In der Geometrie ist die Oberfläche von Boy eine Immersion des echten projektiven Flugzeugs im 3-dimensionalen Raum, der von Werner Boy 1901 gefunden ist (er hat es auf der Anweisung von David Hilbert entdeckt zu beweisen, dass das projektive Flugzeug in den 3-Räume-nicht versenkt werden konnte). Verschieden von der römischen Oberfläche und der Quer-Kappe hat es keine Eigenartigkeiten (d. h., Kneifen-Punkte), aber es schneidet sich wirklich selbst.

Eine Oberfläche eines Jungen zu machen:

1. Fangen Sie mit einem Bereich an. Entfernen Sie eine Kappe.
2. Fügen Sie ein Ende von jedem von drei Streifen bei, um Sechstel des verlassenen Randes abwechseln zu lassen, indem Sie die Kappe entfernen.
3. Biegen Sie jeden Streifen und fügen Sie das andere Ende jedes Streifens zum sechsten Gegenteil das erste Ende bei, so dass das Innere des Bereichs an einem Ende mit der Außenseite am anderen verbunden wird. Lassen Sie die Streifen die Mitte säumen aber nicht sie durchgehen.
4. Schließen Sie sich den losen Rändern der Streifen an. Die Verbindungslinien schneiden die Streifen durch.

Die Oberfläche des Jungen wird besprochen (und illustriert) im Le Topologicon von Jean-Pierre Petit.

Die Oberfläche des Jungen wurde zuerst ausführlich von Bernard Morin 1978 parametrisiert. Sieh unten für einen anderen parametrization, der von Rob Kusner und Robert Bryant entdeckt ist.

Symmetrie der Oberfläche des Jungen

Die Oberfläche des Jungen hat 3-fache Symmetrie. Das bedeutet, dass es eine Achse der getrennten Rotationssymmetrie hat: Irgendwelche 120 ° drehen diese Achse um wird die Oberfläche verlassen, die genau dasselbe schaut. Die Oberfläche des Jungen kann in drei gegenseitig kongruente Stücke geschnitten werden.

Modell an Oberwolfach

Das Mathematische Forschungsinstitut von Oberwolfach hat ein großes Modell einer Oberfläche eines Jungen außerhalb des Eingangs, der gebaut und durch Mercedes-Benz im Januar 1991 geschenkt ist. Dieses Modell hat 3-fache Rotationssymmetrie und minimiert die Energie von Willmore der Oberfläche. Es besteht aus Stahlstreifen, die das Image eines Polarkoordinate-Bratrostes unter einem parameterization vertreten, der von Robert Bryant und Rob Kusner gegeben ist. Die Meridiane (Strahlen) werden gewöhnliche Streifen von Möbius, d. h. gedreht durch 180 Grade. Alle außer einem der Streifen entsprechend Kreisen der Breite (radiale Kreise um den Ursprung) werden aufgedreht, während derjenige entsprechend der Grenze des Einheitskreises ein Streifen von Möbius ist, der durch dreimal 180 Grade gedreht ist - wie das Emblem des Instituts ist.

Anwendungen

Die Oberfläche des Jungen kann im Bereich eversion als ein Modell auf halbem Weg verwendet werden. Ein Modell auf halbem Weg ist eine Immersion des Bereichs mit dem Eigentum, das eine Folge innen und außen auswechselt, und so zu evert verwendet werden kann (werden Sie verkehrt herum) ein Bereich. Junge (der Fall p = 3) und Morin (der Fall p = 2) Oberflächen beginnen einer Folge von Modellen auf halbem Weg mit der höheren Symmetrie, die zuerst von George Francis vorgeschlagen ist, der durch die gleichen ganzen Zahlen 2 Punkte mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist (für den seltsamen p, diese Immersionen können Faktor durch ein projektives Flugzeug sein). Der parametrization von Kusner gibt alle diese nach.

Parametrization der Oberfläche des Jungen

Die Oberfläche des Jungen kann auf mehrere Weisen parametrisiert werden. Ein parametrization, der von Rob Kusner und Robert Bryant entdeckt ist, ist der folgende: In Anbetracht einer komplexen Zahl z, dessen Umfang weniger ist als oder gleich einem , lassen Sie

:

g_1 &= - {3 \over 2} \mathrm {Im} \left [{z (1 - z^4) \over z^6 + \sqrt {5} z^3 - 1} \right] \\

g_2 &= - {3 \over 2} \mathrm {Re} \left [{z (1 + z^4) \over z^6 + \sqrt {5} z^3 - 1} \right] \\

g_3 &= \mathrm {Im} \left [{1 + Z^6 \over z^6 + \sqrt {5} z^3 - 1} \right] - {1 \over 2 }\\\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

so dass

:

wo x, y, und z die gewünschten Kartesianischen Koordinaten eines Punkts auf der Oberfläche des Jungen sind.

Wenn man eine Inversion dieses auf den dreifachen Punkt in den Mittelpunkt gestellten parametrization durchführt, erhält man eine ganze minimale Oberfläche mit drei "Enden" (es ist, wie dieser parametrization natürlich entdeckt wurde). Das deutet an, dass der Bryant-Kusner parametrization der Oberflächen des Jungen im Sinn "optimal" ist, dass es die "kleinste Begabung" Immersion eines projektiven Flugzeugs in den drei-Räume-ist.

Eigentum von Bryant-Kusner parametrization

Wenn z durch das negative Gegenstück seines verbundenen Komplexes ersetzt wird, dann werden die Funktionen g, g, und g von z unverändert verlassen.

Die Verbindung der Oberfläche des Jungen zum echten projektiven Flugzeug

Lassen Sie, wo einen Punkt auf der Oberfläche des Jungen anzeigen. Dann

:

aber nur wenn Und wenn

:

weil

:

wessen Umfang ist

:

aber

:

Seitdem P gehört (z) der Oberfläche des Jungen nur, wenn das bedeutet, dass das der Oberfläche des Jungen nur gehört, wenn So wenn, aber alle anderen Punkte auf der Oberfläche des Jungen sind einzigartig. Der Satz von komplizierten Werten ist die Einheitsplatte. So ist die Oberfläche des Jungen durch eine solche Platte parametrisiert worden, dass Paare diametrisch entgegengesetzter Punkte auf dem Umfang der Platte gleichwertig sind. Deshalb ist die Oberfläche des Jungen homeomorphic zum echten projektiven Flugzeug, RP.

• Das beschreibt ein piecewise geradliniges Modell der Oberfläche des Jungen.
• Der Artikel über die Deckel-Illustration, die den Artikel von Rob Kirby begleitet.

. .

• Sanderson, B. Junge wird Junge, (undatiert, 2006 oder früher) sein.

Links

• Ein planares Entfalten der Oberfläche des Jungen - applet von Plus die Zeitschrift.
• Die Oberflächenmittel des Jungen, einschließlich des ursprünglichen Artikels und eines Einbettens eines topologist in der Oberfläche des Oberwolfach Jungen.
• Eine Oberfläche eines LEGO Jungen
• Ein Papiermodell der Oberfläche des Jungen - Muster und Instruktionen
• Javanisches Modell, das frei rotieren gelassen werden kann
• Linienfeld das Färben der Verwenden-Junge-Oberfläche
• Das Oberflächenvergegenwärtigungsvideo des Jungen vom Mathematischen Institut für die serbische Akademie der Künste und Wissenschaften