegeben

:

und

:

Seitdem

:

das gibt

:

Tatsächlich kann jede rationale Zahl einzigartig als das Produkt der Blüte geschrieben werden, wenn negativen Hochzahlen erlaubt wird. Wenn das getan wird, bleiben die obengenannten Formeln gültig. Das Verwenden derselben Beispiele wie oben:

:::

Mit dem Gitter theoretisch

Die positiven ganzen Zahlen können durch die Teilbarkeit teilweise bestellt werden: Wenn ein Teilen b (d. h. wenn b eine von a vielfache ganze Zahl ist) einen  b (oder gleichwertig, b  a) schreibt. (Vergessen Sie die übliche Umfang-basierte Definition von  in dieser Abteilung - es wird nicht verwendet.)

Unter dieser Einrichtung werden die positiven ganzen Zahlen ein Gitter damit treffen sich gegeben durch den gcd und schließen sich gegeben durch den lcm an. Der Beweis, ist wenn ein bisschen langweilig aufrichtig; es beläuft sich auf die Überprüfung, dass lcm und gcd befriedigen, treffen sich die Axiome dafür und schließen sich an. Das Stellen des lcm und gcd in diesen allgemeineren Zusammenhang gründet eine Dualität zwischen ihnen:

:If, den eine Formel, die Variablen der ganzen Zahl, gcd, lcm,  und  einschließt, dann die erhaltene Formel durch die Schaltung gcd mit lcm und die Schaltung  mit  wahr ist, ist auch wahr. (Erinnern Sie sich, dass  definiert wird, wie sich teilt).

Die folgenden Paare von Doppelformeln sind spezielle Fälle der allgemeinen mit dem Gitter theoretischen Identität.

Es kann auch gezeigt werden, dass dieses Gitter verteilend ist, d. h. dass lcm über gcd und Doppel-verteilt, dass gcd über lcm verteilt:

::

Dieser identitity ist Selbstdoppel-:

:

Anderer

Lassen Sie D das Produkt &omega sein; (D) verschiedene Primzahlen (d. h. D ist squarefree).

Dann:

wo die absoluten Bars || den cardinality eines Satzes anzeigen.

Der LCM in Ersatzringen

Kleinstes Gemeinsames Vielfaches kann allgemein über Ersatzringe wie folgt definiert werden: Lassen Sie a und b Elemente eines Ersatzrings R sein. Ein Gemeinsames Vielfaches von a und b ist ein Element M von solchem R, dass sowohl a als auch b M teilen (d. h. dort bestehen Sie Elemente x und y von solchem R dass Axt = M und durch = m). Kleinstes Gemeinsames Vielfaches von a und b ist ein Gemeinsames Vielfaches, das im Sinn minimal ist, dass für jedes andere Gemeinsame Vielfache n a und b M n teilt.

Im Allgemeinen können zwei Elemente in einem Ersatzring kein kleinstes Gemeinsames Vielfaches oder mehr als einen haben. Jedoch jeder zwei sind kleinste Gemeinsame Vielfache desselben Paares von Elementen Partner. In einem einzigartigen factorization Gebiet haben irgendwelche zwei Elemente kleinstes Gemeinsames Vielfaches. In einem idealen Hauptgebiet kann kleinstes Gemeinsames Vielfaches von a und b als ein Generator der Kreuzung der durch a erzeugten Ideale charakterisiert werden, und b (ist die Kreuzung einer Sammlung von Idealen immer ein Ideal). In idealen Hauptgebieten kann man sogar über kleinstes Gemeinsames Vielfaches von willkürlichen Sammlungen von Elementen sprechen: Es ist ein Generator der Kreuzung der durch die Elemente der Sammlung erzeugten Ideale.

Siehe auch

• Größter allgemeiner Teiler
• Anomale Annullierung
• Funktion von Tschebyscheff

Referenzen

Links

• LCM Online-Rechenmaschine
• Online-LCM und GCD Rechenmaschine - zeigen auch Bruchteile von gegebenen Zahlen
• Algorithmus, für den LCM zu schätzen
• Kleinstes Gemeinsames Vielfaches vom Wolfram MathWorld
• LCM von Bruchteilen
• Fortgeschrittene Rechenmaschine von Least Common Multiple (LCM) für 2 - 5 Zahlen.