Wo Mathematik Herkommt: Wie die Aufgenommene Meinung Mathematik darin Bringt, Zu sein (im folgenden, WMCF) ist ein Buch von George Lakoff, einem kognitiven Linguisten, und Rafael E. Núñez, einem Psychologen. Veröffentlicht 2000 sucht WMCF zum gefundenen eine Erkenntnistheorie der Mathematik, eine Theorie der aufgenommenen auf der Begriffsmetapher gestützten Mathematik.

WMCF Definition der Mathematik

Mathematik setzt diesen Teil des menschlichen Begriffssystems zusammen, das folgendermaßen speziell ist:

: "Es ist genau, konsequent, über die Zeit und menschlichen Gemeinschaften, symbolizable stabil, generalizable berechenbar, allgemein verfügbar, innerhalb von jedem seiner Gegenstände konsequent, und als ein allgemeines Werkzeug für die Beschreibung, Erklärung und Vorhersage in einer riesengroßen Zahl von täglichen Tätigkeiten, [im Intervall von] Sportarten, zu Gebäude, Geschäft, Technologie und Wissenschaft wirksam." (WMCF, Seiten 50, 377)

Nikolay Lobachevsky hat gesagt, dass "Es keinen Zweig der Mathematik, jedoch abstrakt gibt, der auf Phänomene der echten Welt nicht eines Tages angewandt werden darf." Ein allgemeiner Typ des verschmelzenden Begriffsprozesses würde scheinen gelten für den kompletten mathematischen Umzug. Pythagoras hat gesagt, dass "Alles Zahl ist."

Menschliches Erkennen und Mathematik

Lakoff und der bestätigte Zweck von Núñez sind zu beginnen, die Fundamente für ein aufrichtig wissenschaftliches Verstehen der Mathematik, des eines niedergelegten in für das ganze menschliche Erkennen üblichen Prozessen zu legen. Sie finden dass vier verschiedene, aber zusammenhängende Prozesse metaphorisch Struktur grundlegende Arithmetik: Gegenstand-Sammlung, Gegenstand-Aufbau, mit einem Messstock, und ein Pfad vorankommend.

WMCF baut auf frühere Bücher von Lakoff (1987) und Lakoff und Johnson (1980, 1999), die solche Konzepte der Metapher und Bilddiagramme von der Erkenntnistheorie der zweiten Generation analysieren. Einige der Reichtümer dieser früheren Bücher, wie die interessanten technischen Ideen in Lakoff (1987), fehlen von WMCF.

Lakoff und Núñez meinen, dass sich Mathematik aus dem menschlichen kognitiven Apparat ergibt und deshalb in kognitiven Begriffen verstanden werden muss. WMCF Verfechter (und schließt einige Beispiele ein), eine kognitive Idee-Analyse der Mathematik, die mathematische Ideen in Bezug auf die menschlichen Erfahrungen, Metaphern, Generalisationen und anderen kognitiven Mechanismen analysiert, die sie verursachen. Eine mathematische Standardausbildung entwickelt solche Idee-Analyse-Techniken nicht, weil sie Rücksichten von A) nicht verfolgt, welche Strukturen der Meinung ihr erlauben, Mathematik oder B) die Philosophie der Mathematik zu tun.

Lakoff und Núñez fangen an, indem sie die psychologische Literatur nachprüfen, beschließend, dass Menschen scheinen, eine angeborene Fähigkeit, genannt subitizing zu haben, zu zählen, tragen Sie bei, und machen Sie bis zu ungefähr 4 oder 5 Abstriche. Sie dokumentieren diesen Beschluss, indem sie die Literatur, veröffentlicht in letzten Jahrzehnten nachprüfen, Experimente mit Säuglingsthemen beschreibend. Zum Beispiel werden Säuglings schnell aufgeregt oder neugierig, wenn geboten, "unmögliche" Situationen, wie, drei Spielsachen zu haben, erscheinen, als nur zwei am Anfang da gewesen sind.

Die Autoren behaupten, dass Mathematik weit außer diesem sehr elementaren Niveau wegen einer Vielzahl von metaphorischen Aufbauten geht. Zum Beispiel behaupten sie, dass die Pythagoreische Position, dass alles Zahl und die verbundene Krise des Vertrauens ist, das mit der Entdeckung der Unvernunft der Quadratwurzel zwei geschehen ist, allein aus einer metaphorischen Beziehung zwischen der Länge der Diagonale eines Quadrats und den möglichen Zahlen von Gegenständen entsteht.

Viele WMCF befassen sich mit den wichtigen Konzepten der Unendlichkeit und von Grenze-Prozessen, sich bemühend zu erklären, wie begrenzte Menschen, die in einer begrenzten Welt leben, das wirkliche Unendliche schließlich empfangen konnten. So sind viele WMCF, tatsächlich, eine Studie der erkenntnistheoretischen Fundamente der Rechnung. Lakoff und Núñez beschließen, dass, während das potenzielle Unendliche nicht metaphorisch ist, das wirkliche Unendliche ist. Außerdem halten sie alle Manifestationen der wirklichen Unendlichkeit, um Beispiele dessen zu sein, was sie die "Grundlegende Metapher der Unendlichkeit", wie vertreten, durch die ständig steigende Folge 1, 2, 3 nennen...

WMCF weist nachdrücklich die Philosophie von Platonistic der Mathematik zurück. Sie betonen, dass alles wir wissen und jemals wissen können, ist menschliche Mathematik, die Mathematik, die aus dem menschlichen Intellekt entsteht. Die Frage dessen, ob es eine "transzendente" des Menschen unabhängige Mathematik gibt, hat gedacht ist eine sinnlose Frage. Das ist dem Fragen ähnlich, wenn Farben vom Mensch-Gedanken transzendent sind - ändern Farben nur Wellenlängen des Lichtes, es ist unsere Interpretation von physischen Stimuli, die sie Farben machen.

WMCF (p. 81) ebenfalls kritisiert die Betonungsmathematiker legen auf dem Konzept des Verschlusses. Lakoff und Núñez behaupten, dass die Erwartung des Verschlusses ein Kunsterzeugnis der Fähigkeit des Menschenverstandes ist, im Wesentlichen verschiedene Konzepte über die Metapher zu verbinden.

WMCF beschäftigt sich hauptsächlich mit dem Vorschlagen und Herstellen einer alternativen Ansicht von der Mathematik, einem Fundament des Feldes in den Realien der Menschenkunde und Erfahrung. Es ist nicht eine Arbeit der technischen Mathematik oder Philosophie. Lakoff und Núñez sind nicht erst, um zu behaupten, dass herkömmliche Annäherungen an die Philosophie der Mathematik rissig gemacht werden. Zum Beispiel scheinen sie nicht, dass alles was vertraut mit dem Inhalt von Davis und Hersh (1981), wenn auch WMCF warm die Unterstützung von Reuben Hersh anerkennt.

Lakoff und Núñez zitieren Saunders MacLane (der Erfinder, mit Samuel Eilenberg, von der Kategorie-Theorie) zur Unterstutzung ihrer Position. MacLane (1986), eine Übersicht der für Philosophen beabsichtigten Mathematik, schlägt vor, dass mathematische Konzepte in gewöhnlichen menschlichen Tätigkeiten, größtenteils Wechselwirkungen mit der physischen Welt schließlich niedergelegt werden. Sieh Von der Handlung bis Mathematik pro die Mac Lane.

Pädagogen haben ein Interesse daran gehabt, was WMCF darüber andeutet, wie Mathematik erfahren wird, und warum Studenten einige elementare Konzepte schwieriger finden als andere.

Beispiele von mathematischen Metaphern

Begriffsmetaphern, die in WMCF zusätzlich zur Grundlegenden Metapher der Unendlichkeit beschrieben sind, schließen ein:

• Arithmetik ist Bewegung entlang einem Pfad, Gegenstand-Sammlung/Aufbau;
• Änderung ist Bewegung;
• Sätze sind Behälter, Gegenstände;
• Kontinuität ist blocklückenlos;
• Mathematische Systeme haben eine "Essenz", nämlich ihre axiomatische algebraische Struktur;
• Funktionen sind Sätze von befohlenen Paaren, Kurven im Kartesianischen Flugzeug;
• Geometrische Zahlen sind Gegenstände im Raum;
• Logische Unabhängigkeit ist geometrischer orthogonality;
• Zahlen sind Sätze, Gegenstand-Sammlungen, physische Segmente, Punkte auf einer Linie;
• Wiederauftreten ist kreisförmig.

Das mathematische Denken verlangt Variablen, die sich über ein Weltall des Gesprächs erstrecken, so dass wir über Allgemeinheiten aber nicht bloß über Einzelheiten vernünftig urteilen können. WMCF behauptet, dass sich das Denken mit solchen Variablen implizit darauf verlässt, was es den Grundsätzlichen Metonymy der Algebra nennt.

Beispiel der metaphorischen Zweideutigkeit

WMCF (p. 151) schließt das folgende Beispiel dessen ein, was die Autoren "metaphorische Zweideutigkeit nennen." Nehmen Sie den Satz. Dann rufen Sie zwei Bit der Standardfachsprache von der elementaren Mengenlehre zurück:

1. Der rekursive Aufbau der natürlichen Ordnungszahlen, wodurch 0, und n+1 ist, ist n {n}.
2. Das befohlene Paar (a, b), definiert als.

Durch (1) ist A der Satz {1,2}. Aber (1) und (2) sagen zusammen, dass A auch das befohlene Paar (0,1) ist. Beide Behauptungen können nicht richtig sein; das befohlene Paar (0,1) und das nicht eingeordnete Paar {1,2} sind völlig verschiedene Konzepte. Lakoff und Johnson (1999) Begriff diese Situation "metaphorisch zweideutig." Dieses einfache Beispiel zieht irgendwelche Fundamente von Platonistic für die Mathematik in Zweifel.

Während (1) und (2) oben besonders innerhalb der als Zermelo-Fraenkel axiomatization bekannten Einigkeitsmengenlehre zugegebenermaßen kanonisch sind, lässt WMCF darauf nicht sie sind nur eine von mehreren Definitionen, die seit dem Dämmern der Mengenlehre vorgeschlagen worden sind. Zum Beispiel definieren Frege, Principia Mathematica und Neue Fundamente (ein Körper der axiomatischen Mengenlehre, die von Quine 1937 begonnen ist), Kardinäle und Ordnungszahlen als Gleichwertigkeitsklassen unter den Beziehungen von equinumerosity und Ähnlichkeit, so dass dieses Rätsel nicht entsteht. In der Quinian Mengenlehre ist A einfach ein Beispiel der Nummer 2. Aus technischen Gründen, das befohlene Paar als in (2) definierend, ist oben in der Mengenlehre von Quinian ungeschickt. Zwei Lösungen sind vorgeschlagen worden:

• Eine verschiedene mit dem Satz theoretische Definition des befohlenen Paares, das mehr kompliziert ist als das übliche;
• Nehmende befohlene Paare als primitiv.

Kritik

In Mengenlehren wie Zermelo-Fraenkel kann man tatsächlich {1,2} = (0,1) haben, weil das zwei verschiedene Symbole sind, die denselben Gegenstand anzeigen. Der Anspruch, dass es eine Anomalie gibt, weil das "völlig verschiedene Konzepte" sind, ist einerseits nicht eine klare wissenschaftliche Erklärung, und andererseits, ist gleichwertig mit solchen Behauptungen wie: ""Die positive echte Lösung" und" "kann nicht gleich sein, weil sie völlig verschiedene Konzepte sind.".

Die offenbare Anomalie stammt von der Tatsache, dass Lakoff und Núñez mathematische Gegenstände mit ihren verschiedenen besonderen Verwirklichungen identifizieren. Es gibt mehrere gleichwertige Definitionen des befohlenen Paares, und die meisten Mathematiker erkennen das befohlene Paar mit gerade einer dieser Definitionen nicht (da das eine willkürliche und künstliche Wahl sein würde), aber die Definitionen als gleichwertige Modelle oder Verwirklichungen desselben zu Grunde liegenden Gegenstands ansehen. Die Existenz von mehreren verschiedenen, aber gleichwertigen Aufbauten von bestimmten mathematischen Gegenständen unterstützt die Platonistic-Ansicht, dass die mathematischen Gegenstände außer ihrem verschiedenen linguistical, symbolischen oder begrifflichen Darstellungen bestehen.

Als ein Beispiel würden viele Mathematiker eine Definition des befohlenen Paares in Bezug auf die Kategorie-Theorie bevorzugen, wo der fragliche Gegenstand in Bezug auf ein charakteristisches universales Eigentum definiert und dann gezeigt wird, bis zum einzigartigen Isomorphismus einzigartig zu sein (das wurde kürzlich in einem Artikel über mathematischen platonism von David Mumford erwähnt).

Die obengenannte Diskussion wird gemeint, um zu erklären, dass die natürlichste und fruchtbare Annäherung in der Mathematik einen mathematischen Gegenstand als habend potenziell mehrere verschiedene, aber gleichwertige Verwirklichungen ansehen soll. Andererseits wird der Gegenstand mit gerade einer dieser Verwirklichungen nicht identifiziert. Das weist darauf hin, dass die intuitionistic Idee, dass mathematische Gegenstände nur als spezifische geistige Aufbauten oder die Idee von Lakoff und Núñez bestehen, dass mathematische Gegenstände nur als besondere Beispiele von Konzepten/Metaphern in unserem aufgenommenen Verstand bestehen, eine unzulängliche philosophische Basis ist, um für die Erfahrung und De-Facto-Forschungsmethoden verantwortlich zu sein, Mathematiker zu arbeiten. Vielleicht ist das ein Grund, warum diese Ideen mit dem verhältnismäßig kleinen Interesse von der mathematischen Gemeinschaft entsprochen worden sind.

Die romanische von der Mathematik

"Romanisch der Mathematik" ist der fröhliche Begriff von WMCF für einen beständigen philosophischen Gesichtspunkt über die Mathematik, die die Autoren beschreiben, dann als ein intellektuelles Mythos abweisen:

• Mathematik ist transzendent, nämlich sie besteht unabhängig von Menschen, und strukturiert unser wirkliches physisches Weltall und jedes mögliche Weltall. Mathematik ist die Sprache der Natur, und ist die primäre Begriffsstruktur, die wir genau wie außerirdische Ausländer, wenn irgendwelcher solcher haben würden dort sein.
• Mathematischer Beweis ist das Tor zu einem Bereich der transzendenten Wahrheit.
• Das Denken ist Logik, und Logik ist im Wesentlichen mathematisch. Folglich Mathematik-Strukturen das ganze mögliche Denken.
• Weil Mathematik unabhängig von Menschen besteht, und das Denken im Wesentlichen mathematisch ist, ist Grund selbst körperlos. Deshalb ist künstliche Intelligenz mindestens im Prinzip möglich.

Es ist grossenteils eine geöffnete Frage, ob sich WMCF schließlich erweisen wird, der Anfang einer neuen Schule in der Philosophie der Mathematik zu sein. Folglich kann der Hauptwert von WMCF bis jetzt ein kritischer sein: seine Kritik von Platonism in der Mathematik und die romanische von der Mathematik.

Kritische Antwort

Viele Arbeitsmathematiker widerstehen der Annäherung und den Beschlüssen von Lakoff und Núñez. Rezensionen von Mathematikern von WMCF in Fachzeitschriften, während häufig respektvoll, seines Fokus auf Begriffsstrategien und Metaphern als Pfade, um Mathematik zu verstehen, haben an einigen von den philosophischen Argumenten des WMCF Anstoß gegeben mit der Begründung, dass mathematische Behauptungen anhaltende 'objektive' Bedeutungen haben. Zum Beispiel bedeutet der letzte Lehrsatz von Fermat genau, was es bedeutet hat, als Fermat es am Anfang 1664 vorgeschlagen hat. Andere Rezensenten haben darauf hingewiesen, dass vielfache Begriffsstrategien im Zusammenhang mit demselben mathematisch definierten Begriff häufig von derselben Person verwendet werden können (ein Punkt, der mit der Ansicht vereinbar ist, dass wir alltäglich 'dasselbe' Konzept mit verschiedenen Metaphern verstehen). Die Metapher und die Begriffsstrategie sind nicht dasselbe als die formelle Definition, die Mathematiker verwenden. Jedoch weist WMCF darauf hin, dass formelle Definitionen mit Wörtern und Symbolen gebaut werden, die Bedeutung nur in Bezug auf die menschliche Erfahrung haben.

Kritiken von WMCF schließen das humorvolle ein:

: "Es ist für mich schwierig, eine Metapher für eine reelle Zahl zu empfangen, die zu einer komplizierten Macht erhoben ist, aber wenn es ein gibt, würde ich sicher gern es zu sehen." - Joseph Auslander

und physisch informiert:

: "Aber ihre Analyse reist ab mindestens einige Fragen haben ungenügend geantwortet. Erstens einmal ignorieren die Autoren die Tatsache, dass Verstand nicht nur Natur beobachtet, sondern auch ein Teil der Natur ist. Vielleicht nimmt die Mathematik, die Verstand erfindet, die Form an, die sie tut, weil Mathematik eine Hand im Formen des Verstands an erster Stelle (durch die Operation von natürlichen Gesetzen im Begrenzen der Evolution des Lebens) hatte. Außerdem ist es ein Ding, Gleichungen an Aspekte der Wirklichkeit zu passen, die bereits bekannt sind. Es ist etwas anderes für diese Mathematik, um von nie vorher verdächtigten Phänomenen zu erzählen. Als die Gleichungen von Paul Dirac, die Elektronen beschreiben, mehr als eine Lösung erzeugt haben, hat er vermutet, dass Natur andere Partikeln besitzen muss, die jetzt als Antimaterie bekannt sind. Aber Wissenschaftler haben solche Partikeln nicht entdeckt, bis die Mathematik von Dirac ihm gesagt hat, dass sie bestehen müssen. Wenn Mathematik eine menschliche Erfindung ist, scheint Natur zu wissen, was dabei war, erfunden zu werden."

Mathematiker haben sich auch beklagt, dass Lakoff und Núñez einige grundlegende mathematische Begriffe missverstanden haben. Die Autoren antworten, dass die Fehler, die in früher printings WMCF gefunden sind, jetzt korrigiert werden.

Lakoff hat seinen Ruf gemacht, indem er Linguistik mit der Erkenntnistheorie und der Analyse der Metapher verbunden hat. Núñez, der in der Schweiz erzogen ist, ist ein Produkt der Schule von Jean Piaget der kognitiven Psychologie als eine Basis für die Logik und Mathematik. Núñez hat viel über die Fundamente der echten Analyse, der reellen Zahlen und komplexen Zahlen und der Grundlegenden Metapher der Unendlichkeit gedacht. Diese Themen, jedoch, würdig obwohl sie sein, bilden einen Teil des Oberbaus der Mathematik. Erkenntnistheorie sollte mehr Interesse an den Fundamenten der Mathematik haben. Und tatsächlich bezahlen die Autoren wirklich ein schönes Bit der Aufmerksamkeit bald auf die Logik, Algebra von Boolean und die Zermelo-Fraenkel Axiome, sogar ein bisschen über die Gruppentheorie verweilend. Aber kein Autor wird in der Logik gut erzogen (es gibt keinen Index-Zugang für "quantifier" oder "Quantifizierung"), die Philosophie der Mengenlehre, der axiomatischen Methode, metamathematics, und Mustertheorie. Noch WMCF sagt genug über die Abstammung von Zahl-Systemen (die Axiome von Peano gehen unerwähnt), abstrakte Algebra, Gleichwertigkeit, und bestellen Sie Beziehungen, mereology, Topologie und Geometrie.

Lakoff und Núñez neigen dazu, die negativen Meinungsmathematiker zu entlassen, haben über WMCF ausgedrückt, weil ihre Kritiker die Einblicke der Erkenntnistheorie nicht schätzen. Lakoff und Núñez behaupten, dass ihr Argument nur mit den Entdeckungen von letzten Jahrzehnten über die Weise verstanden werden kann, wie Mensch-Verstand Sprache und Bedeutung bearbeitet. Sie behaupten, dass irgendwelche Argumente oder Kritiken, die in diesem Verstehen nicht niedergelegt werden, den Inhalt des Buches nicht richten können.

Es ist darauf hingewiesen worden, dass es überhaupt nicht klar ist, dass WMCF feststellt, dass der Anspruch "intelligentes ausländisches Leben mathematische Fähigkeit haben würde", ist ein Mythos. Um das zu tun, wäre es erforderlich zu zeigen, dass Intelligenz und mathematische Fähigkeit trennbar sind, und das nicht getan worden ist. Auf der Erde scheinen Intelligenz und mathematische Fähigkeit, Hand in der Hand in allen Lebensformen, wie hingewiesen, durch Keith Devlin unter anderen zu gehen. Die Autoren von WMCF haben nicht erklärt, wie diese Situation würde (oder sogar gekonnt hat), irgendwo anders verschieden sein.

Lakoff und Núñez scheinen auch, das Ausmaß nicht zu schätzen, in dem intuitionists und constructivists ihren Angriff auf die romanische von (der Platonischen) Mathematik vorausgesehen haben. Brouwer, der Gründer des intuitionist/constructivist Gesichtspunkts, hat geschrieben, dass "Mathematik ein freier Aufbau des Menschenverstandes ist." Folglich ist mindestens eine Person, die vor Lakoff und Núñez schreibt, geschlossen geboren gewesen, dass Mathematik erschienen ist, um menschlichen Zwecken zu dienen, und keine Existenz abgesondert von dieser Tatsache hat.

Das Summieren

WMCF (Seiten 378-79) hört mit einigen Stichpunkten, mehrere auf, die folgen. Mathematik entsteht aus unseren Körpern und Verstand, unseren täglichen Erfahrungen und den Sorgen von menschlichen Gesellschaften und Kulturen. Es ist:

• Das Ergebnis von normalen erwachsenen kognitiven Kapazitäten, insbesondere die Kapazität für die Begriffsmetapher, und als solcher ist ein universaler Mensch. Die Fähigkeit, Begriffsmetaphern zu bauen, basiert neurologisch, und ermöglicht Menschen, über ein Gebiet mit der Sprache und den Konzepten eines anderen Gebiets vernünftig zu urteilen. Begriffsmetapher ist, sowohl was Mathematik ermöglicht hat, aus täglichen Tätigkeiten zu wachsen, als auch was Mathematik ermöglicht, um einen dauernden Prozess der Analogie und Abstraktion zu wachsen;
• Symbolisch, dadurch enorm erleichternde genaue Berechnung;
• Nicht transzendent, aber das Ergebnis der menschlichen Evolution und Kultur, zu der es seine Wirksamkeit schuldet. Die Verbindung zwischen mathematischen Ideen und unsere Erfahrung der Welt kommen innerhalb von Menschenverständen vor;
• Ein System von menschlichen Konzepten, die außergewöhnlichen Gebrauch der gewöhnlichen Werkzeuge des menschlichen Erkennens machen;
• Eine unbegrenzte Entwicklung von Menschen, die verantwortlich dafür bleiben, es aufrechtzuerhalten und zu erweitern;
• Eines der größten Produkte der gesammelten menschlichen Einbildungskraft und eines großartigen Beispiels der Schönheit, des Reichtums, der Kompliziertheit, der Ungleichheit und der Wichtigkeit von menschlichen Ideen.

Die kognitive Annäherung an formelle Systeme, wie beschrieben und durchgeführt in WMCF, braucht auf die Mathematik nicht beschränkt zu werden, aber sollte sich auch fruchtbar, wenn angewandt, auf die formale Logik, und auf die formelle Philosophie wie die Theorie von Edward Zalta von abstrakten Gegenständen erweisen. Lakoff und Johnson (1999) verwenden fruchtbar die kognitive Annäherung, um ziemlich viel von der Philosophie der Meinung, Erkenntnistheorie, Metaphysik und der Geschichte von Ideen nochmals zu überdenken.

Kommentare

Siehe auch

• Abstrakter Gegenstand
• Erkenntnistheorie
• Erkenntnistheorie der Mathematik
• Philosophie der Mathematik
• Aufgenommene Philosophie
• Von der Handlung bis Mathematik pro die Mac Lane
• Metapher
• Begriffsmetapher
• Die unvernünftige Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften
• Fundamente der Mathematik
• Davis, Philip J. und Reuben Hersh, 1999 (1981). Die Mathematische Erfahrung. Seemann-Bücher. Zuerst veröffentlicht von Houghton Mifflin.
• George Lakoff, 1987. Frauen, Feuer und Gefährliche Dinge. Univ. der Chikagoer Presse.
• ------ und Mark Johnson, 1999. Philosophie im Fleisch. Grundlegende Bücher.
• ------ und Rafael Núñez, 2000, Wo Mathematik Herkommt. Grundlegende Bücher. Internationale Standardbuchnummer 0-465-03770-4
• John Randolph Lucas, 2000. Die Begriffswurzeln der Mathematik. Routledge.
• Saunders Mac Lane, 1986. Mathematik: Form und Funktion. Springer Verlag.

Außenverbindungen

• WMCF Website.
• Rezensionen von WMCF.
• Joseph Auslander im amerikanischen Wissenschaftler;
• Gold von Bonnie in MAA.
• Die Antwort von Lakoff auf die MAA-Rezension von Gold.