In der Geometrie wird der Begriff Pseudobereich gebraucht, um verschiedene Oberflächen mit der unveränderlichen negativen gaussian Krümmung zu beschreiben. Abhängig vom Zusammenhang kann es sich entweder auf eine theoretische Oberfläche der unveränderlichen negativen Krümmung, zu einem tractricoid, oder zu einem hyperboloid beziehen.

Theoretischer Pseudobereich

In seiner allgemeinen Interpretation ist ein Pseudobereich des Radius R jede Oberfläche der Krümmung −1/R (genau, ein ganzer, einfach verbundene Oberfläche dieser Krümmung), analog mit dem Bereich des Radius R, der eine Oberfläche der Krümmung 1/R ist. Der Begriff wurde von Eugenio Beltrami in seiner 1868-Zeitung auf Modellen der Hyperbelgeometrie eingeführt.

Tractricoid

Der Begriff wird auch gebraucht, um sich auf eine bestimmte Oberfläche genannt den tractricoid zu beziehen: Das Ergebnis, einen tractrix über seine Asymptote zu drehen. Als ein Beispiel, (Hälfte) des Pseudobereichs (mit dem Radius 1) ist die Oberfläche der Revolution des durch parametrisierten tractrix

Es ist ein einzigartiger Raum (der Äquator ist eine Eigenartigkeit), aber weg von den Eigenartigkeiten hat es unveränderliche negative Krümmung von Gaussian und ist deshalb zu einem Hyperbelflugzeug lokal isometrisch.

Der Name "Pseudobereich" geschieht, weil es eine zweidimensionale Oberfläche der unveränderlichen negativen Krümmung gerade wie ein Bereich mit der positiven Krümmung von Gauss ist.

Da der Bereich an jedem Punkt eine positiv gekrümmte Geometrie einer Kuppel hat, hat der ganze Pseudobereich an jedem Punkt die negativ gekrümmte Geometrie eines Sattels.

Schon in 1639 hat Christiaan Huygens gefunden, dass das Volumen und die Fläche des Pseudobereichs trotz des unendlichen Ausmaßes der Gestalt entlang der Achse der Folge begrenzt sind. Für einen gegebenen Rand-Radius R ist das Gebiet 4πR, wie es für den Bereich ist, während das Volumen 2/3 πR und deshalb halb mehr als das eines Bereichs dieses Radius ist.

Universaler Bedeckungsraum

Die Hälfte des Pseudobereichs der Krümmung −1 wird durch den Teil des oberen Hyperbelhalbflugzeugs mit y  1 bedeckt. Die Bedeckungskarte ist in der x Richtung der Periode 2π periodisch, und nimmt den horocycles y = c zu den Meridianen des Pseudobereichs und des vertikalen geodesics x = c zu den tractrices, die den Pseudobereich erzeugen. Das kartografisch darzustellen, ist eine lokale Isometrie, und stellt so den Teil y  1 des oberen Halbflugzeugs als der universale Bedeckungsraum des Pseudobereichs aus. Genau kartografisch darzustellen, ist

wo der arclength parametrization vom tractrix ist.

Hyperboloid

In einigen Quellen, die das hyperboloid Modell des Hyperbelflugzeugs verwenden, wird der hyperboloid einen Pseudobereich genannt.

Dieser Gebrauch des Wortes besteht darin, weil vom hyperboloid als ein Bereich des imaginären Radius gedacht werden kann, der in einem Raum von Minkowski eingebettet ist.

Siehe auch

• Die Oberfläche von Dini
• Das Horn von Gabriel
• Struktur von Hyperboloid
• Gleichung des Sinus-Gordon
• Bereich
• Oberfläche der Revolution
• Stillwell J: Quellen der Hyperbelgeometrie, 1996, Amer. Mathematik. Soc & London Math. Soc.
• Edward Kasner & James Newman (1940) Mathematik und die Einbildungskraft, Seiten 140,145,155, Simon & Schuster.

Links

• Nicht Euklid
• Das Häkeln des Hyperbelflugzeugs: Ein Interview mit David Henderson und Daina Taimina
• Die Website von Prof. C.T.J. Dodson an der Universität Manchesters
• Interaktive Demonstration des Pseudobereichs (an der Universität Manchesters)