In der elementaren Geometrie ist ein polytope ein geometrischer Gegenstand mit flachen Seiten, der in jeder allgemeinen Zahl von Dimensionen besteht. Ein Vieleck ist ein polytope in zwei Dimensionen, ein Polyeder in drei Dimensionen, und so weiter in höheren Dimensionen (wie ein polychoron in vier Dimensionen). Einige Theorien verallgemeinern weiter die Idee, solche Dinge wie unbegrenzter polytopes (apeirotopes und tessellations), und Auszug polytopes einzuschließen.

Wenn

man sich auf eine n-dimensional Generalisation bezieht, wird der Begriff n-polytope' gebraucht. Zum Beispiel ist ein Vieleck ein 2-polytope, ein Polyeder ist ein 3-polytope, und ein polychoron ist ein 4-polytope.

Der Begriff wurde vom Mathematiker Hoppe ins Leben gerufen, in Deutsch schreibend, und wurde später ins Englisch von Alicia Boole Stott, der Tochter des Logikers George Boole eingeführt.

Verschiedene Annäherungen an die Definition

Der Begriff polytope ist ein breiter Begriff, der eine breite Klasse von Gegenständen bedeckt, und verschiedene Definitionen in der mathematischen Literatur beglaubigt werden. Viele dieser Definitionen sind nicht gleichwertig, auf verschiedene Sätze von Gegenständen hinauslaufend, die polytopes nennen werden. Sie vertreten verschiedene Annäherungen, den konvexen polytopes zu verallgemeinern, um andere Gegenstände mit ähnlichen Eigenschaften und ästhetischer Schönheit einzuschließen.

Die ursprüngliche Annäherung, die weit gehend von Schläfli, Gossett und anderen gefolgt ist, beginnt mit dem 0-dimensionalen Punkt als ein 0-polytope (Scheitelpunkt). Ein 1-dimensionaler 1-polytope (Rand) wird durch das Springen eines Liniensegmentes mit zwei 0-polytopes gebaut. Dann 2-polytopes (Vielecke) werden als Flugzeug-Gegenstände definiert, deren begrenzende Seiten (Ränder) 1-polytopes, (Polyeder) 3-polytopes sind, werden als Festkörper definiert, deren Seiten (Gesichter) und so weiter 2-polytopes sind.

Ein polytope kann auch als ein tessellation von einer gegebenen Sammelleitung betrachtet werden. Konvexe polytopes sind zu tilings des Bereichs gleichwertig, während andere tilings anderen elliptischen, flachen sein können oder Toroidal-Oberflächen - sehen elliptisch mit Ziegeln zu decken, und toroidal Polyeder. Laut dieser Definition, wie man betrachtet, sind Flugzeug tilings und Raum tilings (Honigwaben) polytopes, und werden manchmal als apeirotopes klassifiziert, weil sie ungeheuer viele Zellen haben; tilings von Hyperbelräumen werden auch laut dieser Definition eingeschlossen.

Eine alternative Annäherung definiert einen polytope als eine Reihe von Punkten, der eine simplicial Zergliederung zulässt. In dieser Definition ist ein polytope die Vereinigung von begrenzt vielen simplices mit dem zusätzlichen Eigentum, dass für irgendwelche zwei simplices, die eine nichtleere Kreuzung haben, ihre Kreuzung ein Scheitelpunkt, Rand oder höheres dimensionales Gesicht der zwei ist. Jedoch erlaubt diese Definition Stern polytopes mit Innenstrukturen nicht, und wird so auf bestimmte Gebiete der Mathematik eingeschränkt.

Die Theorie des Auszugs polytopes versucht, polytopes vom Raum loszumachen, der sie enthält, ihre rein kombinatorischen Eigenschaften denkend. Das erlaubt der Definition des Begriffes, erweitert zu werden, um Gegenstände einzuschließen, für die es schwierig ist, klar einen natürlichen zu Grunde liegenden Raum, solcher als der 11-Zellen-zu definieren.

Elemente

Die Elemente eines polytope sind seine Scheitelpunkte, Ränder, Gesichter, Zellen und so weiter. Die Fachsprache für diese entspricht nicht völlig über verschiedene Autoren. Gerade einige Beispiele anzuführen: Einige Autoren verwenden Gesicht, um sich auf (n1) - dimensionales Element zu beziehen, während andere Gesicht verwenden, um einen 2-Gesichter-spezifisch anzuzeigen, und andere J-Gesicht oder K-Gesicht verwenden, um ein Element von j oder k Dimensionen anzuzeigen. Einige Quellen verwenden Rand, um sich auf einen Kamm zu beziehen, während H. S. M. Coxeter Zelle verwendet, um (n1) - dimensionales Element anzuzeigen.

Ein n-dimensional polytope wird durch mehrere (n1) - dimensionale Seiten begrenzt. Diese Seiten sind selbst polytopes, dessen Seiten (n2) - dimensionale Kämme des ursprünglichen polytope sind. Jeder Kamm entsteht als die Kreuzung von zwei Seiten (aber die Kreuzung von zwei Seiten braucht kein Kamm zu sein). Kämme sind wieder polytopes, dessen Seiten (n3) - dimensionale Grenzen des ursprünglichen polytope und so weiter verursachen. Diese, sub-polytopes begrenzend, können Gesichter, oder spezifisch j-dimensional Gesichter oder J-Gesichter genannt werden. Ein 0-dimensionales Gesicht wird einen Scheitelpunkt genannt, und besteht aus einem einzelnen Punkt. Ein 1-dimensionales Gesicht wird einen Rand genannt, und besteht aus einem Liniensegment. Ein 2-dimensionales Gesicht besteht aus einem Vieleck, und ein 3-dimensionales Gesicht, manchmal genannt eine Zelle, besteht aus einem Polyeder.

Spezielle Klassen von polytope

Regelmäßiger polytopes

Ein polytope kann regelmäßig sein. Die regelmäßigen polytopes sind eine Klasse von hoch symmetrischem und ästhetisch angenehmem polytopes einschließlich der Platonischen Festkörper, die umfassend seit alten Zeiten studiert worden sind.

Konvexer polytopes

Ein polytope kann konvex sein. Die konvexen polytopes sind die einfachste Art von polytopes, und bilden die Basis für verschiedene Generalisationen des Konzepts von polytopes. Ein konvexer polytope wird manchmal als die Kreuzung von einer Reihe von Halbräumen definiert. Diese Definition erlaubt einem polytope, weder begrenzt noch begrenzt zu werden. Polytopes werden auf diese Weise z.B in der geradlinigen Programmierung definiert. Ein polytope wird begrenzt, wenn es einen Ball des begrenzten Radius gibt, der ihn enthält. Wie man sagt, wird ein polytope angespitzt, wenn er mindestens einen Scheitelpunkt enthält. Jeder begrenzte nichtleere polytope wird angespitzt. Ein Beispiel eines nichtspitzen polytope ist der Satz. Ein polytope ist begrenzt, wenn er in Bezug auf eine begrenzte Zahl von Gegenständen z.B als eine Kreuzung einer begrenzten Zahl von Halbflugzeugen definiert wird.

Stern polytopes

Ein nichtkonvexer polytope kann sich selbstschneiden; diese Klasse von polytopes schließt den Stern polytopes ein.

Auszug polytopes

Ein Auszug polytope ist ein teilweise bestellter Satz von Elementen oder Mitgliedern, der bestimmten Regeln folgt. Es ist eine rein algebraische Struktur, und die Theorie wurde entwickelt, um einige der Probleme zu vermeiden, die es schwierig machen, die verschiedenen geometrischen Klassen innerhalb eines konsequenten mathematischen Fachwerks beizulegen. Wie man sagt, ist ein geometrischer polytope eine Verwirklichung von einem verbundenen Auszug polytope.

Selbstdoppelpolytopes

In 2 Dimensionen sind alle regelmäßigen Vielecke (regelmäßig 2-polytopes) Selbstdoppel-.

In 3 Dimensionen ist das Tetraeder polygonale kanonische sowie Selbstdoppelpyramiden und verlängerte Pyramiden.

In höheren Dimensionen ist jedes regelmäßige N-Simplex, mit dem Symbol von Schlafli {3}, Selbstdoppel-.

Außerdem ist der 24-Zellen-in 4 Dimensionen, mit dem Symbol von Schlafli {3,4,3}, Selbstdoppel-.

Geschichte

Das Konzept eines polytope hat ursprünglich mit Vielecken und Polyedern begonnen, von denen beide seit alten Zeiten bekannt gewesen sind:

Erst als das 19. Jahrhundert, dass höhere Dimensionen entdeckt wurden und geometers, gelernt hat, Entsprechungen von Vielecken und Polyedern in ihnen zu bauen. Der erste Hinweis von höheren Dimensionen scheint, 1827 mit der Entdeckung von Möbius gekommen zu sein, dass zwei Spiegelimage-Festkörper durch das Drehen von einem von ihnen durch eine vierte Dimension überlagert sein können. Vor den 1850er Jahren hatte eine Hand voll andere Mathematiker wie Cayley und Grassman höhere Dimensionen gedacht. Ludwig Schläfli war von diesen erst, um Entsprechungen von Vielecken und Polyedern in solchen höheren Räumen zu denken. 1852 hat er den sechs konvexen Stammkunden 4-polytopes beschrieben, aber seine Arbeit wurde bis 1901 sechs Jahre nach seinem Tod nicht veröffentlicht. Vor 1854 hatte der Habilitationsschrift von Bernhard Riemann die Geometrie von höheren Dimensionen fest gegründet, und so wurde das Konzept von n-dimensional polytopes annehmbar gemacht. Die polytopes von Schläfli wurden oft in den folgenden Jahrzehnten sogar während seiner Lebenszeit wieder entdeckt.

1882 hat Hoppe, in Deutsch schreibend, das Wort ins Leben gerufen, um sich auf dieses mehr Gesamtkonzept von Vielecken und Polyedern zu beziehen. Im Laufe der Zeit hat Alicia Boole Stott polytope in die englische Sprache eingeführt.

1895 hat Thorold Gosset nicht nur den regelmäßigen polytopes von Schläfli wieder entdeckt, sondern auch hat die Ideen von halbregelmäßigem polytopes und Raumfüllung tessellations in höheren Dimensionen untersucht. Polytopes wurden auch in nicht-euklidischen Räumen wie Hyperbelraum studiert.

Während des frühen Teils des 20. Jahrhunderts sind hoch-dimensionale Räume modisch, und zusammen mit der Idee von höher polytopes, begeisterte Künstler wie Picasso geworden, um die als Kubismus bekannte Bewegung zu schaffen.

Ein wichtiger Meilenstein wurde 1948 mit dem Buch von H. S. M. Coxeter Regelmäßiger Polytopes erreicht, Arbeit bis heute zusammenfassend und Ergebnisse seines eigenen hinzufügend. Branko Grünbaum hat seine einflussreiche Arbeit an Konvexem Polytopes 1967 veröffentlicht.

Mehr kürzlich ist das Konzept eines polytope weiter verallgemeinert worden. 1952 hat Shephard die Idee vom Komplex polytopes im komplizierten Raum entwickelt, wo jede echte Dimension einen imaginären damit vereinigten hat. Coxeter hat fortgesetzt, sein Buch, Regelmäßigen Komplizierten Polytopes 1974 zu veröffentlichen. Komplex polytopes hat geschlossene Oberflächen auf die übliche Weise nicht, und wird als Konfigurationen besser verstanden. Diese Art des Begriffsproblems hat zur allgemeineren Idee von Vorkommen-Komplexen geführt, und die Studie von abstrakten kombinatorischen Eigenschaften, die Scheitelpunkte, Ränder verbinden, liegt und so weiter. Das hat der Reihe nach zur Theorie des Auszugs polytopes als teilweise bestellte Sätze oder posets solcher Elemente geführt. McMullen und Schulte haben ihren Buchauszug Regelmäßiger Polytopes 2002 veröffentlicht.

Das Aufzählen der Uniform polytopes, konvex und nichtkonvex, in vier oder mehr Dimensionen bleibt ein hervorragendes Problem.

In modernen Zeiten haben polytopes und verwandten Konzepten viele wichtige Anwendungen in Feldern so verschieden gefunden, wie Computergrafiken, Optimierung, Motoren, Kosmologie und viele andere Felder suchen.

Gebrauch

In der Studie der Optimierung studiert geradlinige Programmierung die Maxima und Minima von geradlinigen Funktionen, die zur Grenze eines n-dimensional polytope eingezwängt sind.

In der geradlinigen Programmierung kommen polytopes im Gebrauch von Verallgemeinerten Barycentric-Koordinaten und Lockeren Variablen vor.

Siehe auch

• Liste von regelmäßigem polytopes
• Konvexer polytope
• Regelmäßiger polytope
• Halbregelmäßiger polytope
• Uniform polytope
• Auszug polytope
• Das mit dem Volumen getrennte Springen hat polytope orientiert
• Regelmäßige Formen
• #Simplex
• #hypercube
• #Cross-polytope
• Kreuzung eines Polyeders mit einer Linie

Erweiterung eines Polyeders

• Gruppe von Coxeter
• Durch die Dimension:
• #2-polytope oder Vieleck
• #3-polytope oder Polyeder
• #4-polytope oder polychoron
• #5-polytope
• #6-polytope
• #7-polytope
• #8-polytope
• #9-polytope
• #10-polytope
• Polyform
• Polytope de Montréal
• Symbol von Schläfli
• Honigwabe (Geometrie)
• .

..

Links

• "Mathematik wird Ihre Welt schaukeln" - die Anwendung von polytopes zu einer Datenbank von Artikeln hat gepflegt, kundenspezifisches Nachrichtenfutter über das Internet - (Geschäftswoche Online) zu unterstützen
• Regelmäßiger und halbregelmäßiger konvexer polytopes eine kurze historische Übersicht: