In der Physik ist Theorie von Kaluza-Klein (KK Theorie) ein Modell, das sich bemüht, die zwei grundsätzlichen Kräfte der Schwerkraft und des Elektromagnetismus zu vereinigen. Die Theorie wurde zuerst 1921 veröffentlicht. Es wurde vom Mathematiker Theodor Kaluza vorgeschlagen, der allgemeine Relativität zu einer fünfdimensionalen Raum-Zeit erweitert hat. Die resultierenden Gleichungen können in weitere Sätze von Gleichungen getrennt werden, von denen eine zu Feldgleichungen von Einstein, ein anderer Satz gleichwertig ist, der zu den Gleichungen von Maxwell für das elektromagnetische Feld und den Endteil gleichwertig ist, hat ein Extraskalarfeld jetzt den "radion" genannt.

Übersicht

Ein Aufspalten der fünfdimensionalen Raum-Zeit in die Gleichungen von Einstein und Gleichungen von Maxwell in vier Dimensionen wurde zuerst von Gunnar Nordström 1914 im Zusammenhang seiner Theorie des Ernstes entdeckt, aber nachher vergessen. Kaluza hat seine Abstammung 1921 als ein Versuch veröffentlicht, Elektromagnetismus mit der allgemeinen Relativität von Einstein zu vereinigen.

1926 hat Oskar Klein vorgeschlagen, dass die vierte Raumdimension in einem Kreis des sehr kleinen Radius zusammengerollt wird, so dass eine Partikel, die eine kurze Entfernung entlang dieser Achse bewegt, dazu zurückkehren würde, wo es begonnen hat. Wie man sagt, ist die Entfernung eine Partikel kann vor dem Erreichen seiner anfänglichen Position reisen, die Größe der Dimension. Diese Extradimension ist ein Kompaktsatz, und das Phänomen, eine Raum-Zeit mit Kompaktdimensionen zu haben, wird compactification genannt.

In der modernen Geometrie, wie man verstehen kann, ist die fünfte Extradimension die Kreisgruppe U (1), weil Elektromagnetismus im Wesentlichen als eine Maß-Theorie über ein Faser-Bündel, das Kreisbündel, mit der Maß-Gruppe U (1) formuliert werden kann. In der Theorie von Kaluza-Klein schlägt diese Gruppe vor, dass Maß-Symmetrie die Symmetrie von kreisförmigen Kompaktdimensionen ist. Sobald diese geometrische Interpretation verstanden wird, ist es relativ aufrichtig, um U (1) durch eine allgemeine Lüge-Gruppe zu ersetzen. Solche Generalisationen werden häufig Yang-Mühle-Theorien genannt. Wenn ein Unterschied gemacht wird, dann ist es, dass Yang-Mühle-Theorien auf einer flachen Raum-Zeit vorkommen, wohingegen Kaluza-Klein den allgemeineren Fall der gekrümmten Raum-Zeit behandelt. Der Grundraum der Theorie von Kaluza-Klein braucht nicht vierdimensionale Raum-Zeit zu sein; es kann irgendwelcher (pseudo-) Sammelleitung von Riemannian, oder sogar eine supersymmetrische Sammelleitung oder orbifold oder sogar ein Nichtersatzraum sein.

Als eine Annäherung an die Vereinigung der Kräfte ist es aufrichtig, um die Theorie von Kaluza-Klein in einem Versuch anzuwenden, Ernst mit dem starken und den Electroweak-Kräften durch das Verwenden der Symmetrie-Gruppe des Standardmodells, SU (3) × SU (2) × U (1) zu vereinigen. Jedoch zappelt ein Versuch, diesen interessanten geometrischen Aufbau in ein ehrliches Modell der Wirklichkeit umzuwandeln, auf mehreren Problemen einschließlich der Tatsache, dass der fermions auf eine künstliche Weise (in nonsupersymmetric Modellen) eingeführt werden muss. Dennoch bleibt KK ein wichtiger Prüfstein in der theoretischen Physik und wird häufig in hoch entwickelteren Theorien eingebettet. Es wird in seinem eigenen Recht als ein Gegenstand vom geometrischen Interesse an der K-Theorie studiert.

Sogar ohne ein völlig befriedigendes Fachwerk der theoretischen Physik, die Idee, zusätzlich, compactified zu erforschen, sind Dimensionen von beträchtlichem Interesse in den experimentellen Physik- und Astrophysik-Gemeinschaften. Eine Vielfalt von Vorhersagen, mit echten experimentellen Folgen, kann gemacht werden (im Fall vom zusätzlichen großen dimensioniert Modelle/verzieht). Zum Beispiel, auf dem einfachsten von Grundsätzen, könnte man annehmen, stehende Wellen in der zusätzlichen compactified Dimension (En) zu haben. Wenn eine Raumextradimension des Radius R ist, würde die invariant Masse solcher stehenden Wellen M = nh/Rc mit n eine ganze Zahl, h sein die Konstante und c von Planck die Geschwindigkeit des Lichtes zu sein. Dieser Satz von möglichen Massenwerten wird häufig den Turm von Kaluza-Klein genannt. Ähnlich in der Thermalquant-Feldtheorie führt ein compactification der euklidischen Zeitdimension zu den Frequenzen von Matsubara und so zu einem discretized Thermalenergiespektrum.

Beispiele von experimentellen Verfolgungen schließen Arbeit von der CDF Kollaboration ein, die Partikel collider neu dargelegt hat, Daten für die Unterschrift von Effekten, die mit dem zusätzlichen großen vereinigt sind, dimensioniert Modelle/verzieht.

Brandenberger und Vafa haben nachgesonnen, dass im frühen Weltall kosmische Inflation drei der Raumdimensionen veranlasst, sich zur kosmologischen Größe auszubreiten, während die restlichen Dimensionen des Raums mikroskopisch geblieben sind.

Raummaligsachetheorie

Eine besondere Variante der Theorie von Kaluza-Klein ist Raummaligsachetheorie oder veranlasste Sache-Theorie, die hauptsächlich von Paul Wesson und anderen Mitgliedern des so genannten RaummaligSachekonsortiums veröffentlicht ist. In dieser Version der Theorie wird es dass Lösungen der Gleichung bemerkt

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mit R die fünfdimensionale Krümmung von Ricci, kann wiederausgedrückt werden, so dass in vier Dimensionen diese Lösungen die Gleichungen von Einstein befriedigen

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mit der genauen Form des T-Folgens aus der Ricci-flachen Bedingung auf dem fünfdimensionalen Raum. Seit dem Energieschwung-Tensor, wie man normalerweise versteht, ist T wegen Konzentrationen der Sache im vierdimensionalen Raum, das obengenannte Ergebnis wird interpretiert, sagend dass vierdimensionale Sache von der Geometrie im fünfdimensionalen Raum veranlasst wird.

Insbesondere wie man zeigen kann, enthalten die soliton Lösungen von R = 0 den Spaziergänger von Friedmann Lemaitre Robertson, der in beiden metrisch ist, strahlenbeherrscht (frühes Weltall) und Sache-beherrscht (später Weltall) Formen. Wie man zeigen kann, sind die allgemeinen Gleichungen mit klassischen Tests der allgemeinen Relativität genug im Einklang stehend, um auf physischen Grundsätzen annehmbar zu sein, während sie noch beträchtliche Freiheit verlassen, auch interessante kosmologische Modelle zur Verfügung zu stellen.

Geometrische Interpretation

Die Theorie von Kaluza-Klein schlägt, weil sie eine besonders elegante Präsentation in Bezug auf die Geometrie hat. Im gewissen Sinne schaut es gerade wie der gewöhnliche Ernst im freien Raum, außer dass es in fünf Dimensionen statt vier ausgedrückt wird.

Die Gleichungen von Einstein

Die Gleichungen, gewöhnlichen Ernst im freien Raum regelnd, können bei einer Handlung, durch die Verwendung des abweichenden Grundsatzes auf eine bestimmte Handlung erhalten werden. Lassen Sie M (pseudo-) Sammelleitung von Riemannian sein, die als die Raum-Zeit der allgemeinen Relativität genommen werden kann. Wenn g das metrische auf dieser Sammelleitung ist, definiert man die Handlung S (g) als

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wo R (g) die Skalarkrümmung ist und vol (g) das Volumen-Element ist. Durch die Verwendung des abweichenden Grundsatzes auf die Handlung

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man erhält genau die Gleichungen von Einstein für den freien Raum:

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Hier ist R der Tensor von Ricci.

Die Gleichungen von Maxwell

Im Vergleich, wie man verstehen kann, sind die Gleichungen von Maxwell, die Elektromagnetismus beschreiben, die Gleichungen von Hodge eines Rektors U (1) - Bündel oder Kreis stopfen π: P  M mit der Faser U (1). D. h. das elektromagnetische Feld F ist eine Harmonische, die im Raum Ω (M) differentiable 2 Formen auf der mannigfaltigen M 2-Formen-ist. Ohne Anklagen und Ströme sind die Gleichungen von freien Feld Maxwell

:dF = 0 und d*F = 0.

wo * der Stern von Hodge ist.

Die Geometrie von Kaluza-Klein

Um die Theorie von Kaluza-Klein zu bauen, pickt man einen invariant metrischen auf dem Kreis S auf, der die Faser des U (1) - Bündel des Elektromagnetismus ist. In dieser Diskussion ist ein invariant metrischer einfach derjenige, der invariant unter Folgen des Kreises ist. Nehmen Sie an, dass das metrisch dem Kreis eine Gesamtlänge von Λ gibt. Man denkt dann Metrik auf dem Bündel P, die sowohl mit der Faser metrisch, als auch mit dem metrischen auf der zu Grunde liegenden mannigfaltigen M im Einklang stehend sind. Die Konsistenz-Bedingungen sind:

• Der Vorsprung zum vertikalen Subraum muss metrisch in der Faser über einen Punkt in der mannigfaltigen M übereinstimmen.
• Der Vorsprung zum horizontalen Subraum des Tangente-Raums am Punkt p  P muss zum metrischen g auf der M an π (p) isomorph sein.

Die Handlung von Kaluza-Klein für solch ein metrisches wird durch gegeben

:

Die Skalarkrümmung, die in Bestandteilen geschrieben ist, breitet sich dann zu aus

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wo π* das Hemmnis des Faser-Bündel-Vorsprungs π ist: P  M. Die Verbindung auf dem Faser-Bündel ist mit der elektromagnetischen Feldkraft als verbunden

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Dass dort immer besteht, ist solch eine Verbindung, sogar für Faser-Bündel der willkürlich komplizierten Topologie, ein Ergebnis von Homologie und spezifisch, K-Theorie. Den Lehrsatz von Fubini anwendend und auf der Faser integrierend, bekommt man

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Die Handlung in Bezug auf den Bestandteil A ändernd, gewinnt man die Gleichungen von Maxwell wieder. Den abweichenden Grundsatz auf den metrischen Grundg anwendend, bekommt man die Gleichungen von Einstein

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mit dem Betonungsenergie-Tensor, der durch wird gibt

:

- \frac {1} {4} G^ {ij} \vert F \vert^2 </Mathematik>,

manchmal genannt den Spannungstensor von Maxwell.

Die ursprüngliche Theorie identifiziert Λ mit der Faser metrischer g, und erlaubt Λ, sich von der Faser bis Faser zu ändern. In diesem Fall ist die Kopplung zwischen dem Ernst und dem elektromagnetischen Feld nicht unveränderlich, aber hat sein eigenes dynamisches Feld, den radion.

Kommentar und Generalisationen

Im obengenannten handelt die Größe der Schleife Λ als eine Kopplungskonstante zwischen dem Schwerefeld und dem elektromagnetischen Feld. Wenn die Grundsammelleitung vierdimensional ist, ist SammelleitungsP von Kaluza-Klein fünfdimensional. Die fünfte Dimension ist ein Kompaktraum, und wird die Kompaktdimension genannt. Die Technik, Kompaktdimensionen einzuführen, um eine hoch-dimensionale Sammelleitung zu erhalten, wird compactification genannt. Compactification erzeugt Gruppenhandlungen auf chiral fermions außer in sehr spezifischen Fällen nicht: Die Dimension des Gesamtraums muss 2 mod 8 sein, und der G-Index des Maschinenbedieners von Dirac des Kompaktraums muss Nichtnull sein.

Die obengenannte Entwicklung verallgemeinert auf eine mehr oder weniger aufrichtige Mode zu allgemeinen HauptG-Bündeln für einige willkürliche Lüge-Gruppe G Einnahme des Platzes von U (1). In solch einem Fall wird die Theorie häufig eine Yang-Mühle-Theorie genannt, und wird manchmal genommen, um synonymisch zu sein. Wenn die zu Grunde liegende Sammelleitung supersymmetrisch ist, ist die resultierende Theorie eine supersymmetrische Yang-Mühle-Theorie.

Empirische Tests

Bis jetzt sind keine experimentellen oder Beobachtungszeichen von Extradimensionen offiziell berichtet worden. Eine Analyse von Ergebnissen vom Großen Hadron Collider beschränkt im Dezember 2010 streng Theorien mit großen Extradimensionen.

Siehe auch

• Klassische Gravitationstheorien
• DGP Modell
• Modell von Randall-Sundrum
• Superernst
• Superschnur-Theorie
• Warum 10 Dimensionen?
• Quant-Ernst
• (Schließt Nachdrücke der obengenannten Artikel sowie diejenigen anderer wichtiger Papiere in Zusammenhang mit der Theorie von Kaluza-Klein ein.)

Weiterführende Literatur

• Kaku, Michio und Robert O'Keefe. Hyperraum: Eine Wissenschaftliche Odyssee Durch das Parallele Weltall, Zeitverziehen und die Zehnte Dimension. New York: Presse der Universität Oxford, 1994. Internationale Standardbuchnummer 0-19-286189-1
• Die CDF Kollaboration, Suche nach dem Extradimensionsverwenden Fehlende Energie an CDF, (2004) (Hat eine vereinfachte Präsentation der Suche für Extradimensionen am Collider Entdecker an Fermilab (CDF) Partikel-Physik-Möglichkeit gemacht.)
• John M. Pierre, SUPERSTRINGS! Extradimensionen, (2003).
• TeV erklettern Ernst, Spiegelweltall, und... Dinosaurier-Artikel von Acta Physica Polonica B durch Z.K. Silagadze.
• Papst von Chris, Vorträge auf der Theorie von Kaluza-Klein.