In der Differenzialgeometrie kann man jedem Punkt x von einem glatten anhaften (oder differentiable) vervielfältigen einen Vektorraum genannt den Kotangens-Raum an x. Gewöhnlich wird der Kotangens-Raum als der Doppelraum des Tangente-Raums an x definiert, obwohl es direktere Definitionen (sieh unten) gibt. Die Elemente des Kotangens-Raums werden Kotangens-Vektoren oder Tangente covectors genannt.

Eigenschaften

Alle Kotangens-Räume auf einer verbundenen Sammelleitung haben dieselbe Dimension, die der Dimension der Sammelleitung gleich ist. Alle Kotangens-Räume einer Sammelleitung können zusammen" (d. h. unioned und ausgestattet mit einer Topologie) "geklebt werden, um eine neue differentiable Sammelleitung zweimal der Dimension, das Kotangens-Bündel der Sammelleitung zu bilden.

Der Tangente-Raum und der Kotangens-Raum an einem Punkt sind sowohl echte Vektorräume derselben Dimension als auch deshalb isomorph zu einander über vielen möglichen Isomorphismus. Die Einführung von Riemannian metrisch oder eine Symplectic-Form verursacht einen natürlichen Isomorphismus zwischen dem Tangente-Raum und dem Kotangens-Raum an einem Punkt, zu jeder Tangente covector einen kanonischen Tangente-Vektoren vereinigend.

Formelle Definitionen

Definition als geradliniger functionals

Lassen Sie M eine glatte Sammelleitung sein und x ein Punkt in der M Gelassener TM sein zu lassen, der Tangente-Raum an x sein. Dann wird der Kotangens-Raum an x als der Doppelraum von TM definiert:

:TM = (TM)

Konkret sind Elemente des Kotangens-Raums geradliniger functionals auf TM. D. h. jedes Element α  TM ist eine geradlinige Karte

:α: TM → F

wo F das zu Grunde liegende Feld des Vektorraums ist, der wird betrachtet. In den meisten Fällen ist das das Feld von reellen Zahlen. Die Elemente von TM werden Kotangens-Vektoren genannt.

Alternative Definition

In einigen Fällen würde man gern eine direkte Definition des Kotangens-Raums ohne Berücksichtigung des Tangente-Raums haben. Solch eine Definition kann in Bezug auf Gleichwertigkeitsklassen von glatten Funktionen auf der M formuliert werden. Informell werden wir sagen, dass zwei glatte Funktionen f und g an einem Punkt x gleichwertig sind, wenn sie dasselbe Verhalten der ersten Ordnung nahe x haben. Der Kotangens-Raum wird dann aus allen möglichen Handlungsweisen der ersten Ordnung einer Funktion nahe x bestehen.

Lassen Sie M eine glatte Sammelleitung sein und x ein Punkt in der M Gelassen ich sein zu lassen, das Ideal aller Funktionen in C (M) sein, an x verschwindend, und mich der Satz von Funktionen der Form, wo f, g  I sein zu lassen. Dann sind ich und ich echte Vektorräume, und der Kotangens-Raum wird als der Quotient-Raum TM = ich / ich definiert.

Diese Formulierung ist dem Aufbau des Kotangens-Raums analog, um den Tangente-Raum von Zariski in der algebraischen Geometrie zu definieren. Der Aufbau verallgemeinert auch zu lokal beringten Räumen.

Das Differenzial einer Funktion

Lassen Sie M eine glatte Sammelleitung sein und f  C (M) eine glatte Funktion sein zu lassen. Das Differenzial von f an einem Punkt x ist die Karte

:df (X) = X (f)

wo X ein Tangente-Vektor an x, Gedanke als eine Abstammung ist. Das ist ist die Lüge-Ableitung von f in der Richtung X, und man hat df (X) =X (f). Gleichwertig können wir an Tangente-Vektoren als Tangenten zu Kurven denken, und schreiben

:df (γ′ (0)) = (f o &gamma) ′ (0)

In jedem Fall ist df eine geradlinige Karte auf TM, und folglich ist es eine Tangente covector an x.

Wir können dann die unterschiedliche Karte d definieren: C (M)  TM an einem Punkt x als die Karte, die f an df sendet. Eigenschaften der Differenzialkarte schließen ein:

1. d ist eine geradlinige Karte: d (Niederfrequenz + bg) = ein df + b dg für Konstanten a und b,
2. d (fg) = f (x) dg + g (x) df,

Die Differenzialkarte stellt die Verbindung zwischen den zwei abwechselnden Definitionen des Kotangens-Bündels zur Verfügung, das oben gegeben ist. In Anbetracht einer Funktion f  I (eine glatte Funktion, die an x verschwindet), können wir den geradlinigen funktionellen df als oben bilden. Da die Karte d auf 0 auf mir einschränkt (der Leser sollte das nachprüfen), d steigt zu einer Karte von mir / ich zum Doppel-vom Tangente-Raum, (TM) hinunter. Man kann zeigen, dass diese Karte ein Isomorphismus ist, die Gleichwertigkeit der zwei Definitionen gründend.

Das Hemmnis einer glatten Karte

Ebenso jede differentiable Karte f: M  N zwischen Sammelleitungen veranlasst eine geradlinige Karte (hat den pushforward oder die Ableitung genannt) zwischen den Tangente-Räumen

jede solche Karte veranlasst eine geradlinige Karte (hat das Hemmnis genannt) zwischen den Kotangens-Räumen, nur dieses Mal in der Rückwartsrichtung:

Das Hemmnis wird als der Doppel-natürlich definiert (oder stellen Sie um) des pushforward. Die Definition ausfasernd, bedeutet das den folgenden:

wo θ  TN und X  TM. Bemerken Sie sorgfältig, wo alles lebt.

Wenn wir Tangente covectors in Bezug auf Gleichwertigkeitsklassen von glatten Karten definieren, die an einem Punkt dann verschwinden, ist die Definition des Hemmnisses noch aufrichtiger. Lassen Sie g eine glatte Funktion auf N sein, der an f (x) verschwindet. Dann wird das Hemmnis des covector, der durch g bestimmt ist (hat dg angezeigt), durch gegeben

D. h. es ist die Gleichwertigkeitsklasse von Funktionen auf der M verschwindend an x, der durch g o f bestimmt ist.

Außenmächte

Die k-th Außenmacht des Kotangens-Raums, angezeigter Λ (TM), ist ein anderer wichtiger Gegenstand in der Differenzialgeometrie. Vektoren in der kth Außenmacht, oder genauer Abteilungen der k-th Außenmacht des Kotangens-Bündels, werden DifferenzialK-Formen genannt. Von ihnen kann als das Wechseln, die mehrgeradlinigen Karten auf k Tangente-Vektoren gedacht werden.

Deshalb wird Tangente covectors oft eine Formen genannt.