In der Quant-Mechanik ist die Gleichung von Schrödinger eine Gleichung, die beschreibt, wie sich der Quant-Staat eines physischen Systems mit der Zeit ändert. Es wurde gegen Ende 1925 formuliert, und 1926 vom österreichischen Physiker Erwin Schrödinger veröffentlicht.

In der klassischen Mechanik ist die Gleichung der Bewegung das 2. Gesetz von Newton, und gleichwertige Formulierungen sind die Euler-Lagrange Gleichungen und die Gleichungen von Hamilton. In allen diesen Formulierungen werden sie verwendet, um für die Bewegung eines mechanischen Systems zu lösen, und mathematisch vorauszusagen, was das System jederzeit außer den anfänglichen Einstellungen und der Konfiguration des Systems tun wird.

In der Quant-Mechanik ist die Entsprechung des Newtonschen Gesetzes die Gleichung von Schrödinger für ein Quant-System, gewöhnlich Atome, Moleküle und subatomare Partikeln; frei, gebunden oder lokalisiert. Es ist nicht eine einfache algebraische Gleichung, aber (im Allgemeinen) eine geradlinige teilweise Differenzialgleichung. Die Differenzialgleichung schließt den wavefunction des Systems, auch genannt den Quant-Staat oder Zustandvektoren ein.

In der Standardinterpretation der Quant-Mechanik ist der wavefunction die am meisten ganze Beschreibung, die einem physischen System gegeben werden kann. Lösungen der Gleichung von Schrödinger beschreiben nicht nur molekulare, atomare und subatomare Systeme, sondern auch makroskopische Systeme, vielleicht sogar das ganze Weltall.

Wie das 2. Gesetz des Newtons kann die Gleichung von Schrödinger in andere Formulierungen wie die Matrixmechanik von Werner Heisenberg und der Pfad von Richard Feynman integrierte Formulierung mathematisch umgestaltet werden. Auch wie das 2. Gesetz des Newtons beschreibt die Gleichung von Schrödinger Zeit mit einem Weg, der für relativistische Theorien, ein Problem ungünstig ist, das nicht als streng in der Matrixmechanik und völlig abwesend im Pfad integrierte Formulierung ist.

Gleichung

Zeitabhängige Gleichung

Die Form der Gleichung von Schrödinger hängt von der physischen Situation ab (sieh unten für spezielle Fälle). Die allgemeinste Form ist die zeitabhängige Gleichung von Schrödinger, die eine Beschreibung eines Systems gibt, das sich mit der Zeit entwickelt:

wo Ψ die Welle-Funktion des Quant-Systems ist, bin ich die imaginäre Einheit, ħ ist der reduzierte Planck unveränderlich, und ist der Maschinenbediener von Hamiltonian, der die Gesamtenergie von irgendwelchem gegeben wavefunction charakterisiert und verschiedene Formen abhängig von der Situation annimmt.

Das berühmteste Beispiel ist die nichtrelativistische Gleichung von Schrödinger für eine einzelne Partikel, die sich in einem elektrischen Feld (aber nicht einem magnetischen Feld) bewegt:

wo M die Masse der Partikel ist, V ist seine potenzielle Energie,  ist Laplacian, und Ψ ist der wavefunction (genauer, in diesem Zusammenhang, es wird den "Positionsraum wavefunction" genannt). In Wörtern konnte diese Gleichung beschrieben werden, weil "Gesamtenergie kinetischer Energie plus die potenzielle Energie gleichkommt", aber die Begriffe nehmen fremde Formen aus Gründen an, die unten erklärt sind.

Da Differenzialoperatoren beteiligt werden, ist das eine geradlinige teilweise Differenzialgleichung. Es ist auch eine Wellengleichung, folglich der Name "Wellengleichung von Schrödinger".

Der Begriff "Gleichung von Schrödinger" kann zu beiden die allgemeine Gleichung (der erste Kasten oben), oder die spezifische nichtrelativistische Version (der zweite Kasten oben und die Schwankungen davon) verweisen. Die allgemeine Gleichung ist tatsächlich ziemlich allgemein, überall in der Quant-Mechanik, für alles von der Gleichung von Dirac bis Quant-Feldtheorie, durch das Einstecken verschiedener komplizierter Ausdrücke für Hamiltonian verwendet. Die spezifische nichtrelativistische Version ist eine vereinfachte Annäherung an die Wirklichkeit, die in vielen Situationen ziemlich genau, aber in anderen sehr ungenau ist (sieh relativistische Quant-Mechanik).

Um die Gleichung von Schrödinger anzuwenden, wird der Maschinenbediener von Hamiltonian für das System aufgestellt, für die kinetische und potenzielle Energie der Partikeln verantwortlich seiend, die das System einsetzen, hat dann in die Gleichung von Schrödinger eingefügt. Die resultierende teilweise Differenzialgleichung wird für den wavefunction gelöst, der Information über das System enthält.

Zeitunabhängige Gleichung

Die zeitabhängige Gleichung von Schrödinger sagt voraus, dass wavefunctions stehende Wellen bilden kann, genannt stationäre Staaten (hat auch "orbitals", als in atomarem orbitals oder molekularem orbitals genannt). Diese Staaten sind in ihrem eigenen Recht, und außerdem wichtig, wenn die stationären Staaten klassifiziert und verstanden werden, dann wird es leichter, die zeitabhängige Gleichung von Schrödinger für jeden Staat zu lösen. Die zeitunabhängige Gleichung von Schrödinger ist die Gleichung, die stationäre Staaten beschreibt. (Es wird nur verwendet, wenn Hamiltonian selbst rechtzeitig nicht abhängig ist.)

In Wörtern, den Gleichungsstaaten:

:: Wenn der Maschinenbediener von Hamiltonian dem wavefunction Ψ folgt, könnte das Ergebnis 'zu demselben wavefunction Ψ proportional sein. Wenn es ist, dann ist Ψ ein stationärer Staat, und die Proportionalität unveränderlich, E, ist die Energie des Staates Ψ.

Die zeitunabhängige Gleichung von Schrödinger wird weiter unten besprochen. In der geradlinigen Algebra-Fachsprache ist diese Gleichung eine eigenvalue Gleichung.

Wie zuvor ist die berühmteste Manifestation die nichtrelativistische Gleichung von Schrödinger für eine einzelne Partikel, die sich in einem elektrischen Feld (aber nicht einem magnetischen Feld) bewegt:

mit Definitionen als oben.

Implikationen

Die Gleichung von Schrödinger und seine Lösungen, haben einen Durchbruch im Denken an Physik eingeführt. Seine Gleichung war von seinem Typ erst, und Lösungen haben zu sehr ungewöhnlichen und unerwarteten Folgen für die Zeit geführt.

Ganze, kinetische und potenzielle Energie

Die gesamte Form der Gleichung ist ziemlich üblich oder unerwartet. Die Begriffe der nichtrelativistischen Gleichung von Schrödinger können als interpretiert werden:

:: (Gesamtenergie) = (kinetische Energie) + (potenzielle Energie)

In dieser Beziehung ist es genau so als in der klassischen Physik. Zum Beispiel hat eine frictionless Berg-Und-Tal-Bahn unveränderliche Gesamtenergie; deshalb reist es langsamer (niedrige kinetische Energie), wenn es vom Boden (hohe potenzielle Gravitationsenergie) und umgekehrt hoch ist.

Quantization

Die Gleichung von Schrödinger sagt voraus, dass, wenn bestimmte Eigenschaften eines Systems gemessen werden, das Ergebnis gequantelt werden kann, bedeutend, dass nur spezifische getrennte Werte vorkommen können. Ein Beispiel ist Energie quantization: Die Energie eines Elektrons in einem Atom ist immer eines der gequantelten Energieniveaus, eine über die Atomspektroskopie entdeckte Tatsache. (Energie quantization wird unten besprochen.) Ein anderes Beispiel ist quantization des winkeligen Schwungs. Das war eine Annahme im früheren Modell von Bohr des Atoms, aber es ist eine Vorhersage der Gleichung von Schrödinger.

Nicht jedes Maß gibt einen gequantelten laufen auf Quant-Mechanik hinaus. Zum Beispiel können Position, Schwung, Zeit, und (in einem situtions) Energie jeden Wert über eine dauernde Reihe haben.

Maß und Unklarheit

In der klassischen Mechanik hat eine Partikel, in jedem Moment, einer genauen Position und einem genauen Schwung. Diese Werte ändern sich deterministisch, als sich die Partikel gemäß Newtonschen Gesetzen bewegt. In der Quant-Mechanik haben Partikeln genau bestimmte Eigenschaften nicht, und wenn sie gemessen werden, wird das Ergebnis von einem Wahrscheinlichkeitsvertrieb zufällig gezogen. Die Gleichung von Schrödinger sagt voraus, wie der Wahrscheinlichkeitsvertrieb ist, aber im Wesentlichen das genaue Ergebnis jedes Maßes nicht voraussagen kann.

Der Heisenberg Unklarheitsgrundsatz ist ein berühmtes Beispiel der Unklarheit in der Quant-Mechanik. Es stellt dass fest, je genauer eine Position einer Partikel bekannt ist, desto weniger genau sein Schwung, und umgekehrt bekannt ist.

Die Gleichung von Schrödinger beschreibt die (deterministische) Evolution des wavefunction einer Partikel. Jedoch, selbst wenn der wavefunction genau bekannt ist, ist das Ergebnis eines spezifischen Maßes auf dem wavefunction unsicher.

Quant tunneling

In der klassischen Physik, wenn ein Ball langsam zu einem großen Hügel gerollt wird, wird er zu einem Halt kommen und wiederholen, weil er genug Energie nicht hat, über der Oberseite vom Hügel auf die andere Seite zu kommen. Jedoch sagt die Gleichung von Schrödinger voraus, dass es eine kleine Wahrscheinlichkeit gibt, dass der Ball auf die andere Seite des Hügels kommen wird, selbst wenn es zu wenig Energie hat, die Spitze zu erreichen. Das wird Quant tunneling genannt. Es ist mit dem Unklarheitsgrundsatz verbunden: Obwohl der Ball scheint, auf einer Seite des Hügels zu sein, ist seine Position unsicher, also gibt es eine Chance, es auf der anderen Seite zu finden.

Partikeln als Wellen

Die nichtrelativistische Gleichung von Schrödinger ist ein Typ der teilweisen Differenzialgleichung genannt eine Wellengleichung. Deshalb können Partikeln Wellen gewöhnlich zugeschriebenes Verhalten ausstellen.

Zwei-Schlitze-Beugung ist ein berühmtes Beispiel der fremden Handlungsweisen, die Wellen regelmäßig zeigen, die mit Partikeln nicht intuitiv vereinigt werden. Die überlappenden Wellen von den zwei Schlitzen annullieren einander in einigen Positionen, und verstärken einander in anderen Positionen, ein kompliziertes Muster veranlassend, zu erscheinen. Intuitiv würde man dieses Muster davon nicht erwarten, eine einzelne Partikel an den Schlitzen anzuzünden, weil die Partikel Derjenige-Schlitz oder den anderen, nicht ein kompliziertes Übergreifen von beiden durchführen sollte.

Jedoch, da die Gleichung von Schrödinger eine Wellengleichung ist, zeigt eine einzelne durch einen doppelten Schlitz angezündete Partikel wirklich dieses dasselbe Muster (Figur verlassen). (Das Experiment muss oft für das komplizierte Muster wiederholt werden, um zu erscheinen.) Beweist das Äußere des Musters, dass jedes Elektron beide Schlitze gleichzeitig durchführt. Obwohl das gegenintuitiv ist, ist die Vorhersage richtig; insbesondere Elektronbeugung und Neutronbeugung werden gut verstanden und weit in der Wissenschaft und Technik verwendet.

Verbunden mit der Beugung zeigen Partikeln auch Überlagerung und Einmischung.

Das Überlagerungseigentum erlaubt der Partikel, in einer Quant-Überlagerung von zwei oder mehr verschiedenen Staaten zur gleichen Zeit zu sein. Zum Beispiel kann eine Partikel mehrere verschiedene Energien zur gleichen Zeit haben, und kann in mehreren verschiedenen Positionen zur gleichen Zeit sein. Im obengenannten Beispiel kann eine Partikel zwei Schlitze zur gleichen Zeit durchführen.

Interpretation des wavefunction

Die Gleichung von Schrödinger stellt eine Weise zur Verfügung, den möglichen wavefunctions eines Systems zu berechnen, und wie sie sich dynamisch rechtzeitig ändern. Jedoch sagt die Gleichung von Schrödinger nicht direkt, wie, genau, der wavefunction ist. Interpretationen der Quant-Mechanik richten Fragen solcher als, was die Beziehung zwischen dem wavefunction, der zu Grunde liegenden Wirklichkeit und den Ergebnissen von experimentellen Maßen ist.

Ein wichtiger Aspekt ist die Beziehung zwischen der Gleichung von Schrödinger und dem Wavefunction-Zusammenbruch. In der ältesten Kopenhagener Interpretation folgen Partikeln der Gleichung von Schrödinger außer während des Wavefunction-Zusammenbruchs, während dessen sie sich völlig verschieden benehmen. Das Advent des Quants decoherence Theorie hat alternative Annäherungen erlaubt (wie die Vielweltinterpretation von Everett und konsequenten Geschichten), worin die Gleichung von Schrödinger immer zufrieden ist, und Wavefunction-Zusammenbruch demzufolge der Gleichung von Schrödinger erklärt werden sollte.

Historischer Hintergrund und Entwicklung

Der quantization von folgendem Max Planck des Lichtes (sieh schwarze Körperradiation), Albert Einstein hat die Quanten von Planck interpretiert, um Fotonen, Partikeln des Lichtes zu sein, und hat vorgeschlagen, dass die Energie eines Fotons zu seiner Frequenz, einem der ersten Zeichen der Dualität der Welle-Partikel proportional ist. Da Energie und Schwung ebenso als Frequenz und wavenumber in der speziellen Relativität verbunden sind, ist es dem gefolgt der Schwung p eines Fotons ist zu seinem wavenumber k proportional.

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Louis de Broglie hat Hypothese aufgestellt, dass das für alle Partikeln, sogar Partikeln wie Elektronen wahr ist. Er hat gezeigt, dass annehmend, dass sich die Sache-Wellen zusammen mit ihren Partikel-Kollegen fortpflanzen, Elektronen stehende Wellen bilden, bedeutend, dass nur bestimmten getrennten Rotationsfrequenzen über den Kern eines Atoms erlaubt wird.

Diese gequantelten Bahnen entsprechen getrennten Energieniveaus, und de Broglie hat die Musterformel von Bohr für die Energieniveaus wieder hervorgebracht. Das Modell von Bohr hat auf dem angenommenen quantisation des winkeligen Schwungs basiert:

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Gemäß de Broglie wird das Elektron durch eine Welle beschrieben, und eine ganze Zahl von Wellenlängen muss entlang dem Kreisumfang der Bahn des Elektrons passen:

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Diese Annäherung hat im Wesentlichen die Elektronwelle in einer Dimension entlang einer kreisförmigen Bahn beschränkt.

Folgend auf diesen Ideen hat Physiker Peter Debye eine improvisierte Anmerkung gemacht, dass, wenn sich Partikeln als Wellen benommen haben, sie eine Art Wellengleichung befriedigen sollten. Begeistert durch die Bemerkung von Debye hat sich Schrödinger dafür entschieden, eine richtige 3-dimensionale Wellengleichung für das Elektron zu finden. Er wurde durch die Analogie von William R. Hamilton zwischen Mechanik und Optik geführt, die in der Beobachtung verschlüsselt ist, dass die Nullwellenlänge-Grenze der Optik einem mechanischen System ähnelt — werden die Schussbahnen von leichten Strahlen scharfe Spuren, die dem Grundsatz von Fermat, einem Analogon des Grundsatzes von kleinster Handlung folgen. Eine moderne Version seines Denkens wird unten wieder hervorgebracht. Die Gleichung, die er gefunden hat, ist:

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Jedoch, bis dahin, hatte Arnold Sommerfeld das Modell von Bohr mit relativistischen Korrekturen raffiniert. Schrödinger hat die relativistische Energieschwung-Beziehung verwendet, um zu finden, was jetzt als die Gleichung von Klein-Gordon in einem Ampere-Sekunde-Potenzial (in natürlichen Einheiten) bekannt ist:

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Er hat die stehenden Wellen dieser relativistischen Gleichung gefunden, aber die relativistischen Korrekturen haben mit der Formel von Sommerfeld nicht übereingestimmt. Entmutigt hat er seine Berechnungen weggelegt und hat sich in einem isolierten Bergjagdhaus mit einem Geliebten im Dezember 1925 abgeschlossen.

Während am Jagdhaus Schrödinger entschieden hat, dass seine früheren nichtrelativistischen Berechnungen neuartig genug waren, um zu veröffentlichen und sich dafür entschieden haben, das Problem von relativistischen Korrekturen für die Zukunft wegzulassen. Trotz Schwierigkeiten, die Differenzialgleichung für Wasserstoff lösend (hatte er spätere Hilfe von seinem Freund der Mathematiker Hermann Weyl), hat Schrödinger gezeigt, dass seine nichtrelativistische Version der Wellengleichung die richtigen geisterhaften Energien von Wasserstoff in einer 1926 veröffentlichten Zeitung erzeugt hat. In der Gleichung hat Schrödinger die geisterhafte Wasserstoffreihe geschätzt, indem er ein Elektron eines Wasserstoffatoms als eine Welle Ψ (x, t) behandelt hat, sich in einem Potenzial gut V, geschaffen durch das Proton bewegend. Diese Berechnung hat genau die Energieniveaus des Modells von Bohr wieder hervorgebracht. In einer Zeitung hat Schrödinger selbst diese Gleichung wie folgt erklärt:

Dieses 1926-Papier wurde von Einstein enthusiastisch gutgeheißen, der die Sache-Wellen als ein intuitives Bild der Natur im Vergleich mit der Matrixmechanik von Heisenberg gesehen hat, die er als allzu formell betrachtet hat.

Die Gleichung von Schrödinger berichtet über das Verhalten von ψ ausführlich, aber sagt nichts von seiner Natur. Schrödinger hat versucht, es als eine Anklage-Dichte in seiner vierten Zeitung zu interpretieren, aber er war erfolglos. 1926 gerade ein paar Tage, nachdem das vierte und endgültige Papier von Schrödinger veröffentlicht wurde, hat Max Born erfolgreich ψ als der Wahrscheinlichkeitsumfang interpretiert, dessen absolutes Quadrat der Wahrscheinlichkeitsdichte gleich ist. Schrödinger hat aber immer einem statistischen oder Probabilistic-Annäherung, mit seinen verbundenen Diskontinuitäten — viel wie Einstein entgegengesetzt, der geglaubt hat, dass Quant-Mechanik eine statistische Annäherung an eine zu Grunde liegende deterministische Theorie war — und sich nie mit der Kopenhagener Interpretation versöhnt hat.

Die Wellengleichung für Partikeln

Die Gleichung von Schrödinger wurde hauptsächlich aus der Hypothese von De Broglie, eine Wellengleichung entwickelt, die Partikeln beschreiben würde, und kann folgendermaßen gebaut werden. Für eine strengere mathematische Abstammung der Gleichung von Schrödinger, sieh auch.

Annahmen

Energiebewahrung: Die Gesamtenergie E einer Partikel ist die Summe der kinetischen Energie T und potenziellen Energie V, diese Summe ist auch der häufige Ausdruck für den Hamiltonian H in der klassischen Mechanik:

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Ausführlich, für eine Partikel in einer Dimension mit Position x, MassenM und Schwung p und potenzieller Energie V, der sich allgemein mit der Position und Zeit t ändert:

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Für drei Dimensionen müssen der Positionsvektor r und Schwung-Vektor p verwendet werden:

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Dieser Formalismus kann zu jeder festgelegten Zahl von Partikeln erweitert werden: Die Gesamtenergie des Systems ist dann die kinetischen Gesamtenergien der Partikeln, plus die potenzielle Gesamtenergie, wieder Hamiltonian. Jedoch kann es Wechselwirkungen zwischen den Partikeln geben (ein N-Körperproblem), so kann sich die potenzielle Energie V als die Raumkonfiguration von Partikel-Änderungen, und vielleicht mit der Zeit ändern. Die potenzielle Energie ist im Allgemeinen nicht die Summe der getrennten potenziellen Energien für jede Partikel, es ist eine Funktion aller Raumpositionen der Partikeln. Ausführlich:

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Beziehungen von De Broglie: Die leichte Quant-Hypothese (1905) von Einstein stellt fest, dass die Energie E eines Fotons zur Frequenz ν (oder winkeligen Frequenz, ω = 2πν) des entsprechenden Quants wavepacket des Lichtes proportional ist:

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Ebenfalls stellt die Hypothese (1924) von De Broglie fest, dass jede Partikel mit einer Welle vereinigt werden kann, und dass der Schwung p der Partikel mit der Wellenlänge λ von solch einer Welle in einer Dimension verbunden ist, durch:

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in drei Dimensionen:

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wo k der wavevector ist (Wellenlänge ist mit dem Umfang von k verbunden)

Linearität: Die vorherigen Annahmen erlauben nur, die Gleichung für Flugzeug-Wellen entsprechend freien Partikeln abzuleiten. In allgemeinen physischen Situationen werden durch Flugzeug-Wellen nicht rein beschrieben, so für die Allgemeinheit ist der Überlagerungsgrundsatz erforderlich; jede Welle kann durch die Überlagerung von sinusförmigen Flugzeug-Wellen gemacht werden. So, wenn die Gleichung geradlinig ist, ist eine geradlinige Kombination von Flugzeug-Wellen auch eine erlaubte Lösung. Folglich ist eine notwendige und getrennte Voraussetzung, dass die Gleichung von Schrödinger eine lineare Differenzialgleichung ist.

Genommen zusammen bedeuten diese Attribute, dass es möglich sein sollte, eine Gleichung zu strukturieren, die auf den Energien der Partikeln - ihre möglichen kinetischen und potenziellen Energien gestützt ist, die das System sie zwingt zu haben, in Begriffen etwas Funktion des Staates des Systems - der wavefunction (hat Ψ angezeigt). Der wavefunction fasst den Quant-Staat der Partikeln im System zusammen, das durch die Einschränkungen auf das System beschränkt ist: Die Wahrscheinlichkeit die Partikeln ist in einer Raumkonfiguration in einem Moment der Zeit. Das Lösen davon für den wavefunction kann verwendet werden, um vorauszusagen, wie sich die Partikeln unter dem Einfluss des angegebenen Potenzials und mit einander benehmen werden.

Lösung der Gleichung

Die Gleichung von Schrödinger ist mathematisch eine Wellengleichung, da die Lösungen Funktionen sind, die Welle ähnliche Bewegungen beschreiben. Normalerweise können Wellengleichungen in der Physik aus anderen physischen Gesetzen abgeleitet werden - die Wellengleichung für mechanische Vibrationen auf Schnuren und in der Sache kann aus Newtonschen Gesetzen abgeleitet werden - wo die Entsprechung wavefunction die Versetzung der Sache und elektromagnetischen Wellen von den Gleichungen von Maxwell ist, wo die wavefunctions elektrische und magnetische Felder sind. Im Gegenteil ist die Basis für die Gleichung von Schrödinger die Energie der Partikel und ein getrenntes Postulat der Quant-Mechanik: Der wavefunction ist eine Beschreibung des Systems. Der SE ist deshalb ein neues Konzept an sich; als Feynman gesagt hat:

Dualität der Welle-Partikel folgt aus der Gleichung von Schrödinger, wie präsentiert, unten.

Die Beziehungen von Planck-Einstein und De Broglie

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illuminieren Sie die tiefen Verbindungen zwischen Raum mit dem Schwung und Energie mit der Zeit. Das ist mehr offenbare verwendende natürliche Einheiten, das Untergehen ħ = 1 macht diese Gleichungen in die Identität:

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Energie und winkelige Frequenz sowohl haben dieselben Dimensionen wie das Gegenstück der Zeit, als auch der Schwung und wavenumber beide haben die Dimensionen der umgekehrten Länge. In der Praxis werden sie austauschbar verwendet; Verdoppelung von Mengen zu verhindern und die Anzahl von Dimensionen von zusammenhängenden Mengen zu vermindern. Für die Vertrautheit werden SI-Einheiten noch in diesem Artikel verwendet.

Die Scharfsinnigkeit von Schrödinger, gegen Ende 1925, sollte die Phase einer Flugzeug-Welle als ein komplizierter Phase-Faktor mit diesen Beziehungen ausdrücken:

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und dass die ersten partiellen Ordnungsableitungen in Bezug auf den Raum zu begreifen

:

und Zeit

:

beziehen Sie die Ableitungen ein

:

\dfrac {\\teilweiser \Psi} {\\teilweise t\=-\dfrac {ich E} {\\hbar} \Psi & \rightarrow & i\hbar\dfrac {\\teilweiser \Psi} {\\teilweise t\= E \Psi \\

\end {Matrix} </Mathematik>

Das Multiplizieren der Energiegleichung durch Ψ\

:

führen Sie sofort Schrödinger zu seiner Gleichung:

:

Ein anderes Postulat der Quant-Mechanik ist, dass alle observables von Maschinenbedienern vertreten werden, die dem wavefunction folgen, und die eigenvalues des Maschinenbedieners die Werte sind, die das erkennbare nimmt. Die vorherigen Ableitungen führen zum Energiemaschinenbediener, entsprechend der Zeitableitung,

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und der Schwung-Maschinenbediener, entsprechend den Raumableitungen (der Anstieg),

:

wo die Zirkumflexe ("Hüte") anzeigen, dass diese observables Maschinenbediener sind. Das sind Differenzialoperatoren, abgesehen von der potenziellen Energie V, der gerade ein multiplicative Faktor ist. Der Ersatz dieser Maschinenbediener in der Energiegleichung und Multiplikation durch Ψ gibt dieselbe Wellengleichung zurück. Ein interessanter Punkt ist, dass Energie auch eine Symmetrie in Bezug auf die Zeit ist, und Schwung eine Symmetrie in Bezug auf den Raum ist, und das die Gründe sind, warum Energie und Schwung erhalten werden - sieh den Lehrsatz von Noether.

In Anbetracht der Ableitungen kann Dualität der Welle-Partikel wie folgt bewertet werden. Die kinetische Energie T ist mit dem Quadrat des Schwungs p, und folglich dem Umfang der zweiten Raumableitungen verbunden, so ist die kinetische Energie auch zum Umfang der Krümmung der Welle proportional. Als der Schwung der Partikel zunimmt, nimmt die kinetische Energie schneller zu, aber seit dem wavenumber vergrößert k die Wellenlänge-Abnahmen, mathematisch

:

Weil die Krümmung, der Umfang der Welle-Stellvertreter zwischen positivem und negativem schneller zunimmt, und auch die Wellenlänge verkürzt. So die umgekehrte Beziehung zwischen Schwung und Wellenlänge ist mit der Energie im Einklang stehend, die die Partikel hat, und so hat die Energie der Partikel eine Verbindung zu einer Welle, allen in derselben mathematischen Formulierung.

Gleichung zu Lösungen

Die allgemeinen Lösungen der Gleichung können wie folgt leicht gesehen werden. Die Flugzeug-Welle ist bestimmt eine Lösung, weil das verwendet wurde, um die Gleichung so wegen der Linearität zu bauen, ist jede geradlinige Kombination von Flugzeug-Wellen auch eine Lösung. Für getrennten k ist die Summe eine Überlagerung von Flugzeug-Wellen:

:

und für dauernden k wird die Summe ein Integral, der Fourier verwandeln sich von einem Schwung-Raum wavefunction:

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wo dk = dkdkdk das Differenzialvolumen-Element im K-Raum ist, und die Integrale der ganze K-Raum übernommen werden. Der Schwung wavefunction Φ (k) entsteht im integrand, da die Position und der Schwung-Raum wavefunctions Fourier sind, verwandelt sich einander. Da diese die Gleichung von Schrödinger befriedigen - werden die Lösungen der Gleichung von Schrödinger für eine gegebene Situation nicht die Flugzeug-Wellen nur sein, die verwendet sind, um sie, aber irgendwelche wavefunctions zu erhalten, die die Gleichung von Schrödinger befriedigen, die durch das System zusätzlich zu den relevanten Grenzbedingungen vorgeschrieben ist. Es kann beschlossen werden, dass die Gleichung von Schrödinger für jede (nichtrelativistische) Situation wahr ist.

Um zusammenzufassen, ist die Gleichung von Schrödinger eine Differenzialgleichung der Dualität der Welle-Partikel, und Partikeln können sich wie Wellen benehmen, weil ihr entsprechender wavefunction die Gleichung befriedigt.

Welle und Partikel-Bewegung

Schrödinger hat verlangt, dass eine Welle-Paket-Lösung (nicht nur Flugzeug-Wellen) an der Position r mit wavevector k die Schussbahn vorankommen wird, die durch die klassische Mechanik in der Grenze bestimmt ist, dass die Wellenlänge, d. h. für einen großen k und deshalb großen p im Vergleich mit dem reduzierten unveränderlichen ħ von Planck klein ist. Gleichwertig in der Grenze wird ħ Null, die Gleichungen der klassischen Mechanik werden von der Quant-Mechanik wieder hergestellt.

Die Begrenzungskurze Wellenlänge ist zu ħ gleichwertig, der zur Null neigt, weil das Fall beschränkt, die Welle-Paket-Lokalisierung zur bestimmten Position der Partikel zu vergrößern (sieh Bildrecht). Mit dem Unklarheitsgrundsatz von Heisenberg für die Position und den Schwung werden die Produkte der Unklarheit in der Position und dem Schwung Null als ħ  0:

:

wo σ anzeigt (Wurzel bedeuten Quadrat) Maß-Unklarheit in x und p (und ähnlich für den y und die z Richtungen), der die Position einbezieht und Schwung nur der willkürlichen Präzision in dieser Grenze bekannt sein kann.

Die Gleichung von Schrödinger in seiner allgemeinen Form

:

ist nah mit der Gleichung von Hamilton-Jacobi (HJE) verbunden

:

wo S Handlung ist und H die Funktion von Hamiltonian (nicht Maschinenbediener) ist. Hier die verallgemeinerten Koordinaten q, weil ich = 1,2,3 (verwendet im Zusammenhang des HJE) auf die Position in Kartesianischen Koordinaten als r = (q, q, q) = (x, y, z) gesetzt werden kann.

Das Ersetzen

:

wo ρ die Wahrscheinlichkeitsdichte, in die Gleichung von Schrödinger und dann Einnahme der Grenze ħ  0 in der resultierenden Gleichung ist, gibt die Gleichung von Hamilton-Jacobi nach.

Die Implikationen sind:

• Die Bewegung einer Partikel, die durch (kurze Wellenlänge) Welle-Paket-Lösung der Gleichung von Schrödinger beschrieben ist, wird auch durch die Gleichung von Hamilton-Jacobi der Bewegung beschrieben.
• Die Gleichung von Schrödinger schließt den wavefunction ein, so bezieht seine Welle-Paket-Lösung die Position (Quant) ein, wird Partikel in Welle-Vorderseiten flaumig ausgedehnt. Im Gegenteil gilt die Gleichung von Hamilton-Jacobi für eine (klassische) Partikel der bestimmten Position und des Schwungs, stattdessen sind die Position und der Schwung zu jeder Zeit (die Schussbahn) deterministisch und können gleichzeitig bekannt sein.

Spezielle Fälle

Folgender ist mehrere Formen der Gleichung von Schrödinger für verschiedene Situationen: Zeitunabhängigkeit und Abhängigkeit, eine und drei Raumdimensionen, und ein und N Partikeln. In der Aktualität lassen die Partikeln, die das System einsetzen, die numerischen Etiketten in der Theorie nicht verwenden. Die Sprache der Mathematik zwingt uns, die Positionen von Partikeln irgendwie zu etikettieren, sonst würde es Verwirrung zwischen dem Symbol-Darstellen geben, das Variablen für der Partikel sind.

Unabhängige Zeit

Wenn Hamiltonian nicht eine ausführliche Funktion der Zeit ist, ist die Gleichung in seine räumlichen und zeitlichen Teile trennbar. Folglich kann der Energiemaschinenbediener dann durch die Energie eigenvalue E ersetzt werden. In der abstrakten Form ist es eine eigenvalue Gleichung für Hamiltonian

:

Eine Lösung der zeitunabhängigen Gleichung wird eine Energie eigenstate mit der Energie E genannt.

Um die Zeitabhängigkeit des Staates zu finden, denken Sie, die zeitabhängige Gleichung mit einer anfänglichen Bedingung ψ (r) anzufangen. Die Zeitableitung an t = 0 ist überall zum Wert proportional:

:

So am Anfang wird die ganze Funktion gerade wiedererklettert, und sie das Eigentum aufrechterhält, dass seine Zeitableitung zu sich, so seit allen Zeiten t, proportional

ist:

das Auswechseln von Ψ:

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wo der ψ (r) annulliert, so deutet das Lösen dieser Gleichung dafür an, dass die Lösung der zeitabhängigen Gleichung mit dieser anfänglichen Bedingung ist:

:

Dieser Fall beschreibt die Lösungen der stehenden Welle der zeitabhängigen Gleichung, die die Staaten mit der bestimmten Energie (statt eines Wahrscheinlichkeitsvertriebs von verschiedenen Energien) sind. In der Physik werden diese stehenden Wellen "stationäre Staaten" oder "Energie eigenstates" genannt; in der Chemie werden sie "atomaren orbitals" oder "molekularen orbitals" genannt. Überlagerungen der Energie eigenstates ändern ihre Eigenschaften gemäß den Verhältnisphasen zwischen den Energieniveaus.

Die Energie eigenvalues von dieser Gleichung bildet ein getrenntes Spektrum von Werten, so mathematisch muss Energie gequantelt werden. Mehr spezifisch kann die Energie Staaten von Eigen bilden eine Basis - jeder wavefunction, als eine Summe über die getrennten Energiestaaten oder ein Integral über dauernde Energiestaaten, oder mehr allgemein als ein Integral über ein Maß geschrieben werden. Das ist der geisterhafte Lehrsatz in der Mathematik, und in einem Zustandsraum ist es gerade eine Behauptung der Vollständigkeit der Eigenvektoren einer Matrix von Hermitian.

Im Fall von Atomen und Molekülen stellt es sich in der Spektroskopie heraus, dass die getrennten geisterhaften Linien von Atomen Beweise sind, dass Energie tatsächlich in Atomen physisch gequantelt wird; spezifisch gibt es Energieniveaus in Atomen, die mit dem atomaren oder molekularen orbitals der Elektronen (die stationären Staaten, wavefunctions) vereinigt sind. Die geisterhaften beobachteten Linien sind bestimmte Frequenzen des Lichtes, entsprechend bestimmten Energien, durch die Beziehung des Brettes-Einstein und Beziehungen von De Broglie (oben). Jedoch ist es nicht der absolute Wert des Energieniveaus, aber der Unterschied zwischen ihnen, der die beobachteten Frequenzen wegen elektronischer Übergänge innerhalb der Atom-Fotonen des Ausstrahlens/Aufsaugens des Lichtes erzeugt.

Zusammenfassung von Formen

Zusammengefasst unten sind die verschiedenen Formen, die Hamiltonian, mit den entsprechenden Gleichungen von Schrödinger und Formen von wavefunction Lösungen annimmt. Bemerken Sie im Fall von einer Raumdimension für eine Partikel, die partielle Ableitung nimmt zu einer gewöhnlichen Ableitung ab.

Folgender ist Beispiele, wo genaue Lösungen bekannt sind. Sieh die Hauptartikel für weitere Details.

Eindimensionale Beispiele

Freie Partikel

Für kein Potenzial, V = 0, so ist die Partikel frei und liest die Gleichung:

:

der Schwingungslösungen für E> 0 hat (die C sind willkürliche Konstanten):

:

und Exponentiallösungen für E

Die exponential wachsenden Lösungen haben eine unendliche Norm und sind nicht physisch. Ihnen wird in einem begrenzten Volumen mit dem periodischen nicht erlaubt oder haben Grenzbedingungen befestigt.

Unveränderliches Potenzial

Für ein unveränderliches Potenzial, V = V, ist die Lösung für E> V Schwingungs- und für E entsprechend Energien Exponential-, denen erlaubt oder in der klassischen Mechanik zurückgewiesen wird. Schwingungslösungen haben eine klassisch erlaubte Energie und entsprechen wirklichen klassischen Bewegungen, während die Exponentiallösungen eine zurückgewiesene Energie haben und einen kleinen Betrag des Quants beschreiben, das ins klassisch zurückgewiesene Gebiet, wegen des Quants tunneling verblutet. Wenn das Potenzial V an der Unendlichkeit wächst, wird die Bewegung auf ein begrenztes Gebiet klassisch beschränkt, was bedeutet, dass in der Quant-Mechanik jede Lösung ein Exponential-weit genug weg wird. Die Bedingung, die der Exponential-vermindert, schränkt die Energieniveaus auf einen getrennten Satz, genannt die erlaubten Energien ein.

Harmonischer Oszillator

Die Gleichung von Schrödinger für diese Situation ist

:

Es ist ein bemerkenswertes Quant-System, um dafür zu lösen; da die Lösungen (aber kompliziert - in Bezug auf Polynome von Hermite) genau sind, und es beschreiben oder mindestens einem großen Angebot an anderen Systemen, einschließlich vibrierender Atome, Moleküle, und Atome oder Ionen in Gittern und des Approximierens anderen Potenzialen in der Nähe von Gleichgewicht-Punkten näher kommen kann. Es ist auch die Basis von Unruhe-Methoden in der Quant-Mechanik.

Es gibt eine Familie von Lösungen - in der Positionsbasis sie sind

:

- \frac {m\omega x^2} {2 \hbar}} \cdot H_n\left (\sqrt {\\frac {m\omega} {\\hbar}} x \right) </Mathematik>

wo n = 0,1,2..., und die Funktionen H die Polynome von Hermite sind.

Dreidimensionale Beispiele

Wasserstoffatom

Diese Form der Gleichung von Schrödinger kann auf das Wasserstoffatom angewandt werden:

:

wo e die Elektronanklage ist, ist r die Position des Elektrons (r = |r ist der Umfang der Position), der potenzielle Begriff ist wegen der coloumb Wechselwirkung, worin ε die elektrische Konstante (permittivity vom freien Raum) und ist

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ist die reduzierte 2-Körper-Masse des Wasserstoffkerns (gerade ein Proton) von der MassenM und dem Elektron der MassenM. Das negative Zeichen entsteht im potenziellen Begriff, da das Proton und Elektron entgegengesetzt beladen werden. Die reduzierte Masse im Platz der Elektronmasse wird verwendet, da das Elektron und Proton zusammen Bahn einander über ein allgemeines Zentrum der Masse, und ein Zwei-Körper-Problem einsetzen zu lösen. Die Bewegung des Elektrons ist von Grundsatz-Interesse hier, so ist das gleichwertige Ein-Körper-Problem die Bewegung des Elektrons mit der reduzierten Masse.

Der wavefunction für Wasserstoff ist eine Funktion der Koordinaten des Elektrons, und kann tatsächlich in Funktionen jeder Koordinate getrennt werden. Gewöhnlich wird das in kugelförmigen Polarkoordinaten getan:

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wo R radiale Funktionen sind und kugelförmige Obertöne des Grads  sind und M bestellen. Das ist das einzige Atom, für das die Gleichung von Schrödinger für genau gelöst worden ist. Mehrelektronatome verlangen annähernde Methoden. Die Familie von Lösungen ist:

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