In der Mathematik wird ein topologischer Raum trennbar genannt, wenn es eine zählbare dichte Teilmenge enthält; d. h. dort besteht eine Folge von Elementen des solchen Raums, dass jede nichtleere offene Teilmenge des Raums mindestens ein Element der Folge enthält.

Wie die anderen Axiome von countability ist Trennbarkeit eine "Beschränkung auf die Größe,", nicht notwendigerweise in Bezug auf cardinality (obwohl, in Gegenwart vom Axiom von Hausdorff, sich das wirklich erweist der Fall zu sein; sieh unten), aber in einem feineren topologischen Sinn. Insbesondere jede dauernde Funktion auf einem trennbaren Raum, dessen Image eine Teilmenge eines Raums von Hausdorff ist, wird durch seine Werte auf der zählbaren dichten Teilmenge bestimmt.

Im Allgemeinen ist Trennbarkeit eine technische Hypothese auf einem Raum, der ziemlich nützlich ist und — unter den Klassen von Räumen, die in der Geometrie und klassischen Analyse — allgemein studiert sind, betrachtet, ziemlich mild zu sein. Es ist wichtig, Trennbarkeit mit dem zusammenhängenden Begriff des zweiten countability zu vergleichen, der im Allgemeinen stärker, aber auf der Klasse von metrizable Räumen gleichwertig ist.

Die ersten Beispiele

Jeder topologische Raum, der selbst begrenzt ist oder zählbar unendliche, ist trennbar, weil der ganze Raum eine zählbare dichte Teilmenge von sich ist. Ein wichtiges Beispiel eines unzählbaren trennbaren Raums ist die echte Linie, in der die rationalen Zahlen eine zählbare dichte Teilmenge bilden. Ähnlich der Satz aller Vektoren, in denen für alles vernünftig ist, bin ich eine zählbare dichte Teilmenge dessen; so für jeden - ist dimensionaler Euklidischer Raum trennbar.

Ein einfaches Beispiel eines Raums, der nicht trennbar ist, ist ein getrennter Raum von unzählbarem cardinality.

Weitere Beispiele werden unten angeführt.

Trennbarkeit gegen den zweiten countability

Jeder zweit-zählbare Raum ist trennbar: Wenn eine zählbare Basis ist, gibt das Wählen von irgendwelchem eine zählbare dichte Teilmenge. Umgekehrt ist ein metrizable Raum trennbar, wenn, und nur wenn es zählbar zweit ist, der der Fall ist, wenn, und nur wenn es Lindelöf ist.

Weiter diese zwei Eigenschaften zu vergleichen:

• Ein willkürlicher Subraum eines zweiten zählbaren Raums ist zählbar zweit; Subräume von trennbaren Räumen brauchen (sieh unten) nicht trennbar zu sein.
• Jedes dauernde Image eines trennbaren Raums ist trennbar.; sogar ein Quotient eines zweiten zählbaren Raumbedürfnisses nicht, zählbar sein zweit.
• Ein Produkt am grössten Teil des Kontinuums viele trennbare Räume ist trennbar. Ein zählbares Produkt der zweiten zählbaren Räume ist zählbar zweit, aber ein unzählbares Produkt der zweiten zählbaren Räume braucht sogar zuerst nicht zählbar zu sein.

Cardinality

Das Eigentum der Trennbarkeit tut nicht darin, und sich geben irgendwelche Beschränkungen auf den cardinality eines topologischen Raums: Jeder mit der trivialen Topologie ausgestattete Satz, ist sowie zweite zählbar, quasikompakt, und verbunden trennbar. Die "Schwierigkeiten" mit der trivialen Topologie sind seine schlechten Trennungseigenschaften: Sein Quotient von Kolmogorov ist der Ein-Punkt-Raum.

Ein erster zählbarer, trennbarer Raum von Hausdorff (insbesondere ein trennbarer metrischer Raum) haben höchstens das Kontinuum cardinality c. In solch einem Raum wird Verschluss durch Grenzen von Folgen bestimmt, und jede Folge hat höchstens eine Grenze, also gibt es eine Surjective-Karte vom Satz von konvergenten Folgen mit Werten in der zählbaren dichten Teilmenge zu den Punkten X.

Ein trennbarer Raum von Hausdorff hat cardinality höchstens, wo c der cardinality des Kontinuums ist. Weil dieser Verschluss in Bezug auf Grenzen von Filterbasen charakterisiert wird: Wenn Y eine Teilmenge X ist und z ein Punkt X ist, dann ist z im Verschluss von Y, wenn, und nur wenn dort besteht, ein Filter B stützt, der aus Teilmengen von Y besteht, der zu z zusammenläuft. Der cardinality des Satzes solcher Filterbasen ist höchstens. Außerdem, in einem Raum von Hausdorff, gibt es höchstens eine Grenze zu jeder Filterbasis. Deshalb gibt es eine Surjektion wenn

Dieselben Argumente gründen ein allgemeineres Ergebnis: Nehmen Sie an, dass Hausdorff topologischer Raum X eine dichte Teilmenge von cardinality enthält.

Dann X hat cardinality höchstens und cardinality höchstens, wenn es zuerst zählbar ist.

Das Produkt am grössten Teil des Kontinuums viele trennbare Räume ist ein trennbarer Raum. Insbesondere ist der Raum aller Funktionen von der echten Linie bis sich, ausgestattet mit der Produkttopologie, ein trennbarer Raum von Hausdorff von cardinality. Mehr allgemein, wenn κ ein unendlicher Kardinal ist, dann hat ein Produkt von höchstens 2 Räumen mit dichten Teilmengen der Größe am grössten Teil von κ selbst eine dichte Teilmenge der Größe am grössten Teil von κ (Lehrsatz von Hewitt-Marczewski-Pondiczery).

Konstruktive Mathematik

Trennbarkeit ist in der numerischen Analyse und konstruktiven Mathematik besonders wichtig, da viele Lehrsätze, die für nichttrennbare Räume bewiesen werden können, konstruktive Beweise nur für trennbare Räume haben. Solche konstruktiven Beweise können in Algorithmen für den Gebrauch in der numerischen Analyse verwandelt werden, und sie sind die einzigen Sorten von in der konstruktiven Analyse annehmbaren Beweisen. Ein berühmtes Beispiel eines Lehrsatzes dieser Sorte ist der Hahn-Banach Lehrsatz.

Weitere Beispiele

Trennbare Räume

• Jeder metrische Kompaktraum (oder metrizable Raum) sind trennbar.
• Der Raum aller dauernden Funktionen von einer Kompaktteilmenge von R in R ist trennbar.
• Die Lebesgue Räume L sind für jeden 1  p trennbar.
• Ein Beispiel eines trennbaren Raums, der nicht zweit-zählbar ist, ist R, der Satz von mit der niedrigeren Grenze-Topologie ausgestatteten reellen Zahlen.

Nichttrennbare Räume

• Der erste unzählbare Ordnungs-ω in seiner Ordnungstopologie ist nicht trennbar.
• Der Banachraum l aller begrenzten echten Folgen, mit der Supremum-Norm, ist nicht trennbar. Dasselbe hält für L.
• Der Banachraum von Funktionen der begrenzten Schwankung ist nicht trennbar; bemerken Sie jedoch, dass dieser Raum sehr wichtige Anwendungen in der Mathematik, Physik und Technik hat.

Eigenschaften

• Ein Subraum eines trennbaren Raumbedürfnisses nicht, trennbar sein (sieh das Flugzeug von Sorgenfrey und das Flugzeug von Moore), aber jeder offene Subraum eines trennbaren Raums ist trennbar. Auch jeder Subraum eines trennbaren metrischen Raums ist trennbar.
• Tatsächlich ist jeder topologische Raum ein Subraum eines trennbaren Raums desselben cardinality. Ein Aufbau, der höchstens zählbar viele Punkte hinzufügt, wird eingereicht.
• Der Satz aller reellwertigen dauernden Funktionen auf einem trennbaren Raum hat einen cardinality weniger als oder gleich c. Das folgt, da solche Funktionen durch ihre Werte auf dichten Teilmengen bestimmt werden.
• Vom obengenannten Eigentum kann man den folgenden ableiten: Wenn X ein trennbarer Raum ist, der einen unzählbaren geschlossenen getrennten Subraum hat, dann X kann nicht normal sein. Das zeigt, dass das Flugzeug von Sorgenfrey nicht normal ist.
• Für einen Kompaktraum von Hausdorff X ist der folgende gleichwertig:

:: (i) X ist zählbar zweit.

:: (ii) ist Der Raum von dauernden reellwertigen Funktionen auf X mit der Supremum-Norm trennbar.

:: (iii) X ist metrizable.

Das Einbetten trennbarer metrischer Räume

• Jeder trennbare metrische Raum ist homeomorphic zu einer Teilmenge des Würfels von Hilbert. Das wird im Beweis des Lehrsatzes von Urysohn metrization gegründet.
• Jeder trennbare metrische Raum ist zu einer Teilmenge des (nichttrennbaren) Banachraums l von allen begrenzten echten Folgen mit der Supremum-Norm isometrisch; das ist als das Einbetten von Fréchet bekannt.
• Jeder trennbare metrische Raum ist zu einer Teilmenge von C ([0,1]), der trennbare Banachraum von dauernden Funktionen [0,1] R mit der Supremum-Norm isometrisch. Das ist wegen Stefan Banachs.
• Jeder trennbare metrische Raum ist zu einer Teilmenge von Urysohn universaler Raum, ein ganzer trennbarer Raum mit einer bestimmten Gleichartigkeit isometrisch.