In der Philosophie der Mathematik behauptet constructivism, dass es notwendig ist (oder "Konstruktion") einen mathematischen Gegenstand zu finden, zu beweisen, dass es besteht. Wenn man annimmt, dass ein Gegenstand nicht besteht und einen Widerspruch von dieser Annahme ableitet, hat man noch den Gegenstand nicht gefunden und deshalb seine Existenz gemäß constructivism nicht bewiesen. Dieser Gesichtspunkt schließt eine verificational Interpretation der Existenz quantifier ein, der uneins mit seiner klassischen Interpretation ist.

Es gibt viele Formen von constructivism. Diese schließen das Programm von intuitionism ein, der von Brouwer, dem finitism von Hilbert und Bernays, der konstruktiven rekursiven Mathematik von Shanin und Markov und dem Programm des Bischofs der konstruktiven Analyse gegründet ist. Constructivism schließt auch die Studie von konstruktiven Mengenlehren wie IZF und die Studie der topos Theorie ein.

Constructivism wird häufig mit intuitionism identifiziert, obwohl intuitionism nur ein constructivist Programm ist. Intuitionism behauptet, dass die Fundamente der Mathematik in der Intuition des individuellen Mathematikers liegen, dadurch Mathematik in eine wirklich subjektive Tätigkeit machend. Andere Formen von constructivism basieren auf diesem Gesichtspunkt der Intuition nicht, und sind mit einem objektiven Gesichtspunkt auf der Mathematik vereinbar.

Konstruktive Mathematik

Viel konstruktive Mathematik verwendet intuitionistic Logik, die im Wesentlichen klassische Logik ohne das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte ist, die feststellt, dass für jeden Vorschlag entweder dieser Vorschlag wahr ist, oder seine Ablehnung ist. Das soll nicht sagen, dass das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte völlig bestritten wird; spezielle Fälle des Gesetzes werden nachweisbar sein. Es ist gerade, dass das allgemeine Gesetz als ein Axiom nicht angenommen wird. Das Gesetz des Nichtwiderspruchs (der feststellt, dass widersprechende Behauptungen beide zur gleichen Zeit nicht wahr sein können) ist noch gültig.

Zum Beispiel, in der Arithmetik von Heyting, kann man beweisen, dass für jeden Vorschlag p, der quantifiers nicht enthält, ein Lehrsatz ist (wo x, y, z... die freien Variablen im Vorschlag p sind). In diesem Sinn werden auf das begrenzte eingeschränkte Vorschläge noch betrachtet als, entweder wahr oder falsch zu sein, wie sie in der klassischen Mathematik sind, aber dieser bivalence streckt sich bis zu Vorschläge nicht aus, die sich auf unendliche Sammlungen beziehen.

Tatsächlich hat L.E.J. Brouwer, Gründer der intuitionist Schule, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, wie abstrahiert, von der begrenzten Erfahrung, und dann angewandt auf das Unendliche ohne Rechtfertigung angesehen. Zum Beispiel ist die Vermutung von Goldbach die Behauptung, dass jede gerade Zahl (größer als 2) die Summe von zwei Primzahlen ist. Es ist möglich, für jede besondere gerade Zahl zu prüfen, ob es die Summe von zwei Blüte ist (zum Beispiel durch die erschöpfende Suche), so sind irgendwelche von ihnen entweder die Summe von zwei Blüte oder es nicht ist. Und bis jetzt ist jeder so geprüft tatsächlich die Summe von zwei Blüte gewesen.

Aber es gibt keinen bekannten Beweis, dass sie alle so, noch jeder bekannte Beweis sind, dass nicht sie alle so sind. So zu Brouwer werden wir im Erklären "entweder die Vermutung von Goldbach nicht gerechtfertigt ist wahr, oder es ist nicht." Und während die Vermutung eines Tages gelöst werden kann, gilt das Argument für ähnliche ungelöste Probleme; zu Brouwer war das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte mit dem Annehmen gleichbedeutend, dass jedes mathematische Problem eine Lösung hat.

Mit der Weglassung des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte als ein Axiom hat das restliche logische System ein Existenz-Eigentum, das klassische Logik nicht tut: Wann auch immer konstruktiv bewiesen wird, dann tatsächlich wird konstruktiv für (mindestens) einen besonder, häufig genannt einen Zeugen bewiesen. So wird der Beweis der Existenz eines mathematischen Gegenstands an die Möglichkeit seines Aufbaus gebunden.

Beispiel von der echten Analyse

In der klassischen echten Analyse ist eine Weise, eine reelle Zahl zu definieren, als eine Gleichwertigkeitsklasse von Cauchyfolgen von rationalen Zahlen.

In der konstruktiven Mathematik ist eine Weise, eine reelle Zahl zu bauen, als ein Funktions-ƒ, der eine positive ganze Zahl und Produktionen ein vernünftiger ƒ (n), zusammen mit einer Funktion g nimmt, der eine positive ganze Zahl n und Produktionen eine positive ganze Zahl g (n) solch dass nimmt

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so dass als n Zunahmen die Werte von ƒ (n) näher und näher zusammen werden. Wir können ƒ und g zusammen verwenden, um eine so nahe vernünftige Annäherung zu schätzen, wie wir zur reellen Zahl mögen, die sie vertreten.

Laut dieser Definition ist eine einfache Darstellung der reellen Zahl e:

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Diese Definition entspricht der klassischen Definition mit Cauchyfolgen, außer mit einer konstruktiven Drehung: Für eine klassische Cauchyfolge ist es erforderlich, dass, für jede gegebene Entfernung, dort (in einem klassischen Sinn) ein Mitglied in der Folge besteht, nach der alle Mitglieder zusammen näher sind als diese Entfernung. In der konstruktiven Version ist es erforderlich, dass, für jede gegebene Entfernung, es möglich ist, wirklich einen Punkt in der Folge anzugeben, wo das geschieht (diese erforderliche Spezifizierung wird häufig das Modul der Konvergenz genannt). Tatsächlich, die konstruktive Standardinterpretation der mathematischen Behauptung

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ist genau die Existenz der Funktion, das Modul der Konvergenz schätzend. So kann vom Unterschied zwischen den zwei Definitionen von reellen Zahlen gedacht werden, weil der Unterschied in der Interpretation der Behauptung "für alle... dort..." besteht

Das öffnet dann die Frage betreffs, welche die Funktion von einem zählbaren Satz bis einen zählbaren Satz, wie f und g oben, wirklich gebaut werden kann. Verschiedene Versionen von constructivism weichen auf diesem Punkt ab. Aufbauten können so weit gehend definiert werden wie Folgen der freien Wahl, der die Intuitionistic-Ansicht, oder so mit knapper Not ist wie Algorithmen (oder mehr technisch, die berechenbaren Funktionen), oder sogar verlassen unangegeben. Wenn, zum Beispiel, die algorithmische Ansicht vertreten wird, dann der reals, wie gebaut, ist hier im Wesentlichen, was klassisch die berechenbaren Zahlen genannt würde.

Cardinality

Die algorithmische Interpretation zu nehmen, würde oben an der Verschiedenheit mit klassischen Begriffen von cardinality scheinen. Indem wir Algorithmen aufzählen, können wir klassisch zeigen, dass die berechenbaren Zahlen zählbar sind. Und noch zeigt das diagonale Argument des Kantoren, dass reelle Zahlen höher cardinality haben. Außerdem scheint das diagonale Argument vollkommen konstruktiv. Die reellen Zahlen mit den berechenbaren Zahlen zu identifizieren, würde dann ein Widerspruch sein.

Und tatsächlich ist das diagonale Argument des Kantoren im Sinn konstruktiv, der gegeben eine Bijektion zwischen den reellen Zahlen und natürlichen Zahlen, man eine reelle Zahl baut, die nicht passt, und dadurch einen Widerspruch beweist. Wir können tatsächlich Algorithmen aufzählen, um eine Funktion T zu bauen, über den wir am Anfang annehmen, dass es eine Funktion von den natürlichen Zahlen auf den reals ist. Aber, zu jedem Algorithmus, dort kann oder kann keine reelle Zahl entsprechen, weil der Algorithmus scheitern kann, die Einschränkungen zu befriedigen, oder sogar (T nichtenden, eine teilweise Funktion ist), so scheitert das, die erforderliche Bijektion zu erzeugen. Kurz gesagt, derjenige, der die Ansicht vertritt, dass reelle Zahlen effektiv berechenbar sind, interpretiert das Ergebnis des Kantoren als Vertretung, dass die reellen Zahlen nicht rekursiv enumerable sind.

Und doch, man könnte erwarten, dass da T eine teilweise Funktion von den natürlichen Zahlen auf die reellen Zahlen ist, dass deshalb die reellen Zahlen nicht mehr als zählbar sind. Und da jede natürliche Zahl als eine reelle Zahl trivial vertreten werden kann, deshalb sind die reellen Zahlen nicht weniger als zählbar. Sie, sind deshalb genau zählbar. Jedoch ist dieses Denken nicht konstruktiv, weil es noch die erforderliche Bijektion nicht baut. Tatsächlich scheitert der cardinality von Sätzen, völlig bestellt zu werden (sieh Cantor-Bernstein-Schroeder Lehrsatz).

Axiom der Wahl

Der Status des Axioms der Wahl in der konstruktiven Mathematik wird durch die verschiedenen Annäherungen von verschiedenen constructivist Programmen kompliziert. Eine triviale Bedeutung von "konstruktiven", verwendeten informell durch Mathematiker, ist in der ZF Mengenlehre ohne das Axiom der Wahl "nachweisbar." Jedoch würden Befürworter von mehr beschränkten Formen der konstruktiven Mathematik nicht behaupten, dass ZF selbst ein konstruktives System ist.

In intuitionistic Theorien der Typ-Theorie (besonders Arithmetik des höheren Typs) werden viele Formen des Axioms der Wahl erlaubt. Zum Beispiel, das Axiom AC kann paraphrasiert werden, um zu sagen, dass für jede Beziehung R auf dem Satz von reellen Zahlen, wenn Sie bewiesen haben, dass für jede reelle Zahl x es eine reelle Zahl y solch gibt, dass R (x, y) dann hält, es wirklich eine Funktion F solch gibt, dass R (x, F (x)) für alle reellen Zahlen hält. Ähnliche auserlesene Grundsätze werden für alle begrenzten Typen akzeptiert. Die Motivation, um diese anscheinend nichtkonstruktiven Grundsätze zu akzeptieren, ist das Intuitionistic-Verstehen des Beweises dass "für jede reelle Zahl x gibt es eine reelle Zahl y solch, dass R (x, y) hält". Gemäß der BHK Interpretation ist dieser Beweis selbst im Wesentlichen die Funktion F, der gewünscht wird. Die auserlesenen Grundsätze, dass intuitionists akzeptieren, beziehen das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte nicht ein.

Jedoch, in bestimmten Axiom-Systemen für die konstruktive Mengenlehre, bezieht das Axiom der Wahl wirklich das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (in Gegenwart von anderen Axiomen), wie gezeigt, durch den Diaconescu-Goodman-Myhill Lehrsatz ein. Einige konstruktive Mengenlehren schließen schwächere Formen des Axioms der Wahl wie das Axiom der abhängigen Wahl in der Mengenlehre von Myhill ein.

Maß-Theorie

Klassische Maß-Theorie macht tiefen Gebrauch des Axioms der Wahl, die für, erstens, Unterscheidung zwischen messbaren und nichtmessbaren Mengen, der Existenz des letzten Wesens hinter solchen berühmten Ergebnissen als das Paradox von Banach-Tarski, und zweitens die Hierarchien von Begriffen des Maßes grundsätzlich ist, das durch Begriffe wie Algebra von Borel gewonnen ist, die eine wichtige Quelle von Intuitionen in der Mengenlehre sind. Maß-Theorie stellt das Fundament für den modernen Begriff des Integrals, integrierter Lebesgue zur Verfügung.

Es ist möglich, Maß-Theorie auf der Grundlage von der berechenbaren echten Linie nachzuarbeiten, wo die mit dem Satz theoretische Basis für measurability durch Begriffe aus der Ordnungstheorie ersetzt wird. Diese konstruktive Maß-Theorie schafft die Grundlage für berechenbare Entsprechungen für die Integration von Lebesgue.

Der Platz von constructivism in der Mathematik

Traditionell sind einige Mathematiker misstrauisch, wenn nicht zu mathematischem constructivism größtenteils wegen Beschränkungen gegnerisch gewesen, die sie geglaubt haben, dass es für die konstruktive Analyse aufgestellt hat.

Diese Ansichten wurden von David Hilbert 1928 kräftig ausgedrückt, als er darin geschrieben hat, "Würde das Nehmen des Grundsatzes der ausgeschlossenen Mitte vom Mathematiker dasselbe, sagen wir, als das Ächten des Fernrohrs dem Astronomen oder dem Boxer der Gebrauch seiner Fäuste sein".

Errett Bischof, in seiner 1967-Arbeit, hat gearbeitet, um diese Ängste zu zerstreuen, indem er sehr viel traditionelle Analyse in einem konstruktiven Fachwerk entwickelt hat. Dennoch akzeptieren einige Mathematiker nicht, dass Bischof so erfolgreich getan hat, da sein Buch notwendigerweise mehr kompliziert ist, als ein klassischer Analyse-Text sein würde.

Wenn auch die meisten Mathematiker die These des constructivist nicht akzeptieren, ist diese einzige Mathematik getan gestützt auf konstruktiven Methoden gesund, konstruktive Methoden sind auf dem nichtideologischen Boden immer mehr von Interesse. Zum Beispiel können konstruktive Beweise in der Analyse Zeuge-Förderung sichern, auf solche Art und Weise kann dieses Arbeiten innerhalb der Einschränkungen der konstruktiven Methoden Entdeckung von Zeugen zu Theorien leichter machen als das Verwenden klassischer Methoden. Anwendungen für die konstruktive Mathematik sind auch in getippten Lambda-Rechnungen, topos Theorie und kategorische Logik gefunden worden, die bemerkenswerte Themen in der foundational Mathematik und Informatik sind. In der Algebra, für solche Entitäten wie toposes und Algebra von Hopf, unterstützt die Struktur eine innere Sprache, die eine konstruktive Theorie ist; das Arbeiten innerhalb der Einschränkungen dieser Sprache ist häufig intuitiver und flexibel als das Arbeiten äußerlich durch solche Mittel wie das Denken über den Satz von möglichen konkreten Algebra und ihrem Homomorphismus.

Physiker Lee Smolin schreibt in Drei Straßen zum Quant-Ernst, dass topos Theorie "die richtige Form der Logik für die Kosmologie" (Seite 30) ist und "In seinen ersten Formen es 'intuitionistic Logik'" (Seite 31) genannt wurde. "In dieser Art der Logik werden die Erklärungen, die ein Beobachter über das Weltall abgeben kann, in mindestens drei Gruppen geteilt: Diejenigen, die wir beurteilen können, um, diejenigen wahr zu sein, die wir beurteilen können, um falsch zu sein, und diejenigen, auf deren Wahrheit wir zurzeit" (Seite 28) nicht entscheiden können.

Mathematiker, die zu constructivism beigetragen haben

• Errett Bischof (konstruktive Analyse)
• Paul Lorenzen (konstruktive Logik, Analyse und metamathematics)
• A. A. Markov (konstruktive Mathematik und Logik)
• Leopold Kronecker (alter constructivism)
• L. E. J. Brouwer (intuitionism)
• Arend Heyting (intuitionistic Logik)
• Saul Kripke (intuitionistic Logik)
• Pro Martin-Löf (konstruktive Typ-Theorie, ein Fundament für die Analyse des Bischofs)
• Edward Nelson (aussagende Arithmetik)
• Harold Edwards (hat die Arbeit von Kronecker an der Teiler-Theorie vollendet, hat ein Buch von Aufsätzen auf der constructivist Mathematik veröffentlicht)
• G. F. C. Griss (negationless intuitionistic Mathematik)

Zweige

• Konstruktive Logik
• Konstruktive Typ-Theorie
• Konstruktive Analyse
• Konstruktive Sonderanalyse

Siehe auch

• Intuitionism
• Typ-Theorie Intuitionistic
• Finitism
• Spielsemantik
• Konstruktiver Beweis
• Berechenbarkeitstheorie

Zeichen

• Solomon Feferman (1997), Beziehungen zwischen konstruktiven, aussagenden und klassischen Systemen der Analyse,

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/relationships.pdf.

• A. S. Troelstra (1977a), "Aspekte der konstruktiven Mathematik", Handbuch der Mathematischen Logik, Seiten 973-1052.
• A. S. Troelstra (1977b), auserlesene Folgen, Logikführer von Oxford. Internationale Standardbuchnummer 0 19 853163 X
• A. S. Troelstra (1991), "Eine Geschichte von Constructivism im 20. Jahrhundert", Universität Amsterdams, ITLI Vorveröffentlichungsreihe ML-91-05,

http://staff.science.uva.nl/~anne/hhhist.pdf,

• H. M. Edwards (2005), Aufsätze in der Konstruktiven Mathematik, dem Springer-Verlag, 2005, internationale Standardbuchnummer 0-387-21978-1

Außenverbindungen

• Enzyklopädie von Stanford des Philosophie-Zugangs