In der Mathematik kann man häufig ein direktes Produkt von Gegenständen definieren

bereits bekannt, einen neuen gebend. Das ist allgemein das Kartesianische Produkt der zu Grunde liegenden Sätze zusammen mit einer angemessen definierten Struktur auf dem Produktsatz.

Abstrakter spricht man über das Produkt in der Kategorie-Theorie, die diese Begriffe formalisiert.

Beispiele sind das Produkt von Sätzen (sieh Kartesianisches Produkt), Gruppen (beschrieben unten), das Produkt von Ringen und anderer algebraischer Strukturen. Das Produkt von topologischen Räumen ist ein anderes Beispiel.

Es gibt auch die direkte Summe - in einigen Gebieten das wird austauschbar verwendet, in anderen ist es ein verschiedenes Konzept.

Beispiele

• Wenn wir als der Satz von reellen Zahlen denken, dann ist das direkte Produkt genau gerade das kartesianische Produkt.
• Wenn wir als die Gruppe von reellen Zahlen unter der Hinzufügung denken, dann besteht das direkte Produkt noch daraus. Der Unterschied dazwischen und dem vorhergehenden Beispiel ist das ist jetzt eine Gruppe. Wir müssen auch sagen, wie man ihre Elemente hinzufügt. Das wird durch das Lassen getan.
• Wenn wir als der Ring von reellen Zahlen denken, dann besteht das direkte Produkt wieder daraus. Um das einen Ring zu machen, sagen wir, wie ihre Elemente hinzugefügt werden, und wie sie multipliziert werden.
• Jedoch, wenn wir als das Feld von reellen Zahlen denken, dann besteht das direkte Produkt nicht - naiv auf eine ähnliche Weise zu den obengenannten Beispielen definierend, würde auf kein Feld hinauslaufen, da das Element kein multiplicative Gegenteil hat.

Auf eine ähnliche Weise können wir über das Produkt von mehr als zwei Gegenständen z.B sprechen. Wir können sogar über das Produkt von ungeheuer vielen Gegenständen z.B sprechen.

Gruppe direktes Produkt

In der Gruppentheorie kann man das direkte Produkt von zwei definieren

Gruppen (G, *) und (H, ), angezeigt durch G × H. Für abelian Gruppen, die zusätzlich geschrieben werden, kann es auch die direkte Summe von zwei Gruppen genannt werden, die dadurch angezeigt sind.

Es wird wie folgt definiert:

• der Satz der Elemente der neuen Gruppe ist das kartesianische Produkt der Sätze von Elementen von G und H, der {(g, h) ist: g in G, h in H\;
• auf diesen Elementen stellt eine Operation, hat elementwise definiert:

(Bemerken Sie, dass die Operation * dasselbe als  sein kann.)

Dieser Aufbau gibt eine neue Gruppe. Es hat eine normale Untergruppe

isomorph zu G (gegeben durch die Elemente der Form (g, 1)),

und ein isomorpher zu H (das Enthalten der Elemente (1, h)).

Die Rückseite hält auch, es gibt den folgenden Anerkennungslehrsatz: Wenn eine Gruppe K zwei normale Untergruppen G und H, solch enthält, dass K = GH und die Kreuzung von G und H nur die Identität enthalten, dann ist K zu G x H isomorph. Eine Entspannung dieser Bedingungen, nur eine Untergruppe verlangend, normal zu sein, gibt das halbdirekte Produkt.

Als ein Beispiel, nehmen Sie als G und H zwei Kopien des einzigartigen (bis zu

Isomorphismus) Gruppe des Auftrags 2, C: Sagen Sie {1,} und {1, b}. Dann C×C = {(1,1), (1, b), (a, 1), (a, b)}, mit dem Operationselement durch das Element. Zum Beispiel, (1, b) * (a, 1) = (1*a, b*1) = (a, b), und (1, b) * (1, b) = (1, b) = (1,1).

Mit einem direkten Produkt bekommen wir einen natürlichen Gruppenhomomorphismus umsonst: Der Vorsprung stellt kartografisch dar

:

:

genannt die Koordinatenfunktionen.

Außerdem wird jeder Homomorphismus f auf dem direkten Produkt durch seine Teilfunktionen völlig bestimmt

.

Für jede Gruppe (G, *), und jede ganze Zahl n  0, gibt die vielfache Anwendung des direkten Produktes die Gruppe aller N-Tupel G (für n=0 die triviale Gruppe). Beispiele:

• Z
• R (mit dem zusätzlichen Vektorraum strukturieren, wird das Euklidischen Raum genannt, sieh unten)

Direktes Produkt von Modulen

Das direkte Produkt für Module (um mit dem Tensor-Produkt nicht verwirrt zu sein), ist demjenigen sehr ähnlich, das für Gruppen oben mit dem kartesianischen Produkt mit der Operation der Hinzufügung definiert ist, die componentwise und der Skalarmultiplikation gerade ist, die über alle Bestandteile verteilt. Das Starten von R bekommen wir Euklidischen Raum R, das archetypische Beispiel eines echten n-dimensional Vektorraums. Das direkte Produkt von R und R ist R.

Bemerken Sie, dass ein direktes Produkt für einen begrenzten Index zur direkten Summe identisch ist. Die direkte Summe und das direkte Produkt unterscheiden sich nur für unendliche Indizes, wo die Elemente einer direkten Summe Null für alle außer für eine begrenzte Zahl von Einträgen sind. Sie sind im Sinne der Kategorie-Theorie Doppel-: Die direkte Summe ist der coproduct, während das direkte Produkt das Produkt ist.

Ziehen Sie zum Beispiel in Betracht und, das unendliche direkte Produkt und die direkte Summe der reellen Zahlen. Nur Folgen mit einer begrenzten Zahl von Nichtnullelementen sind in Y. Zum Beispiel, (1,0,0,0...) ist in Y, aber (1,1,1,1...) ist nicht. Beide dieser Folgen sind im direkten Produkt X; tatsächlich ist Y eine richtige Teilmenge X (d. h. YX).

Topologisches direktes Raumprodukt

Das direkte Produkt für eine Sammlung von topologischen Räumen X, weil ich in mir, ein Index ist wieder untergegangen, vom kartesianischen Produkt Gebrauch mache

:

Das Definieren der Topologie ist etwas heikel. Für begrenzt viele Faktoren ist das das offensichtliche und natürliche Ding zu tun: Nehmen Sie einfach als eine Basis von offenen Sätzen, um die Sammlung aller kartesianischen Produkte von offenen Teilmengen von jedem Faktor zu sein:

:

Diese Topologie wird die Produkttopologie genannt. Zum Beispiel, direkt die Produkttopologie auf R durch die offenen Sätze von R (zusammenhanglose Vereinigungen von offenen Zwischenräumen) definierend, würde die Basis für diese Topologie aus allen zusammenhanglosen Vereinigungen von offenen Rechtecken im Flugzeug bestehen (wie es sich erweist, fällt es mit der üblichen metrischen Topologie zusammen).

Die Produkttopologie für unendliche Produkte hat eine Drehung, und das ist mit dem im Stande Sein verbunden, alle Vorsprung-Karten dauernd zu machen und alle Funktionen ins Produkt dauernd zu machen, wenn, und nur wenn alle seine Teilfunktionen dauernd sind (d. h. die kategorische Definition des Produktes zu befriedigen: Die morphisms hier sind dauernde Funktionen): Wir nehmen als eine Basis von offenen Sätzen, um die Sammlung aller kartesianischen Produkte von offenen Teilmengen von jedem Faktor wie zuvor mit der Bedingung zu sein, dass alle außer begrenzt vielen der offenen Teilmengen der komplette Faktor sind:

:

Die mehr natürlich klingende Topologie würde in diesem Fall Produkte von ungeheuer vielen offenen Teilmengen wie zuvor nehmen sollen, und das gibt wirklich eine etwas interessante Topologie, die Kasten-Topologie nach. Jedoch ist es nicht zu schwierig, ein Beispiel des Bündels von dauernden Teilfunktionen zu finden, deren Produktfunktion nicht dauernd ist (sieh die getrennte Zugang-Kasten-Topologie für ein Beispiel und mehr). Das Problem, das die Drehung notwendig macht, wird in der Tatsache schließlich eingewurzelt, dass, wie man nur versichert, die Kreuzung von offenen Sätzen für begrenzt viele Sätze in der Definition der Topologie offen ist.

Produkte (mit der Produkttopologie) sind in Bezug auf die Bewahrung von Eigenschaften ihrer Faktoren nett; zum Beispiel ist das Produkt von Räumen von Hausdorff Hausdorff; das Produkt von verbundenen Räumen wird verbunden, und das Produkt von Kompakträumen ist kompakt. Dieser letzte, genannt den Lehrsatz von Tychonoff, ist noch eine andere Gleichwertigkeit zum Axiom der Wahl.

Für mehr Eigenschaften und gleichwertige Formulierungen, sieh die getrennte Zugang-Produkttopologie.

Direktes Produkt von binären Beziehungen

Auf dem Kartesianischen Produkt von zwei Sätzen mit binären Beziehungen R und S, definieren Sie (a, b) T (c, d) als ein R c und b S d. Wenn R und S beide, irreflexive reflexiv sind, hat transitive, symmetrische oder antisymmetrische, Beziehung T dasselbe Eigentum. Das Kombinieren von Eigenschaften, hieraus folgt dass sich das auch bewirbt eine Vorordnung zu sein und eine Gleichwertigkeitsbeziehung zu sein. Jedoch, wenn R und S Gesamtbeziehungen sind, ist T im Allgemeinen nicht.

Kategorisches Produkt

Das direkte Produkt kann zu einer willkürlichen Kategorie abstrahiert werden. In einer allgemeinen Kategorie in Anbetracht einer Sammlung von Gegenständen A und einer Sammlung von morphisms p von bis mit gehe mir, sich in einem Index erstreckend, I unter, wie man sagt, ist ein Gegenstand A ein kategorisches Produkt in der Kategorie, wenn, für einen Gegenstand B und eine Sammlung von morphisms f von B bis A, dort ein einzigartiger morphism f von B bis Einen solchen besteht, dass f = p f und dieser Gegenstand A einzigartig ist. Das arbeitet nicht nur für zwei Faktoren, aber willkürlich (sogar ungeheuer) viele.

Für Gruppen definieren wir ähnlich das direkte Produkt einer allgemeineren, willkürlichen Sammlung von Gruppen G weil ich in mir, ich ein Index-Satz. Wenn wir das kartesianische Produkt der Gruppen durch G anzeigen, definieren wir Multiplikation auf G mit der Operation der componentwise Multiplikation; und entsprechend dem p in der Definition sind oben die Vorsprung-Karten

:

die Funktionen, die in seinen ith Bestandteil g bringen.

Inneres und Äußerliches direktes Produkt

Einige Autoren machen einen Unterschied zwischen einem inneren direkten Produkt und einem direkten Außenprodukt. Wenn und, dann sagen wir, dass X ein inneres direktes Produkt (A und B) ist; wenn A und B nicht Subgegenstände sind, dann sagen wir, dass das ein direktes Außenprodukt ist.

Metrisch und Norm

Ein metrischer auf einem Kartesianischen Produkt von metrischen Räumen und eine Norm auf einem direkten Produkt von normed Vektorräumen, können auf verschiedene Weisen definiert werden, zum Beispiel P-Norm zu sehen.

Siehe auch

• Direkte Summe
• Kartesianisches Produkt
• Coproduct
• Freies Produkt
• Halbdirektes Produkt
• Produkt von Zappa-Szep
• Tensor-Produkt von Graphen
• Ordnungen auf dem Kartesianischen Produkt völlig bestellter Sätze

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