In der Physik, mehr spezifisch relativistischen Quant-Mechanik, ist die Gleichung von Dirac eine Wellengleichung, die vom britischen Physiker Paul Dirac 1928 formuliert ist. Es hat eine Beschreibung von elementaren spin-½ Partikeln wie Elektronen zur Verfügung gestellt, die sowohl mit den Grundsätzen der Quant-Mechanik als auch mit der Theorie der speziellen Relativität im Einklang stehend sind, und hat zur Quant-Mechanik ausgebessert. Es ist für die Feinstruktur des Wasserstoffspektrums auf eine strenge Weise verantwortlich gewesen. Die Gleichung hat auch die Existenz einer neuen Form der Sache, Antimaterie, bisher unverdächtigt und unbemerkt, später entdeckt experimentell einbezogen. Es hat auch eine theoretische Rechtfertigung für die Einführung von mehreren - Teilwelle-Funktionen in der phänomenologischen Theorie von Pauli der Drehung zur Verfügung gestellt. Obwohl Dirac nicht zuerst völlig geschätzt hat, was seine eigene Gleichung ihm, seinem entschlossenen Glauben an die Logik der Mathematik als ein Mittel zum physischen Denken erzählte, vertritt seine Erklärung der Drehung demzufolge der Vereinigung der Quant-Mechanik und speziellen Relativität und der schließlichen Entdeckung des Positrons, einen der großen Triumphe der theoretischen Physik.

Die Dirac Gleichung

Die Gleichung in der von Dirac ursprünglich vorgeschlagenen Form ist:

:

wo ψ = ψ (r, t) ein kompliziertes Vier-Bestandteile-Feld ψ ist, an den Dirac als die Welle-Funktion für das Elektron, r gedacht hat und t die Koordinaten der Zeit und Raums sind, ist M die Rest-Masse des Elektrons, ist der Schwung-Maschinenbediener, c ist die Geschwindigkeit des Lichtes, und ħ ist der reduzierte Planck unveränderlich (h/2π). Außerdem ist α ein Vektor-Maschinenbediener, dessen Bestandteile 4 × 4 matricies sind: α = (α, α, α), und β ist weitere 4 × 4 Matrix.

Diese einzelne symbolische Gleichung geht in vier auf hat geradlinige erste Ordnung teilweise Differenzialgleichungen für die vier Mengen verbunden, die das Feld zusammensetzen. Diese matrices und die Form des Feldes, haben eine tiefe mathematische Bedeutung. Die algebraische durch Dirac matrices vertretene Struktur war ungefähr 50 Jahre früher vom englischen Mathematiker W. K. Clifford geschaffen worden. Der Reihe nach waren die Ideen von Clifford aus der Arbeit der Mitte des 19. Jahrhunderts des deutschen Mathematikers Hermann Grassmann in seinem "Lineale Ausdehnungslehre" (Theorie von Geradlinigen Erweiterungen) erschienen. Die Letzteren waren als nahezu unverständlich von den meisten seiner Zeitgenossen betrachtet worden. Das Äußere von etwas so anscheinend Abstraktem, zu solch einem späten Datum, und auf solch eine direkte physische Weise, ist eines der bemerkenswertesten Kapitel in der Geschichte der Physik.

Der Zweck von Dirac im Gussteil dieser Gleichung sollte das Verhalten des relativistisch bewegenden Elektrons erklären, und so dem Atom zu erlauben, gewissermaßen im Einklang stehend mit der Relativität behandelt zu werden. Seine ziemlich bescheidene Hoffnung bestand darin, dass die Korrekturen diesen Weg eingeführt haben, könnte das Beziehen auf das Problem von Atomspektren haben. Bis jetzt hatten sich Versuche, die alte Quant-Theorie des Atoms vereinbar mit der Relativitätstheorie durch discretizing zu machen, dem der winkelige Schwung der Bahn des Elektrons - und die neue Quant-Mechanik von Heisenberg, Pauli, der Jordan, Schrödinger und Dirac selbst gefehlt hatte, genug nicht entwickelt, um dieses Problem zu behandeln. Obwohl die ursprünglichen Absichten von Dirac zufrieden waren, hatte seine Gleichung viel tiefere Implikationen für die Struktur der Sache, und hat neue mathematische Klassen von Gegenständen eingeführt, die jetzt wesentliche Elemente der grundsätzlichen Physik sind.

Hintergrund und Entwicklung

Das Bilden der relativistischen Gleichung von Schrödinger

Die Dirac Gleichung wurde durch die Gleichung von Schrödinger für eine massive freie Partikel motiviert:

:

Die linke Seite, die nichtrelativistische kinetische Energie, ist das Quadrat des Schwung-Maschinenbedieners, der durch zweimal die MassenM Relativitätsvergnügen-Zeit und Raum als eine vereinigte Raum-Zeit geteilt ist, so verlangt eine relativistische Generalisation dieser Gleichung, dass Ableitungen der Zeit und Raums symmetrisch hereingehen müssen, wie sie in den Gleichungen von Maxwell tun, die das Verhalten des Lichtes regeln — müssen die Gleichungen unterschiedlich derselben Ordnung in der Zeit und Raum sein. In der Relativität sind der Schwung und die Energie die Teile der Zeit und Raums eines Raum-Zeit-Vektoren, des 4-Schwünge-, und sie sind durch relativistisch invariant Beziehung verbunden

:

der sagt, dass die Länge dieses Vektoren zur invariant MassenM das Ersetzen der Maschinenbediener-Entsprechungen von der Energie und dem Schwung aus der Theorie von Schrödinger proportional ist, bekommen wir eine Gleichung, die die Fortpflanzung von Wellen beschreibt, die von relativistisch invariant Gegenstände, die Gleichung von Klein-Gordon gebaut sind:

:

wo die Welle-Funktion ψ ein relativistischer Skalar ist: Eine komplexe Zahl, die denselben numerischen Wert in allen Bezugssystemen hat. Die Ableitungen der Zeit und Raums beide gehen zur zweiten Ordnung herein. Das hat eine wichtige Folge für die Interpretation der Gleichung: Der Ausdruck für die Dichte ist bestimmt - die Anfangswerte sowohl von ψ nicht mehr positiv als auch kann frei gewählt werden, und die Dichte kann so negativ, etwas werden, was unmöglich ist, wenn die Dichte eine legitime Wahrscheinlichkeitsdichte sein soll, wie es für die Gleichung von Schrödinger ist. So können wir keine relativistische Generalisation der Gleichung von Schrödinger unter der naiven Annahme bekommen, dass die Welle-Funktion ein Skalar ist.

Obwohl die Gleichung von Klein-Gordon nicht eine erfolgreiche relativistische Generalisation der Gleichung von Schrödinger ist, ist diese Gleichung eine gültige Feldgleichung im Zusammenhang der Quant-Feldtheorie, ein spinless Partikel-Feld (z.B Pi-Meson) beschreibend. Historisch hat Schrödinger selbst diese Gleichung vor derjenigen erreicht, die seinen Namen trägt, aber ihn bald verworfen hat. Im Zusammenhang der Quant-Feldtheorie, wie man versteht, entspricht die unbestimmte Dichte der Anklage-Dichte, die positiv oder, und nicht die Wahrscheinlichkeitsdichte negativ sein kann. Die Entdeckung einer relativistischen Feldgleichung mit den ersten Ordnungsableitungen hat einen mehr wohl durchdachten Aufbau verlangt.

Quadratwurzel der Gleichung von Klein-Gordon

Dirac hat gedacht, um eine Gleichung zu versuchen, die die erste Ordnung in beider Zeit und Raum war. Man konnte zum Beispiel den relativistischen Ausdruck für die Energie formell nehmen

:

breiten Sie die Quadratwurzel in einer unendlichen Reihe aus, ersetzen Sie p und E durch ihre Maschinenbediener-Entsprechungen, stellen Sie ein eigenvalue Problem auf, dann lösen Sie die Gleichung formell durch Wiederholungen. Die meisten Physiker hatten wenig Glauben an solch einen furchterregenden Prozess, selbst wenn es technisch möglich war.

Als die Geschichte geht, starrte Dirac in den Kamin auf Cambridge, dieses Problem erwägend, als er auf die Idee gestoßen ist, die Quadratwurzel des Welle-Maschinenbedieners so zu nehmen:

:

Die richtige Seite multiplizierend, kann es bemerkt werden, dass die Quer-Begriffe, solcher als, verschwinden werden, wenn wir annehmen, dass für jedes verschiedene Paar von coefficents ihr Antiumschalter verschwindet:

:

wo die Klammern [] den Antiumschalter anzeigen Sie:

:

und das sie jedes Quadrat zu den 4 × 4 Identität:

:

Dirac, der gerade dann damit höchst beteiligt worden war, die Fundamente der Matrixmechanik von Heisenberg auszuarbeiten, hat sofort verstanden, dass diese Bedingungen entsprochen werden konnten, wenn A, B, C und D matrices mit der Implikation sind, dass die Welle-Funktion vielfache Bestandteile hat. Das hat sofort das Äußere von Zwei-Bestandteile-Welle-Funktionen in der phänomenologischen Theorie von Pauli der Drehung, etwas erklärt, was herauf bis dann als mysteriös sogar Pauli selbst betrachtet worden war. Jedoch braucht man mindestens 4 × 4 matrices, um ein System mit den Eigenschaften erforderlich aufzustellen —, so hatte die Welle-Funktion vier Bestandteile, nicht zwei, als in der Theorie von Pauli, oder ein, als in der bloßen Theorie von Schrödinger. Die Vier-Bestandteile-Welle-Funktion vertritt eine neue Klasse des mathematischen Gegenstands in physischen Theorien, spinors, der sein erstes Äußeres hier macht.

In Anbetracht des factorization in Bezug auf diese matrices kann die Gleichung von Dirac bei einem der Faktoren erhalten werden, eine Gleichung bestellen zuerst in der Zeit und Raum (wie gegeben, oben).

:

Mathematische Formulierung

Die Dirac Gleichung kann mehrere verschiedene Formen in Zusammenhang mit der Natur des matrices annehmen.

Der Dirac und matrices

Das Starten von der ursprünglichen Form der Gleichung von Dirac:

:

Die matrices α, α, α, und β, sind 4 × 4 matrices. Einige Eigenschaften sind wie folgt:

Sie sind ganzer Hermitian, so dass Dirac Hamiltonian Hermitian ist.

Sie haben Quadrate, die den 4 × 4 Identitätsmatrix I gleich sind:

:

und sie alle pendeln gegenseitig anti:

::

für alles ich und einander nicht gleicher j.

Dirac hat diese matrices (in der chiral Darstellung) als der folgende definiert:

:

\beta = \begin {pmatrix }\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

\end {pmatrix}, \quad

\alpha_1 = \begin {pmatrix }\

0 &-1 & 0 & 0 \\

- 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

\end {pmatrix}, \quad

\alpha_2 = \begin {pmatrix }\

0 & ich & 0 & 0 \\

- ich & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 &-i \\

0 & 0 & ich & 0 \\

\end {pmatrix}, \quad

\alpha_3 = \begin {pmatrix }\

- 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 &-1 \\

\end {pmatrix} </Mathematik>

NB: In der Literatur und diesem Zusammenhang werden alle matrices gewöhnlich im kursiven wie Skalare geschrieben, kühn wird für einen Vektoren verwendet, dessen Bestandteile matrices sind. Exponent und Subschrift-Indizes werden verwendet, um Bestandteile der Vektoren von matrices zu etikettieren. Sieh Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren - abgesehen von der Identität matrices. Auch es ist herkömmlich, um Identität matrices nicht zu schreiben, oder ihnen als 1 zu schreiben, weil sie von ihren Positionen in der Gleichung offenbart werden können. Wenn eine Matrix als 2 × 2 gezeigt wird, wenn, wie man bekannt, sie 4 × 4 ist, dann ist die fehlende Identität die 2 × 2 Identitätsmatrix, ich. Wenn keine Matrix überhaupt in der vollen Gleichung von Dirac gezeigt wird, dann wird es verstanden, dass die fehlende Identität 4 × 4 Identitätsmatrix, ich ist.

Dirac matrices

Es ist nützlich, neuen matrices zu definieren:

::

Diese matrices sind als das Gamma matrices bekannt, und es gibt viele verschiedene Darstellungen von ihnen. In der Pauli-Dirac Darstellung (und Basis):

:

\gamma^0 = \begin {pmatrix }\

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 &-1 & 0 \\

0 & 0 & 0 &-1 \\\end {pmatrix}, \quad

\gamma^1 = \begin {pmatrix }\

0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 &-1 & 0 & 0 \\- 1 & 0 & 0 & 0 \\\end {pmatrix}, \quad

\gamma^2 = \begin {pmatrix }\

0 & 0 & 0 &-i \\0 & 0 & ich & 0 \\0 & ich & 0 & 0 \\- ich & 0 & 0 & 0 \\\end {pmatrix}, \quad

\gamma^3 = \begin {pmatrix }\

0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 &-1 \\- 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\\end {pmatrix} </Mathematik>

Während in der chiral Darstellung (und Basis), auch bekannt als der Darstellung von Weyl:

:\gamma^0 = \begin {pmatrix }\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\\end {pmatrix} </Mathematik>

und das Raumgamma matrices ist dasselbe als in der Pauli-Dirac Darstellung. Das Gamma matrices ist vertretende Basiselemente einer Algebra von Clifford, die Definieren-Beziehung befriedigend

:

in dem der Minkowski ist, der der Unterschrift (+---) metrisch ist. Mit dem Gamma matrices wird die Gleichung von Dirac:

Das ist eine besonders nützliche Weise, die Gleichung zu schreiben, da sie in die Sprache der relativistischen und 4-Vektoren-Kovarianz sofort übersetzt werden kann, kann (sieh unten) demonstriert werden, während sie einer ähnlichen Form zum Original ähnelt.

Die Pauli spinnen matrices

Dirac matrices sind Block matrices; wo die Teilungen die 2 × 2 Nullmatrix, die 2 × 2 Identitätsmatrix I, und Pauli matrices σ, σ, σ (gleichwertig geschriebener σ, σ, σ) sind. In der Praxis können diese ziemlich großen matrices in den folgenden Standarddarstellungen geschrieben werden: Der α und β matrices sind

:\beta = \begin {pmatrix }\

0 & I_2 \\

I_2 & 0 \\

\end {pmatrix}, \quad\alpha_1 = \begin {pmatrix }\

- \sigma_x & 0 \\

0 & \sigma_x \\

\end {pmatrix}, \quad\alpha_2 = \begin {pmatrix }\

- \sigma_y & 0 \\

0 & \sigma_y \\

\end {pmatrix}, \quad\alpha_3 = \begin {pmatrix }\

- \sigma_z & 0 \\

0 & \sigma_z \\

\end {pmatrix} </Mathematik>

die Pauli-Dirac Basis ist

:\gamma^0 = \begin {pmatrix }\

I_2 & 0 \\

0 &-I_2 \\

\end {pmatrix}, \quad

\gamma^1 = \begin {pmatrix }\

0 & \sigma_x \\

- \sigma_x & 0

\end {pmatrix}, \quad\gamma^2 = \begin {pmatrix }\

0 & \sigma_y \\

- \sigma_y & 0

\end {pmatrix}, \quad\gamma^3 = \begin {pmatrix }\

0 & \sigma_z \\

- \sigma_z & 0

\end {pmatrix }\

\\! </Mathematik>

und die chiral Basis ist:

\gamma^0 = \begin {pmatrix }\

0 & I_2 \\

I_2 & 0 \\\end {pmatrix}, \quad\\! </Mathematik>

wo wie zuvor sind.

Diese können in Bezug auf das Produkt von Kronecker (auch bekannt als direkte Produkt geschrieben werden, das durch oder manchmal angezeigt ist) vom matrices

:

\beta = \gamma^0 = \begin {pmatrix}

0 & 1 \\

1 & 0 \\

\end {pmatrix }\\otimes I_2, \quad

\boldsymbol {\\Alpha} = \begin {pmatrix}

1 & 0 \\

0 &-1 \\

\end {pmatrix }\\otimes\boldsymbol {\\Sigma }\

\\! </Mathematik>und:

\gamma^0 = \begin {pmatrix}

1 & 0 \\ 0 &-1 \\\end {pmatrix }\\otimes I_2, \quad

\boldsymbol {\\Gamma} = \begin {pmatrix}

0 & 1 \\

- 1 & 0 \\

\end {pmatrix }\\otimes\boldsymbol {\\Sigma }\\\! </Mathematik>

wo

:

ist ein Vektor, dessen Bestandteile Pauli matrices sind.

Die Dirac Gleichung kann dann direkt in Bezug auf Pauli σ matrices geschrieben werden, illustrierend, wie die Theorie von Dirac für die Theorie von Pauli der Drehung verantwortlich ist. Wenn er den α und β einsetzt, führt matrices

zu

& 0 \\

0 & \hat {E} + c\boldsymbol {\\Sigma }\\cdot\bold {\\Hut {p}} \\

\end {pmatrix }\\psi

mc^2

\begin {pmatrix }\

0 & I_2 \\I_2 & 0 \\\end {pmatrix }\

\psi

\\! </Mathematik>

|cellpadding = 10

|border

|border-Farbe =

#50C878

|background-Farbe = #ECFCF4} }\

:

Gleichung von Dirac in der gekrümmten Raum-Zeit

Die Dirac Gleichung in der gekrümmten Raum-Zeit kann durch das Verwenden vierbein von Feldern und der Gravitationsdrehungsverbindung geschrieben werden. Der vierbein definiert einen lokalen Rest-Rahmen, unveränderlichem Dirac matrices erlaubend, an jedem Raum-Zeit-Punkt zu handeln. Auf diese Weise nimmt die Gleichung von Dirac die folgende Form in der gekrümmten Raum-Zeit an:

:

Hier ist der vierbein und ist die kovariante Ableitung für fermion Felder, definiert wie folgt

:

wo der Umschalter von Dirac matrices ist:

:

und sind die Drehungsverbindungsbestandteile.

Bemerken Sie, dass hier lateinische Indizes die Etiketten "von Lorentzian" vierbein anzeigen, während griechische Indizes mannigfaltige Koordinatenindizes anzeigen.

Physische Interpretation

Die Dirac Theorie, während sie einen Reichtum der Information zur Verfügung stellt, die durch Experimente, genau bestätigt wird, führt dennoch ein neues physisches Paradigma ein, das zuerst schwierig scheint zu dolmetschen und sogar paradox. Einige dieser Probleme der Interpretation müssen als geöffnete Fragen betrachtet werden. Die Dirac Theorie hat hervorragend auf einige der hervorragenden Probleme in der Physik zurzeit geantwortet es wurde vorgebracht, während man andere aufgestellt hat, die noch das Thema der Debatte sind. Viele dieser Probleme wurden in der modernen Quant-Feldtheorie durch das Betrachten der Gleichung von Dirac nicht als eine relativistische Beschreibung der Quant-Mechanik, aber bloß als eine andere relativistische Feldgleichung, auf demselben Stand wie die Gleichung von Klein-Gordon oder die Gleichungen von Maxwell aufgelöst, in denen ψ als eine Welle-Funktion, aber eher als ein fermion Feld nicht interpretiert, zum Skalar von Klein-Gordon elektromagnetisches oder Feldfeld ähnlich wird. Dennoch die Gleichung von Dirac weil betrachtend, ist eine relativistische Version der Gleichung von Schrödinger äußerst rechenbetont nützlich, und bringt wichtige Themen auf.

Identifizierung von observables

Die kritische physische Frage in einer Quant-Theorie ist - was werden die physisch erkennbaren Mengen durch die Theorie definiert? Gemäß allgemeinen Grundsätzen werden solche Mengen von Maschinenbedienern von Hermitian definiert, die dem Raum von Hilbert von möglichen Staaten eines Systems folgen. Die eigenvalues dieser Maschinenbediener sind dann die möglichen Ergebnisse, die entsprechende physische Menge zu messen. In der Theorie von Schrödinger das einfachste ist solcher Gegenstand gesamter Hamiltonian, der die Gesamtenergie des Systems vertritt. Wenn wir diese Interpretation beim Übergang zur Theorie von Dirac aufrechterhalten möchten, müssen wir Hamiltonian nehmen, um zu sein

:

Das sieht viel versprechend aus, weil wir durch die Inspektion die Rest-Energie der Partikel sehen und, im Falle dass = 0 die Energie einer Anklage in ein elektrisches Potenzial qA gelegt hat. Wie steht's mit dem Begriff, der das Vektor-Potenzial einschließt? In der klassischen Elektrodynamik ist die Energie einer Anklage, die sich in einem angewandten Potenzial bewegt

:

So ist Dirac Hamiltonian von seinem klassischen Kollegen im Wesentlichen bemerkenswert, und wir müssen die große Sorge nehmen, um richtig zu identifizieren, was ein erkennbarer in dieser Theorie ist. Viel vom offenbaren paradoxen durch die Gleichung von Dirac einbezogenen Verhalten beläuft sich auf einen misidentification dieser observables. Die folgenden Probleme entstehen mit der Gleichung von Dirac, die nicht sofort leicht sind zu dolmetschen:

Paradox von Klein: Wenn ein Elektron von Dirac mit einem elektrischen Potenzial aufeinander wirkt, wird die Gesamtwahrscheinlichkeit nicht erhalten. Außerdem kann das Elektron Tunnel in hohe potenzielle Barrieren verschieden vom Fall in der Quant-Mechanik, wie beschrieben, durch die Gleichung von Schrödinger.

Zitterbewegung: Es gibt eine offenbare Schwankung (mit der Geschwindigkeit des Lichtes) der Position eines Elektrons um die Mittellinie.

Loch-Theorie

Die negativen E Lösungen der Gleichung von Dirac waren problematisch, weil sie angenommen wurde, dass die Partikel eine positive Energie hat. Mathematisch, jedoch, ist es geschienen, keinen Grund zu geben, die Lösungen der negativen Energie zurückzuweisen. Da sie bestehen, können wir nicht sie einfach ignorieren, diesmal schließen wir die Wechselwirkung zwischen dem Elektron und dem elektromagnetischen Feld ein, jedes Elektron, das in eine positive Energie eigenstate gelegt ist, würde in die negative Energie eigenstates der nacheinander niedrigeren Energie durch das Ausstrahlen der Überenergie in der Form von Fotonen verfallen. Echte Elektronen benehmen sich offensichtlich auf diese Weise nicht.

Um mit diesem Problem fertig zu werden, hat Dirac die Hypothese eingeführt, die als Loch-Theorie bekannt ist: Dass das Vakuum der Vielkörperquant-Staat ist, in dem das ganze Elektron der negativen Energie eigenstates besetzt werden. Diese Beschreibung des Vakuums als ein "Meer" von Elektronen wird das Meer von Dirac genannt. Da der Ausschluss-Grundsatz von Pauli Elektronen davon verbietet, denselben Staat zu besetzen, würde jedes zusätzliche Elektron gezwungen, eine positive Energie eigenstate zu besetzen, und Elektronen der positiven Energie würden davon verboten, in die negative Energie eigenstates zu verfallen.

Dirac hat weiter geschlossen, dass, wenn die negative Energie eigenstates unvollständig gefüllt wird, jeder freie eigenstate - gerufen hat, würde sich ein Loch - wie eine positiv beladene Partikel benehmen. Das Loch besitzt eine positive Energie, da Energie erforderlich ist, ein Paar des Partikel-Loches vom Vakuum zu schaffen. Wie bemerkt, oben hat Dirac am Anfang gedacht, dass das Loch das Proton sein könnte, aber Hermann Weyl hat darauf hingewiesen, dass sich das Loch benehmen sollte, als ob es dieselbe Masse wie ein Elektron hatte, wohingegen das Proton mehr als 1800mal schwerer ist. Das Loch wurde schließlich als der Positron identifiziert, der experimentell von Carl Anderson 1932 entdeckt ist.

Es ist nicht völlig befriedigend, um das "Vakuum" mit einem unendlichen Meer von Elektronen der negativen Energie zu beschreiben. Die ungeheuer negativen Beiträge vom Meer von Elektronen der negativen Energie müssen durch eine unendliche positive "bloße" Energie und den Beitrag zur Anklage-Dichte annulliert werden, und Strom, der aus dem Meer von Elektronen der negativen Energie kommt, wird durch einen unendlichen positiven "jellium" Hintergrund genau annulliert, so dass die elektrische Nettoanklage-Dichte des Vakuums Null ist. In der Quant-Feldtheorie erlaubt eine Transformation von Bogoliubov auf der Entwicklung und den Vernichtungsmaschinenbedienern (einen besetzten Elektronstaat der negativen Energie in einen freien positiven Energiepositron-Staat und einen freien Elektronstaat der negativen Energie in einen besetzten positiven Energiepositron-Staat verwandelnd), uns, den Seeformalismus von Dirac zu umgehen, wenn auch, formell, es dazu gleichwertig ist.

In bestimmten Anwendungen der kondensierten Sache-Physik, jedoch, sind die zu Grunde liegenden Konzepte der "Loch-Theorie" gültig. Das Meer von Leitungselektronen in einem elektrischen Leiter, genannt ein Meer von Fermi, enthält Elektronen mit Energien bis zum chemischen Potenzial des Systems. Ein ungefüllter Staat im Meer von Fermi benimmt sich wie ein positiv beladenes Elektron, obwohl es ein "Loch" aber nicht einen "Positron" genannt wird. Die negative Anklage des Meeres von Fermi wird durch das positiv beladene ionische Gitter des Materials erwogen.

Eigenschaften

Kovariante Form und relativistischer invariance

Um den relativistischen invariance der Gleichung zu demonstrieren, ist es vorteilhaft, es in eine Form zu werfen, in der die Ableitungen der Zeit und Raums auf einem gleichen Stand erscheinen. Mit der Gammamatrixform oben kann die kovariante Form durch das Einfügen des Anstieg-Maschinenbedieners und das Sammeln aller Ableitungen der Zeit und Raums zusammen erhalten werden (sich durch c für die Bequemlichkeit teilend):

:

& c\boldsymbol {\\Gamma }\\cdot\bold {\\Hut {p} }\\psi - i\hbar\gamma^0\frac {\\teilweise} {\\teilweiser t }\\psi + Mc^2 \psi = 0 \\

&-i\hbar \boldsymbol {\\Gamma }\\cdot\nabla\psi - \gamma^0\frac {i\hbar} {c }\\frac {\\teilweise} {\\teilweiser t }\\psi + mc \psi = 0 \\

&-i\hbar \left (\boldsymbol {\\Gamma }\\cdot\nabla + \gamma^0\frac {1} {c }\\frac {\\teilweise} {\\teilweiser t }\\Recht) \psi + mc \psi = 0 \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

dann mit dem 4-Positionen-(als oben) und (+ ) metrische Unterschrift, um die Zusammenziehung zwischen dem Gamma matrices und den 4-Positionen-Ableitungen zu gewinnen;

:

so haben wir

:

Mit der Hieb-Notation von Feynman wird die Gleichung

:

Diese kovariante Form hat weitere relativistische Implikationen:

• die Gleichung von Dirac ist die Quadratwurzel der Gleichung von Klein-Gordon. Die Gleichung von Klein-Gordon basiert auf, bedeutend, dass die Gleichung von Dirac auf seiner Quadratwurzel basiert.
• Jede Lösung der Gleichung von Dirac ist automatisch eine Lösung der Gleichung von Klein-Gordon, aber nicht umgekehrt, d. h. es gibt Lösungen der Gleichung von Klein-Gordon, die die Gleichung von Dirac nicht lösen.

Das kann durch das Factoring die Gleichung von Klein-Gordon (in der Hieb-Notation) gefunden werden:

:

und das Bemerken des letzten Faktors ist einfach die Gleichung von Dirac. In diesem Sinn macht die Gleichung von Dirac einen Extraschritt vorwärts in die relativistische Quant-Mechanik im Vergleich zur Gleichung von Klein-Gordon.

Das ganze System wird mit dem Minkowski zusammengefasst, der auf der Raum-Zeit in der Form metrisch

ist:

wo wieder [] den Antiumschalter anzeigt. Das sind die Definieren-Beziehungen einer Algebra von Clifford über einen pseudoorthogonalen 4-d Raum mit der metrischen Unterschrift (+ ). Die spezifische in der Gleichung von Dirac verwendete Algebra von Clifford ist heute als die Algebra von Dirac bekannt. Obwohl nicht anerkannt als solcher durch Dirac zurzeit die Gleichung im Nachhinein formuliert wurde, vertritt die Einführung dieser geometrischen Algebra auch einen Schritt vorwärts in der Entwicklung der relativistischen Quant-Theorie.

Relativistische eigenvalue Gleichung

Weiter ist der 4-Schwünge-Vektor

:

so das Einfügen der Quant-Maschinenbediener erhält den 4-Schwünge-Maschinenbediener;

:

(der iħ wird +iħ, der dem 3-Schwünge-Maschinenbediener vorangeht). Die Zusammenziehung dieses Maschinenbedieners mit dem Gamma matrices (das Verwenden der Hieb-Notation von Feynman) gibt

:

der drastisch die Gleichung von Dirac zur vertrauten Struktur des Schwungs verkürzt;

:

Die Dirac Gleichung kann jetzt als eine eigenvalue Gleichung interpretiert werden, wo die Rest-Masse zu einem eigenvalue des 4-Schwünge-Maschinenbedieners, die Proportionalität unveränderlich proportional ist, die Geschwindigkeit des Lichtes c seiend.

Transformationen von Spinor

In der Praxis verwenden Physiker häufig Einheiten des solchen Maßes dass ħ = c = 1, bekannt als "natürliche Einheiten". Die Gleichung nimmt dann die einfache Form an

:

Ein Hauptsatz stellt fest, dass, wenn zwei verschiedene Sätze von matrices sind vorausgesetzt, dass beide die Beziehungen von Clifford dann befriedigen, sie mit einander durch eine Ähnlichkeitstransformation verbunden werden:

:

Wenn außerdem die matrices alle einheitlich sind, wie der Satz von Dirac sind, dann ist S selbst einheitlich;

:

Die Transformation U ist bis zu einem multiplicative Faktor des absoluten Werts 1 einzigartig. Lassen Sie uns jetzt uns eine Transformation von Lorentz vorstellen, auf den Koordinaten der Zeit und Raums, und auf den abgeleiteten Maschinenbedienern durchgeführt worden zu sein, die einen kovarianten Vektoren bilden. Für den Maschinenbediener, um invariant zu bleiben, müssen sich die Gammas unter sich als ein kontravarianter Vektor in Bezug auf ihren Raum-Zeit-Index verwandeln. Diese neuen Gammas werden selbst die Beziehungen von Clifford wegen des orthogonality der Transformation von Lorentz befriedigen. Durch den Hauptsatz können wir den neuen Satz durch das alte Satz-Thema einer einheitlichen Transformation ersetzen. Im neuen Rahmen sich erinnernd, dass die Rest-Masse ein relativistischer Skalar ist, wird die Gleichung von Dirac dann die Form annehmen

::

Wenn wir jetzt den umgestalteten spinor definieren

:

dann haben wir die umgestaltete Gleichung von Dirac in einem Weg, der Manifest relativistischer invariance demonstriert:

:

So, sobald wir uns auf jeder einheitlichen Darstellung der Gammas niederlassen, ist es endgültig, vorausgesetzt dass wir den spinor gemäß der einheitlichen Transformation umgestalten, die der gegebenen Transformation von Lorentz entspricht. Die verschiedenen Darstellungen von verwendetem Dirac matrices werden in den Fokus besondere Aspekte des physischen Inhalts im Feld von Dirac (sieh unten) bringen. Die Darstellung gezeigt hier ist als die Standarddarstellung - darin bekannt, die oberen zwei Bestandteile gehen in die 2-spinor Welle-Funktion von Pauli in der Grenze von niedrigen Energien und kleinen Geschwindigkeiten im Vergleich mit dem Licht durch.

Die Rücksichten offenbaren oben den Ursprung der Gammas in der Geometrie, auf die ursprüngliche Motivation von Grassmann zurückgehend - sie vertreten eine feste Basis von Einheitsvektoren in der Raum-Zeit. Ähnlich Produkte der Gammas, die orientierte Oberflächenelemente und so weiter vertreten. Damit im Sinn können wir die Form des Einheitsvolumen-Elements in der Raum-Zeit in Bezug auf die Gammas wie folgt finden. Definitionsgemäß ist es

:

Dafür, um ein invariant zu sein, muss das Epsilon-Symbol ein Tensor sein, und muss so einen Faktor dessen enthalten, wo g die Determinante des metrischen Tensor ist. Da das negativ ist, ist dieser Faktor imaginär. So

:

Diese Matrix wird das spezielle Symbol infolge seiner Wichtigkeit gegeben, wenn man unpassende Transformationen der Raum-Zeit, d. h. diejenigen denkt, die die Orientierung der Basisvektoren ändern. In der Standarddarstellung ist es

:Wie man

auch finden wird, wird diese Matrix mit anderen vier Dirac matrices antipendeln. Es übernimmt eine Hauptrolle, wenn Fragen der Gleichheit entstehen, weil das Volumen-Element als ein geleiteter Umfang Zeichen unter einem Raum-Zeit-Nachdenken ändert. Die Einnahme der positiven Quadratwurzel beläuft sich oben so auf die Auswahl einer Händigkeitstagung auf der Raum-Zeit.

Gleichung von Adjoint und Wahrscheinlichkeitsbewahrung

In der Theorie von Schrödinger wird die Wahrscheinlichkeitsdichte durch den positiven bestimmten Ausdruck gegeben

:

und diese Dichte ist convected gemäß dem Wahrscheinlichkeitsstrom-Vektoren

:

gemäß einer Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeit. Für eine relativistische Theorie können diese in eine 4-Ströme-Wahrscheinlichkeit vereinigt werden, der den relativistisch kovarianten Ausdruck hat

:

wo (das Übersetzen üblicher Notation der kartesianischen Subschrift in Vektor-Indizes):

:

& (x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, x, y, z) \\

\end {richten} {sich} \, </Mathematik> {aus}

Durch das Definieren des adjoint spinor

:

wo das verbundene ist, stellen um von, und das bemerkend

:

wir herrschen vor, indem wir Hermitian nehmen, der der Gleichung von Dirac verbunden ist und vom Recht durch, der adjoint Gleichung multiplizierend:

:

wo verstanden wird, nach links zu handeln. Das Multiplizieren der Gleichung von Dirac durch vom links und der adjoint Gleichung durch vom Recht und Abziehen, erzeugt das Gesetz der Bewahrung des Stroms von Dirac:

:

Jetzt sehen wir den großen Vorteil der Gleichung der ersten Ordnung über diejenige, die Schrödinger versucht hatte - ist das die erhaltene aktuelle durch relativistischen invariance erforderliche Dichte, nur jetzt ist sein 4. Bestandteil bestimmt und so passend für die Rolle einer Wahrscheinlichkeitsdichte positiv:

:

Weil die Wahrscheinlichkeitsdichte jetzt als der vierte Bestandteil eines relativistischen Vektoren und nicht ein einfacher Skalar als in der Gleichung von Schrödinger erscheint, wird es zu den üblichen Effekten der Transformationen von Lorentz wie Zeitausdehnung unterworfen sein. So zum Beispiel werden Atomprozesse, die als Raten beobachtet werden, in einem mit der Relativität im Einklang stehenden Weg notwendigerweise angepasst, während diejenigen, die das Maß der Energie und den Schwung einschließen, die selbst einen relativistischen Vektoren bilden, parallele Anpassung erleben werden, die die relativistische Kovarianz der beobachteten Werte bewahrt.

In einem allgemeinen Fall (wenn eine bestimmte geradlinige Funktion des elektromagnetischen Feldes identisch nicht verschwindet), drei aus vier Bestandteilen der Spinor-Funktion in der Gleichung von Dirac kann algebraisch beseitigt werden, eine gleichwertige vierte Ordnung teilweise Differenzialgleichung für gerade einen Bestandteil nachgebend. Außerdem kann dieser restliche Bestandteil echt durch ein Maß gemacht werden verwandeln sich.

Siehe auch

• Theorie von Bohr-Sommerfeld
• Gleichung von Breit
• Feld von Dirac
• Gleichungen von Einstein-Maxwell-Dirac
• Damebrett von Feynman
• Transformation von Foldy-Wouthuysen
• Gleichung von Klein-Gordon
• Quant-Elektrodynamik
• Rarita-Schwinger Gleichung
• Theoretische und experimentelle Rechtfertigung für die Gleichung von Schrödinger
• Gleichung von Dirac in der Algebra des physischen Raums
• EPR Paradox
• Die Gleichung von Dirac erscheint auf dem Fußboden der Westminster Abtei. Es erscheint auf dem Fleck, der des Lebens von Paul Dirac gedenkt, das am 13. November 1995 eröffnet wurde.

Ausgewählte Papiere

• P.A.M. Dirac "Die Quant-Theorie des Elektrons", Proc. R. Soc. A117) verbinden sich zum Volumen der Verhandlungen der Königlichen Gesellschaft Londons, das den Artikel an der Seite 610 enthält
• P.A.M. Dirac "Eine Theorie von Elektronen und Protonen", Proc. R. Soc. A126) verbinden sich zum Volumen der Verhandlungen der Königlichen Gesellschaft Londons, das den Artikel an der Seite 360 enthält
• C.D. Anderson, Phys. Hochwürdiger. 43, 491 (1933)
• R. Frisch und O. Stern, Z. Phys. 85, 4 (1933)

Lehrbücher

• Dirac, P.A.M. Grundsätze der Quant-Mechanik, 4. Ausgabe (Clarendon, 1982)
• Shankar, R., Grundsätze der Quant-Mechanik, 2. Ausgabe (Plenum, 1994)
• Bjorken, J D & Drell, S, Relativistische Quant-Mechanik
• Thaller, B., Die Dirac Gleichung, Texte und Monografien in der Physik (Springer, 1992)
• Schiff, L.I. Quant-Mechanik, 3. Ausgabe (McGraw-Hügel, 1968)
• Griffiths, D.J. Einführung in Elementare Partikeln, 2. Ausgabe (Wiley-VCH, 2008) internationale Standardbuchnummer 978-3-527-40601-2.

Links

• Die Dirac Gleichung an MathPages
• Die Natur der Dirac Gleichung, seiner Lösungen und Drehung
• Gleichung von Dirac für eine Drehung ½ Partikel
• Das pädagogische Aids zur Quant-Feldtheorie klickt auf Chap. 4 für einen Schritt durch die kleine Schritt-Einführung in die Gleichung von Dirac, spinors, und relativistische spin/helicity Maschinenbediener.
• Natur der spinors Einleitenden Erklärung von spinors.