In der Mathematik sind ein geleiteter Satz (oder eine geleitete Vorordnung oder ein gefilterter Satz) ein nichtleerer Satz zusammen mit einer reflexiven und transitiven binären Beziehung  (d. h. eine Vorordnung) mit dem zusätzlichen Eigentum, dass jedes Paar von Elementen einen gebundenen oberen hat: Mit anderen Worten, für jeden a und b darin dort muss ein c in mit einem  c und b  c bestehen.

Geleitete Sätze sind eine Generalisation von nichtleeren völlig bestellten Sätzen, d. h. alle völlig bestellten Sätze werden Sätze (aber nicht alle teilweise bestellten Sätze) geleitet. In der Topologie werden geleitete Sätze verwendet, um Netze zu definieren, die Folgen verallgemeinern und die verschiedenen Begriffe der in der Analyse verwendeten Grenze vereinigen. Geleitete Sätze verursachen auch direkte Grenzen in der abstrakten Algebra und (mehr allgemein) Kategorie-Theorie.

Gleichwertige Definition

Zusätzlich zur Definition oben gibt es eine gleichwertige Definition. Ein geleiteter Satz ist ein Satz mit einer solcher Vorordnung, dass jede begrenzte Teilmenge von A einen gebundenen oberen hat. Die obengenannte Definition bezieht diesen ein: Das der leeren Teilmenge gebundene obere ist jedes vorhandene Element von A, weil A nichtleer ist; außerdem, als nachweisbar mit einem Induktionsargument über die Größe von nichtleeren begrenzten Teilmengen, kann das einer begrenzten Teilmenge gebundene obere durch die Entdeckung von oberen Grenzen von Paaren wiederholend erhalten werden.

Beispiele

Beispiele von geleiteten Sätzen schließen ein:

• Der Satz von natürlichen Zahlen N mit der gewöhnlichen Ordnung  ist ein geleiteter Satz (und ist auch jeder völlig bestellte Satz).
• Lassen Sie D und D Sätze geleitet werden. Dann ist das Kartesianische Produkt untergegangen D kann D in einen geleiteten Satz durch das Definieren (n, n)  (M, m) wenn und nur wenn n  M und n  M gemacht werden. In der Analogie zur Produktordnung ist das die Produktrichtung auf dem Kartesianischen Produkt.
• Der Satz N N Paare von natürlichen Zahlen kann in einen geleiteten Satz durch das Definieren (n, n)  (M, m) wenn und nur wenn n  M und n  M gemacht werden.
• Wenn x eine reelle Zahl ist, können wir den Satz R  {x} in einen geleiteten Satz drehen, indem wir einen  b wenn und nur wenn ein  x  b  x schreiben. Wir sagen dann, dass die reals zu x geleitet worden sind. Das ist ein Beispiel eines geleiteten Satzes, der (weder völlig noch teilweise) nicht bestellt wird.
• Ein (triviales) Beispiel eines teilweise bestellten Satzes, der nicht geleitet wird, ist der Satz {a, b}, in dem die einzigen Ordnungsbeziehungen ein  a und b  b sind. Ein weniger triviales Beispiel ist dem vorherigen Beispiel "reals geleitet zu x" ähnlich, aber in dem die Einrichtungsregel nur für Paare von Elementen auf derselben Seite von x gilt.
• Wenn T ein topologischer Raum ist und x ein Punkt in T ist, drehen wir den Satz der ganzen Nachbarschaft von x in einen geleiteten Satz, indem wir U  V schreiben, wenn, und nur wenn U V enthält.
• Für jeden U: U  U; da sich U beherrscht.
• Für jeden U, V, W: wenn U  V und V  W, dann U  W; seitdem, wenn U V und V enthält, enthält W dann U enthält W.
• Für jeden U, V: Dort besteht der Satz U V solch dass U  U V und V  U V; seitdem enthalten sowohl U als auch V U V.
• In einem poset P, jedem niedrigeren Verschluss eines Elements, d. h. jeder Teilmenge der Form {in P, wird ein x}, wo x ein festes Element von P ist, geleitet.

Unähnlichkeit mit Halbgittern

Geleitete Sätze sind ein mehr Gesamtkonzept, als (sich) Halbgittern (anschließen): Jedes Verbindungslinie-Halbgitter ist ein geleiteter Satz, wie die Verbindungslinie oder am wenigsten ober gebunden zwei Elemente der gewünschte c ist. Das gegenteilige hält jedoch nicht, bezeugt den geleiteten Satz {1000,0001,1101,1011,1111} bestellt durch den binären Wert (z.B 1000  1011 halten, aber 1000  0001 tut nicht), wo {1000,0001} drei obere Grenzen, aber nicht am wenigsten ober gebunden hat.

Geleitete Teilmengen

Die Ordnungsbeziehung in sind geleitete Sätze nicht erforderlich, antisymmetrisch zu sein, und deshalb sind geleitete Sätze nicht immer teilweise Ordnungen. Jedoch hat der Begriff angeordnet, dass Satz auch oft im Zusammenhang von posets verwendet wird. In dieser Einstellung wird eine Teilmenge eines teilweise bestellten Satzes (P, ) eine geleitete Teilmenge genannt, wenn es ein geleiteter Satz gemäß derselben teilweisen Ordnung ist: Mit anderen Worten ist es nicht der leere Satz, und jedes Paar von Elementen hat einen gebundenen oberen. Hier wird die Ordnungsbeziehung auf den Elementen von A von P geerbt; aus diesem Grund braucht reflexivity und transitivity nicht ausführlich erforderlich zu sein.

Eine geleitete Teilmenge eines poset ist nicht erforderlich, nach unten geschlossen zu werden; eine Teilmenge eines poset wird geleitet, wenn, und nur wenn sein Verschluss nach unten ein Ideal ist. Während die Definition eines geleiteten Satzes für einen "aufwärts geleiteten" Satz ist (jedes Paar von Elementen hat einen oberen gebunden), es ist auch möglich, einen nach unten geleiteten Satz zu definieren, in dem jedes Paar von Elementen einen tiefer gebundenen allgemeinen hat. Eine Teilmenge eines poset wird nach unten geleitet, wenn, und nur wenn sein oberer Verschluss ein Filter ist.

Geleitete Teilmengen werden in der Bereichstheorie verwendet, die geleitete ganze teilweise Ordnungen studiert. Das ist posets, in dem jeder aufwärts geleitete Satz erforderlich ist, einen gebundenen am wenigsten oberen zu haben. In diesem Zusammenhang stellen geleitete Teilmengen wieder eine Generalisation von konvergenten Folgen zur Verfügung.

Siehe auch

• Gefilterte Kategorie
• In den Mittelpunkt gestellt setzt
• Verbunden setzt

Referenzen

• J. L. Kelley (1955), allgemeine Topologie.
• Gierz, Hofmann, Keimel, u. a. (2003), Dauernde Gitter und Gebiete, Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0521803381.