Die Philosophie der Mathematik ist der Zweig der Philosophie, die die philosophischen Annahmen, Fundamente und Implikationen der Mathematik studiert. Das Ziel der Philosophie der Mathematik soll eine Rechnung der Natur und Methodik der Mathematik zur Verfügung stellen und den Platz der Mathematik in den Leben von Leuten zu verstehen. Die logische und strukturelle Natur der Mathematik selbst macht diese Studie sowohl breit als auch einzigartig unter seinen philosophischen Kollegen.

Wiederkehrende Themen schließen ein:

• Wie sind die Quellen des mathematischen Gegenstands?
• Wie ist der ontologische Status von mathematischen Entitäten?
• Was bedeutet es, auf einen mathematischen Gegenstand zu verweisen?
• Wie ist der Charakter eines mathematischen Vorschlags?
• Wie ist die Beziehung zwischen Logik und Mathematik?
• Wie ist die Rolle der Hermeneutik in der Mathematik?
• Welche Arten der Untersuchung spielen eine Rolle in der Mathematik?
• Wie sind die Ziele der mathematischen Untersuchung?
• Was gibt Mathematik sein, hältst auf der Erfahrung?
• Wie sind die menschlichen Charakterzüge hinter der Mathematik?
• Was ist mathematische Schönheit?
• Wie sind die Quelle und Natur der mathematischen Wahrheit?
• Wie ist die Beziehung zwischen der abstrakten Welt der Mathematik und dem materiellen Weltall?

Die Begriffe Philosophie der Mathematik und mathematische Philosophie werden oft als Synonyme gebraucht.

Die Letzteren können jedoch verwendet werden, um sich auf mehrere andere Gebiete der Studie zu beziehen. Man bezieht sich auf ein Projekt, einen philosophischen Gegenstand, sagen wir, Ästhetik, Ethik, Logik, Metaphysik oder Theologie, in einer angeblich genaueren und strengen Form, bezüglich des Beispiels die Arbeiten von Scholastischen Theologen oder die systematischen Ziele von Leibniz und Spinoza zu formalisieren. Ein anderer bezieht sich auf die Arbeitsphilosophie eines individuellen Praktikers oder eine gleich gesinnte Gemeinschaft von praktizierenden Mathematikern. Zusätzlich verstehen einige den Begriff "mathematische Philosophie", um eine Anspielung auf die Annäherung zu sein, die von Bertrand Russell in seinen Büchern Die Grundsätze der Mathematik und Einführung in die Mathematische Philosophie genommen ist.

Geschichte

Der Ursprung der Mathematik ist dem Argument unterworfen. Ob die Geburt der Mathematik ein zufälliges Ereignis war oder notwendigerweise ordnungsgemäß Anteil anderer Themen veranlasst hat, sagen Sie für die Physik, ist noch eine Sache von fruchtbaren Debatten.

Viele Denker haben ihre Ideen bezüglich der Natur der Mathematik beigetragen. Heute haben einige Philosophen der Mathematik zum Ziel, Rechnungen dieser Form der Untersuchung und seiner Produkte zu geben, wie sie stehen, während andere eine Rolle für sich betonen, die einfache Interpretation zur kritischen Analyse übertrifft.

Es gibt Traditionen der mathematischen Philosophie sowohl in der Westphilosophie als auch in Ostphilosophie. Westphilosophien der Mathematik gehen schon zu Lebzeiten von Plato, der den ontologischen Status von mathematischen Gegenständen und Aristoteles studiert hat, der Logik und Probleme studiert hat, die mit der Unendlichkeit verbunden sind (wirklich gegen das Potenzial).

Die griechische Philosophie auf der Mathematik war stark unter Einfluss ihrer Studie der Geometrie. Zum Beispiel, auf einmal, haben die Griechen die Meinung gehalten, dass 1 (man) nicht eine Zahl, aber eher eine Einheit der willkürlichen Länge war. Eine Zahl wurde als eine Menge definiert. Deshalb 3 hat zum Beispiel eine bestimmte Menge von Einheiten vertreten, und war so nicht "aufrichtig" eine Zahl. An einem anderen Punkt wurde ein ähnliches Argument gemacht diese 2 war nicht eine Zahl, aber ein grundsätzlicher Begriff eines Paares. Diese Ansichten kommen aus dem schwer geometrischen geraden Rand und Kompass-Gesichtspunkt der Griechen: Da in einem geometrischen Problem gezogene Linien im Verhältnis zur ersten willkürlich gezogenen Linie gemessen werden, so auch sind die Zahlen auf einem Zahlenstrahl, der im proportionalen zur willkürlichen ersten "Zahl" oder "ein" gemessen ist.

Diese früheren griechischen Ideen von Zahlen wurden später durch die Entdeckung der Unvernunft der Quadratwurzel zwei hochkant gestellt. Hippasus, ein Apostel von Pythagoras, hat gezeigt, dass die Diagonale eines Einheitsquadrats mit seinem (Einheitslänge) Rand nicht vergleichbar war: Mit anderen Worten hat er bewiesen, dass es keine vorhandene (vernünftige) Zahl gab, die genau das Verhältnis der Diagonale des Einheitsquadrats zu seinem Rand zeichnet. Das hat eine bedeutende Neubewertung der griechischen Philosophie der Mathematik verursacht. Gemäß der Legende wurde Gefährte Pythagoreans durch diese Entdeckung so traumatisiert, dass sie Hippasus ermordet haben, um ihn zu verhindern, seine ketzerische Idee auszubreiten. Simon Stevin war einer der ersten in Europa, um griechische Ideen im 16. Jahrhundert herauszufordern. Mit Leibniz, der Fokus ausgewechselt stark zur Beziehung zwischen Mathematik und Logik beginnend. Diese Perspektive hat die Philosophie der Mathematik im Laufe der Zeit von Frege und von Russell beherrscht, aber wurde in die Frage durch Entwicklungen im späten 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts gebracht.

Das 20. Jahrhundert

Ein beständiges Problem in der Philosophie der Mathematik betrifft die Beziehung zwischen Logik und Mathematik an ihren gemeinsamen Fundamenten. Während Philosophen des 20. Jahrhunderts fortgesetzt haben, die am Anfang von diesem Artikel erwähnten Fragen zu stellen, wurde die Philosophie der Mathematik im 20. Jahrhundert durch ein vorherrschendes Interesse an der formalen Logik, der Mengenlehre und den Foundational-Problemen charakterisiert.

Es ist ein tiefes Rätsel, dass einerseits mathematische Wahrheiten scheinen, eine zwingende Unvermeidlichkeit zu haben, aber andererseits bleibt die Quelle ihrer "Richtigkeit" schwer erfassbar. Untersuchungen dieses Problems sind als die Fundamente des Mathematik-Programms bekannt.

Am Anfang des 20. Jahrhunderts begannen Philosophen der Mathematik bereits, in verschiedene Schulen von gedachten alle diese Fragen zu teilen, die weit gehend durch ihre Bilder der mathematischen Erkenntnistheorie und Ontologie bemerkenswert sind. Drei Schulen, Formalismus, intuitionism, und logicism, sind in dieser Zeit teilweise als Antwort auf die immer weit verbreitetere Sorge erschienen, dass Mathematik, weil es, und Analyse gestanden hat insbesondere den Standards der Gewissheit und Härte nicht entsprochen hat, die als selbstverständlich betrachtet worden war. Jede Schule hat die Probleme gerichtet, die damals hervorgetreten sind, entweder versuchend, sie aufzulösen oder behauptend, dass Mathematik zu seinem Status als unsere am meisten vertrauten Kenntnisse nicht betitelt wird.

Das Überraschen und gegenintuitive Entwicklungen in der formalen Logik und Mengenlehre am Anfang des 20. Jahrhunderts hat zu neuen Fragen bezüglich geführt, was die Fundamente der Mathematik traditionell genannt wurde. Weil sich das Jahrhundert, der anfängliche Fokus der Sorge entfaltet hat, die zu einer offenen Erforschung der grundsätzlichen Axiome der Mathematik, die axiomatische Annäherung ausgebreitet ist, die seit der Zeit von Euklid ungefähr 300 BCE als die natürliche Basis für die Mathematik als selbstverständlich worden ist betrachtet. Begriffe des Axioms, Vorschlags und Beweises, sowie des Begriffs eines Vorschlags, der auf einen mathematischen Gegenstand zutrifft (sieh Anweisung (mathematische Logik)), formalisiert, sie erlaubend, mathematisch behandelt. Die Zermelo-Fraenkel Axiome für die Mengenlehre wurden formuliert, der ein Begriffsfachwerk zur Verfügung gestellt hat, in dem viel mathematisches Gespräch interpretiert würde. In der Mathematik als in der Physik waren neue und unerwartete Ideen entstanden, und bedeutende Änderungen kamen. Mit numerierendem Gödel konnten Vorschläge als das Verweisen zu sich oder anderen Vorschlägen interpretiert werden, Untersuchung in die Konsistenz von mathematischen Theorien ermöglichend. Diese reflektierende Kritik, in der die Theorie laut der Rezension "sich der Gegenstand einer mathematischen Studie wird", hat Hilbert dazu gebracht, solche Studie metamathematics oder Probetheorie zu nennen.

In der Mitte des Jahrhunderts wurde eine neue mathematische Theorie von Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane geschaffen, der als Kategorie-Theorie bekannt ist, und es ist ein neuer Wettbewerber um die natürliche Sprache des mathematischen Denkens (Mac Lane 1998) geworden. Als das 20. Jahrhundert jedoch fortgeschritten ist, sind philosophische Meinungen betreffs gerade abgewichen, wie wohl begründet die Fragen über Fundamente waren, die bei seiner Öffnung erhoben wurden. Hilary Putnam hat eine allgemeine Ansicht von der Situation im letzten Drittel des Jahrhunderts summiert, indem er gesagt hat:

Wenn Philosophie etwas Falsches mit der Wissenschaft entdeckt, manchmal muss Wissenschaft geändert werden — das Paradox von Russell fällt ein, wie den Angriff von Berkeley auf das wirkliche unendlich kleine tut — aber öfter ist es Philosophie, die geändert werden muss. Ich denke nicht, dass die Schwierigkeiten, die Philosophie mit der klassischen Mathematik heute findet, echte Schwierigkeiten sind; und ich denke, dass die philosophischen Interpretationen der Mathematik, dass wir auf jeder Hand angeboten werden, falsch sind, und dass "philosophische Interpretation" gerade ist, was Mathematik nicht braucht. (Putnam, 169-170).

Die Philosophie der Mathematik geht heute entlang mehreren verschiedenen Linien der Untersuchung, durch Philosophen der Mathematik, Logiker und Mathematiker weiter, und es gibt viele Schulen des Gedankens auf dem Thema. Die Schulen werden getrennt in der folgenden Abteilung und ihren erklärten Annahmen angeredet.

Zeitgenössische Schulen des Gedankens

Mathematischer Realismus

Mathematischer Realismus, wie Realismus im Allgemeinen, meint, dass mathematische Entitäten unabhängig vom Menschenverstand bestehen. So erfinden Menschen Mathematik nicht, aber entdecken es eher, und irgendwelche anderen intelligenten Wesen im Weltall würden vermutlich dasselbe machen. In diesem Gesichtspunkt gibt es wirklich eine Sorte der Mathematik, die entdeckt werden kann: Dreiecke sind zum Beispiel echte Entitäten, nicht die Entwicklungen des Menschenverstandes.

Viele Arbeitsmathematiker sind mathematische Realisten gewesen; sie sehen sich als Entdecker natürlich vorkommender Gegenstände. Beispiele schließen Paul Erdős und Kurt Gödel ein. Gödel hat an eine objektive mathematische Wirklichkeit geglaubt, die gewissermaßen analog der Sinneswahrnehmung wahrgenommen werden konnte. Wie man direkt sehen konnte, waren bestimmte Grundsätze (z.B, für irgendwelche zwei Gegenstände, gibt es eine Sammlung von Gegenständen, die aus genau jenen zwei Gegenständen bestehen), wahr, aber einige Vermutungen, wie die Kontinuum-Hypothese, könnten sich unentscheidbar gerade auf der Grundlage von solchen Grundsätzen erweisen. Gödel hat vorgeschlagen, dass quasiempirische Methodik verwendet werden konnte, um genügend Beweise zur Verfügung zu stellen, um im Stande zu sein, solch eine Vermutung vernünftig anzunehmen.

Innerhalb des Realismus gibt es Unterscheidungen je nachdem, welche Existenz man mathematische Entitäten nimmt, um zu haben, und wie wir über sie wissen.

Platonism

Mathematischer Platonism ist die Form des Realismus, der darauf hinweist, dass mathematische Entitäten abstrakt sind, keine räumlich-zeitlichen oder kausalen Eigenschaften haben, und ewig und unveränderlich sind. Wie man häufig fordert, ist das die Ansicht, die die meisten Menschen Zahlen haben. Der Begriff Platonism wird gebraucht, weil, wie man sieht, solch eine Ansicht der Theorie von Plato von Formen und einer "Welt von Ideen" anpasst (Griechisch: Eidos ()) beschrieben in der Allegorie von Plato der Höhle: Die tägliche Welt kann nur einer unveränderlichen, äußersten Wirklichkeit unvollständig näher kommen. Sowohl die Höhle von Plato als auch Platonism haben bedeutungsvoll, nicht nur oberflächliche Verbindungen, weil den Ideen von Plato vorangegangen wurde und wahrscheinlich unter Einfluss des ungeheuer populären Pythagoreers des alten Griechenlands, der geglaubt hat, dass die Welt wörtlich durch Zahlen ganz erzeugt wurde.

Das Hauptproblem von mathematischem platonism ist das: Genau wo und wie bestehen die mathematischen Entitäten, und wie wissen wir über sie? Gibt es eine Welt, die von unserer physischen völlig getrennt ist, die wird durch die mathematischen Entitäten besetzt? Wie können wir Zugang zu dieser getrennten Welt gewinnen und Wahrheiten über die Entitäten entdecken? Eine Antwort könnte Äußerstes Ensemble sein, das eine Theorie ist, die alle Strukturen verlangt, die bestehen, mathematisch auch bestehen physisch in ihrem eigenen Weltall.

Plato hat von der Mathematik gesprochen durch:

Im Zusammenhang meldet Kapitel 8, Übersetzung von H.D.P. Lee, die Ausbildung eines Philosophen, der fünf mathematische Disziplinen enthält:

1. Arithmetik, die im Einheitsbruchteil 'Teile' mit theoretischen Einheiten und abstrakten Zahlen geschrieben ist.

2. Flugzeug-Geometrie und Raumgeometrie der Körper haben auch gedacht, dass die Linie in die vernünftige und vernunftwidrige Einheit 'Teile', segmentiert wurde

3. Astronomie

4. Obertöne

Übersetzer der Arbeiten von Plato haben gegen praktische Versionen der praktischen Mathematik seiner Kultur rebelliert. Jedoch hatten Plato selbst und Griechen 1,500 ältere ägyptische Bruchteil-Auszug-Einheiten, ein kopiert, eine hekat Einheit seiend, die zu (64/64) im Akhmim Holzblock erklettert ist, dadurch in Bruchteilen nicht verloren werden.

Der platonism von Gödel verlangt eine spezielle Art der mathematischen Intuition, die uns mathematische Gegenstände direkt wahrnehmen lässt. (Diese Ansicht hat Ähnlichkeiten mit vielen Dingen, die Husserl über die Mathematik gesagt hat, und die Idee von Kant unterstützt, dass Mathematik a priori synthetisch ist.) haben Davis und Hersh in ihrem Buch Die Mathematische Erfahrung vorgeschlagen, dass die meisten Mathematiker handeln, als ob sie Platonists sind, wenn auch, wenn gedrückt, die Position sorgfältig zu verteidigen, sie sich zum Formalismus (sieh unten) zurückziehen können.

Einige Mathematiker halten Meinungen, die sich auf mehr nuanced Versionen von Platonism belaufen.

Kräftiger Platonism ist eine moderne Schwankung von Platonism, der in der Reaktion zur Tatsache ist, dass, wie man beweisen kann, verschiedene Sätze von mathematischen Entitäten abhängig von den Axiomen und Interferenzregeln verwendet (zum Beispiel, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte und das Axiom der Wahl) bestehen. Es meint, dass alle mathematischen Entitäten bestehen, jedoch können sie nachweisbar sein, selbst wenn sie aus keiner einzelnen konsistenten Menge von Axiomen alle abgeleitet werden können.

Empirismus

Empirismus ist eine Form des Realismus, der bestreitet, dass Mathematik a priori überhaupt bekannt sein kann. Es sagt, dass wir mathematische Tatsachen durch die empirische Forschung gerade wie Tatsachen in einigen der anderen Wissenschaften entdecken. Es ist nicht eine der klassischen drei Positionen verteidigt am Anfang des 20. Jahrhunderts, aber ist in erster Linie in der Mitte des Jahrhunderts entstanden. Jedoch war ein wichtiger früher Befürworter einer Ansicht wie das Mühle von John Stuart. Die Ansicht der Mühle wurde weit kritisiert, weil sie Erklärungen wie "2 + 2 = 4" abgibt, kommen als unsichere, abhängige Wahrheiten heraus, die wir nur erfahren können, indem wir Beispiele von zwei Paaren beobachten, die zusammen kommen und ein Quartett bilden.

Zeitgenössischer mathematischer Empirismus, der von Quine und Putnam formuliert ist, wird in erster Linie durch das Unerlässlichkeitsargument unterstützt: Mathematik ist für alle empirischen Wissenschaften unentbehrlich, und wenn wir an die Wirklichkeit der durch die Wissenschaften beschriebenen Phänomene glauben wollen, sollten wir auch an die Wirklichkeit jener für diese Beschreibung erforderlichen Entitäten glauben. D. h. da Physik über Elektronen sprechen muss, um zu sagen, warum sich Glühbirnen benehmen, wie sie dann tun, müssen Elektronen bestehen. Da Physik über Zahlen im Angebot von einigen seiner Erklärungen sprechen muss, dann müssen Zahlen bestehen. In Übereinstimmung mit Quine und den gesamten Philosophien von Putnam ist das ein naturalistisches Argument. Es argumentiert für die Existenz von mathematischen Entitäten als die beste Erklärung für die Erfahrung, so Mathematik von etwas von seiner Klarheit von den anderen Wissenschaften beraubend.

Putnam hat stark den Begriff "Platonist" als Andeutung einer überspezifischen Ontologie zurückgewiesen, die für die mathematische Praxis in jedem echten Sinn nicht notwendig war. Er hat eine Form des "reinen Realismus" verteidigt, der mystische Begriffe der Wahrheit zurückgewiesen hat und viel Quasiempirismus in der Mathematik akzeptiert hat. Putnam wurde am Münzen des Begriffes "reiner Realismus" (sieh unten) beteiligt.

Die wichtigste Kritik von empirischen Ansichten von der Mathematik ist ungefähr dasselbe als das, das gegen die Mühle erhoben ist. Wenn Mathematik genauso empirisch ist wie die anderen Wissenschaften, dann weist das darauf hin, dass seine Ergebnisse genauso fehlbar sind wie ihrige, und ebenso der Anteil. Im Fall der Mühle kommt die empirische Rechtfertigung direkt, während im Fall von Quine es indirekt, durch die Kohärenz unserer wissenschaftlichen Theorie als Ganzes, d. h. consilience nach E O Wilson kommt. Quine schlägt vor, dass Mathematik völlig sicher scheint, weil die Rolle, die sie in unserem Web des Glaubens spielt, unglaublich zentral ist, und dass es für uns äußerst schwierig sein würde, es, obwohl nicht unmöglich zu revidieren.

Für eine Philosophie der Mathematik, die versucht, einige der Mängel von Quines Annäherungen und Gödels durch die Einnahme von Aspekten von jedem zu überwinden, sieh den Realismus von Penelope Maddy in der Mathematik. Ein anderes Beispiel einer Realist-Theorie ist die aufgenommene Meinungstheorie (unten). Weil eine moderne Revision des mathematischen Empirismus Neuen Empirismus (unten) sieht.

Für experimentelle Beweise, die darauf hinweisen, dass eines Tages alte Babys elementare Arithmetik tun können, sieh Brian Butterworth.

Mathematischer monism

Die mathematische Weltall-Hypothese von Max Tegmark geht weiter als kräftiger Platonism im Erklären, dass nicht nur alle mathematischen Gegenstände bestehen, aber nichts anderes tut. Das alleinige Postulat von Tegmark ist: Alle Strukturen, die mathematisch auch bestehen, bestehen physisch. D. h. im Sinn, dass "in jenen [Welten] Komplex genug, um ich-bewusste Unterbauten zu enthalten [sie] sich als vorhanden in einer 'physisch echten' Welt subjektiv wahrnehmen werden".

Logicism

Logicism ist die These, dass Mathematik auf die Logik, und folglich nichts als einen Teil der Logik (Carnap 1931/1883, 41) reduzierbar ist. Logicists meinen, dass Mathematik a priori bekannt sein kann, aber darauf hinweisen, dass unsere Kenntnisse der Mathematik gerade ein Teil unserer Kenntnisse der Logik im Allgemeinen sind, und so analytisch sind, jede spezielle Fakultät der mathematischen Intuition nicht verlangend. In dieser Ansicht ist Logik das richtige Fundament der Mathematik, und alle mathematischen Behauptungen sind notwendige logische Wahrheiten.

Rudolf Carnap (1931) Geschenke die logicist These in zwei Teilen:

1. Die Konzepte der Mathematik können aus logischen Konzepten durch ausführliche Definitionen abgeleitet werden.
2. Die Lehrsätze der Mathematik können aus logischen Axiomen durch den rein logischen Abzug abgeleitet werden.

Gottlob Frege war der Gründer von logicism. In seinem zukunftsträchtigen Die Grundgesetze der Arithmetik (Grundlegende Gesetze der Arithmetik) hat er Arithmetik von einem System der Logik mit einem allgemeinen Grundsatz des Verständnisses aufgebaut, das er "Grundlegendes Gesetz V" genannt hat (für Konzepte F und G, kommt die Erweiterung von F der Erweiterung von G gleich, wenn und nur wenn für alle Gegenstände a, Fa wenn und nur wenn Ga), ein Grundsatz, dass er genommen hat, um als ein Teil der Logik annehmbar zu sein.

Der Aufbau von Frege wurde rissig gemacht. Russell hat entdeckt, dass Grundlegendes Gesetz V inkonsequent ist (das ist das Paradox von Russell). Frege hat sein logicist Programm bald danach aufgegeben, aber es wurde von Russell und Whitehead fortgesetzt. Sie haben das Paradox der "bösartigen Rundheit" zugeschrieben und haben aufgebaut, was sie verzweigte Typ-Theorie genannt haben, sich damit zu befassen. In diesem System sind sie schließlich im Stande gewesen, viel moderne Mathematik, aber in einer veränderten und übermäßig komplizierten Form aufzubauen (zum Beispiel, es gab verschiedene natürliche Zahlen in jedem Typ, und es gab ungeheuer viele Typen). Sie mussten auch mehrere Kompromisse schließen, um soviel Mathematik zu entwickeln wie ein "Axiom von reducibility". Sogar Russell hat gesagt, dass dieses Axiom der Logik nicht wirklich gehört hat.

Moderne logicists (wie Bob Hale, Crispin Wright, und vielleicht andere) sind zu einem an Frege näheren Programm zurückgekehrt. Sie haben Grundlegendes Gesetz V zu Gunsten von Abstraktionsgrundsätzen wie der Grundsatz von Hume aufgegeben (die Zahl von Gegenständen, die unter dem Konzept F fallen, kommt der Zahl von Gegenständen gleich, die unter dem Konzept G fallen, wenn, und nur wenn die Erweiterung von F und die Erweiterung von G in die isomorphe Ähnlichkeit gestellt werden können). Frege hat verlangt, dass Grundlegendes Gesetz V im Stande gewesen ist, eine ausführliche Definition der Zahlen zu geben, aber alle Eigenschaften von Zahlen können aus dem Grundsatz von Hume abgeleitet werden. Das wäre nicht genug für Frege gewesen, weil (um ihn zu paraphrasieren), er die Möglichkeit nicht ausschließt, dass die Nummer 3 tatsächlich Julius Caesar ist. Außerdem scheinen viele der geschwächten Grundsätze, dass sie haben annehmen müssen, um Grundlegendes Gesetz V nicht mehr zu ersetzen, so offensichtlich analytisch, und so rein logisch.

Wenn Mathematik ein Teil der Logik ist, dann nehmen Fragen über mathematische Gegenstände zu Fragen über logische Gegenstände ab. Aber was, man könnte fragen, die Gegenstände von logischen Konzepten sind? In diesem Sinn kann logicism als veränderliche Fragen über die Philosophie der Mathematik zu Fragen über die Logik gesehen werden, ohne auf sie völlig zu antworten.

Formalismus

Formalismus meint, dass von mathematischen Behauptungen als Behauptungen über die Folgen von bestimmten Schnur-Manipulationsregeln gedacht werden kann. Zum Beispiel, im "Spiel" der Euklidischen Geometrie (der als bestehend aus einigen Schnuren genannt "Axiome" und einigen "Regeln der Schlussfolgerung" gesehen wird, um neue Schnuren von gegebenen zu erzeugen), kann man beweisen, dass der Pythagoreische Lehrsatz hält (d. h. Sie können die Schnur entsprechend dem Pythagoreischen Lehrsatz erzeugen). Gemäß dem Formalismus sind mathematische Wahrheiten nicht über Zahlen und Sätze und Dreiecke und ähnlich — tatsächlich, sie sind nicht "über" irgendetwas überhaupt.

Eine andere Version des Formalismus ist häufig als deductivism bekannt. In deductivism ist der Pythagoreische Lehrsatz nicht eine absolute Wahrheit, aber eine relative: Wenn Sie Bedeutung den Schnuren auf solche Art und Weise zuteilen, dass die Regeln des Spiels wahr werden (d. h. wahre Behauptungen werden den Axiomen zugeteilt, und die Regeln der Schlussfolgerung sind Wahrheitsbewahrung), dann müssen Sie den Lehrsatz, oder eher akzeptieren, die Interpretation, die Sie ihm gegeben haben, muss eine wahre Behauptung sein. Wie man hält, ist dasselbe für alle anderen mathematischen Behauptungen wahr. So braucht Formalismus nicht zu bedeuten, dass Mathematik nichts anderes als ein sinnloses symbolisches Spiel ist. Es wird gewöhnlich gehofft, dass dort eine Interpretation besteht, in der die Regeln des Spiels halten. (Vergleichen Sie diese Position mit dem Strukturalismus.) Aber es erlaubt wirklich dem Arbeitsmathematiker, in seiner oder ihrer Arbeit weiterzumachen und solche Probleme dem Philosophen oder Wissenschaftler zu verlassen. Viele Formalisten würden sagen, dass in der Praxis die zu studierenden Axiom-Systeme durch die Anforderungen der Wissenschaft oder anderen Gebiete der Mathematik angedeutet werden.

Ein früher Hauptbefürworter des Formalismus war David Hilbert, dessen Programm beabsichtigt war, um ein ganzer und konsequenter axiomatization von der ganzen Mathematik zu sein. Hilbert hat zum Ziel gehabt, die Konsistenz von mathematischen Systemen von der Annahme zu zeigen, die "finitary Arithmetik" (ein Subsystem der üblichen Arithmetik der positiven ganzen Zahlen, gewählt, um philosophisch unverfänglich zu sein), entsprochen hat. Die Absichten von Hilbert, ein System der Mathematik zu schaffen, die sowohl abgeschlossen ist als auch konsequente, wurden ein Todesstoß durch den zweiten von den Unvollständigkeitslehrsätzen von Gödel befasst, der feststellt, dass genug ausdrucksvolle konsequente Axiom-Systeme ihre eigene Konsistenz nie beweisen können. Da jedes solches Axiom-System die finitary Arithmetik als ein Subsystem enthalten würde, hat der Lehrsatz von Gödel angedeutet, dass es unmöglich sein würde, die Konsistenz des Systems hinsichtlich dieses zu beweisen (da es dann seine eigene Konsistenz beweisen würde, die Gödel gezeigt hatte, war unmöglich). So, um zu zeigen, dass jedes axiomatische System der Mathematik tatsächlich entspricht, muss man zuerst die Konsistenz eines Systems der Mathematik annehmen, die gewissermaßen stärker ist als das System, das konsequent zu beweisen ist.

Hilbert war am Anfang ein deductivist, aber, wie von oben klar sein kann, hat er bestimmte metamathematical Methoden gedacht, wirklich bedeutungsvolle Ergebnisse nachzugeben, und war ein Realist in Bezug auf die finitary Arithmetik. Später hat er die Meinung gehalten, dass es keine andere bedeutungsvolle Mathematik überhaupt unabhängig von der Interpretation gab.

Andere Formalisten, wie Rudolf Carnap, Alfred Tarski und Curry von Haskell, haben gedacht, dass Mathematik die Untersuchung von formellen Axiom-Systemen war. Mathematische Logiker studieren formelle Systeme, aber sind genauso häufig Realisten, wie sie Formalisten sind.

Formalisten sind relativ tolerant und zu neuen Annäherungen an die Logik, Sonderzahl-Systeme, neue Mengenlehren usw. einladend. Je mehr Spiele wir, desto besser studieren. Jedoch, in allen drei dieser Beispiele, wird Motivation von vorhandenen mathematischen oder philosophischen Sorgen gezogen. Die "Spiele" sind gewöhnlich nicht willkürlich.

Die Hauptkritik des Formalismus ist, dass die wirklichen mathematischen Ideen, die Mathematiker besetzen, weit von den Schnur-Manipulationsspielen entfernt werden, die oben erwähnt sind. Formalismus ist so auf der Frage still, deren Axiom-Systeme studiert werden sollten, weil niemand bedeutungsvoller ist als ein anderer aus einem formalistischen Gesichtspunkt.

Kürzlich haben einige Formalist-Mathematiker vorgeschlagen, dass alle unsere formellen mathematischen Kenntnisse in computerlesbaren Formaten systematisch verschlüsselt werden sollten, um automatisierte Probeüberprüfung von mathematischen Beweisen und den Gebrauch des interaktiven Lehrsatzes zu erleichtern, der sich in der Entwicklung von mathematischen Theorien und Computersoftware erweist. Wegen ihrer nahen Verbindung mit der Informatik wird diese Idee auch durch mathematischen intuitionists und constructivists in der "Berechenbarkeits"-Tradition (sieh unten) verteidigt. Sieh QED Projekt für eine allgemeine Übersicht.

Conventionalism

Der französische Mathematiker Henri Poincaré war unter dem ersten, um eine Conventionalist-Ansicht zu artikulieren. Der Gebrauch von Poincaré der nicht-euklidischen Geometrie in seiner Arbeit an Differenzialgleichungen hat ihn überzeugt, dass Euklidische Geometrie als a priori Wahrheit nicht betrachtet werden sollte. Er hat gemeint, dass Axiome in der Geometrie für die Ergebnisse gewählt werden sollten, die sie erzeugen, nicht für ihre offenbare Kohärenz mit menschlichen Intuitionen über die physische Welt.

Psychologism

Psychologism in der Philosophie der Mathematik ist die Position, dass mathematische Konzepte und/oder Wahrheiten darin niedergelegt, abgeleitet oder durch psychologische Tatsachen (oder Gesetze) erklärt werden.

Mühle von John Stuart scheint, ein Verfechter eines Typs von logischem psychologism gewesen zu sein, wie viele deutsche Logiker des neunzehnten Jahrhunderts wie Sigwart und Erdmann sowie mehrere Psychologen, Vergangenheit und Gegenwart waren: zum Beispiel, Gustave Le Bon. Psychologism wurde von Frege in seinem Die Fundamente der Arithmetik und viele seiner Arbeiten und Aufsätze einschließlich seiner Rezension der Philosophie von Husserl der Arithmetik berühmt kritisiert. Edmund Husserl, im ersten Volumen seiner Logischen Untersuchungen, genannt "Der Prolegomena der Reinen Logik" hat psychologism gründlich kritisiert und hat sich bemüht, sich davon zu distanzieren. Der "Prolegomena" wird als eine kürzere, schöne und gründliche Widerlegung von psychologism betrachtet als die Kritiken, die von Frege gemacht sind, und auch es wird heute von vielen als seiend eine denkwürdige Widerlegung für seinen entscheidenden Schlag zu psychologism betrachtet. Psychologism wurde auch von Charles Sanders Peirce und Maurice Merleau-Ponty kritisiert.

Intuitionism

In der Mathematik ist intuitionism ein Programm der methodologischen Reform, deren Devise ist, dass "es keine nichterfahrenen mathematischen Wahrheiten" (L.E.J. Brouwer) gibt. Von diesem Sprungbrett bemühen sich intuitionists wieder aufzubauen, was sie denken, um der corrigible Teil der Mathematik in Übereinstimmung mit kantischen Konzepten davon zu sein, dem Werden, der Intuition, und den Kenntnissen zu sein. Brouwer, der Gründer der Bewegung, hat gemeint, dass mathematische Gegenstände aus den a priori Formen der Willensentschlüsse entstehen, die die Wahrnehmung von empirischen Gegenständen informieren. (CDP, 542)

Eine Hauptkraft hinter Intuitionism war L.E.J. Brouwer, der die Nützlichkeit der formalisierten Logik jeder Sorte für die Mathematik zurückgewiesen hat. Sein Student Arend Heyting hat eine intuitionistic Logik verlangt, die von der klassischen Aristotelischen Logik verschieden ist; diese Logik enthält das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte nicht und missbilligt deshalb Beweise durch den Widerspruch. Das Axiom der Wahl wird auch in den meisten intuitionistic Mengenlehren zurückgewiesen, obwohl in einigen Versionen es akzeptiert wird. Wichtige Arbeit wurde später vom Errett Bischof getan, der geschafft hat, Versionen der wichtigsten Lehrsätze in der echten Analyse innerhalb dieses Fachwerks zu beweisen.

In intuitionism wird der Begriff "ausführlicher Aufbau" nicht sauber definiert, und das hat zu Kritiken geführt. Versuche sind gemacht worden, die Konzepte der Maschine von Turing oder berechenbaren Funktion zu verwenden, diese Lücke zu schließen, zum Anspruch führend, dass nur Fragen bezüglich des Verhaltens von begrenzten Algorithmen bedeutungsvoll sind und in der Mathematik untersucht werden sollten. Das hat zur Studie der berechenbaren Zahlen geführt, die zuerst von Alan Turing eingeführt sind. Nicht überraschend, dann, wird diese Annäherung an die Mathematik manchmal mit der theoretischen Informatik vereinigt

Constructivism

Wie intuitionism schließt constructivism den regelnden Grundsatz ein, dass nur mathematische Entitäten, die im gewissen Sinne ausführlich gebaut werden können, auf das mathematische Gespräch zugelassen werden sollten. In dieser Ansicht ist Mathematik eine Übung der menschlichen Intuition, nicht ein mit sinnlosen Symbolen gespieltes Spiel. Statt dessen ist es über Entitäten, die wir direkt durch die Geistestätigkeit schaffen können. Außerdem weisen einige Anhänger dieser Schulen nichtkonstruktive Beweise wie ein Beweis durch den Widerspruch zurück.

Finitism

Finitism ist eine äußerste Form von constructivism, gemäß dem ein mathematischer Gegenstand nicht besteht, wenn es von natürlichen Zahlen in einer begrenzten Zahl von Schritten nicht gebaut werden kann. In ihrem Buch Philosophie der Mengenlehre hat Mary Tiles diejenigen charakterisiert, die zählbar unendliche Gegenstände als klassischer finitists erlauben und diejenigen, die sogar zählbar unendliche Gegenstände als strenger finitists bestreiten.

Der berühmteste Befürworter von finitism war Leopold Kronecker, der gesagt hat:

Ultrafinitism ist eine noch mehr äußerste Version von finitism, der nicht nur Unendlichkeit, aber begrenzte Mengen zurückweist, die mit verfügbaren Mitteln nicht durchführbar gebaut werden können.

Strukturalismus

Strukturalismus ist eine Position, die meint, dass mathematische Theorien Strukturen beschreiben, und dass mathematische Gegenstände durch ihre Plätze in solchen Strukturen erschöpfend definiert werden, folglich keine inneren Eigenschaften habend. Zum Beispiel würde es behaupten, dass alles, was über die Nummer 1 bekannt sein muss, ist, dass es die erste ganze Zahl danach 0 ist. Ebenfalls werden alle anderen ganzen Zahlen durch ihre Plätze in einer Struktur, dem Zahlenstrahl definiert. Andere Beispiele von mathematischen Gegenständen könnten Linien und Flugzeuge in der Geometrie, oder Elemente und Operationen in der abstrakten Algebra einschließen.

Strukturalismus ist eine erkenntnistheoretisch realistische Ansicht, in der er meint, dass mathematische Behauptungen einen objektiven Wahrheitswert haben. Jedoch bezieht sich sein Hauptanspruch nur auf welcher Entität ein mathematischer

Gegenstand ist, nicht dazu, welche Existenz mathematische Gegenstände oder Strukturen haben (nicht, mit anderen Worten,

zu ihrer Ontologie). Die Art der Existenz, die mathematische Gegenstände haben, würde klar von diesem der abhängig sein

Strukturen, in denen sie eingebettet werden; verschiedene Subvarianten des Strukturalismus erheben verschiedene ontologische Ansprüche

in dieser Beziehung.

Der Pokereinsatz Rem, oder völlig Realist, die Schwankung des Strukturalismus hat eine ähnliche Ontologie zu Platonism darin, wie man hält, haben Strukturen eine echte, aber abstrakte und immaterielle Existenz. Als solcher steht es den üblichen Problemen gegenüber, die Wechselwirkung zwischen solchen abstrakten Strukturen und Fleisch-Und-Blutmathematikern zu erklären.

In Re, oder gemäßigt realistisch ist Strukturalismus die Entsprechung vom Realismus von Aristotelean. Wie man hält, bestehen Strukturen

weil ein konkretes System sie veranschaulicht. Das übernimmt die üblichen Probleme dass einige vollkommen

legitime Strukturen könnten zufällig zufällig nicht bestehen, und dass eine begrenzte physische Welt könnte

nicht, "groß" genug sein, um einige sonst legitime Strukturen unterzubringen.

Der Postres oder die eliminative Variante des Strukturalismus sind Antirealist über Strukturen in einem Weg, der Nominalismus anpasst. Gemäß dieser Ansicht bestehen mathematische Systeme, und haben Struktureigenschaften

gemeinsam. Wenn etwas auf eine Struktur zutrifft, wird sie auf alle Systeme zutreffen, die die Struktur veranschaulichen.

Jedoch ist es zum Gespräch von Strukturen bloß günstig, die gemeinsam" zwischen Systemen " halten werden: Sie haben tatsächlich keine unabhängige Existenz.

Aufgenommene Meinungstheorien

Aufgenommene Meinungstheorien meinen, dass mathematischer Gedanke ein natürlicher Auswuchs des menschlichen kognitiven Apparats ist, der sich in unserem physischen Weltall findet. Zum Beispiel, das abstrakte Konzept von Zahl-Frühlingen von der Erfahrung, getrennte Gegenstände aufzuzählen. Es wird gemeint, dass Mathematik nicht universal ist und in keinem echten Sinn, außer im menschlichen Verstand besteht. Menschen bauen, aber, entdecken Mathematik nicht.

Mit dieser Ansicht kann das physische Weltall so als das äußerste Fundament der Mathematik gesehen werden: Es hat die Evolution des Gehirns geführt und hat später bestimmt, der dieses Gehirn infrage stellt, würde würdig der Untersuchung finden. Jedoch hat der Menschenverstand keinen speziellen Anspruch auf der Wirklichkeit oder den Annäherungen daran gebaut aus der Mathematik. Wenn solche Konstruktionen wie die Identität von Euler dann wahr sind, sind sie als eine Karte des Menschenverstandes und Erkennens wahr.

Aufgenommene Meinungstheoretiker erklären so die Wirksamkeit der Mathematik — Mathematik wurde durch das Gehirn gebaut, um in diesem Weltall wirksam zu sein.

Die zugänglichste, berühmte und berüchtigte Behandlung dieser Perspektive besteht darin, Wo Mathematik, durch George Lakoff und Rafael E. Núñez Herkommt. Außerdem hat Mathematiker Keith Devlin ähnliche Konzepte mit seinem Buch Der Matheinstinkt untersucht. Für mehr auf den philosophischen Ideen, die diese Perspektive begeistert haben, sieh Erkenntnistheorie der Mathematik.

Neuer Empirismus

Ein neuerer Empirismus kehrt zum Grundsatz der englischen Empiriker der 18. und 19. Jahrhunderte in der besonderen Mühle von John Stuart zurück, die behauptet hat, dass alle Kenntnisse zu uns von der Beobachtung bis die Sinne kommen. Das gilt nicht nur für Tatsachen, sondern auch für "Beziehungen von Ideen," weil Hume sie genannt hat: Die Strukturen der Logik, die dolmetschen, organisieren Sie sich und abstrakte Beobachtungen.

Zu diesem Grundsatz fügt es eine Materialist-Verbindung hinzu: Alle Prozesse der Logik, die dolmetschen, organisieren Sie sich und abstrakte Beobachtungen, sind physische Phänomene, die in Realtime und physischer Raum stattfinden: nämlich, im Verstand von Menschen. Abstrakte Gegenstände, wie mathematische Gegenstände, sind Ideen, die der Reihe nach als elektrische und chemische Staaten der Milliarden von Neuronen im menschlichen Gehirn bestehen.

Dieses zweite Konzept ist an die soziale Constructivist-Annäherung erinnernd, die meint, dass Mathematik von Menschen erzeugt wird, anstatt von abstrakten, a priori Wahrheiten "entdeckt" zu werden. Jedoch unterscheidet es sich scharf von der constructivist Implikation, dass Menschen willkürlich mathematische Grundsätze bauen, die keine innewohnende Wahrheit haben, aber die stattdessen auf einer conveniency Basis geschaffen werden. Im Gegenteil zeigt neuer Empirismus, wie Mathematik, obwohl gebaut, durch Menschen, Regeln und Grundsätzen folgt, die von allen vereinbart werden, die dabei mit dem Ergebnis teilnehmen, außer dem jeder, Mathematik übend, dieselbe Antwort — in jenen Gebieten präsentiert, wo es philosophische Unstimmigkeit auf der Bedeutung von grundsätzlichen Konzepten gibt. Das ist, weil der neue Empirismus diese Abmachung wahrnimmt als, ein physisches Phänomen zu sein. Derjenige, der von anderen Menschen ebenso beobachtet wird, dass andere physische Phänomene, wie die Bewegungen von leblosen Körpern oder die chemische Wechselwirkung von verschiedenen Elementen, beobachtet werden.

Das Kombinieren des Materialist-Grundsatzes mit der Erkenntnistheorie von Millisian weicht der Grundsatz-Schwierigkeit mit dem klassischen Empirismus aus — dass alle Kenntnisse aus den Sinnen kommen. Diese Schwierigkeit liegt in der Beobachtung, dass mathematische auf dem logischen Abzug gestützte Wahrheiten scheinen, mehr sicher wahr zu sein, als Kenntnisse der physischen Welt selbst. (Die physische Welt wird in diesem Fall genommen, um den Teil davon zu bedeuten, außerhalb des menschlichen Gehirns liegend.)

Kant hat behauptet, dass die Strukturen der Logik, die sich organisieren, dolmetschen Sie und abstrakte Beobachtungen in den Menschenverstand eingebaut wurden und wahr und a priori gültig waren. Mühle hat im Gegenteil gesagt, dass wir glauben, dass sie wahr sind, weil wir genug individuelle Beispiele ihrer Wahrheit haben, um zu verallgemeinern: In seinen Wörtern "Von Beispielen haben wir beobachtet, wir fühlen uns bevollmächtigt im Folgern, das, was wir wahr in jenen Beispielen gefunden haben, in allen ähnlichen, vorbei, Gegenwart und Zukunft, jedoch zahlreich hält, können sie sein." Obwohl die psychologischen oder erkenntnistheoretischen Details, die von der Mühle gegeben sind, durch die wir unseren logischen Apparat bauen, nicht völlig bevollmächtigt werden dürfen, schafft seine Erklärung noch dennoch zu demonstrieren, dass es keinen Weg um die a priori Logik von Kant gibt. Die ursprüngliche Idee der Mühle in einer Empiriker-Drehung zu widerrufen: "Tatsächlich sind die wirklichen Grundsätze des logischen Abzugs wahr, weil wir bemerken, dass das Verwenden von ihnen zu wahren Beschlüssen führt." Der selbst ein a priori pressuposition ist.

Für die meisten Mathematiker widerspricht der Empiriker-Grundsatz, dass alle Kenntnisse aus den Sinnen kommen, einem mehr Kernprinzip: Dieser sind mathematische Vorschläge wahrer Unabhängiger der physischen Welt. Alles über einen mathematischen Vorschlag ist dessen unabhängig, was scheint, die physische Welt zu sein. All das findet in der Meinung statt. Und die Meinung funktioniert auf unfehlbaren Grundsätzen der deduktiven Logik. Es ist nicht unter Einfluss Außeneingänge von der physischen Welt, die verdreht ist, indem sie das versuchsweise, abhängige Weltall der Sinne durchführen muss. All das geschieht innerlich so, um zu sagen. Das kann der Reihe nach die Antwort darauf sein, was die spezielle Art von Gödel der mathematischen Intuition verursacht, die früher im Artikel erwähnt wurde.

Wenn all das, dann wahr ist wohin gehen die Weltsinne ein? Die frühen Empiriker sind alle über diesen Punkt gestrauchelt. Hume hat behauptet, dass alle Kenntnisse aus den Sinnen kommen, und dann das Ballspiel durch die Ausnahme abstrakter Vorschläge weggegeben haben, die er "Beziehungen von Ideen genannt hat." Diese, er hat gesagt, waren absolut wahr (obwohl die Mathematiker, die sich sie ausgedacht haben, menschlich seiend, sie falsch verstehen könnten). Mühle hat andererseits versucht zu bestreiten, dass abstrakte Ideen außerhalb der physischen Welt bestehen: Alle Zahlen, er hat gesagt, "muss Zahlen von etwas sein: Es gibt keine solche Dinge wie Zahlen im Auszug." Wenn wir bis acht zählen oder fünf beitragen und drei wir wirklich Löffel oder Hummeln aufzählen. "Alle Dinge besitzen Menge," hat er gesagt, so dass Vorschläge bezüglich Zahlen Vorschläge bezüglich "aller Dinge überhaupt sind." Aber dann in fast einem Widerspruch von sich hat er fortgesetzt zuzugeben, dass numerische und algebraische Ausdrücke echten Weltgegenständen nicht notwendigerweise beigefügt werden: Sie "erregen in unseren Meinungsideen von keinen Dingen insbesondere." Der niedrige Ruf der Mühle als ein Philosoph der Logik und der niedrige Stand des Empirismus im Jahrhundert einhalb folgend ihm, ist auf diesen erfolglosen Versuch zurückzuführen, abstrakte Gedanken zur physischen Welt zu verbinden, wenn es offensichtlich ist, dass Abstraktion genau daraus besteht, den Gedanken von seinen physischen Fundamenten zu trennen.

Das durch unsere Gewissheit geschaffene Rätsel, dass abstrakte deduktive Vorschläge, wenn gültig (d. h., wenn wir sie "beweisen" können), wahr, von der Beobachtung exklusiv sind und in der physischen Welt prüfend, verursacht ein weiteres Nachdenken... Und wenn Gedanken selbst und die Meinungen die schaffen sie, physische Gegenstände, vorhanden nur in der physischen Welt sind?

Das würde den Widerspruch zwischen unserem Glauben an die Gewissheit von abstrakten Abzügen und dem Empiriker-Grundsatz beilegen, dass Kenntnisse aus der Beobachtung von individuellen Beispielen kommen. Wir wissen, dass die Gleichung von Euler wahr ist, weil jedes Mal ein Menschenverstand die Gleichung ableitet, bekommt es dasselbe Ergebnis, wenn es keinen Fehler gemacht hat, der anerkannt und korrigiert werden kann. Wir beobachten dieses Phänomen, und wir extrapolieren zum allgemeinen Vorschlag, dass es immer wahr ist.

Das gilt nicht nur für physische Grundsätze, wie das Gesetz des Ernstes, aber zu abstrakten Phänomenen, die wir nur im menschlichen Verstand beobachten: in unserem und in denjenigen von anderen.

Aristotelischer Realismus

Ähnlich dem Empirismus im Hervorheben der Beziehung der Mathematik zur echten Welt meint Aristotelischer Realismus, dass Mathematik-Studieneigenschaften wie Symmetrie, Kontinuität und befehlen, dass das in der physischen Welt wörtlich begriffen werden kann (oder in jeder anderen Welt es geben könnte). Es hebt sich von Platonism im Halten ab, dass die Gegenstände der Mathematik, wie Zahlen, in einer "abstrakten" Welt nicht bestehen, aber physisch begriffen werden können. Zum Beispiel wird die Nummer 4 in der Beziehung zwischen einem Haufen von Papageien und dem universalen begriffen, "ein Papagei seiend", der den Haufen in so viele Papageien teilt.

Aristotelischer Realismus wird von James Franklin und der Sydney Schule in der Philosophie der Mathematik verteidigt und ist der Ansicht von Penelope Maddy (1990) nah, dass, wenn ich einen Ei-Karton öffne, ich eine Reihe drei Eier (d. h. eine mathematische Entität wahrnehme, die in der physischen Welt begriffen ist). Ein Problem für den Aristotelischen Realismus ist das, welche Rechnung, der höheren Unendlichkeit zu geben, die in der physischen Welt nicht realisierbar sein kann.

Fictionalism

Fictionalism in der Mathematik wurde zur Berühmtheit 1980 gebracht, als Hartry Feld Wissenschaft Ohne Zahlen veröffentlicht hat, die zurückgewiesen haben und tatsächlich das Unerlässlichkeitsargument von Quine umgekehrt haben. Wo Quine vorgeschlagen hat, dass Mathematik für unsere besten wissenschaftlichen Theorien unentbehrlich war, und deshalb als ein Körper von Wahrheiten akzeptiert werden sollte, die über unabhängig vorhandene Entitäten sprechen, hat Feld darauf hingewiesen, dass Mathematik entbehrlich war, und deshalb als ein Körper von Lügen betrachtet werden sollte, über nichts Echtes sprechend. Er hat das getan, indem er einen ganzen axiomatization der Newtonischen Mechanik gegeben hat, die nicht Kennziffern oder Funktionen überhaupt getan hat. Er hat mit dem "betweenness" der Axiome von Hilbert angefangen, Raum ohne coordinatizing es zu charakterisieren, und hat dann Extrabeziehungen zwischen Punkten hinzugefügt, um die durch Vektorfelder früher getane Arbeit zu tun. Die Geometrie von Hilbert ist mathematisch, weil sie über abstrakte Punkte spricht, aber in der Theorie des Feldes sind diese Punkte die konkreten Punkte des physischen Raums, so sind keine speziellen mathematischen Gegenstände überhaupt erforderlich.

Gezeigt, wie man Wissenschaft tut, ohne Zahlen zu verwenden, ist Feld fortgefahren, Mathematik als eine Art nützliche Fiktion zu rehabilitieren. Er hat gezeigt, dass mathematische Physik eine konservative Erweiterung seiner nichtmathematischen Physik ist (d. h. jede physische in der mathematischen Physik nachweisbare Tatsache ist bereits vom System des Feldes nachweisbar), so dass die Mathematik ein zuverlässiger Prozess ist, dessen physische Anwendungen alle wahr sind, wenn auch seine eigenen Behauptungen falsch sind. So, wenn wir Mathematik tun, können wir uns als das Erzählen einer Art Geschichte sehen, sprechend, als ob Zahlen bestanden haben. Für das Feld ist eine Behauptung wie "2 + 2 = 4" genauso frei erfunden, wie "Sherlock Holmes an 221B die Baker Street gelebt hat" - aber beide sind gemäß den relevanten Fiktionen wahr.

Durch diese Rechnung gibt es keine metaphysischen oder erkenntnistheoretischen zur Mathematik speziellen Probleme. Die einzigen verlassenen Sorgen sind die allgemeinen Sorgen über die nichtmathematische Physik, und über die Fiktion im Allgemeinen. Die Annäherung des Feldes ist sehr einflussreich gewesen, aber wird weit zurückgewiesen. Das ist teilweise wegen der Voraussetzung von starken Bruchstücken der Logik der zweiten Ordnung, um seine Verminderung auszuführen, und weil die Behauptung von conservativity scheint, Quantifizierung über abstrakte Modelle oder Abzüge zu verlangen.

Sozialer constructivism oder sozialer Realismus

Sozialer constructivism oder soziale Realismus-Theorien sehen Mathematik in erster Linie als eine soziale Konstruktion, als ein Produkt der Kultur, des Themas der Korrektur und Änderung. Wie die anderen Wissenschaften wird Mathematik als ein empirischer Versuch angesehen, dessen Ergebnisse ständig bewertet werden und verworfen werden können. Jedoch, während auf einer Empiriker-Ansicht die Einschätzung eine Art Vergleich mit "der Wirklichkeit" ist, betonen soziale constructivists, dass die Richtung der mathematischen Forschung durch die Moden der sozialen Gruppe diktiert wird, die es oder durch die Bedürfnisse nach der Gesellschaft durchführt, die es finanziert. Jedoch, obwohl solche Außenkräfte die Richtung von etwas mathematischer Forschung ändern können, gibt es starke innere Einschränkungen - die mathematischen Traditionen, Methoden, Probleme, Bedeutungen und Werte, in die Mathematiker enculturated - dass Arbeit sind, um die historisch definierte Disziplin zu erhalten.

Das läuft dem traditionellen Glauben von Arbeitsmathematikern zuwider, diese Mathematik ist irgendwie rein oder objektiv. Aber soziale constructivists behaupten, dass Mathematik tatsächlich durch viel Unklarheit niedergelegt wird: Da sich mathematische Praxis entwickelt, wird der Status der vorherigen Mathematik in Zweifel geworfen, und wird zum Grad korrigiert es ist erforderlich oder von der aktuellen mathematischen Gemeinschaft gewünscht. Das kann in der Entwicklung der Analyse von der Nachprüfung der Rechnung von Leibniz und Newton gesehen werden. Sie behaupten weiter, dass beendete Mathematik häufig zu viel Status und Volksmathematik nicht genug, wegen einer Überbetonung auf dem axiomatischen Beweis und der gleichrangigen Rezension als Methoden gewährt wird. Jedoch könnte das als bloß gesehen werden sagend, dass streng bewiesene Ergebnisse überbetont werden, und dann "schauen, wie chaotisch und unsicher der Rest von all dem ist!"

Die soziale Natur der Mathematik wird in seinen Subkulturen hervorgehoben. Hauptentdeckungen können in einem Zweig der Mathematik gemacht werden und für einen anderen wichtig sein, noch geht die Beziehung unentdeckt aus Mangel am sozialen Kontakt zwischen Mathematikern. Soziale constructivists behaupten, dass jede Spezialität seine eigene epistemic Gemeinschaft bildet und häufig große Schwierigkeit hat, kommunizierend, oder die Untersuchung motivierend, Vermutungen zu vereinigen, die verschiedene Gebiete der Mathematik verbinden könnten. Soziale constructivists sehen den Prozess "Mathematik" als das wirkliche Schaffen der Bedeutung tun, während soziale Realisten einen Mangel entweder der menschlichen Kapazität zu abstractify, oder der kognitiven Neigung des Menschen, oder der gesammelten Intelligenz von Mathematikern als das Verhindern des Verständnisses eines echten Weltalls von mathematischen Gegenständen sehen. Soziale constructivists weisen manchmal die Suche nach Fundamenten der Mathematik zurück, die so bestimmt ist zu scheitern, wie sinnlos ist oder sogar sinnlos ist. Einige soziale Wissenschaftler behaupten auch, dass Mathematik nicht echt oder überhaupt objektiv ist, aber durch den Rassismus und Ethnozentrismus betroffen wird. Einige dieser Ideen sind Postmodernismus nah.

Beiträge zu dieser Schule sind von Imre Lakatos und Thomas Tymoczko geleistet worden, obwohl es nicht klar ist, dass irgendein den Titel gutheißen würde. Mehr kürzlich hat Paul Ernest eine soziale constructivist Philosophie der Mathematik ausführlich formuliert. Einige betrachten die Arbeit von Paul als Erdős als Ganzes, um diese Ansicht vorgebracht zu haben (obwohl er es persönlich zurückgewiesen hat) wegen seiner einzigartig breiten Kollaborationen, die andere aufgefordert haben, "Mathematik als gesellschaftliche Aktivitäten", z.B über die Erdős Zahl zu sehen und zu studieren. Reuben Hersh hat auch die soziale Ansicht von der Mathematik gefördert, es eine "humanistische" Annäherung nennend, die, aber nicht ganz dasselbe als das ähnlich ist, vereinigt mit Alvin White; einer der Mitverfasser von Hersh, Philip J. Davis, hat Zuneigung für die soziale Ansicht ebenso ausgedrückt.

Eine Kritik dieser Annäherung besteht darin, dass es trivial, auf der trivialen Beobachtung gestützt ist, dass Mathematik eine menschliche Tätigkeit ist. Zu bemerken, dass strenger Beweis nur nach der unstrengen Vermutung, dem Experimentieren und der Spekulation kommt, ist wahr, aber es ist trivial, und keiner würde das bestreiten. So ist es so etwas wie ein Strecken, um eine Philosophie der Mathematik auf diese Weise auf etwas trivial Wahrem zu charakterisieren. Die Rechnung von Leibniz und Newton wurde von Mathematikern wie Weierstrass nochmals geprüft, um die Lehrsätze davon streng zu beweisen. Es gibt nichts Spezielles oder Interessantes darüber, weil es mit der allgemeineren Tendenz von unstrengen Ideen einfügt, die später streng gemacht werden. Es muss eine klare Unterscheidung zwischen den Gegenständen der Studie der Mathematik und der Studie der Gegenstände der Studie der Mathematik geben. Der erstere scheint nicht, sich viel zu ändern; der Letztere ist für immer in Fluss. Der Letztere ist, worüber die Soziale Theorie ist, und der erstere was Platonism ist u. a. sind darüber.

Jedoch wird diese Kritik von Unterstützern der sozialen constructivist Perspektive zurückgewiesen, weil es den Punkt verpasst, dass die wirklichen Gegenstände der Mathematik soziale Konstruktionen sind. Diese Gegenstände, es behauptet, sind in erster Linie semiotische Gegenstände, die im Bereich der menschlichen Kultur vorhanden sind, die durch soziale Methoden gestützt ist (nach Wittgenstein), die physisch aufgenommene Zeichen verwerten und intrapersönliche (geistige) Konstruktionen verursachen. Soziale constructivists sehen den reification des Bereichs der menschlichen Kultur in einen Platonischen Bereich oder ein anderes einem Himmel ähnliches Gebiet der Existenz außer der physischen Welt, einem langen Stehkategorie-Fehler an.

Außer den traditionellen Schulen

Anstatt sich auf schmale Debatten über die wahre Natur der mathematischen Wahrheit, oder sogar auf Methoden zu konzentrieren, die Mathematikern wie der Beweis einzigartig sind, hat eine wachsende Bewegung von den 1960er Jahren bis zu den 1990er Jahren begonnen, die Idee infrage zu stellen, Fundamente zu suchen oder irgendwelche richtige Antwort darauf zu finden, warum Mathematik arbeitet. Der Startpunkt dafür war das berühmte 1960-Papier von Eugene Wigner Die Unvernünftige Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften, in denen er behauptet hat, dass der glückliche Zufall der Mathematik und Physik, die so gut wird vergleicht, geschienen ist, unvernünftig und hart zu sein, zu erklären.

Die aufgenommene Meinung oder kognitive Schule und die soziale Schule waren Antworten auf diese Herausforderung, aber die erhobenen Debatten waren schwierig, auf diejenigen zu beschränken.

Quasiempirismus

Eine parallele Sorge, die die Schulen direkt nicht wirklich herausfordert, aber stattdessen ihren Fokus infrage stellt, ist der Begriff des Quasiempirismus in der Mathematik. Das ist von der immer populäreren Behauptung gegen Ende des 20. Jahrhunderts gewachsen, dass, wie man jemals beweisen konnte, kein Fundament der Mathematik bestanden hat. Es wird auch manchmal "Postmodernismus in der Mathematik" genannt, obwohl dieser Begriff überladen von einigen und beleidigend durch andere betrachtet wird. Quasiempirismus behauptet, dass im Tun ihrer Forschung Mathematiker Hypothesen prüfen sowie Lehrsätze beweisen. Ein mathematisches Argument kann Unehrlichkeit vom Beschluss bis die Propositionen übersenden, genauso gut, wie es kann Wahrheit von den Propositionen bis den Beschluss übersenden. Quasiempirismus wurde von Imre Lakatos entwickelt, der durch die Philosophie der Wissenschaft von Karl Popper begeistert ist.

Die Philosophie von Lakatos der Mathematik wird manchmal als eine Art sozialer constructivism betrachtet, aber das war nicht seine Absicht.

Solche Methoden sind immer ein Teil der Volksmathematik gewesen, durch die große Leistungen der Berechnung und des Maßes manchmal erreicht werden. Tatsächlich können solche Methoden der einzige Begriff des Beweises sein, den eine Kultur hat.

Hilary Putnam hat behauptet, dass jede Theorie des mathematischen Realismus quasiempirische Methoden einschließen würde. Er hat vorgeschlagen, dass sich eine ausländische Art-Tun-Mathematik auf quasiempirische Methoden in erster Linie gut verlassen könnte, häufig bereit seiend, auf strenge und axiomatische Beweise zu verzichten, und noch Mathematik - an vielleicht einer etwas größeren Gefahr des Misserfolgs ihrer Berechnungen zu tun. Er hat ein ausführliches Argument dafür in Neuen Richtungen (Hrsg. Tymockzo, 1998) gegeben.

Die "zwei Sinne der Popkornmaschine" Theorie

Realist und constructivist Theorien werden normalerweise genommen, um Gegenteile zu sein. Jedoch hat Karl Popper behauptet, dass eine Zahl-Behauptung wie "2 Äpfel + 2 Äpfel = 4 Äpfel" in zwei Sinnen genommen werden kann. In gewisser Hinsicht ist es unwiderlegbar und logisch wahr. Im zweiten Sinn ist es sachlich wahr und falsifizierbar. Eine andere Weise, das zu stellen, ist zu sagen, dass eine einzelne Zahl-Behauptung zwei Vorschläge ausdrücken kann: Von denen einer auf constructivist Linien erklärt werden kann; anderer auf Realist-Linien.

Vereinigung

Wenige Philosophen sind im Stande, in mathematische Notationen und Kultur einzudringen, um herkömmliche Begriffe der Metaphysik zu den mehr spezialisierten metaphysischen Begriffen der Schulen oben zu verbinden. Das kann zu einer Separation führen, in der einige Mathematiker fortsetzen, bezweifelte Philosophie als eine Rechtfertigung für ihren fortlaufenden Glauben an eine Weltanschauung zu erklären, die ihre Arbeit fördert.

Obwohl die sozialen Theorien und der Quasiempirismus, und besonders die aufgenommene Meinungstheorie, mehr Aufmerksamkeit auf die durch aktuelle mathematische Methoden einbezogene Erkenntnistheorie gerichtet haben, fallen sie weit knapp an der wirklichen Verbindung davon zur gewöhnlichen menschlichen Wahrnehmung und dem täglichen Verstehen von Kenntnissen.

Sprache

Neuerungen in der Philosophie der Sprache während des 20. Jahrhunderts haben Interesse daran erneuert, ob Mathematik ist, wie häufig, die Sprache der Wissenschaft gesagt wird. Obwohl die meisten Mathematiker und Physiker (und viele Philosophen) akzeptieren würden, dass die Behauptung "Mathematik eine Sprache ist" glauben Linguisten, dass die Implikationen solch einer Behauptung betrachtet werden müssen. Zum Beispiel werden die Werkzeuge der Linguistik auf die Symbol-Systeme der Mathematik nicht allgemein angewandt, d. h. Mathematik wird auf eine deutlich verschiedene Weise studiert als andere Sprachen. Wenn Mathematik eine Sprache ist, ist es ein verschiedener Typ der Sprache als natürliche Sprachen. Tatsächlich, wegen des Bedürfnisses nach der Klarheit und Genauigkeit, wird die Sprache der Mathematik viel mehr beschränkt als von Linguisten studierte natürliche Sprachen. Jedoch sind die Methoden, die von Frege und Tarski für die Studie der mathematischen Sprache entwickelt sind, außerordentlich vom Studenten von Tarski Richard Montague und anderen Linguisten erweitert worden, die in der formellen Semantik arbeiten, um zu zeigen, dass die Unterscheidung zwischen mathematischer Sprache und natürlicher Sprache so nicht groß sein kann, wie es scheint.

Argumente

Unerlässlichkeitsargument für den Realismus

Wie man

betrachtet, ist dieses Argument, das mit Willard Quine und Hilary Putnam von Stephen Yablo vereinigt ist, eines der schwierigsten Argumente für die Annahme der Existenz von abstrakten mathematischen Entitäten, wie Zahlen und Sätze. Die Form des Arguments ist wie folgt.

1. Man muss ontologische Engagements zu allen Entitäten haben, die für die besten wissenschaftlichen Theorien, und für jene Entitäten nur (allgemein gekennzeichnet als "alle und nur") unentbehrlich sind.
2. Mathematische Entitäten sind für die besten wissenschaftlichen Theorien unentbehrlich. Deshalb,
3. Man muss ontologische Engagements zu mathematischen Entitäten haben.

Die Rechtfertigung für die erste Proposition ist am meisten umstritten. Sowohl Putnam als auch Quine rufen Naturalismus an, um den Ausschluss aller unwissenschaftlichen Entitäten zu rechtfertigen, und folglich den "einzigen" Teil von "allen und nur" zu verteidigen. Die Behauptung, dass "alle" Entitäten, die in wissenschaftlichen Theorien einschließlich Zahlen verlangt sind, als echt akzeptiert werden sollten, wird durch den Bestätigungsholismus gerechtfertigt. Da Theorien auf eine stückchenweise Mode, aber als Ganzes nicht bestätigt werden, gibt es keine Rechtfertigung für das Ausschließen von einigen der Entitäten, die auf in gut ratifizierten Theorien verwiesen sind. Das stellt den nominalist, wer die Existenz von Sätzen und nicht-euklidischer Geometrie ausschließen, aber die Existenz von Quarken und anderen unfeststellbaren Entitäten der Physik zum Beispiel in einer schwierigen Position einschließen möchte.

Argument von Epistemic gegen den Realismus

Der Antirealist "epistemic Argument" gegen Platonism ist durch das Feld von Paul Benacerraf und Hartry gemacht worden. Platonism postuliert das mathematische Gegenstände sind abstrakte Entitäten. Durch die Einigkeit können abstrakte Entitäten

nicht

wirken Sie kausal mit konkreten, physischen Entitäten aufeinander. ("die Wahrheitswerte unserer mathematischen Behauptungen hängen von Tatsachen ab, die platonische Entitäten einschließen, die in einem Bereich außerhalb der Raum-Zeit" wohnen), Während unsere Kenntnisse von konkreten, physischen Gegenständen auf unserer Fähigkeit basieren, sie wahrzunehmen, und deshalb mit ihnen kausal aufeinander zu wirken, gibt es keine parallele Rechnung dessen, wie Mathematiker kommen, um Kenntnisse von abstrakten Gegenständen zu haben. ("Eine Rechnung der mathematischen Wahrheit.. muss mit der Möglichkeit von mathematischen Kenntnissen" im Einklang stehend sein). Eine andere Weise zu machen es ist nämlich so, dass, wenn die Platonische Welt verschwinden sollte, sie keinen Unterschied zur Fähigkeit von Mathematikern machen würde, Beweise usw. zu erzeugen, der bereits in Bezug auf physische Prozesse in ihrem Verstand völlig verantwortlich ist.

Feld hat seine Ansichten in fictionalism entwickelt. Benacerraf hat auch die Philosophie des mathematischen Strukturalismus entwickelt, gemäß dem es keine mathematischen Gegenstände gibt. Dennoch sind einige Versionen des Strukturalismus mit einigen Versionen des Realismus vereinbar.

Das Argument hängt von der Idee ab, dass eine befriedigende naturalistische Rechnung von Gedanke-Prozessen in Bezug auf Gehirnprozesse für das mathematische Denken zusammen mit etwas anderem gegeben werden kann. Eine Linie der Verteidigung soll behaupten, dass das falsch ist, so dass mathematischer vernünftig urteilender Gebrauch eine spezielle Intuition, die Kontakt mit dem Platonischen Bereich einschließt. Eine moderne Form dieses Arguments wird von Herrn Roger Penrose gegeben.

Eine andere Linie der Verteidigung soll diesen Auszug aufrechterhalten Gegenstände sind für das mathematische Denken in einem Weg wichtig, der nicht kausal, und der Wahrnehmung nicht analog ist. Dieses Argument wird von Jerrold Katz in seinem Buch Realistischer Rationalismus entwickelt.

Eine radikalere Verteidigung ist Leugnung der physischen Wirklichkeit, d. h. der mathematischen Weltall-Hypothese. In diesem Fall sind Mathematiker-Kenntnisse der Mathematik ein mathematischer Gegenstand, der mit einem anderen Kontakt herstellt.

Ästhetik

Viele praktizierende Mathematiker sind zu ihrem Thema wegen eines Schönheitsempfindens angezogen worden, das sie darin wahrnehmen. Man hört manchmal das Gefühl, das Mathematiker gern Philosophie den Philosophen verlassen und zur Mathematik zurückbekommen würden - wo, vermutlich, die Schönheit lügt.

In seiner Arbeit am Gottesverhältnis verbindet H. E. Huntley das Gefühl des Lesens und Verstehens eines Beweises von jemandem anderen eines Lehrsatzes der Mathematik diesem eines Zuschauers eines Meisterwerks der Kunst - der Leser eines Beweises hat einen ähnlichen Sinn der freudigen Erregung am Verstehen als der ursprüngliche Autor des Beweises viel als, er streitet, der Zuschauer eines Meisterwerks hat einen Sinn der freudigen Erregung, die dem ursprünglichen Maler oder Bildhauer ähnlich ist. Tatsächlich kann man mathematische und wissenschaftliche Schriften als Literatur studieren.

Philip J. Davis und Reuben Hersh haben kommentiert, dass der Sinn der mathematischen Schönheit unter praktizierenden Mathematikern universal ist. Über das Beispiel stellen sie zwei Beweise der Unvernunft zur Verfügung. Das erste ist der traditionelle Beweis durch den Widerspruch, der Euklid zugeschrieben ist; das zweite ist ein direkterer Beweis, der den Hauptsatz der Arithmetik einschließt, die, streiten sie, zum Herzen des Problems kommt. Davis und Hersh behaupten, dass Mathematiker den zweiten Beweis finden, der ästhetischer appelliert, weil es näher an der Natur des Problems wird.

Paul Erdős war für seinen Begriff eines hypothetischen "Buches" weithin bekannt, das die elegantesten oder schönen mathematischen Beweise enthält. Es gibt nicht universale Abmachung, dass ein Ergebnis einen "elegantesten" Beweis hat; Gregory Chaitin hat gegen diese Idee argumentiert.

Philosophen haben manchmal das Schönheitsempfinden von Mathematikern oder Anmut als seiend kritisiert bestenfalls, vage festgesetzt. Aus dem gleichen Grunde, jedoch, haben sich Philosophen der Mathematik bemüht zu charakterisieren, was einen Beweis wünschenswerter macht als ein anderer, wenn beide logisch gesund sind.

Ein anderer Aspekt der Ästhetik bezüglich der Mathematik ist die Ansichten von Mathematikern zum möglichen Gebrauch der Mathematik zu Zwecken gehalten unmoralisch oder unpassend. Die am besten bekannte Ausstellung dieser Ansicht kommt im Buch von G.H. Hardy eine Entschuldigung eines Mathematikers vor, in der Hardy behauptet, dass reine Mathematik in der Schönheit als angewandte Mathematik genau höher ist, weil es für den Krieg und ähnliche Enden nicht verwendet werden kann. Einige spätere Mathematiker haben die Ansichten von Hardy, wie mild datiert, mit der Anwendbarkeit der Zahlentheorie zur modern-tägigen Geheimschrift charakterisiert.

Siehe auch

• Axiomatische Mengenlehre
• Axiomatisches System
• Kategorie-Theorie
• Definitionen der Mathematik
• Formelle Sprache
• Formelles System
• Fundamente der Mathematik
• Goldenes Verhältnis
• Geschichte der Mathematik
• Logik von Intuitionistic
• Logik
• Mathematische Schönheit
• Mathematischer constructivism
• Mathematische Logik
• Mathematischer Beweis
• Metamathematics
• Mustertheorie
• Naive Mengenlehre
• Sonderanalyse
• Philosophie der Sprache
• Philosophie der Wissenschaft
• Philosophie der Wahrscheinlichkeit
• Probetheorie
• Regel der Schlussfolgerung
• Wissenschaft studiert
• Wissenschaftliche Methode
• Mengenlehre
• Die unvernünftige Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften
• Wahrheit
• Äußerstes Ensemble

Zusammenhängende Arbeiten

• Der Analytiker
• Die Elemente von Euklid
• Der Vollständigkeitslehrsatz von Gödel
• Einführung in die mathematische Philosophie
• Neue Fundamente
• Principia Mathematica
• Die einfachste Mathematik

Historische Themen

• Geschichte und Philosophie der Wissenschaft

Geschichte der Mathematik

• Geschichte der Philosophie

Referenzen

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• Wilder, Raymond L. Mathematics als ein Kulturelles System, Pergamon, 1980.

Links

• Das Londoner Philosophie-Studienhandbuch bietet viele Vorschläge darauf an, was man abhängig von der Vertrautheit des Studenten mit dem Thema liest:
• Philosophie der Mathematik
• Mathematische Logik
• Mengenlehre & Weitere Logik
• Die Philosophie von R.B. Jones der Mathematik-Seite
• Die Philosophie der echten Mathematik Blog
• Kaina Stoicheia durch C. S. Peirce.

Zeitschriften

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