In der Maß-Theorie (ein Zweig der mathematischen Analyse) hält ein Eigentum fast überall, wenn der Satz von Elementen, für die das Eigentum nicht hält, eine Nullmenge, d. h. eine Reihe der Maß-Null (Halmos 1974) ist. In Fällen, wo das Maß nicht abgeschlossen ist, ist es genügend, dass der Satz innerhalb von einer Reihe der Maß-Null enthalten wird. Wenn man Sätze von reellen Zahlen bespricht, wird das Maß von Lebesgue, wenn sonst nicht festgesetzt, angenommen.

Der Begriff fast überall wird a.e abgekürzt.; in der älteren Literatur wird p.p. verwendet, um für den gleichwertigen Ausdruck der Französischen Sprache presque partout einzutreten.

Ein Satz mit dem vollen Maß ist derjenige, dessen Ergänzung von der Maß-Null ist. In der Wahrscheinlichkeitstheorie, die Begriffe fast sicher, fast sicher und beziehen sich fast immer auf Sätze mit der Wahrscheinlichkeit 1, die genau die Sätze des vollen Maßes in einem Wahrscheinlichkeitsraum sind.

Gelegentlich anstatt zu sagen, dass ein Eigentum fast überall hält, wird es gesagt, dass das Eigentum für fast alle Elemente hält (obwohl der Begriff fast alle auch andere Bedeutungen haben).

Eigenschaften

• Wenn f: R  ist R eine Funktion von Lebesgue integrable und f (x)  0 fast überall, dann

:for alle reellen Zahlen fast überall.

• Wenn f: [a b]  ist R eine monotonische Funktion, dann ist f differentiable fast überall.
• Wenn f: R  ist R Lebesgue messbar und

::

:for alle reellen Zahlen ein

:converges zu f (x) als Abnahmen zur Null. Der Satz E wird den Satz von Lebesgue von f genannt. Wie man beweisen kann, hat seine Ergänzung Maß-Null. Mit anderen Worten läuft von f bösartiger Lebesgue zu f fast überall zusammen.

• Wenn f (x, y) Borel ist, der auf R dann für fast jeden x messbar ist, ist die Funktion yf (x, y) messbarer Borel.
• Eine begrenzte Funktion f: [a b] ist R Riemann integrable, wenn, und nur wenn es fast überall dauernd ist.

Definition mit Ultrafiltern

Außerhalb des Zusammenhangs der echten Analyse wird der Begriff eines Eigentums wahr fast überall manchmal in Bezug auf einen Ultrafilter definiert. Ein Ultrafilter auf einem Satz X ist eine maximale Sammlung F Teilmengen X solch dass:

1. Wenn U  F und U  V dann V  F
2. Die Kreuzung irgendwelcher zwei Sätze in F ist in F
3. Der leere Satz ist nicht in F

Ein Eigentum P Punkte in X hält fast überall, hinsichtlich eines Ultrafilters F, wenn der Satz von Punkten, für die P hält, in F. ist

Zum Beispiel definiert ein Aufbau des Systems der hyperreellen Zahl eine hyperreelle Zahl als eine Gleichwertigkeitsklasse von Folgen, die fast überall, wie definiert, durch einen Ultrafilter gleich sind.

Die Definition fast überall in Bezug auf Ultrafilter ist nah mit der Definition in Bezug auf Maßnahmen verbunden, weil jeder Ultrafilter ein begrenzt zusätzliches Maß definiert, das nur die Werte 0 und 1 nimmt, wo ein Satz Maß 1 hat, wenn, und nur wenn es in den Ultrafilter eingeschlossen wird.