In der Mathematik, einem Durchschnitt oder dem Maß der Haupttendenz, einer Datei ist ein Maß des "mittleren" Werts der Datei.

Im allgemeinsten Fall ist die Datei eine Liste von Zahlen. Der Durchschnitt einer Liste von Zahlen ist eine einzelne Zahl, die beabsichtigt ist, um für die Zahlen in der Liste typisch zu sein. Wenn alle Zahlen in der Liste dasselbe sind, dann sollte diese Zahl verwendet werden. Wenn die Zahlen nicht dasselbe sind, wird der Durchschnitt durch das Kombinieren der Zahlen von der Liste auf eine spezifische Weise und die Computerwissenschaft einer einzelnen Zahl als seiend der Durchschnitt der Liste berechnet.

Viele verschiedene beschreibende Statistik kann als ein Maß der Haupttendenz der Datensachen gewählt werden. Diese schließen die Arithmetik bösartig, die Mittellinie und die Weise ein. Andere Statistiken, wie die Standardabweichung und die Reihe, werden Maßnahmen der Ausbreitung genannt und beschreiben, wie ausgedehnt die Daten ist.

Das allgemeinste statistische ist die Arithmetik bösartig, aber abhängig von der Natur der Daten können andere Typen der Haupttendenz passender sein. Zum Beispiel wird die Mittellinie meistenteils verwendet, wenn der Vertrieb der Werte mit einer kleinen Zahl von sehr hohen oder niedrigen Werten, wie gesehen, mit Hauspreisen oder Einkommen verdreht wird. Es wird auch verwendet, wenn äußerste Werte wahrscheinlich anomal oder weniger zuverlässig sein werden als die anderen Werte (z.B infolge des Maß-Fehlers), weil die Mittellinie weniger Rechnung von äußersten Werten nimmt als das bösartige.

Berechnung

Die drei allgemeinsten Durchschnitte sind die Pythagoreischen Mittel - die Arithmetik bösartig, das geometrische Mittel und die bösartige Harmonische.

Bösartige Arithmetik

Wenn n Zahlen, jede durch a angezeigte Zahl gegeben werden, wo ich = 1..., n, die bösartige Arithmetik [Summe] ein Haben geteilt durch n oder bin

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Die Arithmetik bösartig, häufig einfach genannt das bösartige, zwei Zahlen, solcher als 2 und 8, wird erhalten, indem sie einen Wert Einen solchen dass 2 + 8 = + A gefunden wird. Man kann dass = finden (2 + 8)/2 = 5. Die Schaltung der Ordnung 2 und 8, um 8 und 2 zu lesen, ändert den resultierenden für A erhaltenen Wert nicht. Die bösartigen 5 sind nicht weniger als die minimalen 2 noch größer als die maximalen 8. Wenn wir die Zahl von Begriffen in der Liste steigern, für die wir einen Durchschnitt wollen, bekommen wir, zum Beispiel, das die Arithmetik, die 2, 8, und 11 bösartig ist, wird durch das Lösen für den Wert in der Gleichung 2 + 8 + 11 = + + A gefunden. Man findet dass = (2 + 8 + 11)/3 = 7.

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel von n nichtnegativen Zahlen wird durch das Multiplizieren von ihnen allen zusammen und dann die Einnahme der n-ten Wurzel erhalten. In algebraischen Begriffen, dem geometrischen Mittel von a, a... definiert als zu sein

:Von

geometrischem Mittel kann als der Antiklotz der des Klotzes der Zahlen bösartigen Arithmetik gedacht werden.

Beispiel: Geometrisches Mittel 2 und 8 ist

Durchschnittliche Prozentsatz-Rückkehr und CAGR

Die durchschnittliche Prozentsatz-Rückkehr ist ein Typ des in der Finanz verwendeten Durchschnitts. Es ist ein Beispiel eines geometrischen Mittels. Wenn der Umsatz jährlich ist, wird es Compound Annual Growth Rate (CAGR) genannt. Zum Beispiel, wenn wir eine Periode von zwei Jahren denken, und die Investitionsrückkehr im ersten Jahr 10 % ist und die Rückkehr im zweiten Jahr +60 % ist, dann können die durchschnittliche Prozentsatz-Rückkehr oder CAGR, R, durch das Lösen der Gleichung erhalten werden:. Der Wert von R, der diese Gleichung wahr macht, ist 0.2, oder 20 %. Das bedeutet, dass die Gesamtrückkehr im Laufe der 2-jährigen Periode dasselbe ist, als ob es 20-%-Wachstum jedes Jahr gegeben hatte. Bemerken Sie, dass die Ordnung der Jahre keinen Unterschied macht - ist der durchschnittliche Prozentsatz-Umsatz von +60 % und 10 % dasselbe Ergebnis wie das für 10 % und +60 %.

Diese Methode kann zu Beispielen verallgemeinert werden, in denen die Perioden nicht gleich sind. Denken Sie zum Beispiel eine Periode von einem halben eines Jahres, für das die Rückkehr 23 % und eine Periode von zweieinhalb Jahren ist, für die die Rückkehr +13 % ist. Die durchschnittliche Prozentsatz-Rückkehr für die vereinigte Periode ist die einzelne Jahr-Rückkehr, R, der die Lösung der folgenden Gleichung ist: eine durchschnittliche Prozentsatz-Rückkehr R 0.0600 oder 6.00 % gebend.

Harmonisch bösartig

Harmonisch bösartig für eine nichtleere Sammlung von Zahlen a, a..., wird a, alle, die von 0 verschieden sind, als das Gegenstück der Arithmetik definiert, die der Gegenstücke als bösartig ist:

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Ein Beispiel, wo es nützlich ist, berechnet die durchschnittliche Geschwindigkeit für mehrere Reisen der festen Entfernung. Zum Beispiel, wenn die Geschwindigkeit, um vom Punkt zu B zu gehen, 60 kph war, und die Geschwindigkeit, um von B bis A zurückzukehren, 40 kph war, dann wird die durchschnittliche Geschwindigkeit durch gegeben

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Ungleichheit bezüglich AM, GM und HM

Eine weithin bekannte Ungleichheit bezüglich der Arithmetik, das geometrische und harmonische Mittel für jeden Satz von positiven Zahlen ist

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Es ist leicht sich zu merken zu bemerken, dass die alphabetische Reihenfolge der Briefe A, G, und H in der Ungleichheit bewahrt werden. Sieh Ungleichheit der Arithmetik und geometrischen Mittel.

Weise

Die am häufigsten vorkommende Zahl in einer Liste wird die Weise genannt. Die Weise der Liste (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) ist 3. Die Weise wird nicht notwendigerweise gut definiert, die Liste (1, 2, 2, 3, 3, 5) hat die zwei Verfahren 2 und 3. Die Weise kann unter der allgemeinen Methode untergeordnet werden, Durchschnitte durch das Verstehen davon als Einnahme der Liste und das Setzen jedes Mitgliedes der Liste zu definieren, die dem grössten Teil des allgemeinen Wertes in der Liste gleich ist, wenn es den grössten Teil des allgemeinen Wertes gibt. Diese Liste wird dann zur resultierenden Liste mit allen durch denselben Wert ersetzten Werten ausgeglichen. Da sie bereits alle gleich sind, verlangt das keine Änderung. Die Weise ist bedeutungsvoller und potenziell nützlich, wenn es viele Zahlen in der Liste gibt, und die Frequenz der Zahlen glatt fortschreitet (z.B, wenn aus einer Gruppe von 1000 Menschen 30 Menschen 61 Kg wiegen, 32 wiegen 62 Kg, 29 wiegen 63 Kg, und alle anderen möglichen Gewichte kommen weniger oft vor, dann sind 62 Kg die Weise).

Die Weise hat den Vorteil, dass es mit nichtnumerischen Daten verwendet werden kann (z.B, sind rote Autos am häufigsten), während andere Durchschnitte nicht können.

Mittellinie

Die Mittellinie ist die mittlere Zahl der Gruppe, wenn sie in der Ordnung aufgereiht werden. (Wenn es eine gerade Zahl von Zahlen gibt, wird der bösartige von den mittleren zwei genommen.)

Um so die Mittellinie zu finden, bestellen Sie die Liste gemäß dem Umfang seiner Elemente und entfernen Sie dann wiederholt das Paar, das aus den höchsten und niedrigsten Werten bis entweder besteht, ein oder zwei Werte werden verlassen. Wenn genau ein Wert verlassen wird, ist es die Mittellinie; wenn zwei Werte, die Mittellinie die dieser zwei bösartige Arithmetik ist. Diese Methode nimmt die Liste 1, 7, 3, 13 und befiehlt ihm, 1, 3, 7, 13 zu lesen. Dann wird 1 und 13 entfernt, um die Liste 3, 7 zu erhalten. Da es zwei Elemente in dieser restlichen Liste gibt, ist die Mittellinie ihre Arithmetik bösartig, (3 + 7)/2 = 5.

Typen

Der Tisch von mathematischen Symbolen erklärt die Symbole, die unten verwendet sind.

Lösungen abweichender Probleme

Mehrere Maßnahmen der Haupttendenz können als das Beheben eines abweichenden Problems im Sinne der Rechnung von Schwankungen charakterisiert werden, nämlich Schwankung vom Zentrum minimierend. D. h. in Anbetracht eines Maßes der statistischen Streuung bittet man um ein Maß der Haupttendenz, die Schwankung minimiert: Solch, dass die Schwankung vom Zentrum unter allen Wahlen des Zentrums minimal ist. In einem Hieb, "geht Streuung Position voran". Im Sinne L Räume ist die Ähnlichkeit:

So ist die Standardabweichung über das bösartige niedriger als Standardabweichung über jeden anderen Punkt, und die maximale Abweichung über das des mittleren Bereichs ist niedriger als die maximale Abweichung über jeden anderen Punkt. Die Einzigartigkeit dieser Charakterisierung von bösartigen folgt aus konvexer Optimierung. Tatsächlich, für eine gegebene (befestigte) Datei x, die Funktion

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vertritt die Streuung über einen unveränderlichen Wert c hinsichtlich der L Norm. Weil der Funktions-ƒ eine ausschließlich konvexe Zwangsfunktion ist, besteht der minimizer und ist einzigartig.

Bemerken Sie, dass die Mittellinie in diesem Sinn nicht im Allgemeinen einzigartig ist, und tatsächlich jeder Punkt zwischen den zwei Mittelpunkten eines getrennten Vertriebs durchschnittliche absolute Abweichung minimiert. Die Streuung in der L Norm, die durch gegeben ist

:ist

nicht ausschließlich konvex, wohingegen strenge Konvexität erforderlich ist, um Einzigartigkeit des minimizer zu sichern. Trotz dessen ist der minimizer für die L Norm einzigartig.

Verschiedene Typen

Andere hoch entwickeltere Durchschnitte sind: trimean, trimedian, und normalisiert bösartig, mit ihren Generalisationen.

Man kann jemandes eigenes durchschnittliches metrisches Verwenden des verallgemeinerten f-mean schaffen:

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wo f jede Invertible-Funktion ist. Die bösartige Harmonische ist ein Beispiel dieses Verwendens f (x) = 1/x, und das geometrische Mittel ist ein anderer, mit f (x) = loggt x. Jedoch ist diese Methode, um Mittel zu erzeugen, nicht allgemein genug, um alle Durchschnitte zu gewinnen. Eine allgemeinere Methode, für einen Durchschnitt zu definieren, nimmt jede Funktion g (x, x..., x) einer Liste von Argumenten, die dauernd ist, ausschließlich in jedem Argument, und symmetrisch (invariant unter der Versetzung der Argumente) zunehmend. Der Durchschnitt y ist dann der Wert, der, wenn er jedes Mitglied der Liste ersetzt, auf denselben Funktionswert hinausläuft:. Diese allgemeinste Definition gewinnt noch das wichtige Eigentum aller Durchschnitte, dass der Durchschnitt einer Liste von identischen Elementen dass Element selbst ist.

Die Funktion stellt die bösartige Arithmetik zur Verfügung.

Die Funktion (wo die Listenelemente positive Zahlen sind) stellt das geometrische Mittel zur Verfügung.

Die Funktion (wo die Listenelemente positive Zahlen sind) stellt die bösartige Harmonische zur Verfügung.

In Datenströmen

Das Konzept eines Durchschnitts kann auf einen Strom von Daten sowie einem begrenzten Satz, die Absicht angewandt werden zu sein, um einen Wert zu finden, über die neue Daten irgendwie gebündelt wird. Der Strom kann rechtzeitig, als in Proben verteilt werden, die von einem Datenerfassungssystem genommen sind, von dem wir Geräusch, oder im Raum, als in Pixeln in einem Image entfernen wollen, aus dem wir ein Eigentum herausziehen wollen. Eine leicht verstehbare und weit verwendete Anwendung des Durchschnitts zu einem Strom ist der einfache bewegende Durchschnitt, in dem wir die Arithmetik schätzen, die der neusten N Datensachen im Strom bösartig ist. Um eine Position im Strom vorzubringen, fügen wir 1/N Zeiten der neue Datenartikel hinzu und ziehen 1/N Zeiten der Datenartikel N Plätze zurück im Strom ab.

:Update herrschen für ein Fenster der Größe nach dem Sehen neuen Elements:

</Zentrum>

Durchschnitte von Funktionen

Das Konzept des Durchschnitts kann zu Funktionen erweitert werden. In der Rechnung wird der durchschnittliche Wert eines Integrable-Funktions-ƒ auf einem Zwischenraum [a, b] durch definiert

:

Etymologie

Eine frühe Bedeutung (c. 1500) des Wortes ist der Durchschnitt "Schaden gestützt auf See". Die Wurzel wird auf Arabisch als awar, in Italienisch als avaria, in Französisch als avarie und in Niederländisch als averij gefunden. Folglich ist ein durchschnittlicher Einsteller eine Person, die einen versicherbaren Verlust bewertet.

Seeschaden ist entweder besonderer Durchschnitt, der nur vom Eigentümer des beschädigten Eigentums oder allgemeinen Durchschnitt geboren wird, wo der Eigentümer einen proportionalen Beitrag von allen Parteien zum Seewagnis fordern kann. Der Typ von in der Anpassung allgemeinen Durchschnitts verwendeten Berechnungen hat den Gebrauch "des Durchschnitts" verursacht, um "bösartige Arithmetik" zu bedeuten.

Jedoch, gemäß dem englischen Wörterbuch von Oxford, scheint der frühste Gebrauch in Englisch (1489 oder früher), ein alter gesetzlicher Begriff für eine Tagesarbeitsverpflichtung eines Mieters gegen einen Sheriff zu sein, der wahrscheinlich von im englischen Domesday Buch (1085) gefundenem "avera" anglisiert ist. Dieser vorher existierende Begriff liegt so, um zu reichen, als eine Entsprechung für avarie gewollt wurde.

Referenzen

Siehe auch

• Algorithmen, um bösartig und Abweichung zu rechnen
• Gesetz von Durchschnitten
• Bösartiger
• Mittellinie
• Weise (Statistik)
• Kugelförmiger bösartiger
• Belasteter bösartiger

Links

• Mittellinie als eine belastete Arithmetik, die aller Beispielbeobachtungen bösartig

ist

• Berechnungen und Vergleich zwischen Arithmetik und geometrischem Mittel von zwei Werten