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Asymptote

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In der analytischen Geometrie ist eine Asymptote einer Kurve eine solche Linie, dass sich die Entfernung zwischen der Kurve und der Linie Null nähert, weil sie zur Unendlichkeit neigen. Einige Quellen schließen die Voraussetzung ein, dass die Kurve die Linie ungeheuer häufig nicht durchqueren kann, aber das ist für moderne Autoren ungewöhnlich. In einigen Zusammenhängen, wie algebraische Geometrie, wird eine Asymptote als eine Linie definiert, die Tangente zu einer Kurve an der Unendlichkeit ist.

Die Wortasymptote wird aus dem Griechen (asímptotos) abgeleitet, was bedeutet, "zusammen," von ἀ priv nicht fallend. + σύν "zusammen" + πτωτ-ός "gefallen". Der Begriff wurde von Apollonius von Perga in seiner Arbeit an konischen Abteilungen eingeführt, aber im Gegensatz zu seiner modernen Bedeutung hat er es verwendet, um jede Linie zu bedeuten, die die gegebene Kurve nicht durchschneidet.

Es gibt potenziell drei Arten von Asymptoten: horizontale, vertikale und schiefe Asymptoten. Für durch den Graphen einer Funktion gegebene Kurven sind horizontale Asymptoten horizontale Linien, dass der Graph der Funktionsannäherungen als x zu Vertikalen Asymptoten neigt, sind vertikale Linien nahe, die die Funktion ohne bestimmten anbaut.

Mehr allgemein ist eine Kurve eine krummlinige Asymptote von einem anderen (im Vergleich mit einer geradlinigen Asymptote), wenn die Entfernung zwischen den zwei Kurven zur Null neigt, wie sie zur Unendlichkeit neigen, obwohl gewöhnlich der Begriff Asymptote allein für geradlinige Asymptoten vorbestellt wird.

Asymptoten befördern Information über das Verhalten von Kurven im großen, und Bestimmung, dass die Asymptoten einer Funktion ein wichtiger Schritt im Skizzieren seines Graphen sind. Die Studie von Asymptoten von Funktionen, die in einem weiten Sinn analysiert sind, bildet einen Teil des Themas der asymptotischen Analyse.

Ein einfaches Beispiel

Die Idee, dass eine Kurve willkürlich in der Nähe von einer Linie kommen kann, ohne wirklich dasselbe zu werden, kann Schalter der täglichen Erfahrung scheinen. Die Darstellungen einer Linie und einer Kurve als Zeichen auf einem Stück von Papier oder als Pixel auf einem Computerschirm haben eine positive Breite. So, wenn sie weit genug erweitert werden sollten, würden sie scheinen, sich zusammen mindestens zu verschmelzen, so weit das Auge wahrnehmen konnte. Aber das sind physische Darstellungen der entsprechenden mathematischen Entitäten; die Linie und die Kurve sind idealisierte Konzepte, deren Breite 0 ist (sieh Linie). Deshalb verlangt das Verstehen der Idee von einer Asymptote eine Anstrengung des Grunds aber nicht der Erfahrung.

Betrachten Sie den Graphen der Gleichung y=1/x als gezeigt nach rechts. Die Koordinaten der Punkte auf der Kurve sind der Form (x, 1/x), wo x eine Zahl außer 0 ist. Zum Beispiel enthält der Graph die Punkte (1, 1), (2, 0.5), (5, 0.2), (10, 0.1)... Weil die Werte von x größer und größer werden, 100, 1000, 10,000 sagen..., sie weit rechts von der Illustration, den entsprechenden Werten von y.01.001.0001 stellend... unendlich klein hinsichtlich der gezeigten Skala werden. Aber egal wie großer x wird, ist sein gegenseitiger 1/x nie 0, so berührt die Kurve nie wirklich die X-Achse. Ähnlich, weil die Werte von x kleiner und kleiner werden.01.001.0001 sagen... sie unendlich klein hinsichtlich der Skala gezeigt, die entsprechenden Werte von y, 100, 1000, 10,000 machend..., größer und größer werden. So streckt sich die Kurve weiter und weiter aufwärts aus, wie es näher und näher an der Y-Achse kommt. So sind sowohl der x als auch die Y-Achsen Asymptoten der Kurve. Diese Ideen sind ein Teil der Basis des Konzepts einer Grenze in der Mathematik, und diese Verbindung wird mehr völlig unten erklärt.

Asymptoten von Funktionen

Die in der Studie der Rechnung meistens gestoßenen Asymptoten sind von Kurven der Form. Diese können mit Grenzen geschätzt und in horizontale, vertikale und schiefe Asymptoten abhängig von seiner Orientierung eingeteilt werden. Horizontale Asymptoten sind horizontale Linien, dass der Graph der Funktionsannäherungen als x zu + oder − neigt. Als der Name zeigen an, dass sie zur X-Achse parallel sind. Vertikale Asymptoten sind vertikale Linien (Senkrechte zur X-Achse) nahe, den die Funktion ohne bestimmten anbaut. Schiefe Asymptoten sind diagonale Linien, so dass sich der Unterschied zwischen der Kurve und der Linie 0 nähert, weil x zu + oder − neigt. Der allgemeinere Typ von Asymptoten kann in diesem Fall definiert werden.

Vertikale Asymptoten

Die Linie x = einer vertikalen Asymptote des Graphen der Funktion zu sein, wenn mindestens eine der folgenden Behauptungen wahr sind:

Die Funktion können (x) ƒ oder dürfen an a und seinem genauen Wert am Punkt x = nicht definiert werden ein nicht betrifft die Asymptote. Zum Beispiel, für die Funktion

hat eine Grenze + , wie, (x) ƒ die vertikale Asymptote, wenn auch ƒ (0) = 5 hat. Der Graph dieser Funktion schneidet wirklich die vertikale Asymptote einmal, an (0,5) durch. Es ist für den Graphen einer Funktion unmöglich, eine vertikale Asymptote (oder eine vertikale Linie im Allgemeinen) in mehr als einem Punkt durchzuschneiden.

Stellen Sie einfach Vertikale Asymptoten werden gefunden, wenn Sie den Nenner der Gleichung lösen.

Horizontale Asymptoten

Horizontale Asymptoten sind horizontale Linien, denen sich der Graph der Funktion als nähert. Die horizontale Linie y = c ist eine horizontale Asymptote der Funktion y = (x) ƒ wenn

: oder

Im ersten Fall, (x) ƒ hat y = c als Asymptote, wenn x zu −, und im zweiten neigt, dass (x) ƒ y = c als eine Asymptote haben, weil x zu + neigt

Zum Beispiel befriedigt die Arctangent-Funktion

: und

So ist die Linie eine horizontale Tangente für den arctangent, wenn x zu − neigt, und eine horizontale Tangente für den arctangent ist, wenn x zu + neigt.

Funktionen können an horizontalen Asymptoten entweder auf oder auf beide Seiten Mangel haben, oder können eine horizontale Asymptote haben, die dasselbe in beiden Richtungen ist. Zum Beispiel hat die Funktion eine horizontale Asymptote an y = 0, wenn x sowohl zu − als auch + weil, beziehungsweise, neigt

Schiefe Asymptoten

Wenn eine geradlinige Asymptote zum x- oder der Y-Achse nicht parallel ist, wird es eine schiefe Asymptote oder Schräge-Asymptote genannt. Eine Funktion f (x) ist zur Gerade (M 0) wenn asymptotisch

Im ersten Fall ist die Linie eine schiefe Asymptote von (x) ƒ, wenn x zu + neigt, und im zweiten Fall die Linie eine schiefe Asymptote von (x) ƒ ist, wenn x zu − neigt

Ein Beispiel ist (x) ƒ = x−1/x, der die schiefe Asymptote y = x (M = 1, n = 0), wie gesehen, in den Grenzen hat

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Elementare Methoden, um Asymptoten zu identifizieren

Asymptoten von vielen Elementarfunktionen können ohne den ausführlichen Gebrauch von Grenzen gefunden werden (obwohl die Abstammungen solcher Methoden normalerweise Grenzen verwenden).

Allgemeine Berechnung von schiefen Asymptoten für Funktionen

Die schiefe Asymptote, für die Funktion f (x), wird durch die Gleichung y=mx+n gegeben. Der Wert für die M wird zuerst geschätzt und wird durch gegeben

wo entweder oder abhängig vom Fall zu sein, der wird studiert. Es ist gute Praxis, um die zwei Fälle getrennt zu behandeln. Wenn diese Grenze dann nicht besteht, gibt es keine schiefe Asymptote in dieser Richtung.

Wenn man

M dann hat, kann der Wert für n durch geschätzt werden

wo ein Sollen, derselbe Wert sein, der vorher verwendet ist. Wenn diese Grenze scheitert, dann zu bestehen, gibt es keine schiefe Asymptote in dieser Richtung, sogar soll das Grenze-Definieren M bestehen. Sonst ist die schiefe Asymptote von (x) ƒ, weil x zu a neigt.

Zum Beispiel hat die Funktion

: und dann

so dass die Asymptote von (x) ƒ ist, wenn x zu + neigt. Die Funktion hat

: und dann

:, der nicht besteht.

So hat keine Asymptote, wenn x zu + neigt.

Asymptoten für vernünftige Funktionen

Eine vernünftige Funktion hat am grössten Teil einer horizontalen Asymptote oder schief (Schräge) Asymptote, und vielleicht viele vertikale Asymptoten.

Der Grad des Zählers und Grad des Nenners bestimmen, ob es irgendwelche horizontalen oder schiefen Asymptoten gibt. Die Fälle werden unten tabellarisiert, wo deg (Zähler) der Grad des Zählers ist, und deg (Nenner) der Grad des Nenners ist.

Die vertikalen Asymptoten kommen nur vor, wenn der Nenner Null ist (Wenn sowohl der Zähler als auch Nenner Null sind, wird die Vielfältigkeit der Null verglichen). Zum Beispiel hat die folgende Funktion vertikale Asymptoten an x = 0 und x = 1, aber nicht an x = 2.

Schiefe Asymptoten von vernünftigen Funktionen

Wenn der Zähler einer vernünftigen Funktion Grad genau ein größerer hat als der Nenner, hat die Funktion einen schiefen (Schräge) Asymptote. Die Asymptote ist der polynomische Begriff nach dem Teilen des Zählers und Nenners. Dieses Phänomen kommt vor, weil, wenn es den Bruchteil teilen wird, es einen geradlinigen Begriff und einen Rest geben wird. Denken Sie zum Beispiel die Funktion

gezeigt nach rechts. Als der Wert von X-Zunahmen nähert sich f der Asymptote y = x. Das ist, weil der andere Begriff, y = 1 / (x+1) kleiner wird.

Wenn der Grad des Zählers mehr als 1 ist, der größer ist als der Grad des Nenners, und der Nenner den Zähler nicht teilt, wird es einen Nichtnullrest geben, der zur Null als x Zunahmen geht, aber der Quotient wird nicht geradlinig sein, und die Funktion keine schiefe Asymptote hat.

Transformationen bekannter Funktionen

Wenn eine bekannte Funktion eine Asymptote hat (wie y=0 für f (x) =e), dann haben die Übersetzungen davon auch eine Asymptote.

Wenn x=a eine vertikale Asymptote von f (x) ist, dann ist x=a+h eine vertikale Asymptote von f (x-h)
Wenn y=c eine horizontale Asymptote von f (x) ist, dann ist y=c+k eine horizontale Asymptote von f (x) +k

Wenn eine bekannte Funktion eine Asymptote hat, dann hat das Schuppen der Funktion auch eine Asymptote.

Wenn y=ax+b eine Asymptote von f (x) ist, dann ist y=cax+cb eine Asymptote vgl (x)

Zum Beispiel f (x) hat =e+2 horizontale Asymptote y=0+2=2 und keine vertikalen oder schiefen Asymptoten.

Allgemeine Definition

Lassen Sie, eine parametrische Flugzeug-Kurve, in Koordinaten A (t) = (x (t), y (t)) zu sein. Nehmen Sie an, dass die Kurve zur Unendlichkeit neigt, die ist:

Eine Linie ist eine Asymptote, wenn die Entfernung vom Punkt (t) zu zur Null als t b neigt.

Zum Beispiel kann der obere richtige Zweig der Kurve y = 1/x parametrisch als x = t, y = 1/t definiert werden (wo t> 0). Erstens, x als t und die Entfernung von der Kurve bis die X-Achse ist 1/t, der sich 0 als t nähert. Deshalb ist die X-Achse eine Asymptote der Kurve. Außerdem y als t 0 vom Recht und der Entfernung zwischen der Kurve und der Y-Achse ist t, der sich 0 als t 0 nähert. So ist die Y-Achse auch eine Asymptote. Ein ähnliches Argument zeigt, dass der niedrigere linke Zweig der Kurve auch dieselben zwei Linien wie Asymptoten hat.

Obwohl die Definition hier einen parameterization der Kurve verwendet, hängt der Begriff der Asymptote vom parameterization nicht ab. Tatsächlich, wenn die Gleichung der Linie dann die Entfernung vom Punkt (t) = ist (x (t), y (t)) zur Linie wird durch gegeben

wenn γ (t) eine Änderung von parameterization dann ist, wird die Entfernung

der zur Null gleichzeitig als der vorherige Ausdruck neigt.

Ein wichtiger Fall ist, wenn die Kurve der Graph einer echten Funktion (eine Funktion einer echter Variable und des Zurückbringens echter Werte) ist. Der Graph der Funktion y = (x) ƒ ist der Satz von Punkten des Flugzeugs mit Koordinaten (x, (x) ƒ). Dafür ist ein parameterization

Dieser parameterization soll über die offenen Zwischenräume betrachtet werden (a, b), wo eine Dose, − und b sein, + sein kann.

Eine Asymptote kann entweder vertikal oder (schief oder horizontal) nichtvertikal sein. Im ersten Fall ist seine Gleichung x = c, für eine reelle Zahl c. Der nichtvertikale Fall hat Gleichung, wo M und reelle Zahlen ist. Alle drei Typen von Asymptoten können zur gleichen Zeit in spezifischen Beispielen da sein. Verschieden von Asymptoten für Kurven, die Graphen von Funktionen sind, kann eine allgemeine Kurve mehr als zwei nichtvertikale Asymptoten haben, und kann seine vertikalen Asymptoten mehr durchqueren als einmal.

Krummlinige Asymptoten

Lassen Sie, eine parametrische Flugzeug-Kurve, in Koordinaten A (t) = (x (t), y (t)), und B zu sein, eine andere (unparametrisierte) Kurve sein. Nehmen Sie wie zuvor an, dass die Kurve A zur Unendlichkeit neigt. Die Kurve B ist eine krummlinige Asymptote, wenn die kürzeste von der Entfernung vom Punkt (t) zu einem Punkt auf B zur Null als t b neigt. Manchmal wird B einfach eine Asymptote von A genannt, wenn es keine Gefahr der Verwirrung mit geradlinigen Asymptoten gibt.

Zum Beispiel, die Funktion

hat eine krummlinige Asymptote, die als eine parabolische Asymptote bekannt ist, weil es eine Parabel aber nicht eine Gerade ist.

Asymptoten und eine Skizze machende Kurve

Der Begriff der Asymptote ist mit Verfahren der eine Skizze machenden Kurve verbunden. Eine Asymptote dient als eine Führer-Linie, die dient, um das Verhalten der Kurve zur Unendlichkeit zu zeigen. Um sich Annäherungen der Kurve zu erholen, sind Asymptoten, die allgemeine Kurven sind, auch verwendet worden, obwohl der Begriff asymptotische Kurve scheint, bevorzugt zu werden.

Algebraische Kurven

Die Asymptoten einer algebraischen Kurve im affine Flugzeug sind die Linien, die Tangente zur Projectivized-Kurve durch einen Punkt an der Unendlichkeit sind. Asymptoten werden häufig nur für echte Kurven betrachtet, obwohl sie auch Sinn, wenn definiert, auf diese Weise für Kurven über ein willkürliches Feld haben.

Eine Flugzeug-Kurve des Grads n schneidet seine Asymptote höchstens an n−2 andere Punkte durch den Lehrsatz von Bézout durch, weil die Kreuzung an der Unendlichkeit von der Vielfältigkeit mindestens zwei ist. Für einen konischen gibt es ein Paar von Linien, die das konische an keinem komplizierten Punkt durchschneiden: Das sind die zwei Asymptoten des konischen.

Algebraische Kurve eines Flugzeugs wird durch eine Gleichung der Form P (x, y) = 0 definiert, wo P ein Polynom des Grads n ist

wo P vom Grad k homogen ist. Das Verschwinden der geradlinigen Faktoren des höchsten Grad-Begriff-P definiert die Asymptoten der Kurve: wenn, dann die Linie

ist eine Asymptote, wo t gewählt wird, so dass sich die Kurve und Linie an der Unendlichkeit treffen. Über die komplexen Zahlen spaltet sich P in geradlinige Faktoren auf, von denen jeder eine Asymptote definiert. Jedoch, über den reals, nicht nur kann P scheitern sich aufzuspalten, sondern auch wenn ein geradliniger Faktor größere Vielfältigkeit hat, als einer die resultierende Asymptote völlig unecht sein kann. Zum Beispiel hat die Kurve keine echten Punkte im begrenzten Flugzeug, aber sein höchster Ordnungsbegriff gibt die Asymptote x = 0 mit der Vielfältigkeit 4.