In der Algebra ist der discriminant eines Polynoms eine Funktion seiner Koeffizienten, die Information über die Natur seiner Wurzeln gibt. Zum Beispiel, der discriminant des quadratischen Polynoms

:

ist

:

Hier, wenn Δ> 0, das Polynom zwei echte Wurzeln hat, wenn Δ = 0, das Polynom eine echte Wurzel, und wenn Δ hat

ist:

Für höhere Grade ist der discriminant immer eine polynomische Funktion der Koeffizienten. Es ist bedeutsam länger: Der discriminant eines quartic hat 16 Begriffe, dieser eines quintic hat 59 Begriffe, dieses eines 6. Grad-Polynoms hat 246 Begriffe,

und die Zahl von Begriffen nimmt exponential mit dem Grad zu.

Ein Polynom hat eine vielfache Wurzel (d. h. eine Wurzel mit der Vielfältigkeit, die größer ist als eine) in den komplexen Zahlen, wenn, und nur wenn sein discriminant Null ist.

Das Konzept gilt auch, wenn das Polynom Koeffizienten in einem Feld hat, das in den komplexen Zahlen nicht enthalten wird. In diesem Fall verschwindet der discriminant, wenn, und nur wenn das Polynom eine vielfache Wurzel in seinem zerreißenden Feld hat.

Da der discriminant eine polynomische Funktion der Koeffizienten ist, wird er definiert, sobald die Koeffizienten einem integrierten Gebiet R und in diesem Fall gehören, ist der discriminant in R. Insbesondere der discriminant eines Polynoms mit Koeffizienten der ganzen Zahl ist immer eine ganze Zahl. Dieses Eigentum wird in der Zahlentheorie weit verwendet.

Definition

Formel

In Bezug auf die Wurzeln wird der discriminant durch gegeben

:

wo der Hauptkoeffizient ist und die Wurzeln sind (Vielfältigkeit aufzählend), vom Polynom in einem zerreißenden Feld. Es ist das Quadrat der Polynom-Zeiten von Vandermonde.

Da der discriminant eine symmetrische Funktion in den Wurzeln ist, kann er auch in Bezug auf die Koeffizienten des Polynoms ausgedrückt werden, da die Koeffizienten die elementaren symmetrischen Polynome in den Wurzeln sind; solch eine Formel wird unten gegeben.

Das Ausdrücken des discriminant in Bezug auf die Wurzeln macht sein Schlüsseleigentum nämlich verständlich, dass es verschwindet, wenn, und nur wenn es eine wiederholte Wurzel gibt, aber ihm nicht erlaubt, ohne Factoring ein Polynom berechnet zu werden, nach dem die Information es zur Verfügung stellt, ist überflüssig (wenn man die Wurzeln hat, kann man erzählen, ob es irgendwelche Duplikate gibt). Folglich erlaubt die Formel in Bezug auf die Koeffizienten der Natur der Wurzeln, ohne Factoring das Polynom bestimmt zu werden.

Generalisationen

Das Konzept von discriminant ist zu anderen algebraischen Strukturen außer Polynomen einer Variable, einschließlich konischer Abteilungen, quadratischer Formen und Felder der algebraischen Zahl verallgemeinert worden. Discriminants in der Theorie der algebraischen Zahl sind nah verbunden, und enthalten Information über die Implikation. Tatsächlich sind die geometrischeren Typen der Implikation auch mit abstrakteren Typen von discriminant verbunden, das eine algebraische Hauptidee in vielen Anwendungen machend.

Formel

Das quadratische Polynom

:

hat discriminant

:

Das Kubikpolynom

:hat discriminant:

Das quartic Polynom

:hat discriminant:

18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde-4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2. \, </math>

Das sind homogene Polynome in den Koeffizienten, beziehungsweise des Grads 2, 4 und 6. Sie sind auch im Begriff der Wurzeln, jeweiliger Grade 2, 6 und 12 homogen.

Einfachere Polynome haben einfachere Ausdrücke für ihren discriminants. Zum Beispiel, das monic quadratische Polynom

hat discriminant

Das monic Kubikpolynom

ohne quadratischen Begriff

hat discriminant

In Bezug auf die Wurzeln sind das homogene Polynome des Grads 2 (quadratisch) und 6 (kubisch).

Gleichartigkeit

Der discriminant ist ein homogenes Polynom in den Koeffizienten; für monic Polynome ist es ein homogenes Polynom in den Wurzeln.

In den Koeffizienten ist der discriminant vom Grad homogen; das kann zwei Wege gesehen werden.

In Bezug auf die Wurzeln und Begriff-Formel führend, alle Koeffizienten mit multiplizierend

ändert die Wurzeln nicht, aber multipliziert den Hauptbegriff mit

. In Bezug auf die Formel als eine Determinante einer Matrix, die dadurch geteilt ist, ist die Determinante der Matrix vom Grad in den Einträgen homogen, und das Teilen dadurch macht den Grad; ausführlich,

das Multiplizieren der Koeffizienten dadurch multipliziert alle Einträge der Matrix dadurch, folglich multipliziert die Determinante damit.

Für ein monic Polynom ist der discriminant ein Polynom in den Wurzeln allein (wie der Begriff ein ist), und vom Grad in den Wurzeln ist, weil es Begriffe im Produkt, jeder quadratisch gemacht gibt.

Diese werden verbunden, weil die Koeffizienten elementare symmetrische Polynome in den Wurzeln (folglich individuell homogen) sind.

Diese Beschreibung schränkt die möglichen Begriffe im discriminant ein - jeder Begriff besteht aus Koeffizienten, mit dem Gesamtgrad (als symmetrische Polynome in den Wurzeln) mit jedem Koeffizienten, der Grad am grössten Teil von n hat. Diese entsprechen so Teilungen in an den meisten (positiven) Teilen der Größe am grössten Teil von n. Für das quadratische sind das Teilungen 2 in höchstens 2 Teile der Größe höchstens 2: und

Für das kubische sind das Teilungen 6 in höchstens 4 Teile der Größe höchstens 3, von denen alle vorkommen:

:

a^2d^2 = aadd&: 0+0+3+3 &&& abcd&: 0+1+2+3 &&& ac^3 = accc&: 0+2+2+2 \\

b^3d = bbbd&: 1+1+1+3 &&& b^2c^2=bbcc&: 1+1+2+2.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Während diese Annäherung die möglichen Begriffe gibt, bestimmt sie die Koeffizienten nicht.

Quadratische Formel

Das quadratische Polynom P (x) = Axt + bx + c hat discriminant Δ = b &minus; 4ac, der die Menge unter dem Quadratwurzel-Zeichen in der quadratischen Formel ist. Für reelle Zahlen a, b, c, hat man:

• Wenn Δ> 0, P (x) zwei verschiedene echte Wurzeln hat

:

und sein Graph durchquert die X-Achse zweimal.

• Wenn Δ = 0, P (x) zwei zusammenfallende echte Wurzeln hat

:

und sein Graph ist Tangente zur X-Achse.

• Wenn Δ

Die Koeffizienten befriedigen dann so

und ein monic quadratischer hat eine wiederholte Wurzel, wenn, und nur wenn das der Fall ist, in welchem Fall die Wurzel beide Begriffe auf eine Seite und einschließlich eines Hauptkoeffizienten Stellt, nachgibt

Discriminant eines Polynoms

Um die Formel für den discriminant eines Polynoms in Bezug auf seine Koeffizienten zu finden, ist es am leichtesten, das Endergebnis einzuführen. Da der discriminant eines einzelnen Polynoms das Produkt der Quadrate des Unterschieds zwischen den verschiedenen Wurzeln eines Polynoms ist, ist das Endergebnis von zwei Polynomen das Produkt der Unterschiede zwischen ihren Wurzeln, und gerade als der discriminant verschwindet, wenn, und nur wenn das Polynom eine wiederholte Wurzel hat, das Endergebnis verschwindet, wenn, und nur wenn die zwei Polynome eine Wurzel teilen.

Da ein Polynom eine wiederholte Wurzel hat, wenn, und nur wenn es eine Wurzel mit seiner Ableitung der discriminant und das Endergebnis teilt sowohl das Eigentum hat, dass sie verschwinden, wenn, als auch nur wenn p eine wiederholte Wurzel hat, und sie fast denselben Grad haben (ist der Grad des Endergebnisses ein größerer als der Grad des discriminant), und so bis zu einem Faktor des Grads ein gleich sind.

Der Vorteil des Endergebnisses ist, dass es als eine Determinante, nämlich als die Determinante der Matrix von Sylvester, geschätzt werden kann (2n &minus; 1) &times; (2n &minus; 1) Matrix, deren n &minus; die 1 ersten Reihen enthalten die Koeffizienten von p und dem n letzte die Koeffizienten seiner Ableitung.

Das Endergebnis des allgemeinen Polynoms

:

ist bis zu einem Faktor, der der Determinante gleich ist (2n &minus; 1) &times; (2n &minus; 1) Matrix von Sylvester:

:

& a_n & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\

& 0 & a_n & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\

& \vdots\&&&&&&&& \vdots \\

& 0 & \ldots\& 0 & a_n & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\

& na_n & (n-1) a_ {n-1} & (n-2) a_ {n-2} & \ldots\& 1a_1 & 0 & \ldots &\\ldots & 0 \\

& 0 & na_n & (n-1) a_ {n-1} & (n-2) a_ {n-2} & \ldots\& 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\

& \vdots\&&&&&&&& \vdots \\

& 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1) a_ {n-1} & (n-2) a_ {n-2} & \ldots\& 1a_1 \\

\end {Matrix-}\\Recht]. </Mathematik>

Der discriminant dessen wird jetzt durch die Formel gegeben

:

Zum Beispiel, im Fall n = 4, ist die obengenannte Determinante

:

& a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\

& 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\

& 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\

& 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\

& 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\

& 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1& 0 \\

& 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\

\end {vmatrix}. </Mathematik>

Der discriminant des Grads 4 Polynom wird dann bei dieser Determinante nach dem Teilen dadurch erhalten.

In Bezug auf die Wurzeln ist der discriminant gleich

:

wo r..., r die komplizierten Wurzeln sind (Vielfältigkeit aufzählend), vom Polynom p (x):

:

&=&a_n (x-r_1) (x-r_2) \ldots (x-r_n).\end {Matrix} </Mathematik>

Dieser zweite Ausdruck macht verständlich, dass p eine vielfache Wurzel hat, wenn, und nur wenn der discriminant Null ist. (Diese vielfache Wurzel kann kompliziert sein.)

Der discriminant kann für Polynome über willkürliche Felder auf genau dieselbe Mode wie oben definiert werden. Die Produktformel, die die Wurzeln r einschließt, bleibt gültig; die Wurzeln müssen in einem zerreißenden Feld des Polynoms genommen werden. Der discriminant kann sogar für Polynome über jeden Ersatzring definiert werden. Jedoch, wenn der Ring nicht ist, sollte ein integriertes Gebiet, über der Abteilung des Endergebnisses dadurch durch das Ersetzen durch 1 in der ersten Säule der Matrix ersetzt werden.

Natur der Wurzeln

Der discriminant gibt Zusatzinformation auf der Natur der Wurzeln darüber hinaus einfach, ob es irgendwelche wiederholten Wurzeln gibt: Es gibt auch Information darüber, ob die Wurzeln echt oder kompliziert, und vernünftig oder vernunftwidrig sind. Mehr formell gibt es Information darüber, ob die Wurzeln im Feld sind, über das das Polynom definiert wird, oder in einem Erweiterungsfeld, und folglich ob die polynomischen Faktoren über das Feld von Koeffizienten ist. Das ist am durchsichtigsten und für quadratische und kubische Polynome leicht festgesetzt; für Polynome des Grads 4 oder höher ist das schwieriger festzusetzen.

Quadratisch

Weil die quadratische Formel die Wurzeln eines quadratischen Polynoms als eine vernünftige Funktion in Bezug auf die Quadratwurzel des discriminant ausgedrückt hat, sind die Wurzeln eines quadratischen Polynoms in demselben Feld wie die Koeffizienten, wenn, und nur wenn der discriminant ein Quadrat im Feld von Koeffizienten ist: Mit anderen Worten, die polynomischen Faktoren über das Feld von Koeffizienten wenn, und nur wenn der discriminant ein Quadrat ist.

So insbesondere für ein quadratisches Polynom mit echten Koeffizienten hat eine reelle Zahl echte Quadratwurzeln, wenn, und nur wenn es, und diese Wurzeln nichtnegativ ist, verschieden sind, wenn, und nur wenn es (nicht Null) positiv ist. So

• Δ> 0: 2 verschiedene echte Wurzeln: Faktoren über den reals;
• Δ

• Δ, das Polynom über erhaltenen K durch das Ersetzen der Koeffizienten von f durch ihre Images durch φ sein. Dann, wenn, und nur wenn entweder der Unterschied der Grade von f und mindestens 2 ist oder eine vielfache Wurzel in einem algebraischen Verschluss von K hat. Der erste Fall kann durch den Ausspruch interpretiert werden, dass das eine vielfache Wurzel an der Unendlichkeit hat.

Die typische Situation, wo dieses Eigentum angewandt wird, besteht darin, wenn A ist (univariate oder multivariate), ist der polynomische Ring über ein Feld k und φ der Ersatz des indeterminates in durch Elemente einer Felderweiterung K von k.

Lassen Sie zum Beispiel f ein bivariate Polynom in X und Y mit echten Koeffizienten, solch sein, dass f=0 die implizite Gleichung eines Flugzeugs algebraische Kurve ist. Wenn er f als ein univariate Polynom in Y mit Koeffizienten je nachdem X, dann ansieht, ist der discriminant ein Polynom in X, dessen Wurzeln die X-Koordinaten der einzigartigen Punkte der Punkte mit einer Tangente-Parallele zur Y-Achse und etwas von der Asymptote-Parallele zur Y-Achse sind. Mit anderen Worten erlaubt die Berechnung der Wurzeln des Y-discriminant und des X-discriminant, alle bemerkenswerten Punkte der Kurve zu schätzen außer den Beugungspunkten.

Discriminant einer konischen Abteilung

Für eine konische Abteilung, die in der Flugzeug-Geometrie durch das echte Polynom definiert ist

:

der discriminant ist gleich

:

und bestimmt die Gestalt der konischen Abteilung. Wenn der discriminant weniger als 0 ist, ist die Gleichung einer Ellipse oder eines Kreises. Wenn der discriminant 0 gleich ist, ist die Gleichung die einer Parabel. Wenn der discriminant größer ist als 0, ist die Gleichung die einer Hyperbel. Diese Formel wird für degenerierte Fälle (wenn die polynomischen Faktoren) nicht arbeiten.

Discriminant einer quadratischen Form

Es gibt eine substantivische Generalisation zu quadratischen Formen Q über jedes Feld K der Eigenschaft  2.

In Anbetracht einer quadratischen Form Q ist der discriminant die Determinante einer symmetrischen Matrix S für Q.

Die Änderung von Variablen durch eine Matrix Änderungen die Matrix der symmetrischen Form, durch die Determinante so unter der Änderung von Variablen, den Discriminant-Änderungen durch ein Nichtnullquadrat, und so der Klasse des discriminant hat, ist in K / (K), d. h. bis zu Nichtnullquadraten bestimmt. Siehe auch quadratischen Rückstand.

Weniger wirklich durch einen Lehrsatz von Jacobi können quadratische Formen darauf in der diagonalen Form als ausgedrückt werden

:

oder mehr allgemein quadratische Formen auf V als eine Summe

:

wo die L geradlinige Formen und 1  i  n sind, wo n die Zahl von Variablen ist. Dann ist der discriminant das Produkt des a, der als eine Klasse in K / (K) bestimmt ist.

Für K=R sind die reellen Zahlen, (R) die positiven reellen Zahlen (jede positive Zahl ist ein Quadrat einer Nichtnullzahl), und so hat der Quotient R / (R) drei Elemente: positiv, Null, und negativ.

Für K=C sind die komplexen Zahlen, (C) die komplexen Nichtnullzahlen (jede komplexe Zahl ist ein Quadrat), und so hat der Quotient C / (C) zwei Elemente: Nichtnull und Null.

Diese Definition verallgemeinert den discriminant eines quadratischen Polynoms, weil das Polynom zur quadratischen Form homogenisiert, die symmetrische Matrix hat

:

\begin {bmatrix }\

a & b/2 \\

b/2 & c

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

wessen Determinante Bis zu einem Faktor-4 ist, ist das

Der invariance der Klasse des discriminant einer echten Form (positiv, Null, oder negativ) entspricht der entsprechenden konischen Abteilung, die eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel ist.

Discriminant eines Feldes der algebraischen Zahl

Discriminant einer Differentiable-Funktion

In der Differenzialtopologie ist der discriminant einer Differentiable-Funktion f dasselbe als der Satz von kritischen Werten von f. Der discriminant in diesem Sinn ist etwas mit dem discriminant eines Polynoms verbunden; zum Beispiel, wenn f (x) =ax+bx+c ein quadratischer (a0) ist, dann wird der kritische Wert von f sein

der (bis zu einer Konstante) gleich dem discriminant eines quadratischen Polynoms ist.

Wechselpolynome

Der discriminant ist ein symmetrisches Polynom in den Wurzeln; wenn man an eine Quadratwurzel davon angrenzt (Hälften von jeder der Mächte: Das Polynom von Vandermonde) zum Ring von symmetrischen Polynomen in n Variablen erhält man den Ring von Wechselpolynomen, der so eine quadratische Erweiterung dessen ist.

Links

• Artikel Mathworld
• Artikel Planetmath