In der Mathematik sind die L Räume das definierte Verwenden von Räumen der Funktion einer natürlichen Generalisation der P-Norm für endlich-dimensionale Vektorräume. Sie werden manchmal Räume von Lebesgue, genannt nach Henri Lebesgue genannt, obwohl gemäß ihnen zuerst dadurch eingeführt wurden.

L Räume bilden eine wichtige Klasse von Banachräumen in der Funktionsanalyse, und von topologischen Vektorräumen.

Räume von Lebesgue haben Anwendungen in Physik, Statistik, Finanz, Technik und anderen Disziplinen.

Die P-Norm in begrenzten Dimensionen

Die Länge eines Vektoren x = (x, x, …, x) im n-dimensional echten Vektorraum R wird gewöhnlich durch die Euklidische Norm gegeben:

:

Die Euklidische Entfernung zwischen zwei Punkten x und y ist die Länge der Gerade zwischen den zwei Punkten. In vielen Situationen ist die Euklidische Entfernung ungenügend, für die wirklichen Entfernungen in einem gegebenen Raum zu gewinnen. Zum Beispiel sollten Taxichauffeure in Manhattan Entfernung nicht in Bezug auf die Länge der Gerade zu ihrem Bestimmungsort, aber in Bezug auf die Entfernung von Manhattan messen, die in Betracht zieht, dass Straßen entweder orthogonal oder zu einander parallel sind. Die Klasse von P-Normen verallgemeinert diese zwei Beispiele und hat einen Überfluss an Anwendungen in vielen Teilen der Mathematik, Physik und Informatik.

Definition

Für eine reelle Zahl p  1, die P-Norm' oder L-Norm' von x wird durch definiert

:

Die Euklidische Norm von obengenannten Fällen in diese Klasse und ist der 2-Normen-, und die 1 Norm ist die Norm, die der Entfernung von Manhattan entspricht.

Die L-Norm' oder maximale Norm (oder gleichförmige Norm) sind die Grenze der L-Normen dafür. Es stellt sich heraus, dass diese Grenze zur folgenden Definition gleichwertig ist:

:

Für den ganzen p befriedigen  1, die P-Normen und maximale Norm, wie definiert, oben tatsächlich die Eigenschaften einer "Länge-Funktion" (oder Norm), die dass sind:

• nur der Nullvektor hat Nulllänge,
• die Länge des Vektoren ist homogen in Bezug auf die Multiplikation durch einen Skalar und den positiv
• die Länge der Summe von zwei Vektoren ist nicht größer als die Summe von Längen der Vektoren (Dreieck-Ungleichheit).

Abstrakt sprechend, bedeutet das, dass R zusammen mit der P-Norm ein Banachraum ist. Dieser Banachraum ist der L-Raum' über R.

Beziehungen zwischen P-Normen

Es ist intuitiv klar, dass lineare Entfernungen in Manhattan allgemein kürzer sind als Taxi-Entfernungen.

Formell bedeutet das, dass die Euklidische Norm jedes Vektoren durch seine 1 Norm begrenzt wird:

:

Diese Tatsache verallgemeinert zu P-Normen darin die P-Norm jedes gegebenen Vektoren x wächst mit p nicht:

: für jeden Vektoren x und reelle Zahlen p  1 und ein  0.

Für die entgegengesetzte Richtung, die folgende Beziehung zwischen der 1 Norm und dem 2-Normen-ist bekannt:

:

Diese Ungleichheit hängt von der Dimension n vom zu Grunde liegenden Vektorraum ab und folgt direkt von der Ungleichheit von Cauchy-Schwarz.

Wenn 0 für n> 1, die Formel

:

definiert eine absolut homogene Funktion für 0 für n> 1, die Formel für 0

definiert eine subzusätzliche Funktion, die wirklich eine F-Norm definiert. Diese F-Norm ist nicht homogen.

Jedoch, die Funktion

:

definiert einen metrischen. Der metrische Raum (R, d) wird durch  angezeigt.

Obwohl der P-Einheitsball B um den Ursprung darin metrisch "konkav" ist, ist die Topologie, die auf R durch den metrischen d definiert ist, die übliche Vektorraum-Topologie von R, folglich ist  ein lokal konvexer topologischer Vektorraum. Außer dieser qualitativen Behauptung soll eine quantitative Weise, den Mangel an der Konvexität von  zu messen, durch C (n) den kleinsten unveränderlichen solchen C anzeigen, dass der vielfache C B des P-Einheitsballs den konvexen Rumpf von B enthält, der B gleich ist. Die Tatsache, dass C (n) = n zur Unendlichkeit mit n neigt (für festen p, der unten definiert ist, ist nicht mehr lokal konvex.

Wenn p

0 = ==

Es gibt eine l0 Norm, und eine andere Funktion hat die l0 "Norm" (mit Schreckensanführungszeichen) genannt.

Die mathematische Definition der l0 Norm wurde durch die Theorie von Banach von Geradlinigen Operationen gegründet. Der Raum von Folgen hat eine ganze metrische Topologie, die durch die F-Norm zur Verfügung gestellt ist, die von Stefan Rolewicz in Metrischen Geradlinigen Räumen besprochen wird. Der l0-normed Raum wird in der Funktionsanalyse, Wahrscheinlichkeitstheorie und harmonischen Analyse studiert.

Eine andere Funktion wurde die l0 "Norm" von David Donoho genannt, dessen Anführungszeichen warnen, dass diese Funktion nicht eine richtige Norm ist. Einige spätere Autoren missbrauchen Fachsprache, indem sie die Anführungszeichen leider weglassen. Donoho hat die Fachsprache p-"Norm" lokal vorgeschlagen, indem er die Grenze der LP-Norm auf begrenzten Sätzen genommen hat, weil sich p Null nähert

:

der die Zahl von Nichtnulleinträgen des Vektoren x ist. 0 = 0 definierend, ist die Null"Norm" von Donoho von x dem gleich. Das ist nicht eine Norm, weil es in Bezug auf die Skalarvektor-Multiplikation nicht dauernd ist (weil sich der Skalar Null nähert); es ist nicht eine richtige Norm (B-Norm, mit "B" für Banach), weil es nicht homogen ist. Trotz dieser Defekte als eine mathematische Norm hat das Nichtnullzählen von Donoho "der Norm" (mit Anführungszeichen) Nutzen in der wissenschaftlichen Computerwissenschaft, Informationstheorie und Statistik---namentlich in der komprimierten Abfragung in der Signalverarbeitung und rechenbetonten harmonischen Analyse.

Die P-Norm in zählbar unendlichen Dimensionen

:

Die P-Norm kann zu Vektoren erweitert werden, die eine unendliche Zahl von Bestandteilen haben, die den Raum nachgibt. Das enthält als spezielle Fälle:

• der Raum von Folgen, deren Reihe, absolut konvergent

ist

• der Raum von quadrataddierbaren Folgen, der ein Raum von Hilbert und ist

• der Raum von begrenzten Folgen.

Der Raum von Folgen hat eine natürliche Vektorraum-Struktur durch die Verwendung der Hinzufügung und Skalarmultiplikationskoordinate durch die Koordinate.

Ausführlich, für eine unendliche Folge von echten (oder Komplex) Zahlen, definieren Sie die Vektorsumme, um zu sein

:

& (x_1, x_2, \dotsc, x_n, x_ {n+1}, \dotsc) + (y_1, y_2, \dotsc, y_n, y_ {n+1}, \dotsc) = \\

& (x_1+y_1, x_2+y_2, \dotsc, x_n+y_n, x_ {n+1} +y_ {n+1}, \dotsc)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

während die Skalarhandlung durch gegeben wird

:

Definieren Sie die P-Norm

:

Hier entsteht eine Komplikation nämlich, dass die Reihe rechts, also zum Beispiel, die Folge nicht immer konvergent ist, die aus nur, (1, 1, 1, …) zusammengesetzt ist, wird eine unendliche P-Norm (Länge) für jeden begrenzten p  1 haben. Der Raum  wird dann als der Satz aller unendlichen Folgen von echten definiert (oder Komplex) numeriert solch, dass die P-Norm begrenzt ist.

Man kann überprüfen, dass als p Zunahmen der Satz  größer wächst. Zum Beispiel, die Folge

:

ist nicht in , aber es ist in  für p> 1, als die Reihe

:

weicht für p = 1 (die harmonische Reihe) ab, aber ist für p> 1 konvergent.

Man definiert auch den  - Norm als

:

und der entsprechende Raum  aller begrenzten Folgen. Es stellt sich heraus, dass sehen

:

wenn die Rechte begrenzt ist, oder die linke Seite unendlich ist. So werden wir  Räume für 1  p   denken.

Die auf  so definierte P-Norm ist tatsächlich eine Norm, und  zusammen mit dieser Norm ist ein Banachraum. Völlig wird Raum von General L - wie gesehen, unten - durch das Betrachten von Vektoren erhalten, nicht nur mit begrenzt oder zählbar ungeheuer viele Bestandteile, aber mit "willkürlich vielen Bestandteilen"; mit anderen Worten, Funktionen. Ein Integral statt einer Summe wird verwendet, um die P-Norm zu definieren.

L Räume

Lassen Sie 1  p

Der Satz solcher Funktionen bildet einen Vektorraum mit den folgenden natürlichen Operationen:

:

für jeden Skalar λ.

Dass die Summe von zwei p Macht integrable Funktionen wieder p ist, Macht folgt integrable aus der Ungleichheit |f + g  2 (|f + |g). Tatsächlich ist mehr wahr. Die Ungleichheit von Minkowski sagt, dass die Dreieck-Ungleichheit für || hält · ||. So der Satz der p Macht integrable Funktionen, zusammen mit der Funktion || · ||, ist ein seminormed Vektorraum, der dadurch angezeigt wird.

Das kann in einen normed Vektorraum auf eine Standardweise gemacht werden; man nimmt einfach den Quotient-Raum in Bezug auf den Kern || · ||. Seitdem für jede messbare Funktion f haben wir das || f = 0 wenn und nur wenn f = 0 fast überall, der Kern || · || hängt von p, nicht ab

:

Im Quotient-Raum werden zwei Funktionen f und g wenn f = g fast überall identifiziert. Der resultierende normed Vektorraum, ist definitionsgemäß,

:

Für p =  wird der Raum L (S, μ) wie folgt definiert. Wir fangen mit dem Satz aller messbaren Funktionen von S bis C an (oder R), die im Wesentlichen begrenzt werden, d. h. bis zu eine Reihe der Maß-Null begrenzt haben. Wieder werden zwei solche Funktionen identifiziert, wenn sie fast überall gleich sind. Zeigen Sie diesen Satz durch L (S, μ) an. Für f in L (S, μ), dient sein wesentliches Supremum als eine passende Norm:

:

Wie zuvor haben wir

:

wenn f  L (S, μ)  L (S, μ) für einen q (S, μ) ein Banachraum ist. Die Tatsache, dass L abgeschlossen ist, wird häufig Lehrsatz von Riesz-Fischer genannt. Vollständigkeit kann mit den Konvergenz-Lehrsätzen für Integrale von Lebesgue überprüft werden.

Wenn der zu Grunde liegende Maß-Raum S, L verstanden wird (S, μ) wird häufig L (μ), oder gerade L abgekürzt. Die obengenannten Definitionen verallgemeinern zu Räumen von Bochner.

Spezielle Fälle

Wenn p = 2; wie der  Raum ist der Raum L der einzige Raum von Hilbert dieser Klasse. Im komplizierten Fall wird das Skalarprodukt auf L durch definiert

:

Die zusätzliche Skalarprodukt-Struktur berücksichtigt eine reichere Theorie, mit Anwendungen auf, zum Beispiel, Reihe von Fourier und Quant-Mechanik. Funktionen in L werden manchmal quadratisch integrable Funktionen, Quadrat-Integrable-Funktionen oder quadrataddierbare Funktionen genannt, aber manchmal werden diese Begriffe für Funktionen vorbestellt, die Quadrat-Integrable in einem anderen Sinn, solcher als im Sinne eines integrierten Riemanns sind.

Wenn wir Komplex-geschätzte Funktionen verwenden, ist der Raum L ein auswechselbarer C*-algebra mit der pointwise Multiplikation und Konjugation. Für viele Maß-Räume, einschließlich aller mit dem Sigma begrenzten, ist es tatsächlich eine Ersatzalgebra von von Neumann. Ein Element von L definiert einen begrenzten Maschinenbediener auf jedem L Raum durch die Multiplikation.

Die  Räume (1  p  ) sind ein spezieller Fall von L Räumen, wenn S der Satz N von positiven ganzen Zahlen ist, und das Maß μ das Zählen-Maß auf N ist. Mehr allgemein, wenn man einen Satz S mit dem Zählen-Maß denkt, wird der resultierende L Raum  (S) angezeigt. Zum Beispiel ist der Raum  (Z) der Raum aller Folgen, die durch die ganzen Zahlen mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind, und wenn sie die P-Norm auf solch einem Raum definieren, man resümiert über alle ganzen Zahlen. Der Raum  (n), wo n der Satz mit n Elementen ist, ist R mit seiner P-Norm, wie definiert, oben. Als jeder Raum von Hilbert ist jeder Raum L zu einem passenden  (I) linear isometrisch, wo der cardinality des Satzes ich der cardinality einer willkürlichen Basis von Hilbertian für diesen besonderen L bin.

Eigenschaften von L Räumen

Doppelräume

Der Doppelraum (der Raum des ganzen dauernden geradlinigen functionals) L (μ) für 1 (μ), wo q&thinsp; ist solch, dass 1/p + 1/q = 1, der g  L (μ) mit dem funktionellen κ (g)  L (μ) definiert durch vereinigt

:

Die Tatsache, dass κ (g) gut definiert wird und dauernder, folgt von der Ungleichheit von Hölder. κ kartografisch darzustellen, ist von L (μ) in L (μ) geradlinig kartografisch darzustellen, der eine Isometrie durch den extremal Fall der Ungleichheit von Hölder ist. Es ist auch möglich sich zu zeigen (zum Beispiel mit dem Radon-Nikodym Lehrsatz, sieh), dass jeder G  L (μ) dieser Weg ausgedrückt werden kann: D. h. das κ ist darauf. Da κ auf und isometrisch ist, ist es ein Isomorphismus von Banachräumen. Mit diesem (isometrischen) Isomorphismus im Sinn ist es üblich, einfach zu sagen, dass L der Doppel-von L "ist".

Wenn 1 (μ) reflexiv ist. Lassen Sie κ die obengenannte Karte sein und κ die entsprechende geradlinige Isometrie von L (μ) auf L (μ) sein zu lassen. Die Karte

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von L (μ) zu L fällt (μ), der durch das Bestehen κ mit dem Umstellen (oder adjoint) des Gegenteils von κ erhalten ist, mit dem kanonischen Einbetten J&thinsp zusammen; L (μ) in seinen bidual. Außerdem ist die Karte j auf, als Zusammensetzung zwei auf Isometrien, und das beweist reflexivity.

Wenn das Maß μ auf S mit dem Sigma begrenzt ist, dann ist der Doppel-von L (μ) zu L (μ) isometrisch isomorph (genauer, die Karte κ entsprechend p = 1 ist eine Isometrie von L (μ) auf L (μ)).

Der Doppel-von L ist feiner. Elemente dessen (L (μ)) kann mit begrenzten unterzeichneten begrenzt zusätzlichen Maßnahmen auf S identifiziert werden, die in Bezug auf μ absolut dauernd sind. Sieh ba Raum für mehr Details. Wenn wir das Axiom der Wahl annehmen, ist dieser Raum viel größer als L (μ) außer in einigen trivialen Fällen. Jedoch gibt es relativ konsequente Erweiterungen der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, in der der Doppel-von   ist. Das ist ein Ergebnis von Shelah, der im Buch von Eric Schechter Handbuch der Analyse und seiner Fundamente besprochen ist.

Embeddings

Umgangssprachlich, wenn 1  p (S, μ) Funktionen enthält, die lokaler einzigartig sind, während Elemente von L (S, μ) mehr ausgedehnt werden können. Denken Sie das Maß von Lebesgue auf der Hälfte der Linie (0, ). Eine dauernde Funktion in L könnte nahen 0 vernichten, aber muss genug schnell zur Unendlichkeit verfallen. Andererseits brauchen dauernde Funktionen in L nicht überhaupt zu verfallen, aber keiner Explosion wird erlaubt. Das genaue technische Ergebnis ist der folgende:

1. Lassen Sie 0  p (S, μ) wird in L enthalten (S, μ) iff enthält S Sätze des willkürlich großen Maßes und nicht
2. Lassen Sie 0  p (S, μ) wird in L enthalten (S, μ) iff enthält S Sätze des willkürlich kleinen Nichtnullmaßes nicht.

Insbesondere wenn das Gebiet S begrenztes Maß, das bestimmte (eine Folge der Ungleichheit von Jensen) hat

:

bedeutet, dass der Raum L unaufhörlich in L eingebettet wird. Das heißt, ist der Identitätsmaschinenbediener eine begrenzte geradlinige Karte von L bis L. Das unveränderliche Erscheinen in der obengenannten Ungleichheit, ist im Sinn dass die Maschinenbediener-Norm der Identität I optimal: L (S, μ) &rarr; L (S, μ) ist genau

:

der Fall der Gleichheit, die genau wenn f = 1 a.e wird erreicht. [μ].

Dichte Subräume

Es wird dass 1  p angenommen

Lassen Sie (S, Σ, μ), ein Maß-Raum zu sein. Eine integrable einfache Funktion f&thinsp; auf S&thinsp; ist eine der Form

:

wo Skalar und Ein  &thinsp ist; hat begrenztes Maß, für j = 1, …, n. Durch den Aufbau des Integrals ist der Vektorraum von integrable einfachen Funktionen in L (S, Σ, μ) dicht.

Mehr kann wenn S&thinsp gesagt werden; ist ein metrizable topologischer Raum und &thinsp; sein Borel σ-algebra, d. h., der kleinste σ-algebra von Teilmengen S&thinsp; die offenen Sätze enthaltend.

Nehmen Sie diese V  S&thinsp an; ist ein offener Satz mit μ (V)

:

Hieraus folgt dass dort φ dauernd auf S&thinsp besteht; solch dass

:

Wenn S&thinsp; kann durch eine zunehmende Folge (V) von offenen Sätzen bedeckt werden, die begrenztes Maß haben, dann ist der Raum von p-integrable dauernden Funktionen in L (S, Σ, μ) dicht. Genauer kann man begrenzte dauernde Funktionen verwenden, die außerhalb einen der offenen Sätze V verschwinden.

Das gilt insbesondere, wenn S = R, und wenn μ das Maß von Lebesgue ist. Der Raum von dauernden und kompakt unterstützten Funktionen ist in L(R) dicht. Ähnlich geht der Raum von integrable functions  ist in L(R) dicht; dieser Raum ist die geradlinige Spanne von Anzeigefunktionen von begrenzten Zwischenräumen wenn d = 1, begrenzter Rechtecke wenn d = 2 und mehr allgemein Produkte von begrenzten Zwischenräumen.

Mehrere Eigenschaften von allgemeinen Funktionen in L(R) werden zuerst für dauernde und kompakt unterstützte Funktionen (manchmal für Schritt-Funktionen) bewiesen, dann durch die Dichte zu allen Funktionen erweitert. Zum Beispiel wird es diese Weise bewiesen, wie Übersetzungen auf L(R) im folgenden Sinn dauernd sind: für jeden f  L(R),

:

wenn t  R zu 0 neigt, wo die übersetzte Funktion ist, die dadurch definiert ist.

Anwendungen

L Räume werden in der Mathematik und den Anwendungen weit verwendet.

Ungleichheit von Hausdorff-Young

Der Fourier verwandelt sich für die echte Linie (resp. für periodische Funktionen, vgl Reihe von Fourier) stellt L(R) zu L(R) kartografisch dar (resp. L (T) zu ), wo 1  p  2 und 1/p + 1/q = 1. Das ist eine Folge des Riesz-Thorin Interpolationslehrsatzes, und wird genau mit der Ungleichheit von Hausdorff-Young gemacht.

Im Vergleich, wenn p> 2, sich der Fourier verwandelt, stellt in L nicht kartografisch dar.

Räume von Hilbert

Räume von Hilbert sind zu vielen Anwendungen von der Quant-Mechanik bis stochastische Rechnung zentral. Die Räume L und der  sind beide Räume von Hilbert. Tatsächlich, indem man eine Basis von Hilbert wählt, sieht man, dass alle Räume von Hilbert zu  (E) isometrisch sind, wo E ein Satz mit einem passenden cardinality ist.

Statistik

In der Statistik werden Maßnahmen der Haupttendenz und statistischen Streuung, wie die, Mittel-Mittel- und Standardabweichung, in Bezug auf die L Metrik definiert, und Maßnahmen der Haupttendenz können als Lösungen abweichender Probleme charakterisiert werden.

L für 0 (μ) kann als oben definiert werden: Es ist der Vektorraum jener messbaren Funktionen f solch dass

:

Wie zuvor können wir die P-Norm || f || = N (f), einführen

aber || · || befriedigt die Dreieck-Ungleichheit in diesem Fall nicht, und definiert nur eine Quasinorm.

Die Ungleichheit (+ b)  + b, gültig für einen  0 und b  0 bezieht das ein

:

und so die Funktion

:

ist ein metrischer auf L (μ). Der resultierende metrische Raum ist abgeschlossen; die Überprüfung ist dem vertrauten Fall wenn p  1 ähnlich.

In dieser Einstellung befriedigt L eine Rückseite Ungleichheit von Minkowski, die für u und v in L ist

:

Dieses Ergebnis kann verwendet werden, um die Ungleichheit von Clarkson zu beweisen, die der Reihe nach verwendet wird, um die gleichförmige Konvexität der Räume L zu gründen

für 1 &lt; p &lt; .

Der Raum L für 0 oder

L ([0, 1]), ist jeder offene konvexe Satz, der die 0 Funktion enthält, für den p-quasi-norm unbegrenzt; deshalb besitzt der 0 Vektor kein grundsätzliches System der konvexen Nachbarschaft. Spezifisch ist das wahr, wenn der Maß-Raum S eine unendliche Familie von zusammenhanglosen messbaren Mengen des begrenzten positiven Maßes enthält.

Der einzige nichtleere konvexe offene Satz in L ([0, 1]) ist der komplette Raum. Als eine besondere Folge gibt es keinen geradlinigen Nichtnullfunctionals auf L ([0, 1]): Der Doppelraum ist der Nullraum. Im Fall vom Zählen-Maß auf den natürlichen Zahlen (den Folge-Raum L (μ) =  erzeugend), sind die begrenzten geradlinigen functionals auf  genau diejenigen, die auf , nämlich diejenigen begrenzt werden, die durch Folgen in  gegeben sind. Obwohl  wirklich nichttriviale konvexe offene Sätze enthält, scheitert er, genug von ihnen zu haben, um eine Basis für die Topologie zu geben.

Die Situation, keinen geradlinigen functionals zu haben, ist zu den Zwecken hoch unerwünscht, Analyse zu tun. Im Fall vom Maß von Lebesgue auf R, anstatt mit L für 0 wann immer möglich zu arbeiten, weil das ziemlich viele geradlinige functionals hat: Genug, Punkte von einander zu unterscheiden. Jedoch scheitert der Hahn-Banach Lehrsatz noch in H für p, den Raum von messbaren Funktionen ===

Der Vektorraum (Gleichwertigkeitsklassen) messbare Funktionen auf (S, Σ, μ) wird L (S, Σ, μ) angezeigt. Definitionsgemäß enthält es den ganzen L, und wird mit der Topologie der Konvergenz im Maß ausgestattet. Wenn μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist (d. h., μ (S) = 1), wird diese Weise der Konvergenz Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit genannt.

Die Beschreibung ist leichter, wenn μ begrenzt ist.

Wenn μ ein begrenztes Maß darauf ist (S, Σ), lässt die 0 Funktion für die Konvergenz im Maß das folgende grundsätzliche System der Nachbarschaft zu

:

Die Topologie kann von irgendwelchem metrisch d&thinsp definiert werden; der Form

:

wo &thinsp; wird dauernde Höhlung und nichtabnehmend auf [0,  begrenzt), mit φ (0) = 0 und φ (t)> 0 wenn t> 0 (zum Beispiel, φ (t) = Minute (t, 1)). Solch ein metrisches wird Lévy-metrisch nach L genannt. Darunter metrisch ist der Raum L abgeschlossen (es ist wieder ein F-Raum). Der Raum L wird im Allgemeinen nicht lokal begrenzt und nicht lokal konvex.

Weil unendliche Lebesgue λ auf R messen, konnte die Definition des grundsätzlichen Systems der Nachbarschaft wie folgt modifiziert werden

:

Der resultierende Raum L (R, λ) fällt als topologischer Vektorraum mit L (R, g (x)  d (x)), für jede positive λ-integrable Dichte g zusammen.

Schwacher L

Lassen Sie (S, Σ, μ), ein Maß-Raum und f eine messbare Funktion mit echten oder komplizierten Werten auf S zu sein. Die Vertriebsfunktion von f wird für t> 0 durch definiert

:

Wenn f in L (S, μ) für einen p mit 1  p ist

Wie man

sagt, ist eine Funktion f im schwachen RaumL (S, μ), oder L (S, μ), wenn es einen unveränderlichen C> 0 solches dass, für den ganzen t> 0, gibt

:

Der beste unveränderliche C für diese Ungleichheit ist die L-Norm von f, und wird durch angezeigt

:

Die schwachen L fallen mit den Räumen von Lorentz L zusammen, so wird diese Notation auch verwendet, um sie anzuzeigen.

Die L-Norm ist nicht eine wahre Norm, da die Dreieck-Ungleichheit scheitert zu halten. Dennoch, für f in L (S, μ),

:

und in besonderem L (S, μ)  L (S, μ). Laut der Tagung, dass zwei Funktionen gleich sind, wenn sie gleicher μ fast überall dann sind, sind die Räume L abgeschlossen.

Für jeden 0 &lt; r &lt; p der Ausdruck

:ist

mit der L-Norm vergleichbar. Weiter im Fall p> 1 definiert dieser Ausdruck eine Norm wenn r = 1. Folglich für p &gt; 1 sind die schwachen L Räume Banachräume.

Ein Hauptergebnis, das die L-Räume verwendet, ist der Interpolationslehrsatz von Marcinkiewicz, der breite Anwendungen auf die harmonische Analyse und die Studie von einzigartigen Integralen hat.

Beschwerte L Räume

Denken Sie wie zuvor einen Maß-Raum (S, Σ, μ). Lassen Sie, eine messbare Funktion zu sein. Der w-weighted L Raum wird als L definiert (S, w d), wo w d das Maß ν definiert durch bedeutet

:

oder, in Bezug auf die Radon-Nikodym Ableitung,

:

Die Norm für L (S, w d) ist ausführlich

:

Als L-Räume haben die belasteten Räume nichts Spezielles, da L (S, w d) L (S, dν) gleich ist. Aber sie sind das natürliche Fachwerk für mehrere läuft auf harmonische Analyse hinaus; sie erscheinen zum Beispiel im Lehrsatz von Muckenhoupt: Für 1 (T, λ), wo T den Einheitskreis und λ das Maß von Lebesgue anzeigt; der (nichtlineare) Zähe-Littlewood maximale Maschinenbediener wird auf L (R, λ) begrenzt. Der Lehrsatz von Muckenhoupt beschreibt Gewichte w solch, dass sich Hilbert verwandeln, bleibt begrenzt auf L (T, w d) und der maximale Maschinenbediener auf L (R, w d).

L Räume auf Sammelleitungen

Man kann auch Räume auf einer Sammelleitung, genannt die inneren L Räume der Sammelleitung mit Dichten definieren.

Siehe auch

• Raum von Birnbaum-Orlicz
• Zäher Raum
• Hölder haben vor
• Raum von Hölder
• Wurzel Mittelquadrat
• Lokal fungieren integrable

• Räume über eine lokal kompakte Gruppe

Referenzen

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Links