In der Mathematik, der Vermutung von Poincaré

ist ein Lehrsatz über die Charakterisierung des dreidimensionalen (3-Bereiche-) Bereichs, der der Hyperbereich ist, der den Einheitsball im vierdimensionalen Raum begrenzt. Die Vermutungsstaaten:

Eine gleichwertige Form der Vermutung schließt eine rauere Form der Gleichwertigkeit ein, als homeomorphism homotopy Gleichwertigkeit genannt hat: Wenn ein 3-Sammelleitungen-homotopy Entsprechung zum 3-Bereiche-ist, dann ist es notwendigerweise homeomorphic dazu.

Ursprünglich vermutet von Henri Poincaré betrifft der Lehrsatz einen Raum, der lokal wie gewöhnlicher dreidimensionaler Raum aussieht, aber verbunden, in der Größe begrenzt wird, und an jeder Grenze (ein geschlossener 3-Sammelleitungen-) Mangel hat. Die Vermutung von Poincaré behauptet, dass, wenn solch ein Raum das zusätzliche Eigentum hat, dass jede Schleife im Raum unaufhörlich zu einem Punkt dann zusammengezogen werden kann, es notwendigerweise ein dreidimensionaler Bereich ist. Ein analoges Ergebnis ist in höheren Dimensionen für einige Zeit bekannt gewesen.

Nach fast einem Jahrhundert der Anstrengung durch Mathematiker hat Grigori Perelman einen Beweis der Vermutung in drei Zeitungen bereitgestellt 2002 und 2003 auf arXiv präsentiert. Der Beweis hat dem Programm von Richard Hamilton gefolgt, um den Fluss von Ricci zu verwenden, um das Problem anzugreifen. Perelman hat eine Modifizierung des Standardflusses von Ricci, genannt Fluss von Ricci mit der Chirurgie eingeführt, um einzigartige Gebiete systematisch herauszuschneiden, wie sie sich auf eine kontrollierte Weise entwickeln. Mehrere Mannschaften von Mathematikern haben nachgeprüft, dass der Beweis von Perelman richtig ist.

Die Poincaré-Vermutung, bevor sie bewiesen wird, war eine der wichtigsten geöffneten Fragen in der Topologie. Es ist eines der sieben Millennium-Preis-Probleme, für die das Tonmathematik-Institut einen Preis von 1,000,000 $ für die erste richtige Lösung angeboten hat. Die Arbeit von Perelman hat Rezension überlebt und wurde 2006 bestätigt, dazu führend, dass er neben eine Feldmedaille angeboten wird, die er geneigt hat. Perelman wurde dem Millennium-Preis am 18. März 2010 zuerkannt. Am 1. Juli 2010 hat er den Preis umgekehrt sagend, dass er seinen Beitrag im Beweis glaubt, dass die Vermutung von Poincaré nicht größer war als dieser von Hamilton (wer zuerst vorgeschlagen hat, den Fluss von Ricci für die Lösung zu verwenden). Die Poincaré-Vermutung ist das einzige behobene Millennium-Problem.

Am 22. Dezember 2006 hat die Zeitschrift Wissenschaft den Beweis von Perelman der Vermutung von Poincaré als der wissenschaftliche "Durchbruch des Jahres beachtet" das erste Mal war das im Gebiet der Mathematik geschenkt worden.

Geschichte

Die Frage von Poincaré

Am Anfang des 20. Jahrhunderts arbeitete Henri Poincaré an den Fundamenten der Topologie — was später kombinatorische Topologie und dann algebraische Topologie genannt würde. Er hat sich besonders dafür interessiert, welche topologische Eigenschaften einen Bereich charakterisiert haben.

Poincaré hat 1900 behauptet, dass Homologie, ein Werkzeug, das er gestützt auf der vorherigen Arbeit von Enrico Betti ausgedacht hatte, genügend war, um zu erzählen, ob ein 3-Sammelleitungen-ein 3-Bereiche-war. Jedoch in einer 1904-Zeitung hat er ein Gegenbeispiel zu diesem Anspruch beschrieben, ein Raum hat jetzt den Homologie-Bereich von Poincaré genannt. Der Bereich von Poincaré war das erste Beispiel eines Homologie-Bereichs, eine Sammelleitung, die dieselbe Homologie wie ein Bereich hatte, dessen viele andere seitdem gebaut worden sind. Um festzustellen, dass der Bereich von Poincaré vom 3-Bereiche-verschieden war, hat Poincaré einen neuen topologischen invariant, die grundsätzliche Gruppe eingeführt und hat gezeigt, dass der Bereich von Poincaré eine grundsätzliche Gruppe des Auftrags 120 hatte, während der 3-Bereiche-eine triviale grundsätzliche Gruppe hatte. Auf diese Weise ist er im Stande gewesen zu beschließen, dass diese zwei Räume tatsächlich, verschieden waren.

In derselben Zeitung hat sich Poincaré gefragt, ob ein 3-Sammelleitungen-mit der Homologie eines 3-Bereiche- und auch trivialer grundsätzlicher Gruppe ein 3-Bereiche-sein musste. Die neue Bedingung von Poincaré — d. h., "kann triviale grundsätzliche Gruppe" — als "jede Schleife neu formuliert werden, kann zu einem Punkt zusammenschrumpfen gelassen werden."

Die ursprüngliche Phrasierung war wie folgt:

Poincaré hat nie erklärt, ob er geglaubt hat, dass diese zusätzliche Bedingung den 3-Bereiche-charakterisieren würde, aber dennoch die Behauptung, dass es tut, als die Vermutung von Poincaré bekannt ist. Hier ist die Standardform der Vermutung:

Versuchte Lösungen

Dieses Problem scheint, schlafend einige Zeit gelegen zu haben, bis J. H. C. Whitehead Interesse an der Vermutung wiederbelebt hat, als in den 1930er Jahren er zuerst einen Beweis gefordert hat, und ihn dann zurückgenommen hat. Dabei hat er einige interessante Beispiele einfach verbundener nichtkompakter 3 Sammelleitungen nicht homeomorphic zu R entdeckt, dessen Prototyp jetzt die Sammelleitung von Whitehead genannt wird.

In den 1950er Jahren und 1960er Jahren sollten andere Mathematiker Beweise behaupten, nur einen Fehler zu entdecken. Einflussreiche Mathematiker wie Bing, Haken, Moise und Papakyriakopoulos haben die Vermutung angegriffen. 1958 hat Bing eine schwache Version der Vermutung von Poincaré bewiesen: Wenn jede einfache geschlossene Kurve eines Kompakt-3-Sammelleitungen-in einem 3-Bälle-enthalten wird, dann ist die Sammelleitung homeomorphic zum 3-Bereiche-. Bing hat auch einige der Fallen im Versuchen beschrieben, die Vermutung von Poincaré zu beweisen.

Mit der Zeit hat die Vermutung den Ruf gewonnen, besonders heikel zu sein, um anzupacken. John Milnor hat kommentiert, dass manchmal die Fehler in falschen Beweisen "ziemlich fein und schwierig sein können zu entdecken." Die Arbeit an der Vermutung hat das Verstehen von 3 Sammelleitungen verbessert. Experten im Feld haben sich häufig dagegen gesträubt, Beweise bekannt zu geben und haben dazu geneigt, jede solche Ansage mit der Skepsis anzusehen. Die 1980er Jahre und die 1990er Jahre haben einige gut veröffentlichte trügerische Beweise bezeugt (die in der von Experten begutachteten Form nicht wirklich veröffentlicht wurden).

Eine Ausstellung von Versuchen, diese Vermutung zu beweisen, kann im nicht technischen Buchpreis von Poincaré von George Szpiro gefunden werden.

Dimensionen

Die Klassifikation von geschlossenen Oberflächen gibt eine bejahende Antwort auf die analoge Frage in zwei Dimensionen. Für Dimensionen, die größer sind als drei, kann man die Verallgemeinerte Poincaré-Vermutung aufstellen: Ist ein homotopy N-Bereich homeomorphic zum N-Bereich? Eine stärkere Annahme ist notwendig; in Dimensionen vier und höher gibt es einfach verbundene Sammelleitungen, die nicht homeomorphic zu einem N-Bereich sind.

Historisch, während die Vermutung in der Dimension drei plausibel geschienen ist, wie man dachte, war die verallgemeinerte Vermutung falsch. 1961 hat Stephen Smale Mathematiker erschüttert, indem er die Verallgemeinerte Poincaré-Vermutung für Dimensionen bewiesen hat, die größer sind als vier, und sein Techniken erweitert, um grundsätzlich h-cobordism Lehrsatz beweisen. 1982 hat Michael Freedman die Vermutung von Poincaré in der Dimension vier bewiesen. Die Arbeit von Freedman hat offen die Möglichkeit verlassen, dass es einen glatten Vier-Sammelleitungen-homeomorphic zum vier-Bereiche-gibt, der nicht diffeomorphic zum vier-Bereiche-ist. Diese so genannte glatte Vermutung von Poincaré, in der Dimension vier, bleibt offen und wird gedacht, sehr schwierig zu sein. Die exotischen Bereiche von Milnor zeigen, dass die glatte Vermutung von Poincaré in der Dimension sieben, zum Beispiel falsch ist.

Diese früheren Erfolge in höheren Dimensionen haben den Fall von drei Dimensionen in der Vorhölle verlassen. Die Poincaré-Vermutung war sowohl in der Dimension vier als auch in allen höheren Dimensionen aus wesentlich verschiedenen Gründen im Wesentlichen wahr. In der Dimension drei hatte die Vermutung einen unsicheren Ruf, bis die Geometrization-Vermutung es in ein Fachwerk gestellt hat, alle 3 Sammelleitungen regelnd. John Morgan hat geschrieben:

Das Programm von Hamilton und die Lösung von Perelman

Das Programm von Hamilton wurde in seiner 1982-Zeitung angefangen, in der er den Fluss von Ricci auf einer Sammelleitung eingeführt hat und gezeigt hat, wie man es verwendet, um einige spezielle Fälle der Vermutung von Poincaré zu beweisen. In den folgenden Jahren hat er diese Arbeit erweitert, aber war unfähig, die Vermutung zu beweisen. Die wirkliche Lösung wurde nicht gefunden, bis Grigori Perelman seine Papiere veröffentlicht hat.

Gegen Ende 2002 und 2003 hat Perelman drei Papiere auf dem arXiv angeschlagen. In diesen Zeitungen hat er einen Beweis der Vermutung von Poincaré und einer allgemeineren Vermutung, der Geometrization-Vermutung von Thurston skizziert, das Fluss-Programm von Ricci entworfen früher von Richard Hamilton vollendend.

Vom Mai bis Juli 2006 haben mehrere Gruppen Vorträge gehalten, die die Details des Beweises von Perelman der Vermutung von Poincaré wie folgt ausgefüllt haben:

• Bruce Kleiner und John W. Lott haben eine Zeitung auf dem arXiv im Mai 2006 angeschlagen, der die Details des Beweises von Perelman der Geometrization-Vermutung ausgefüllt hat.
• Huai-Pimmel Cao und Xi-Ping Zhu hat eine Zeitung im Problem im Juni 2006 der asiatischen Zeitschrift der Mathematik mit einer Ausstellung des ganzen Beweises von Poincaré und Geometrization-Vermutungen veröffentlicht. Sie haben am Anfang angedeutet, dass der Beweis ihr eigenes Zu-Stande-Bringen war, das auf der "Theorie von Hamilton-Perelman" gestützt ist, aber später die ursprüngliche Version ihres Papiers zurückgenommen hat, und eine revidierte Version angeschlagen hat, in der sie ihre Arbeit als die bescheidenere "Ausstellung von Beweis von Hamilton-Perelman" gekennzeichnet haben. Sie haben auch ein Erratum veröffentlicht, das bekannt gibt, dass sie vergessen hatten, richtig die vorherige Arbeit von Kleiner und 2003 veröffentlichtem Lott zu zitieren. In demselben Problem hat der AJM Herausgeberausschuss eine Entschuldigung dafür ausgegeben, was es "incautions" in der Zeitung von Cao-Zhu genannt hat.
• John Morgan und Bande Tian hat eine Zeitung auf dem arXiv im Juli 2006 angeschlagen, der einen ausführlichen Beweis gerade der Poincaré-Vermutung gegeben hat (der etwas leichter ist als die volle Geometrization-Vermutung) und haben das zu einem Buch ausgebreitet.

Alle drei Gruppen haben gefunden, dass die Lücken in den Zeitungen von Perelman gering waren und das Verwenden seiner eigenen Techniken ausgefüllt werden konnten.

Am 22. August 2006 hat der ICM Perelman die Feldmedaille für seine Arbeit an der Vermutung zuerkannt, aber Perelman hat die Medaille abgelehnt.

John Morgan hat am ICM auf der Vermutung von Poincaré am 24. August 2006 gesprochen, erklärend, dass "2003 Perelman die Poincaré-Vermutung gelöst hat."

Im Dezember 2006 hat die Zeitschrift Wissenschaft den Beweis der Vermutung von Poincaré als der Durchbruch des Jahres beachtet und hat es auf seinem Deckel gezeigt.

Ricci fließen mit der Chirurgie

Das Programm von Hamilton, für die Vermutung von Poincaré zu beweisen, schließt zuerst das Bringen von Riemannian ein, der auf dem nur verbundenen unbekannten metrisch ist, hat 3-Sammelleitungen-geschlossen. Die Idee ist zu versuchen, das metrisch zu verbessern; zum Beispiel, wenn das metrische genug verbessert werden kann, so dass es unveränderliche Krümmung hat, dann muss es der 3-Bereiche-sein. Das metrische wird mit den Strömungsgleichungen von Ricci verbessert;

:

wo g das metrische und R seine Krümmung von Ricci, ist

und man hofft, dass als die Zeit t zunimmt, wird die Sammelleitung leichter zu verstehen. Fluss von Ricci breitet den negativen Krümmungsteil der Sammelleitung aus und zieht den positiven Krümmungsteil zusammen.

In einigen Fällen ist Hamilton im Stande gewesen zu zeigen, dass das arbeitet; zum Beispiel, wenn die Sammelleitung positive Krümmung von Ricci überall hat, hat er gezeigt, dass die Sammelleitung in der endlichen Zeit unter dem Fluss von Ricci ohne irgendwelche anderen Eigenartigkeiten erlischt. (Mit anderen Worten bricht die Sammelleitung zu einem Punkt in der endlichen Zeit zusammen; es ist leicht, die Struktur kurz vor den mannigfaltigen Zusammenbrüchen zu beschreiben.) Das bezieht leicht die Vermutung von Poincaré im Fall von der positiven Krümmung von Ricci ein. Jedoch im Allgemeinen führen die Strömungsgleichungen von Ricci zu Eigenartigkeiten des metrischen nach einer endlichen Zeit. Perelman hat gezeigt, wie man vorbei an diesen Eigenartigkeiten weitermacht: Sehr grob schneidet er die Sammelleitung entlang den Eigenartigkeiten, die Sammelleitung in mehrere Stücke spaltend, und macht dann mit dem Fluss von Ricci auf jedem dieser Stücke weiter. Dieses Verfahren ist als Fluss von Ricci mit der Chirurgie bekannt.

Ein spezieller Fall der Lehrsätze von Perelman über den Fluss von Ricci mit der Chirurgie wird wie folgt gegeben.

Dieses Ergebnis bezieht die Vermutung von Poincaré ein, weil es leicht ist, es für die möglichen im Beschluss verzeichneten Sammelleitungen zu überprüfen.

Die Bedingung auf der grundsätzlichen Gruppe erweist sich, notwendig (und genügend zu sein), für das Erlöschen der endlichen Zeit, und schließt insbesondere den Fall der trivialen grundsätzlichen Gruppe ein. Es ist zum Ausspruch gleichwertig, dass die Hauptzergliederung der Sammelleitung keine acyclic Bestandteile hat und sich erweist, zur Bedingung gleichwertig zu sein, dass alle geometrischen Stücke der Sammelleitung Geometrie auf der zwei Geometrie von Thurston S×R und S stützen ließen. Indem er die Grenze der Sammelleitung für die große Zeit studiert hat, hat Perelman die Geometrization-Vermutung von Thurston für jede grundsätzliche Gruppe bewiesen: In großen Zeiten hat die Sammelleitung eine dick-dünne Zergliederung, deren dickes Stück eine Hyperbelstruktur hat, und dessen dünnes Stück eine Graph-Sammelleitung ist, aber diese Extrakomplikation ist nicht notwendig, um gerade die Vermutung von Poincaré zu beweisen.

Lösung

Im November 2002 hat russischer Mathematiker Grigori Perelman die erste von einer Reihe von eprints auf arXiv das Umreißen einer Lösung der Vermutung von Poincaré angeschlagen. Der Beweis von Perelman verwendet eine modifizierte Version eines von Richard Hamilton entwickelten Fluss-Programms von Ricci. Im August 2006 wurde Perelman zuerkannt, aber, die Feldmedaille für seinen Beweis geneigt. Am 18. März 2010 hat das Tonmathematik-Institut Perelman der Millennium-Preis von $ 1 Million als Anerkennung für seinen Beweis zuerkannt.

Perelman hat diesen Preis ebenso zurückgewiesen.

Perelman hat bewiesen, dass die Vermutung durch das Verformen der Sammelleitung mit etwas den Fluss von Ricci genannt hat (der sich ähnlich zur Hitzegleichung benimmt, die die Verbreitung der Hitze durch einen Gegenstand beschreibt). Der Ricci-Fluss deformiert gewöhnlich die Sammelleitung zu einer Rounder-Gestalt abgesehen von einigen Fällen, wo es die Sammelleitung abgesondert von sich dazu streckt, was als Eigenartigkeiten bekannt ist. Perelman und Hamilton hacken dann die Sammelleitung an den Eigenartigkeiten (ein Prozess genannt "Chirurgie") das Veranlassen die getrennten Stücke, sich in einem Ball ähnliche Gestalten zu formen. Hauptschritte im Beweis schließen Vertretung ein, wie sich Sammelleitungen benehmen, wenn sie durch den Fluss von Ricci deformiert werden, untersuchend, welche sich Eigenartigkeiten entwickeln, bestimmend, ob dieser Chirurgie-Prozess vollendet werden kann und feststellend, dass die Chirurgie ungeheuer oft nicht wiederholt zu werden braucht.

Der erste Schritt ist, die Sammelleitung mit dem Fluss von Ricci zu deformieren. Der Ricci-Fluss wurde von Richard Hamilton als eine Weise definiert, Sammelleitungen zu deformieren. Die Formel für den Fluss von Ricci ist eine Imitation der Hitzegleichung, die den Weg Hitzeflüsse in einem Festkörper beschreibt. Wie der Hitzefluss neigt Fluss von Ricci zum gleichförmigen Verhalten. Verschieden vom Hitzefluss konnte der Fluss von Ricci in Eigenartigkeiten geraten und aufhören zu fungieren. Eine Eigenartigkeit in einer Sammelleitung ist ein Platz, wo es nicht differentiable ist: wie eine Ecke oder eine Spitze oder ein Klemmen. Der Ricci-Fluss wurde nur für glatte Differentiable-Sammelleitungen definiert. Hamilton hat den Fluss von Ricci verwendet, um zu beweisen, dass einige Kompaktsammelleitungen diffeomorphic zu Bereichen waren und er gehofft hat, es anzuwenden, um die Poincaré-Vermutung zu beweisen. Er musste die Eigenartigkeiten verstehen.

Hamilton hat eine Liste von möglichen Eigenartigkeiten geschaffen, die sich formen konnten, aber er wurde besorgt, dass einige Eigenartigkeiten zu Schwierigkeiten führen könnten. Er hat die Sammelleitung an den Eigenartigkeiten und dem Teig in Kappen schneiden, und dann den Fluss von Ricci wieder führen wollen, so musste er die Eigenartigkeiten verstehen und zeigen, dass bestimmte Arten von Eigenartigkeiten nicht vorkommen. Perelman hat entdeckt, dass die Eigenartigkeiten alle sehr einfach waren: im Wesentlichen dreidimensionale aus Bereichen gemachte Zylinder entlang einer Linie ausgestreckt. Ein gewöhnlicher Zylinder wird durch die Einnahme von entlang einer Linie gestreckten Kreisen gemacht. Perelman hat dieses Verwenden bewiesen von etwas hat das "Reduzierte Volumen" genannt, das nah mit einem eigenvalue einer bestimmten elliptischen Gleichung verbunden ist.

Manchmal nimmt eine sonst komplizierte Operation zur Multiplikation durch einen Skalar (eine Zahl) ab. Solche Zahlen werden eigenvalues dieser Operation genannt. Eigenvalues sind nah mit Schwingungszahlen verbunden und werden im Analysieren eines berühmten Problems verwendet: Können Sie die Gestalt einer Trommel hören?. Im Wesentlichen ist ein eigenvalue einem Zeichen ähnlich, das durch die Sammelleitung wird spielt. Perelman hat bewiesen, dass dieses Zeichen steigt, weil die Sammelleitung durch den Fluss von Ricci deformiert wird. Das hat ihm geholfen, einige der lästigeren Eigenartigkeiten zu beseitigen, die Hamilton, besonders die Zigarre soliton Lösung betroffen hatten, die wie ein Ufer ausgesehen hat, das aus einer Sammelleitung mit nichts auf der anderen Seite steckt. Hauptsächlich hat Perelman gezeigt, dass alle Ufer, dass Form geschnitten und bedeckt werden kann und niemand steht auf einer Seite nur hervor.

Den Beweis vollendend, nimmt Perelman jedes kompakte, einfach verbundene, dreidimensionale Sammelleitung ohne Grenze und Anfänge, um den Fluss von Ricci zu führen. Das deformiert die Sammelleitung in runde Stücke mit Ufern, die zwischen ihnen laufen. Er schneidet die Ufer und setzt fort, die Sammelleitung bis schließlich zu deformieren, er wird mit einer Sammlung von runden dreidimensionalen Bereichen verlassen. Dann baut er die ursprüngliche Sammelleitung wieder auf, indem er die Bereiche zusammen mit dreidimensionalen Zylindern, morphs sie in eine runde Gestalt verbindet, und sieht, dass, trotz der ganzen anfänglichen Verwirrung, die Sammelleitung tatsächlich homeomorphic zu einem Bereich war. Dieser Prozess wird in der erfundenen Arbeit von Tina S. Chang beschrieben, die unten zitiert ist.

Eine unmittelbare Frage bestand darin wie kann man überzeugt sein, dass es nicht ungeheuer viele notwendige Kürzungen gibt? Sonst könnte der Ausschnitt für immer fortschreiten. Perelman hat bewiesen, dass das durch das Verwenden von minimalen Oberflächen auf der Sammelleitung nicht geschehen kann. Eine minimale Oberfläche ist im Wesentlichen ein Seife-Film. Hamilton hatte dass das Gebiet von gezeigt

eine minimale Oberfläche nimmt ab, weil die Sammelleitung Fluss von Ricci erlebt. Perelman hat nachgeprüft, was mit dem Gebiet der minimalen Oberfläche geschehen ist, als die Sammelleitung aufgeschnitten wurde. Er hat bewiesen, dass schließlich das Gebiet so klein ist, dass jede Kürzung nach dem Gebiet so klein ist, kann nur dreidimensionale Bereiche und nicht mehr komplizierte Stücke abhauen. Das wird als ein Kampf mit Hydra von Sormani im Buch von Szpiro beschrieben, das unten zitiert ist. Dieser letzte Teil des Beweises ist in der dritten und endgültigen Zeitung von Perelman auf dem Thema erschienen.

Weiterführende Literatur

• : Ausführlicher Beweis, die Papiere von Perelman ausbreitend.

Links

• Die Poincaré-Vermutung vom Tonmathematik-Institut beschrieben.
• Die Poincaré-Vermutung Kurze (video)-Sehübersicht der Poincaré-Vermutung, des Hintergrunds und der Lösung.
• Die Geometrie von 3 Sammelleitungen (Video) Ein öffentlicher Vortrag auf Poincaré und Geometrization-Vermutungen, die von C. McMullen an Harvard 2006 gegeben sind.
• Bruce Kleiner (Yale) und John W. Lott (Universität Michigans): "Zeichen & Kommentar zum Ricci von Perelman überfluten Papiere".
• Stephen Ornes, Wie ist Die Poincaré-Vermutung? Samen-Zeitschrift, am 25. August 2006.
• Das Gleiten von Yau in einem populären Gespräch auf der Vermutung von Poincaré verwendet.
• "Die Poincaré-Vermutung" - BBC-Radio 4 Programm In Unserer Zeit, am 2. November 2006. Mitwirkende June Barrow-Green, Vortragender in der Geschichte der Mathematik an der Offenen Universität, Ian Stewart, Professor der Mathematik an der Universität von Warwick, Marcus du Sautoy, Professor der Mathematik an der Universität Oxfords und dem Moderator Melvyn Bragg.
• "Einen Alten Matheproblem-Nettopreis, Schwierigkeiten" - NPR Segment am 26. Dezember 2006 lösend.

Artikel

• Die vierte Dimension, durch B. Schechter, Neuen Wissenschaftler, am 17. Juli 2004, Vol 183 Nr. 2456 zähmend
• "Hauptmatheproblem wird gelöst geglaubt" Wall Street Journal, am 21. Juli 2006 erklärt die aktuelle Millennium-Preis-Situation.

• Die Gestalten des Raums, durch G. P. Collins, Wissenschaftlichen Amerikaner, 2004 Juli, Seiten 94-103

• Wenn es wie ein Bereich..., durch E. Klarreich, Wissenschaftsnachrichten Online, am 14. Juni 2003, Vol 163, Nr. 24, p 376 aussieht.

• Schwer erfassbarer Beweis, Schwer erfassbarer Prover: Ein Neues Mathematisches Mysterium, durch Dennis Overbye, die New York Times, Wissenschaft, am 15. August 2006.
• Geometrization von Drei Sammelleitungen über den Ricci-Fluss, durch Mike Anderson (SUNY Steiniger Bach), Benachrichtigungen des AMS, Vol 51, Nummer 2, (geschrieben für Mathematiker)
• Der Beweis von Perelman der Vermutung von Poincaré: Eine nichtlineare PDE Perspektive durch Terence Tao, unveröffentlicht drucken arxiv.org (geschrieben für Mathematiker) vor.

Fiktion

• Das Lied von Perelman, durch Tina S. Chang, die auf der Mathematischen Fiktionswebsite von Kasman verzeichnet ist, ist Mathe-Horizons.http://pulse.yahoo.com/_LYTXAIQ3BIDXHCARFNHZUUTF4Q/blog/articles/45709?listPage=index geschienen

Vorträge

• Strukturen von Drei Sammelleitungen, für das wissenschaftlich aufgelegte Publikum durch Shing-Tung Yau (Harvard), am 20. Juni 2006.

• Die Arbeit von Grigori Perelman, reden Sie durch John Lott (Universität Michigans) Internationalen Kongress der Mathematiker-2006-Präsentation, für Mathematiker in allen Gebieten, ausgezeichnete Grafik
• Perelman und die Poincaré-Vermutung, sprechen Sie durch Christina Sormani (CUNY Absolventenzentrum und Universität von Lehman) präsentiert in Universität von Williams, Wellesley Universität, Universität von Lehman und Büschel-Universität. Durchsichtigkeit wird für den öffentlichen Gebrauch angeschlagen (dasselbe weil die Grafik oben) und ein Führer für für das Geben eines ähnlichen Gespräches interessierte Matheprofessoren (empfiehlt, die Mittel angeschlagen hier zu studieren).

Websites

• Tonmathematik-Institut hat eine Beschreibung der Poincaré-Vermutung als ein Millennium-Problem durch John Milnor (SUNY Steiniger Bach) sowie eine Presseinformation über den Beweis.
• Einleitung Website von Perelman durch Christina Sormani, (CUNY Absolventenzentrum und Universität von Lehman) wurde als ein Fachwerk für diesen Artikel und eine Quelle für den anfänglichen Satz von Verbindungen verwendet.

• Wer sorgt sich über Poincaré?, durch Jordan Ellenberg ist Schiefer am 18. August 2006 für den Laien
• Ein wenig Kosmischer Hintergrund, durch Robert Kusner, UMass Matheabteilungsrundschreiben 2007.
• Vorträge auf dem Beweis von Perelman durch T. Tao.

Videos

• , Kurze Sehübersicht der Poincaré-Vermutung, des Hintergrunds und der Lösung.