In der Mathematik und abstrakten Algebra ist eine Gruppe die algebraische Struktur, wo ein nichtleerer Satz ist und anzeigt, dass eine binäre Operation die Gruppenoperation genannt hat. Die Notation wird normalerweise zur klammerlosen Darstellung, oder sogar dazu verkürzt.

Eine Gruppe muss den folgenden Regeln (oder Axiome) folgen. Lassen Sie, willkürliche Elemente dessen zu sein. Dann:

• A1, Verschluss.. Dieses Axiom wird häufig weggelassen, weil eine binäre Operation definitionsgemäß geschlossen wird.
• A2, Associativity..
• A3, Identität. Dort besteht eine Identität (oder neutral) solches Element dass. Die Identität dessen ist durch den Lehrsatz 1.4 unten einzigartig.
• A4, Gegenteil. Für jeden, dort besteht ein umgekehrtes solches Element dass. Das Gegenteil dessen ist durch den Lehrsatz 1.5 unten einzigartig.

Eine abelian Gruppe folgt auch der zusätzlichen Regel:

• A5, Commutativity..

Notation

Die Gruppe wird häufig "die Gruppe" oder einfacher als "" Dennoch genannt, die Operation "" ist für die Beschreibung der Gruppe grundsätzlich. wird gewöhnlich als "die Gruppe unter" gelesen. Wenn wir behaupten möchten, dass das eine Gruppe ist (zum Beispiel, wenn man einen Lehrsatz festsetzt), sagen wir, dass "eine Gruppe unter ist".

Die Gruppenoperation kann auf sehr viele Weisen interpretiert werden. Die allgemeine Notation für den

Gruppenoperation, Identitätselement und Gegenteil dessen sind beziehungsweise. Weil die Gruppenoperation verkehrt, haben Parenthesen nur einen notwendigen Nutzen in der Gruppentheorie: Das Spielraum des inversen Betriebs zu setzen.

Gruppentheorie kann auch in Notenschrift geschrieben werden:

• Zusätzlich durch das Ersetzen der allgemeinen Notation durch, mit "+" Infix zu sein. Zusätzliche Notation wird normalerweise verwendet, wenn numerische Hinzufügung oder eine Ersatzoperation außer der Multiplikation die Gruppenoperation interpretieren;
• Multiplicatively durch das Ersetzen der allgemeinen Notation dadurch. Infix "*" wird häufig durch die einfache Verkettung, als in der Standardalgebra ersetzt. Notation von Multiplicative wird normalerweise verwendet, wenn numerische Multiplikation oder eine Nichtersatzoperation die Gruppenoperation interpretieren.

Andere Notationen sind natürlich möglich.

Beispiele

Arithmetik

• Nehmen Sie oder oder oder, dann seien Sie eine abelian Gruppe.
• Nehmen Sie oder oder, dann seien Sie eine abelian Gruppe.

Funktionszusammensetzung

• Lassen Sie, ein willkürlicher Satz zu sein und zu lassen, der Satz aller bijektiven Funktionen von dazu zu sein. Lassen Sie Funktionszusammensetzung, die durch das Infix in Notenschrift geschrieben ist, interpretieren Sie die Gruppenoperation. Dann ist eine Gruppe, deren Identitätselement Das Gruppengegenteil eines willkürlichen Gruppenelements ist, ist das Funktionsgegenteil

Alternative Axiome

Das Paar von Axiomen A3 und A4 kann irgendein vom Paar ersetzt werden:

• A3', verlassen neutral. Dort besteht ein solcher das für alle.
• A4', linkes Gegenteil. Für jeden, dort besteht ein solches Element dass.

oder durch das Paar:

• A3", neutrales Recht. Dort besteht ein solcher das für alle.
• A4", richtiges Gegenteil. Für jeden, dort besteht ein solches Element dass.

Diese zweifellos schwächeren Axiom-Paare sind triviale Folgen von A3 und A4. Wir werden jetzt zeigen, dass das nichttriviale gegenteilige auch wahr ist. In Anbetracht eines linken neutralen Elements und für irgendwelchen gegeben dann besteht A4' sagt, dort ein solcher dass.

Lehrsatz 1.2:

Beweis.

Lassen Sie, ein Gegenteil Dann zu sein:

:\begin {richten }\aus

e & = y \perp (ein \perp x) &\\Viererkabel (1) \\

& = y \perp (ein \perp (e \perp x)) &\\Viererkabel (A3') \\

& = y \perp (ein \perp ((x \perp a) \perp x)) &\\Viererkabel (A4') \\

& = y \perp (ein \perp (x \perp (ein \perp x))) &\\Viererkabel (A2) \\

& = y \perp ((ein \perp x) \perp (ein \perp x)) &\\Viererkabel (A2) \\

& = (y \perp (ein \perp x)) \perp (ein \perp x) &\\Viererkabel (A2) \\

& = e \perp (ein \perp x) &\\Viererkabel (1) \\

& = ein \perp x &\\Viererkabel (A3') \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das gründet A4 (und folglich A4").

Lehrsatz 1.2a:

Beweis.:\begin {richten }\aus

ein \perp e & = ein \perp (x \perp a) &\\Viererkabel (A4') \\

& = (ein \perp x) \perp ein &\\Viererkabel (A2) \\

& = e \perp ein &\\Viererkabel (A4) \\

& = ein &\\Viererkabel (A3') \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das gründet A3 (und folglich A3").

Lehrsatz: Gegebener A1 und A2, A3' und A4' beziehen A3 und A4 ein.

Beweis. Lehrsätze 1.2 und 1.2a.

Lehrsatz: Gegebener A1 und A2, A3" und A4" beziehen A3 und A4 ein.

Beweis. Ähnlich dem obengenannten.

Grundlegende Lehrsätze

Identität ist einzigartig

Lehrsatz 1.4: Das Identitätselement einer Gruppe ist einzigartig.

Beweis: Nehmen Sie An, dass und zwei Identitätselemente dessen sind. Dann

:

\begin {richten }\aus

e & = & e \perp f &\\Viererkabel (A3) \\

& = & f &\\Viererkabel (A3') \\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Infolgedessen können wir vom Identitätselement aber nicht einem Identitätselement sprechen. Wo verschiedene Gruppen besprochen und verglichen werden, zeigt die Identität der spezifischen Gruppe an.

Gegenteile sind einzigartig

Lehrsatz 1.5: Das Gegenteil jedes Elements darin ist einzigartig.

Beweis: Nehmen Sie An, dass und zwei Gegenteile eines Elements dessen sind. Dann

: \begin {richten }\aus

h & = & h \perp e &\\Viererkabel (A3) \\

& = & h \perp (g \perp k) &\\Viererkabel (A4) \\

& = & (h \perp g) \perp k &\\Viererkabel (A2) \\

& = & e \perp k &\\Viererkabel (A4) \\

& = & k &\\Viererkabel (A3) \\

\end {richten }\aus </Mathematik>

Infolgedessen können wir vom Gegenteil eines Elements, aber nicht einem Gegenteil sprechen. Ohne Zweideutigkeit, für alle in, zeigen wir durch das einzigartige Gegenteil dessen an.

Das Umkehren nimmt Sie zweimal dazu zurück, wo Sie angefangen

haben

Lehrsatz 1.6: Für alle Elemente in einer Gruppe.

Beweis. und sind beide durch A4 wahr. Deshalb sind beide und Gegenteile Durch den Lehrsatz 1.5,

Gleichwertig ist das Umkehren eine Involution.

Gegenteil von ab

Lehrsatz 1.7: Für alle Elemente und in der Gruppe.

Beweis.. Der Beschluss folgt aus Lehrsatz 1.4.

Annullierung

Lehrsatz 1.8: Für alle Elemente in einer Gruppe, dann.

Beweis.

(1) Wenn, dann bewahrt das Multiplizieren mit demselben Wert auf beiden Seiten Gleichheit.

(2) Wenn dann durch (1)

:

& &' \perp (ein \perp x) &=&' \perp (ein \perp y) \\

& \Rightarrow & (' \perp a) \perp x &=& (' \perp a) \perp y \\

& \Rightarrow & e \perp x &=& e \perp y \\

& \Rightarrow & x &=& y \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

(3) Wenn wir dieselbe Methode wie in (2) verwenden.

Eigentum des Latin Square

Lehrsatz 1.3: Für alle Elemente in einer Gruppe, dort besteht ein einzigartiger solcher dass nämlich.

Beweis.

Existenz: Wenn wir, dann lassen.

Unicity: Denken Sie, befriedigt dann durch den Lehrsatz 1.8.

Mächte

Für und in der Gruppe definieren wir:

:

ein ^ n: =

\begin {Fälle }\

\underbrace {a\perp {} a\perp\cdots\perp {}} _ {n\\text {Zeiten}}, & \mbox {wenn} n> 0 \\

e, & \mbox {wenn} n = 0 \\

\underbrace {ein '\perp {} ein '\perp\cdots\perp {}'} _ {-n\\text {Zeiten}}, & \mbox {wenn} n

Lehrsatz 1.9: Für alle in der Gruppe und:

:

\begin {Matrix-}\

a^m\perp {} a^n &=& a^ {m+n }\\\

(A^m) ^n &=& a^ {m*n }\

\end {Matrix-}\

</Mathematik>

Ordnung

Eines Gruppenelements

Die Ordnung eines Elements in einer Gruppe G ist die am wenigsten positive ganze Zahl n solch dass = e. Manchmal wird das "o (a) =n" geschrieben. n kann unendlich sein.

Lehrsatz 1.10: Eine Gruppe, deren nichttriviale Elemente alle Auftrag 2 haben, ist abelian. Mit anderen Worten, wenn alle Elemente g in einer Gruppe G g*g=e, dann für alle Elemente a, b in G, a*b=b*a der Fall sind.

Beweis. Lassen Sie a, b irgendwelche 2 Elemente in der Gruppe G sein. Durch A1 ist a*b auch ein Mitglied von G. Mit der gegebenen Bedingung wissen wir dass (a*b) * (a*b) =e. Folglich:

• b*a
• =e * (b*a) *e
• = (a*a) * (b*a) * (b*b)
• =a * (a*b) * (a*b) *b
• =a*e*b
• =a*b.

Da die Gruppenoperation * pendelt, ist die Gruppe abelian

Einer Gruppe

Die Ordnung der Gruppe G, gewöhnlich angezeigt durch |G oder gelegentlich durch o (G), ist die Zahl der Elemente im Satz G, in welchem Fall

Untergruppen

Eine Teilmenge H G wird eine Untergruppe einer Gruppe genannt

Eine richtige Untergruppe einer Gruppe G ist eine Untergruppe, die zu G nicht identisch ist. Eine nichttriviale Untergruppe von G ist (gewöhnlich) jede richtige Untergruppe von G, der ein Element außer e enthält.

Lehrsatz 2.1: Wenn H eine Untergruppe dessen ist

Beweis. Wenn h in H, dann h*e = h ist; da h auch in G, h*e = h sein muss; so durch den Lehrsatz 1.8, e = e.

Lehrsatz 2.2: Wenn H eine Untergruppe von G ist, und h ein Element von H ist, dann ist das Gegenteil von h in H zum Gegenteil von h in G identisch.

Beweis. Lassen Sie h und k Elemente von H, solch dass h*k = e sein; da h auch in G, h*h = e sein muss; so durch den Lehrsatz 1.5, k = h.

In Anbetracht einer Teilmenge S G wollen wir häufig bestimmen, ob S auch eine Untergruppe von G ist. Ein handlicher Lehrsatz, der sowohl für unendliche als auch für begrenzte Gruppen gültig ist, ist:

Lehrsatz 2.3: Wenn S eine nichtleere Teilmenge von G ist, dann ist S eine Untergruppe von G, wenn, und nur wenn für den ganzen a, b in S, a*b in S ist.

Beweis. Wenn für den ganzen a, b in S, a*b in S, dann ist

• e ist in S, da a*a = e in S ist.
• für alle in S, e*a = in S zu sein
• für den ganzen a, b in S, a*b = * ist (b) in S

So sind die Axiome des Verschlusses, der Identität und der Gegenteile zufrieden, und associativity wird geerbt; so ist S Untergruppe.

Umgekehrt, wenn S eine Untergruppe von G ist, dann folgt es den Axiomen einer Gruppe.

• Wie bemerkt, oben ist die Identität in S zur Identität e in G identisch.
• Durch A4, für den ganzen b in S, ist b in S
• Durch A1 ist a*b in S.

Die Kreuzung von zwei oder mehr Untergruppen ist wieder eine Untergruppe.

Lehrsatz 2.4: Die Kreuzung jedes nichtleeren Satzes von Untergruppen einer Gruppe G ist eine Untergruppe.

Beweis. Lassen Sie {H} eine Reihe von Untergruppen von G sein, und K =  {H} zu lassen. e ist ein Mitglied jedes H durch den Lehrsatz 2.1; so ist K nicht leer. Wenn h und k Elemente von K, dann für alles ich, sind

• h und k sind in H.
• Durch den vorherigen Lehrsatz ist h*k in H
• Deshalb ist h*k in  {H}.

Deshalb für den ganzen h, k in K, ist h*k in K. Dann durch den vorherigen Lehrsatz K =  ist {H} eine Untergruppe von G; und tatsächlich ist K eine Untergruppe jedes H.

In Anbetracht einer Gruppe

Lehrsatz 2.5: Lassen Sie ein Element einer Gruppe (G, *) sein. Dann der Satz {a: N ist eine ganze Zahl} ist eine Untergruppe von G.

Eine Untergruppe dieses Typs wird eine zyklische Untergruppe genannt; die Untergruppe der Mächte, häufig schriftlich als zu sein

Cosets

Wenn S und T Teilmengen von G sind, und eines Elements von G zu sein, schreiben wir "a*S", um uns auf die Teilmenge von G zu beziehen, der aus allen Elementen der Form a*s zusammengesetzt ist, wo s ein Element von S ist; ähnlich schreiben wir "S*a", um den Satz von Elementen der Form s*a anzuzeigen. Wir schreiben S*T für die Teilmenge von G, der aus Elementen der Form s*t zusammengesetzt ist, wo s ein Element von S ist und t ein Element von T ist.

Wenn H eine Untergruppe von G ist, dann ist ein linker coset von H eine Reihe die Form a*H, für einige in G. Ein Recht coset ist eine Teilmenge der Form H*a.

Wenn H eine Untergruppe von G, den folgenden nützlichen Lehrsätzen ist, hat ohne Beweis festgesetzt, halten Sie für den ganzen cosets:

• Jeder x und y sind Elemente von G, dann entweder x*H = y*H, oder x*H und y*H haben leere Kreuzung.
• Jedes linke (Recht) coset H in G enthält dieselbe Zahl der Elemente.
• G ist die zusammenhanglose Vereinigung des linken (Rechts) cosets von H.
• Dann ist die Zahl von verschiedenen abgereist cosets von H kommt der Zahl des verschiedenen Rechts cosets von H gleich.

Definieren Sie den Index einer Untergruppe H von einer Gruppe G (schriftlich" [G:H]"), um die Zahl von verschiedenem verlassenem cosets von H in G zu sein.

Von diesen Lehrsätzen können wir den Lehrsatz des wichtigen Lagranges ableiten, die Ordnung einer Untergruppe zur Ordnung einer Gruppe verbindend:

• Der Lehrsatz von Lagrange: Wenn H eine Untergruppe von G, dann G = H * [G:H] ist.

Für begrenzte Gruppen kann das als neu formuliert werden:

• Der Lehrsatz von Lagrange: Wenn H eine Untergruppe einer begrenzten Gruppe G ist, dann teilt die Ordnung von H die Ordnung von G.
• Wenn die Ordnung der Gruppe G eine Primzahl ist, ist G zyklisch.

Siehe auch

• Gruppentheorie
• Abelian-Gruppen
• Wörterverzeichnis der Gruppentheorie
• Liste von Gruppentheorie-Themen
• Der Jordan, C. R und D.A. Gruppen. Newnes (Elsevier), internationale Standardbuchnummer 0 340 61045 X
• Scott, W R. Gruppentheorie. Veröffentlichungen von Dover, internationale Standardbuchnummer 0-486-65377-3