In der Mathematik, die Formel von de Moivre (a.k.a. Der Lehrsatz von De Moivre), genannt nach Abraham de Moivre, stellt fest, dass für jede komplexe Zahl (und, insbesondere für jede reelle Zahl) x und ganze Zahl n er das hält

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Die Formel ist wichtig, weil sie komplexe Zahlen verbindet (ich trete für die imaginäre Einheit ein (ich = 1.)) und Trigonometrie. Der Ausdruck, weil x + ich x sündige, wird manchmal zu cis x abgekürzt.

Durch die Erweiterung der linken Seite und dann das Vergleichen der echten und imaginären Teile unter der Annahme, dass x echt ist, ist es möglich, nützliche Ausdrücke für weil (nx) und Sünde (nx) in Bezug auf weil x und Sünde x abzuleiten. Außerdem kann man eine Generalisation dieser Formel verwenden, um ausführliche Ausdrücke für die n-ten Wurzeln der Einheit, d. h. komplexe Zahlen z solch dass z = 1 zu finden.

Abstammung

Obwohl historisch bewiesen, früher kann die Formel von de Moivre aus der Formel von Euler leicht abgeleitet werden

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und das Exponentialgesetz für Mächte der ganzen Zahl

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Dann, durch die Formel von Euler,

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Misserfolg für Mächte der nichtganzen Zahl

Die Formel von De Moivre hält im Allgemeinen für Mächte der nichtganzen Zahl nicht. Mächte der nichtganzen Zahl einer komplexen Zahl können viele verschiedene Werte haben, Misserfolg der Macht und Logarithmus-Identität zu sehen. Jedoch gibt es eine Generalisation, dass der Ausdruck der rechten Seite ein möglicher Wert der Macht ist.

Die Abstammung der Formel von de Moivre schließt oben eine komplexe Zahl zur Macht n ein. Wenn die Macht nicht eine ganze Zahl ist, wird das Ergebnis, zum Beispiel, wenn n = ½ dann vielfach geschätzt:

:For x = 0 die Formel gibt 1 = 1

:For x = 2π die Formel gibt 1 = 1.

Da die Winkel 0 und 2π dasselbe sind, würde das zwei verschiedene Werte für denselben Ausdruck geben. Die Werte 1 und 1 sind jedoch beide Quadratwurzeln 1, wie die Generalisation behauptet.

Kein solches Problem kommt mit der Formel von Euler vor, da es keine Identifizierung von verschiedenen Werten seiner Hochzahl gibt. Die Formel von Euler schließt eine komplizierte Macht einer positiven reellen Zahl ein, und das hat immer einen definierten Wert. Die entsprechenden Ausdrücke sind:

::

Beweis durch die Induktion (für die ganze Zahl n)

Die Wahrheit des Lehrsatzes von de Moivre kann durch die mathematische Induktion für natürliche Zahlen gegründet, und zu allen ganzen Zahlen von dort erweitert werden. Denken Sie S (n):

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Für n> 0 gehen wir durch die mathematische Induktion weiter. S (1) ist klar wahr. Für unsere Hypothese nehmen wir an, dass S (k) für einen natürlichen k wahr ist. D. h. wir nehmen an

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Jetzt, das Betrachten S (k+1):

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\begin {alignat} {2 }\

\left (\cos x+i\sin x\right) ^ {k+1} & = \left (\cos x+i\sin x\right) ^ {k} \left (\cos x+i\sin x\right) \\

& = \left [\cos\left (kx\right) + i\sin\left (kx\right) \right] \left (\cos x+i\sin x\right) && \qquad \text {durch die Induktionsvoraussetzung }\\\

& = \cos \left (kx\right) \cos x - \sin \left (kx\right) \sin x + ich \left [\cos \left (kx\right) \sin x + \sin \left (kx\right) \cos x\right] \\

& = \cos \left [\left (k+1\right) x \right] + i\sin \left [\left (k+1\right) x \right] && \qquad \text {durch die trigonometrische Identität }\

\end {alignat }\

</Mathematik>

Wir leiten ab, dass S (k) S (k+1) einbezieht. Durch den Grundsatz der mathematischen Induktion, hieraus folgt dass das Ergebnis für alle natürlichen Zahlen wahr ist. Jetzt, S (0) ist seitdem klar wahr, weil (0x) + ich (0x) = 1 +i 0 = 1 sündige. Schließlich, für die negativen Fälle der ganzen Zahl, denken wir eine Hochzahl von-n für natürlichen n.

:

\begin {richten }\aus

\left (\cos x + i\sin x\right) ^ {-n} & = \left [\left (\cos x + i\sin x\right) ^n \right] ^ {-1} \\

& = \left [\cos (nx) + i\sin (nx) \right] ^ {-1} \\

& = \cos (-nx) + i\sin (-nx). \qquad (*) \\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Die Gleichung (*) ist ein Ergebnis der Identität, für z =, weil nx + ich nx sündige. Folglich S hält (n) für alle ganzen Zahlen n.

Formeln für den Kosinus und Sinus individuell

Eine Gleichheit von komplexen Zahlen seiend, hat man notwendigerweise Gleichheit beide der echten Teile und von den imaginären Teilen von beiden Mitgliedern der Gleichung. Wenn x, und deshalb auch weil x und Sünde x, reelle Zahlen sind, dann kann die Identität dieser Teile mit binomischen Koeffizienten geschrieben werden. Diese Formel wurde vom französischen Mathematiker des 16. Jahrhunderts Franciscus Vieta gegeben:

::

In jeder dieser zwei Gleichungen ist die trigonometrische Endfunktion ein oder minus eine oder Null gleich, so Hälfte der Einträge in jeder der Summen entfernend. Diese Gleichungen sind tatsächlich sogar für komplizierte Werte von x gültig, weil beide Seiten (d. h. holomorphic auf dem ganzen komplizierten Flugzeug) Funktionen von x komplett sind, und zwei solche Funktionen, die auf der echten Achse notwendigerweise zusammenfallen, überall zusammenfallen. Hier sind die konkreten Beispiele dieser Gleichungen für n = 2 und n = 3:

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\cos (2x) &= (\cos {x}) ^2 + ((\cos {x}) ^2-1) &&= 2 (\cos {x}) ^2-1 \\

\sin (2x) &= 2 (\sin {x}) (\cos {x}) \\

\cos (3x) &= (\cos {x}) ^3 +3\cos {x} ((\cos {x}) ^2-1) &&= 4 (\cos {x}) ^3-3\cos {x }\\\

\sin (3x) &= 3 (\cos {x}) ^2 (\sin {x}) - (\sin {x}) ^3 &&= 3\sin {x}-4 (\sin {x}) ^3. \\

\end {alignat} </Mathematik>

Die rechte Seite der Formel dafür, weil (nx) tatsächlich der Wert T (weil x) vom Polynom von Tschebyscheff T an weil x ist.

Generalisation

Die Formel ist in einer allgemeineren Einstellung wirklich wahr als angegeben: Wenn z und w komplexe Zahlen, dann sind

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ist eine mehrgeschätzte Funktion während

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ist nicht. Deshalb kann man das festsetzen

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Anwendungen

Diese Formel kann verwendet werden, um die n Wurzeln einer komplexen Zahl zu finden. Diese Anwendung verwendet die Formel von de Moivre nicht ausschließlich, weil die Macht nicht eine ganze Zahl ist. Jedoch wird das Betrachten der rechten Seite zur Macht von n, in jedem Fall, dieselbe linke Wertseite geben.

Wenn z eine komplexe Zahl ist, die in der polaren Form als geschrieben ist

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dann

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Z^ {1/n} = \left [r\left (\cos x+i\sin x \right) \right] ^ {1/n} = R^ {1/n} \left [\cos \left (\frac {x+2k\pi} {n} \right) + i\sin \left (\frac {x+2k\pi} {n} \right) \right]

</Mathematik>

wo k eine ganze Zahl ist. Die n verschiedenen Wurzeln von z einzige Bedürfnisse zu bekommen, Werte von k von 0 bis n &minus zu denken; 1.

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Außenverbindungen

• Der Lehrsatz von De Moivre für die Hemmschuh-Identität durch Michael Croucher, Wolfram-Demonstrationsprojekt.