In der Mathematik ist der getrennte Fourier verwandelt sich (DFT) eine spezifische Art von getrennten verwandeln sich, verwendet in der Analyse von Fourier. Es gestaltet eine Funktion in einen anderen um, der die Frequenzbereichsdarstellung oder einfach den DFT, der ursprünglichen Funktion genannt wird (der häufig eine Funktion im Zeitabschnitt ist). Der DFT verlangt eine Eingangsfunktion, die getrennt ist. Solche Eingänge werden häufig durch die Stichprobenerhebung einer dauernden Funktion wie eine Stimme einer Person geschaffen. Die getrennte Eingangsfunktion muss auch eine beschränkte (begrenzte) Dauer, wie eine Periode einer periodischen Folge oder ein mit Fenster versehenes Segment einer längeren Folge haben. Verschieden von der diskreten Zeit Fourier verwandelt sich (DTFT) bewertet der DFT nur genug Frequenzbestandteile, um das begrenzte Segment wieder aufzubauen, das analysiert wurde. Der umgekehrte DFT kann den kompletten Zeitabschnitt nicht wieder hervorbringen, wenn der Eingang zufällig periodisch ist. Deshalb wird es häufig gesagt, dass der DFT ein Umgestalten für die Analyse von Fourier von Funktionen der diskreten Zeit des begrenzten Gebiets ist.

Der Eingang zum DFT ist eine begrenzte Folge von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen (mit abstrakteren Generalisationen, die unten besprochen sind), das DFT Ideal machend, um in Computern versorgte Information zu bearbeiten. Insbesondere der DFT wird in der Signalverarbeitung und den zusammenhängenden Feldern weit verwendet, um die in einem probierten Signal enthaltenen Frequenzen zu analysieren, teilweise Differenzialgleichungen zu lösen, und andere Operationen wie Gehirnwindungen oder das Multiplizieren großer ganzer Zahlen durchzuführen. Ein Schlüsselermöglichen-Faktor für diese Anwendungen ist die Tatsache, dass der DFT effizient in der Praxis mit einem Algorithmus des schnellen Fouriers verwandelt sich (FFT) geschätzt werden kann.

FFT Algorithmen werden so allgemein verwendet, um DFTs zu schätzen, dass der Begriff "FFT" häufig gebraucht wird, "um DFT" in umgangssprachlichen Einstellungen zu bedeuten. Formell gibt es eine klare Unterscheidung: "DFT" bezieht sich auf eine mathematische Transformation oder Funktion, unabhängig davon, wie es geschätzt wird, wohingegen sich "FFT" auf eine spezifische Familie von Algorithmen bezieht, um DFTs zu schätzen. Die Fachsprache wird weiter durch (jetzt selten) Synonym verschmiert, das begrenzter Fourier für den DFT umgestaltet, der anscheinend den Begriff "schneller Fourier zurückdatiert, verwandeln sich" (Cooley u. a. 1969), aber hat denselben initialism.

Definition

Die Folge von N komplexen Zahlen x..., x wird in eine andere Folge von N komplexen Zahlen gemäß der DFT Formel umgestaltet:

Das Umgestalten wird manchmal durch das Symbol, als in oder oder angezeigt

kann interpretiert oder auf verschiedene Weisen zum Beispiel abgeleitet werden:

• Es beschreibt völlig die diskrete Zeit Fourier verwandelt sich (DTFT) einer N-periodic Folge, die nur getrennte Frequenzbestandteile umfasst. (Diskrete Zeit Fourier transform#Periodic Daten)
• Es kann auch Proben gleichförmig unter Drogeneinfluss des dauernden DTFT einer begrenzten Länge-Folge zur Verfügung stellen. (Stichprobenerhebung des DTFT)
• Es ist die getrennte Analogie der Formel für die Koeffizienten einer Reihe von Fourier:

der das Gegenteil DFT (IDFT) ist. Jeder ist eine komplexe Zahl, die sowohl Umfang als auch Phase eines sinusförmigen Bestandteils der Funktion verschlüsselt.

Die Frequenz des sinusoid ist Zyklen pro Probe. Sein Umfang und Phase sind:

::

wo atan2 die Zwei-Argumente-Form der Arctan-Funktion ist. Der Normalisierungsfaktor, der den DFT und IDFT (hier 1 und 1/N) und die Zeichen der Hochzahlen multipliziert, ist bloß Vereinbarung, und unterscheidet sich in einigen Behandlungen. Die einzigen Voraussetzungen dieser Vereinbarung sind, dass der DFT und IDFT Hochzahlen des entgegengesetzten Zeichens und dass das Produkt ihrer Normalisierungsfaktoren haben, 1/N sein. Eine Normalisierung sowohl für den DFT als auch für IDFT macht das einheitliche Umgestalten, der einige theoretische Vorteile hat. Aber es ist häufig in der numerischen Berechnung praktischer, um das Schuppen plötzlich als oben durchzuführen (und ein Einheitsschuppen kann auf andere Weisen günstig sein).

(Die Tagung eines negativen Zeichens in der Hochzahl ist häufig günstig, weil es bedeutet, dass das der Umfang einer "positiven Frequenz" ist. Gleichwertig wird vom DFT häufig als ein verglichener Filter gedacht: Wenn man nach einer Frequenz +1 sucht, bezieht man das eingehende Signal mit einer Frequenz 1 aufeinander.)

In der folgenden Diskussion werden die Begriffe "Folge" und "Vektor" austauschbar betrachtet.

Eigenschaften

Vollständigkeit

Der getrennte Fourier verwandelt sich ist ein invertible, geradlinige Transformation

:

mit C Bezeichnung des Satzes von komplexen Zahlen. Mit anderen Worten, für jeden N> 0, hat ein N-dimensional komplizierter Vektor einen DFT und einen IDFT, die der Reihe nach N-dimensional Komplex-Vektoren sind.

Orthogonality

Die Vektoren

bilden Sie eine orthogonale Basis über den Satz von N-dimensional komplizierten Vektoren:

:

= \sum_ {n=0} ^ {n-1} \left (e^ {\frac {2\pi ich} {N} kn }\\Recht) \left (e^ {\\frac {2\pi ich} {N} (-k') n }\\Recht)

= \sum_ {n=0} ^ {n-1} e^ {\frac {2\pi ich} {N} (k-k') n}

= N ~\delta_ {kk' }\

</Mathematik>

wo das Delta von Kronecker ist. (Im letzten Schritt ist die Summierung trivial, wenn, wo es 1+1 +  =N ist, und sonst eine geometrische Reihe ist, die ausführlich summiert werden kann, um Null zu erhalten.) Kann diese orthogonality Bedingung verwendet werden, um die Formel für den IDFT aus der Definition des DFT abzuleiten, und ist zum unitarity Eigentum unten gleichwertig.

Der Plancherel Lehrsatz und der Lehrsatz von Parseval

Wenn X und Y der DFTs von x und y beziehungsweise dann die Lehrsatz-Staaten von Plancherel sind:

:

wo der Stern komplizierte Konjugation anzeigt. Der Lehrsatz von Parseval ist ein spezieller Fall des Lehrsatzes von Plancherel und der Staaten:

:

Diese Lehrsätze sind auch zur einheitlichen Bedingung unten gleichwertig.

Periodizität

Wenn der Ausdruck, der den DFT definiert, für alle ganzen Zahlen k statt gerade dafür bewertet wird, dann ist die resultierende unendliche Folge eine periodische Erweiterung des DFT, der mit der Periode N periodisch ist.

Die Periodizität kann direkt aus der Definition gezeigt werden:

:

\sum_ {n=0} ^ {n-1} x_n e^ {-\frac {2\pi ich} {N} k n} \underbrace {e^ {-2 \pi i n}} _ {1} = \sum_ {n=0} ^ {n-1} x_n e^ {-\frac {2\pi ich} {N} k n} = X_k. </Mathematik>

Ähnlich kann es gezeigt werden, dass die IDFT Formel zu einer periodischen Erweiterung führt.

Der Verschiebungslehrsatz

Wenn sie

durch eine geradlinige Phase für eine ganze Zahl multipliziert, entspricht M einer kreisförmigen Verschiebung der Produktion: Wird dadurch ersetzt, wo die Subschrift modulo N (d. h., regelmäßig) interpretiert wird. Ähnlich entspricht eine kreisförmige Verschiebung des Eingangs dem Multiplizieren der Produktion durch eine geradlinige Phase. Mathematisch, wenn den Vektoren x dann vertritt

:if

:then

:and

Kreisförmiger Gehirnwindungslehrsatz und Quer-Korrelationslehrsatz

Der Gehirnwindungslehrsatz für die dauernde und diskrete Zeit, die Fourier umgestaltet, zeigt an, dass eine Gehirnwindung von zwei unendlichen Folgen erhalten werden kann, weil sich das Gegenteil vom Produkt der Person verwandelt, verwandelt sich. Mit Folgen und verwandelt sich der Länge N, eine Rundheit entsteht:

:

\begin {richten }\aus

\mathcal {F} ^ {-1} \left \{\mathbf {X\cdot Y} \right \} _n \&\\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\

\frac {1} {N} \sum_ {k=0} ^ {n-1} X_k \cdot Y_k \cdot e^ {\\frac {2\pi ich} {N} k n }\\\

&= \frac {1} {N} \sum_ {k=0} ^ {n-1} \left (\sum_ {l=0} ^ {n-1} x_l e^ {-\frac {2 \pi i} {N} k l }\\Recht) \cdot \left (\sum_ {m=0} ^ {n-1} y_m e^ {-\frac {2 \pi i} {N} k M }\\Recht) \cdot e^ {\\frac {2\pi ich} {N} k n }\\\

&= \sum_ {l=0} ^ {n-1} x_l

\sum_ {m=0} ^ {n-1} y_m

\left (\frac {1} {N} \sum_ {k=0} ^ {n-1} e^ {\\frac {2 \pi i} {N} k (n-l-m)} \right).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die Menge in Parenthesen ist 0 für alle Werte der M außer denjenigen der Form, wo p jede ganze Zahl ist. An jenen Werten ist es 1. Es kann deshalb durch eine unendliche Summe von Delta-Funktionen von Kronecker ersetzt werden, und wir machen entsprechend weiter. Bemerken Sie, dass wir auch die Grenzen der M zur Unendlichkeit mit dem Verstehen erweitern können, dass der x und die y Folgen als 0 Außenseite [0, n-1] definiert werden:

:\begin {richten }\aus

\mathcal {F} ^ {-1} \left \{\mathbf {X\cdot Y} \right \} _n

&= \sum_ {l=0} ^ {n-1} x_l

\sum_ {M =-\infty} ^ {\\infty} y_m

\left (\sum_ {p =-\infty} ^ {\\infty} \delta_ {M, (n-l-pN)} \right) \\

&= \sum_ {l=0} ^ {n-1} x_l

\sum_ {p =-\infty} ^ {\\infty} \underbrace {\\ist (\sum_ {M =-\infty} ^ {\\infty} y_m \cdot \delta_ {M, (n-l-pN) }\\Recht)} _ {y_ {n-l-pN}} \\abgereist

&= \sum_ {l=0} ^ {n-1} x_l \left (\sum_ {p =-\infty} ^ {\\infty} y_ {n-l-pN }\\Recht)

\\stackrel {\\mathrm {def}} {=} \(\mathbf {x * y_N}) _n\,

\end {richten }\aus</Mathematik>

der die Gehirnwindung der Folge mit einer durch die periodische Summierung erweiterten Folge ist:

:

Ähnlich kann es dass gezeigt werden:

:

\mathcal {F} ^ {-1} \left \{\mathbf {X^* \cdot Y} \right \} _n

\sum_ {l

0\^ {n-1} X_l^* \cdot (y_N) _ {n+l} \\\stackrel {\\mathrm {def}} {=} \\(\mathbf {x \star y_N}) _n\,

</Mathematik>

der die Quer-Korrelation und der ist

Eine direkte Einschätzung der Gehirnwindung oder Korrelationssummierung verlangen (oben) Operationen wegen einer Produktionsfolge der Länge N. Eine indirekte Methode, das Verwenden verwandelt sich, kann die Leistungsfähigkeit des schnellen Fouriers verwandelt sich (FFT) ausnutzen, um viel bessere Leistung zu erreichen. Außerdem können Gehirnwindungen verwendet werden, um DFTs über den FFT Algorithmus von Rader und den FFT Algorithmus von Bluestein effizient zu schätzen.

Methoden sind auch entwickelt worden, um kreisförmige Gehirnwindung als ein Teil eines effizienten Prozesses zu verwenden, der normale (nichtkreisförmige) Gehirnwindung mit oder potenziell viel längere Folge erreicht, als die praktischen Größe (N) umgestalten. Zwei solche Methoden werden genannt Übergreifen - sparen und überlappen - tragen bei.

Gehirnwindungslehrsatz-Dualität

Es kann auch dass gezeigt werden:

:

\mathcal {F} \left \{\mathbf {x\cdot y} \right \} _k \\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\

\sum_ {n=0} ^ {n-1} x_n \cdot y_n \cdot e^ {-\frac {2\pi ich} {N} k n }\

</Mathematik>

:: der die kreisförmige Gehirnwindung ist und.

Trigonometrisches Interpolationspolynom

Das trigonometrische Interpolationspolynom

: für N sogar,

: für den N seltsam,

wo die Koeffizienten X durch den DFT von x oben gegeben werden, befriedigt das Interpolationseigentum dafür.

Für sogar N, bemerken Sie, dass der Bestandteil von Nyquist besonders behandelt wird.

Diese Interpolation ist nicht einzigartig: Aliasing deutet an, dass man N zu einigen der komplizierten-sinusoid Frequenzen hinzufügen konnte (z.B sich zu ändernd), ohne das Interpolationseigentum zu ändern, aber verschiedene Werte zwischen den Punkten zu geben. Die Wahl ist oben jedoch typisch, weil sie zwei nützliche Eigenschaften hat. Erstens besteht es aus sinusoids, dessen Frequenzen die kleinstmöglichen Umfänge haben: Die Interpolation ist bandlimited. Zweitens, wenn reelle Zahlen sind, dann ist ebenso echt.

Im Gegensatz ist das offensichtlichste trigonometrische Interpolationspolynom dasjenige, in dem sich die Frequenzen von 0 bis (statt grob zu als oben), ähnlich der DFT umgekehrten Formel erstrecken. Diese Interpolation minimiert den Hang nicht, und ist für den echten nicht allgemein reellwertig; sein Gebrauch ist ein häufiger Fehler.

Der einheitliche DFT

Eine andere Weise, auf den DFT zu schauen, soll bemerken, dass in der obengenannten Diskussion der DFT als eine Matrix von Vandermonde ausgedrückt werden kann:

:\begin {bmatrix }\

\omega_N^ {0 \cdot 0} & \omega_N^ {0 \cdot 1} & \ldots & \omega_N^ {0 \cdot (n-1)} \\

\omega_N^ {1 \cdot 0} & \omega_N^ {1 \cdot 1} & \ldots & \omega_N^ {1 \cdot (n-1)} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

\omega_N^ {(n-1) \cdot 0} & \omega_N^ {(n-1) \cdot 1} & \ldots & \omega_N^ {(n-1) \cdot (n-1)} \\

\end {bmatrix }\

</Mathematik>

wo

:

ist eine primitive N-te Wurzel der Einheit. Das Gegenteil verwandelt sich wird dann durch das Gegenteil der obengenannten Matrix gegeben:

:

Mit einheitlichen Normalisierungskonstanten wird der DFT eine einheitliche Transformation, die durch eine einheitliche Matrix definiert ist:

:::

wo det die bestimmende Funktion ist. Die Determinante ist das Produkt der eigenvalues, die immer als unten oder beschrieben werden. In einem echten Vektorraum kann von einer einheitlichen Transformation als einfach eine starre Folge des Koordinatensystems gedacht werden, und alle Eigenschaften einer starren Folge können im einheitlichen DFT gefunden werden.

Der orthogonality des DFT wird jetzt als eine orthonormality Bedingung ausgedrückt (der in vielen Gebieten der Mathematik, wie beschrieben, in der Wurzel der Einheit entsteht):

:

Wenn als der einheitliche DFT des Vektoren dann definiert wird

:

und der Lehrsatz von Plancherel wird als ausgedrückt:

:

Wenn wir den DFT als gerade eine Koordinatentransformation ansehen, die einfach die Bestandteile eines Vektoren in einem neuen Koordinatensystem angibt, dann ist der obengenannte gerade die Behauptung, dass das Punktprodukt von zwei Vektoren unter einer einheitlichen DFT Transformation bewahrt wird. Für den speziellen Fall deutet das an, dass die Länge eines Vektoren ebenso bewahrt wird — ist das gerade der Lehrsatz von Parseval:

:

Das Ausdrücken des umgekehrten DFT in Bezug auf den DFT

Ein nützliches Eigentum des DFT besteht darin, dass der umgekehrte DFT in Bezug auf den (fortgeschrittenen) DFT über mehrere wohl bekannte "Tricks" leicht ausgedrückt werden kann. (Zum Beispiel, in der Berechnung, ist es häufig günstig, nur einen schnellen Fourier durchzuführen, verwandeln sich entsprechend man gestaltet Richtung um und dann den anderen zu bekommen, gestalten Richtung von Anfang an um.)

Erstens können wir den umgekehrten DFT schätzen, indem wir die Eingänge umkehren:

:

(Wie gewöhnlich werden die Subschriften modulo N interpretiert; so, weil wir haben.)

Zweitens kann man auch die Eingänge und Produktionen konjugieren:

:

Drittens schließt eine Variante dieses Konjugationstricks, der manchmal vorzuziehend ist, weil es keine Modifizierung der Datenwerte verlangt, tauschende echte und imaginäre Teile ein (der auf einem Computer einfach durch das Ändern von Zeigestöcken getan werden kann). Definieren Sie Tausch als mit seinen echten und imaginären Teilen getauscht — d. h. wenn dann tauschen , ist. Gleichwertig ist Tausch gleich. Dann

:

D. h. das Gegenteil verwandeln sich ist dasselbe, weil sich die nachschicken mit den echten und imaginären Teilen verwandeln, die sowohl für den Eingang als auch für die Produktion bis zu einer Normalisierung getauscht sind (Duhamel u. a. 1988).

Der Konjugationstrick kann auch verwendet werden, um einen neuen zu definieren, verwandeln sich, nah verbunden mit dem DFT, der involutary ist — d. h. der sein eigenes Gegenteil ist. Insbesondere ist klar sein eigenes Gegenteil:. Eine nah zusammenhängende involutary Transformation (durch einen Faktor (1+i) / 2) ist, da die Faktoren darin die 2 annullieren. Für echte Eingänge ist der echte Teil dessen niemand anderer, als sich der getrennte Hartley verwandelt, der auch involutary ist.

Eigenvalues und Eigenvektoren

Die eigenvalues der DFT Matrix sind einfach und wohl bekannt, wohingegen die Eigenvektoren kompliziert, nicht einzigartig werden, und das Thema der andauernden Forschung sind.

Betrachten Sie die einheitliche Form als definiert oben für den DFT der Länge N, wo

:

Diese Matrix befriedigt die polynomische Matrixgleichung:

:

Das kann von den umgekehrten Eigenschaften oben gesehen werden: Das Funktionieren gibt zweimal die ursprünglichen Daten in umgekehrter Reihenfolge, so das Funktionieren gibt viermal die ursprünglichen Daten zurück und ist so die Identitätsmatrix. Das bedeutet, dass die eigenvalues die Gleichung befriedigen:

:

Deshalb sind die eigenvalues dessen die vierten Wurzeln der Einheit: Ist +1, 1, +i, oder i.

Da es nur vier verschiedene eigenvalues für diese Matrix gibt, haben sie eine Vielfältigkeit. Die Vielfältigkeit gibt die Zahl von linear unabhängigen Eigenvektoren entsprechend jedem eigenvalue. (Bemerken Sie, dass es N unabhängige Eigenvektoren gibt; eine einheitliche Matrix ist nie fehlerhaft.)

Das Problem ihrer Vielfältigkeit wurde von McClellan und Parks (1972) behoben, obwohl, wie man später zeigte, es zu einem Problem gleichwertig gewesen war, das von Gauss (Dickinson und Steiglitz, 1982) behoben ist. Die Vielfältigkeit hängt vom Wert von N modulo 4 ab, und wird durch den folgenden Tisch gegeben:

Sonst festgesetzt ist das charakteristische Polynom dessen:

:

(\lambda-1) ^ {\\left\lfloor \tfrac {N+4} {4 }\\right\rfloor }\

(\lambda+1) ^ {\\left\lfloor \tfrac {N+2} {4 }\\right\rfloor }\

(\lambda+i) ^ {\\left\lfloor \tfrac {N+1} {4 }\\right\rfloor }\

(\lambda-i) ^ {\\left\lfloor \tfrac {n-1} {4 }\\right\rfloor}. </Mathematik>

Keine einfache analytische Formel für allgemeine Eigenvektoren ist bekannt. Außerdem sind die Eigenvektoren nicht einzigartig, weil jede geradlinige Kombination von Eigenvektoren für denselben eigenvalue auch ein Eigenvektor dafür eigenvalue ist. Verschiedene Forscher haben verschiedene Wahlen von Eigenvektoren, ausgewählt vorgeschlagen, um nützliche Eigenschaften wie orthogonality zu befriedigen und "einfache" Formen zu haben (z.B, McClellan und Parks, 1972; Dickinson und Steiglitz, 1982; Grünbaum, 1982; Atakishiyev und Wolf, 1997; Candan u. a. 2000; Hanna u. a. 2004; Gurevich und Hadani, 2008).

Eine aufrichtige Annäherung ist zu discretize, den die eigenfunction des dauernden Fouriers, umgestalten

nämlich die Funktion von Gaussian.

Da die periodische Summierung der Funktion discretizing sein Frequenzspektrum bedeutet

und discretization bedeutet periodische Summierung des Spektrums,

der discretized und die regelmäßig summierte Funktion von Gaussian tragen ein Eigenvektor des getrennten verwandeln Sie sich:

• .

:A hat geschlossen der Form-Ausdruck für die Reihe ist nicht bekannt, aber es läuft schnell zusammen.

Zwei andere einfache geschlossene Form analytische Eigenvektoren für die spezielle DFT Periode N wurde (Kong, 2008) gefunden:

Für die DFT Periode N = 2L + 1 = 4K +1, wo K eine ganze Zahl ist, ist der folgende ein Eigenvektor von DFT:

Für die DFT Periode N = 2L = 4K, wo K eine ganze Zahl ist, ist der folgende ein Eigenvektor von DFT:

Die Wahl von Eigenvektoren der DFT Matrix ist wichtig in den letzten Jahren geworden, um eine getrennte Entsprechung des unbedeutenden Fouriers zu definieren, verwandeln sich — die DFT Matrix kann in Bruchmächte durch exponentiating der eigenvalues (z.B, Rubio und Santhanam, 2005) gebracht werden. Weil sich der dauernde Fourier verwandelt, sind die natürlichen orthogonalen eigenfunctions die Funktionen von Hermite, so sind verschiedene getrennte Entsprechungen von diesen als die Eigenvektoren des DFT, wie die Polynome von Kravchuk (Atakishiyev und Wolf, 1997) verwendet worden. Die "beste" Wahl von Eigenvektoren, einen unbedeutenden getrennten Fourier zu definieren, verwandelt sich bleibt eine geöffnete Frage jedoch.

Unklarheitsgrundsatz

Wenn die zufällige Variable beschränkt wird durch:

:

dann kann betrachtet werden, eine getrennte Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von n mit einer verbundenen von der umgestalteten Variable gebauten Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zu vertreten:

:

Für den Fall von dauernden Funktionen P (x) und Q (k) stellt der Unklarheitsgrundsatz von Heisenberg dass fest:

:

wo und die Abweichungen und beziehungsweise mit der im Fall von einem angemessen normalisierten Vertrieb von Gaussian erreichten Gleichheit sind. Obwohl die Abweichungen für den DFT analog definiert werden können, ist ein analoger Unklarheitsgrundsatz nicht nützlich, weil die Unklarheit shift-invariant nicht sein wird.

Jedoch wird die Unklarheit von Hirschman ein nützliches Analogon für den Fall des DFT haben. Der Hirschman Unklarheitsgrundsatz wird in Bezug auf das Wärmegewicht von Shannon der zwei Wahrscheinlichkeitsfunktionen ausgedrückt. Im getrennten Fall werden die Wärmegewichte von Shannon als definiert:

:und:

und der Unklarheitsgrundsatz von Hirschman wird:

:

Die Gleichheit wird für den gleichen Übersetzungen und Modulationen eines angemessen normalisierten Kamms von Kronecker der Periode erhalten, wo A jeder genaue Teiler der ganzen Zahl von N ist. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion wird dann zu einem angemessen übersetzten Kamm von Kronecker der Periode B=N/A proportional sein.

Der echte Eingang DFT

Wenn reelle Zahlen sind, wie sie häufig in praktischen Anwendungen sind, dann folgt der DFT der Symmetrie:

: wo komplizierte Konjugation anzeigt.

Hieraus folgt dass X und X reellwertig sind, und der Rest des DFT durch gerade N/2-1 komplexe Zahlen völlig angegeben wird.

Verallgemeinerter DFT (ausgewechselte und nichtlineare Phase)

Es ist möglich, die umgestalten Stichprobenerhebung rechtzeitig und/oder das Frequenzgebiet durch einige echte Verschiebungen a und b beziehungsweise auszuwechseln. Das ist manchmal als ein verallgemeinerter DFT (oder GDFT) bekannt, auch den ausgewechselten DFT genannt oder DFT ausgeglichen, und hat analoge Eigenschaften zum gewöhnlichen DFT:

:

Meistenteils werden Verschiebungen (eine halbe Probe) verwendet.

Während der gewöhnliche DFT einem periodischen Signal sowohl in der Zeit als auch in den Frequenzgebieten entspricht, erzeugt ein Signal, das im Frequenzgebiet und umgekehrt dafür antiperiodisch ist.

So ist der spezifische Fall dessen als eine sonderbar-malige sonderbare Frequenz bekannt, die getrennter Fourier (oder O DFT) umgestaltet.

Solches ausgewechseltes verwandelt sich werden meistenteils für symmetrische Daten verwendet, um verschiedene Grenze symmetries zu vertreten, und für echt-symmetrische Daten entsprechen sie verschiedenen Formen des getrennten Kosinus, und Sinus verwandelt sich.

Eine andere interessante Wahl ist, der den in den Mittelpunkt gestellten DFT (oder CDFT) genannt wird. Der in den Mittelpunkt gestellte DFT hat das nützliche Eigentum, die, wenn N ein Vielfache vier, alle vier seiner eigenvalues ist (sieh oben), gleiche Vielfältigkeit (Rubio und Santhanam, 2005) haben

Der Begriff GDFT wird auch für die nichtlinearen Phase-Erweiterungen von DFT gebraucht. Folglich stellt GDFT Methode eine Generalisation für den unveränderlichen Umfang zur Verfügung, den orthogonaler Block einschließlich geradliniger und nichtlinearer Phase-Typen umgestaltet. GDFT ist ein Fachwerk

Zeit und Frequenzbereichseigenschaften des traditionellen DFT, z.B auto/cross-correlations, durch die Hinzufügung der richtig bestimmten Phase-Formen-Funktion (nichtlinear, im Allgemeinen) zu den ursprünglichen geradlinigen Phase-Funktionen (Akansu und Agirman-Tosun, 2010) zu verbessern.

Der getrennte Fourier verwandelt sich kann als ein spezieller Fall des z-transform angesehen werden, der auf dem Einheitskreis im komplizierten Flugzeug bewertet ist; allgemeinere z-transforms entsprechen komplizierten Verschiebungen a und b oben.

Mehrdimensionaler DFT

Der gewöhnliche DFT gestaltet eine eindimensionale Folge um, oder ordnen Sie, der eine Funktion von genau einer getrennter Variable n ist. Der mehrdimensionale DFT einer mehrdimensionalen Reihe, die eine Funktion von d getrennten Variablen für darin ist, wird definiert durch:

:

wovon als oben und die d Produktionsindizes, die geführt sind. Das wird in der Vektor-Notation kompakter ausgedrückt, wo wir definieren und als d-dimensional Vektoren von Indizes von 0 bis, den wir als definieren:

:

wo die Abteilung definiert wird, um mit dem Element klug durchgeführt zu werden, und die Summe den Satz von verschachtelten Summierungen oben anzeigt.

Das Gegenteil des mehrdimensionalen DFT, ist analog dem eindimensionalen Fall, der gegeben ist durch:

:

Da der eindimensionale DFT den Eingang als eine Überlagerung von sinusoids ausdrückt, drückt der mehrdimensionale DFT den Eingang als eine Überlagerung von Flugzeug-Wellen oder mehrdimensionaler sinusoids aus. Die Richtung der Schwingung im Raum ist. Die Umfänge sind. Diese Zergliederung ist für alles vom Digitalimage von großer Bedeutung, das (zweidimensional) zum Lösen teilweiser Differenzialgleichungen in einer Prozession geht. Die Lösung wird in Flugzeug-Wellen zerbrochen.

Der mehrdimensionale DFT kann durch die Zusammensetzung einer Folge von eindimensionalem DFTs entlang jeder Dimension geschätzt werden. Im zweidimensionalen Fall werden die unabhängigen DFTs der Reihen (d. h., vorwärts) zuerst geschätzt, um eine neue Reihe zu bilden. Dann werden die unabhängigen DFTs von y entlang den Säulen (vorwärts) geschätzt, um das Endresultat zu bilden. Wechselweise können die Säulen zuerst und dann die Reihen geschätzt werden. Die Ordnung ist immateriell, weil die verschachtelten Summierungen oben pendeln.

Ein Algorithmus, um einen eindimensionalen DFT zu schätzen, ist so genügend, um einen mehrdimensionalen DFT effizient zu schätzen. Diese Annäherung ist als der Algorithmus der Reihe-Säule bekannt. Es gibt auch wirklich mehrdimensionale FFT Algorithmen.

Der echte Eingang mehrdimensionaler DFT

Für Eingangsdaten, die aus reellen Zahlen bestehen, haben die DFT Produktionen eine verbundene Symmetrie, die dem eindimensionalen Fall oben ähnlich ist:

:

wo der Stern wieder komplizierte Konjugation anzeigt und die-th Subschrift wieder modulo (dafür) interpretiert wird.

Anwendungen

Der DFT hat breiten Gebrauch über eine Vielzahl von Feldern gesehen; wir skizzieren nur einige Beispiele unten (sieh auch die Verweisungen am Ende). Alle Anwendungen des DFT hängen entscheidend von der Verfügbarkeit eines schnellen Algorithmus ab zu rechnen getrennter Fourier verwandelt sich, und ihre Gegenteile, ein schneller Fourier verwandelt sich.

Geisterhafte Analyse

Wenn der DFT für die geisterhafte Analyse verwendet wird, vertritt die Folge gewöhnlich einen begrenzten Satz von Zeitproben gleichförmig unter Drogeneinfluss von einem Signal, wo t Zeit vertritt. Die Konvertierung von der dauernden Zeit zu Proben (diskrete Zeit) ändert sich der zu Grunde liegende Fourier verwandeln sich x (t) in eine diskrete Zeit Fourier verwandelt sich (DTFT), die allgemein zur Folge hat, dass ein Typ der Verzerrung aliasing genannt hat. Die Wahl einer passenden Beispielrate (sieh Rate von Nyquist), ist der Schlüssel zur Minderung dieser Verzerrung. Ähnlich die Konvertierung von einem sehr langen (oder unendlich) die Folge zu einer lenksamen Größe hat einen Typ der Verzerrung genannt Leckage zur Folge, die als ein Verlust des Details (auch bekannt als Entschlossenheit) im DTFT manifestiert wird. Die Wahl einer passenden Subfolge-Länge (sieh Zusammenhängende Stichprobenerhebung), ist der primäre Schlüssel zur Minderung dieser Wirkung. Wenn die verfügbaren Daten (und Zeit, um in einer Prozession zu gehen, es) mehr ist, als der Betrag die gewünschte Frequenzentschlossenheit erreichen musste, soll eine Standardtechnik vielfachen DFTs durchführen, um zum Beispiel einen spectrogram zu schaffen. Wenn das gewünschte Ergebnis ein Macht-Spektrum und Geräusch ist oder Zufälligkeit in den Daten da ist, ist Mittelwertbildung der Umfang-Bestandteile des vielfachen DFTs ein nützliches Verfahren, um abzunehmen, die Abweichung des Spektrums (hat auch einen periodogram in diesem Zusammenhang genannt); zwei Beispiele solcher Techniken sind die walisische Methode und die Methode von Bartlett; das allgemeine Thema, das Macht-Spektrum eines lauten Signals zu schätzen, wird geisterhafte Bewertung genannt.

Eine Endquelle der Verzerrung (oder vielleicht Trugbild) ist der DFT selbst, weil es gerade eine getrennte Stichprobenerhebung des DTFT ist, der eine Funktion eines dauernden Frequenzgebiets ist. Das kann durch die Erhöhung der Entschlossenheit des DFT gelindert werden. Dieses Verfahren wird in der diskreten Zeit illustriert Fourier gestaltet Artikel um.

• Das Verfahren wird manchmal Nullpolstern genannt, das eine besondere in Verbindung mit dem Algorithmus des schnellen Fouriers verwandelt sich (FFT) verwendete Durchführung ist. Die Wirkungslosigkeit von leistenden Multiplikationen und Hinzufügungen mit nullgeschätzten "Proben" wird mehr als durch die innewohnende Leistungsfähigkeit des FFT ausgeglichen.
• Wie bereits bemerkt, setzt Leckage eine Grenze auf der innewohnenden Entschlossenheit des DTFT fest. Also gibt es eine praktische Grenze zum Vorteil, der bei einem feinkörnigen DFT erhalten werden kann.

Datenkompression

Das Feld der Digitalsignalverarbeitung verlässt sich schwer auf Operationen im Frequenzgebiet (d. h. auf den Fourier verwandeln sich). Zum Beispiel stellen mehreres lossy Image und gesunde Kompressionsmethoden den getrennten Fourier an verwandeln Sie sich: Das Signal wird in kurze Segmente geschnitten, jeder wird umgestaltet, und dann werden die Koeffizienten von Fourier von hohen Frequenzen, die, wie man annimmt, unbemerkenswert sind, verworfen. Der decompressor rechnet das Gegenteil verwandeln sich gestützt auf dieser verminderten Anzahl von Koeffizienten von Fourier. (Kompressionsanwendungen verwenden häufig eine Spezialform des DFT, der getrennte Kosinus verwandeln sich, oder manchmal verwandelt sich der modifizierte getrennte Kosinus.)

Teilweise Differenzialgleichungen

Getrennter Fourier verwandelt sich werden häufig verwendet, um teilweise Differenzialgleichungen zu lösen, wo wieder der DFT als eine Annäherung für die Reihe von Fourier verwendet wird (der in der Grenze von unendlichem N wieder erlangt wird). Der Vorteil dieser Annäherung besteht darin, dass sie das Signal im Komplex exponentials e ausbreitet, die eigenfunctions der Unterscheidung sind: d/dx e = in e. So, in der Darstellung von Fourier, ist Unterscheidung einfach — wir multiplizieren gerade mit mir n. (Bemerken Sie jedoch, dass die Wahl von n wegen aliasing nicht einzigartig ist; für die Methode, konvergent zu sein, sollte eine Wahl, die dem in der trigonometrischen Interpolationsabteilung oben ähnlich ist, verwendet werden.) Eine lineare Differenzialgleichung mit unveränderlichen Koeffizienten wird in eine leicht lösbare algebraische Gleichung umgestaltet. Man verwendet dann den umgekehrten DFT, um das Ergebnis zurück in die gewöhnliche Raumdarstellung umzugestalten. Solch eine Annäherung wird eine geisterhafte Methode genannt.

Polynomische Multiplikation

Nehmen Sie an, dass wir das polynomische Produkt c (x) = (x) schätzen möchten · b (x). Der gewöhnliche Produktausdruck für die Koeffizienten von c schließt eine geradlinige (acyclic) Gehirnwindung ein, wo sich Indizes ringsherum nicht "einhüllen." Das kann als eine zyklische Gehirnwindung durch die Einnahme der mitwirkenden Vektoren für (x) und b (x) mit dem unveränderlichen Begriff zuerst, dann das Befestigen von Nullen umgeschrieben werden, so dass die resultierenden mitwirkenden Vektoren a und b Dimension d> deg ((x)) + deg (b (x)) haben. Dann,

:

Wo c der Vektor von Koeffizienten für c (x) ist, und der Gehirnwindungsmaschinenbediener so definiert wird

:

Aber Gehirnwindung wird Multiplikation unter dem DFT:

:

Hier wird das Vektorprodukt elementwise genommen. So sind die Koeffizienten des Produktpolynoms c (x) gerade die Begriffe 0..., deg ((x)) + deg (b (x)) des mitwirkenden Vektoren

:

Mit einem schnellen Fourier verwandeln sich, der resultierende Algorithmus nimmt O (N loggen N) arithmetische Operationen. Wegen seiner Einfachheit und Geschwindigkeit wird der Cooley-Tukey FFT Algorithmus, der auf zerlegbare Größen beschränkt wird, häufig für die umgestalten Operation gewählt. In diesem Fall sollte d als die kleinste ganze Zahl gewählt werden, die größer ist als die Summe der Eingangspolynom-Grade, die factorizable in kleine Hauptfaktoren (z.B 2, 3, und 5, abhängig von FFT Durchführung) ist.

Multiplikation von großen ganzen Zahlen

Die schnellsten bekannten Algorithmen für die Multiplikation von sehr großen ganzen Zahlen verwenden die polynomische Multiplikationsmethode, die oben entworfen ist. Ganze Zahlen können als der Wert eines Polynoms bewertet spezifisch an der Zahl-Basis mit den Koeffizienten des Polynoms entsprechend den Ziffern in dieser Basis behandelt werden. Nach der polynomischen Multiplikation vollendet relativ Tragen-Fortpflanzungsschritt der niedrigen Kompliziertheit die Multiplikation.

Ein getrennter Fourier gestaltet Paare um

Generalisationen

Darstellungstheorie

Der DFT kann als die Komplex-geschätzte Darstellungstheorie der begrenzten zyklischen Gruppe interpretiert werden. Mit anderen Worten kann von einer Folge von n komplexen Zahlen als ein Element des n-dimensional komplizierten Raums C gedacht werden, oder gleichwertig kann eine Funktion von der begrenzten zyklischen Gruppe des Auftrags n zu den komplexen Zahlen, Z  C Dieser Letztere anregend geschrieben werden, um zu betonen, dass das ein komplizierter Vektorraum ist, dessen Koordinaten durch den N-Element-Satz-Z mit einem Inhaltsverzeichnis versehen werden.

Aus diesem Gesichtspunkt kann man den DFT zur Darstellungstheorie allgemein, oder mehr mit knapper Not zur Darstellungstheorie von begrenzten Gruppen verallgemeinern.

Dennoch kann man den DFT durch jedes Ändern des Ziels verallgemeinern (Werte in einem Feld außer den komplexen Zahlen nehmend), oder das Gebiet (eine Gruppe außer einer begrenzten zyklischen Gruppe), wie ausführlich berichtet, in der Fortsetzung.

Andere Felder

Viele der Eigenschaften des DFT hängen nur von der Tatsache ab, die eine primitive Wurzel der Einheit, manchmal angezeigt oder (so dass) ist. Solche Eigenschaften schließen die Vollständigkeit, orthogonality, Plancherel/Parseval, Periodizität, Verschiebung, Gehirnwindung und unitarity Eigenschaften oben, sowie viele FFT Algorithmen ein. Deshalb verwandelt sich der getrennte Fourier kann durch das Verwenden von Wurzeln der Einheit in Feldern außer den komplexen Zahlen definiert werden, und solche Generalisationen werden mit der Zahl theoretisch allgemein genannt verwandelt sich (NTTs) im Fall von begrenzten Feldern. Für mehr Information, sieh mit der Zahl theoretisch verwandeln sich, und getrennter Fourier verwandeln sich (allgemein).

Andere begrenzte Gruppen

Der normale DFT folgt einer Folge x, x, …, x von komplexen Zahlen, die als eine Funktion {0, 1, …, N &minus angesehen werden können; 1\ C. Der mehrdimensionale DFT folgt mehrdimensionalen Folgen, die als Funktionen angesehen werden können

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Das weist darauf hin, dass sich die Generalisation Fourier auf willkürlichen begrenzten Gruppen verwandelt, die Funktionen G  C folgen, wo G eine begrenzte Gruppe ist. In diesem Fachwerk wird der normale DFT gesehen, weil sich der Fourier auf einer zyklischen Gruppe verwandelt, während der mehrdimensionale DFT ein Fourier ist, verwandeln sich auf einer direkten Summe von zyklischen Gruppen.

Alternativen

es gibt verschiedene Alternativen zum DFT für verschiedene Anwendungen, die prominent sind, unter dem Elementarwellen sind. Das Analogon des DFT ist die getrennte Elementarwelle verwandelt sich (DWT). Aus dem Gesichtswinkel von der Zeitfrequenz-Analyse verwandelt sich eine Schlüsselbeschränkung des Fouriers ist, dass es Positionsinformation, nur Frequenzinformation nicht einschließt, und so Schwierigkeit hat, Übergangsprozesse zu vertreten. Da Elementarwellen Position sowie Frequenz haben, sind sie besser im Stande, Position auf Kosten der größeren Schwierigkeit zu vertreten, die Frequenz vertritt. Für Details, sieh, dass sich der Vergleich der getrennten Elementarwelle, sich mit dem getrennten Fourier zu verwandeln, verwandelt.

Siehe auch

• DFT Matrix
• Schneller Fourier gestaltet um
• Die Liste von Fourier-zusammenhängenden gestaltet um
• FFTW
• FFTPACK

Referenzen

Zitate

• besonders Abschnitt 30.2: Der DFT und FFT, die Seiten 830-838.

• (Bemerken Sie, dass dieses Papier einen offenbaren Druckfehler in seinem Tisch der eigenvalue Vielfältigkeit hat: +i/&minus;i werden Säulen ausgewechselt. Der richtige Tisch kann in McClellan und Parks, 1972 gefunden werden, und wird numerisch leicht bestätigt.)

Links

• Tutorenkurs von Matlab auf der Getrennten Transformation von Fourier
• Interaktiver Blitz-Tutorenkurs auf dem DFT
• Die Mathematik des getrennten Fouriers verwandelt sich durch Julius O. Smith III
• Schnelle Durchführung des DFT - codiert in C und unter General Public License (GPL)
• Der DFT "à Pied": Das Meistern vom Fourier verwandelt sich an einem Tag
• Erklärt: Der getrennte Fourier gestaltet um