In der Zahlentheorie ist eine ganze Zahl von Gaussian eine komplexe Zahl, deren echter und imaginärer Teil beide ganze Zahlen sind. Die Gaussian ganzen Zahlen, mit der gewöhnlichen Hinzufügung und Multiplikation von komplexen Zahlen, bilden ein integriertes Gebiet, gewöhnlich schriftlich als Z [ich]. Die Gaussian ganzen Zahlen sind ein spezieller Fall der quadratischen ganzen Zahlen. Dieses Gebiet hat keine Gesamteinrichtung dass Hinsicht-Arithmetik.

Formell sind ganze Zahlen von Gaussian der Satz

:

Bemerken Sie, dass, wenn sie innerhalb des komplizierten Flugzeugs betrachtet werden, wie man sehen kann, die ganzen Zahlen von Gaussian das 2-dimensionale Gitter der ganzen Zahl einsetzen.

Die Norm einer ganzen Zahl von Gaussian ist die natürliche Zahl definiert als

:

(Wo sich der Überstrich über "a+bi" auf den verbundenen Komplex bezieht.)

Die Norm ist multiplicative, d. h.

:

Die Einheiten von Z bin [ich] deshalb genau jene Elemente mit der Norm 1, d. h. die Elemente

:1, −1, ich und

−i.

Als ein einzigartiges factorization Gebiet

Die Gaussian ganzen Zahlen bilden ein einzigartiges factorization Gebiet mit Einheiten 1, −1, ich, und −i. Wenn x eine ganze Zahl von Gaussian ist, werden die vier Zahlen x, ix, −x, und −ix die Partner von x genannt.

Die Hauptelemente von Z bin [ich] auch bekannt als Blüte von Gaussian. Ein Partner von erstem Gaussian ist auch erster Gaussian. Die Gaussian Blüte ist über die echten und imaginären Äxte symmetrisch. Die positive ganze Zahl Blüte von Gaussian ist die Primzahlen, die zu 3 modulo 4 kongruent sind. Man sollte sich auf nur diese Zahlen als "die Blüte von Gaussian" nicht beziehen, die Begriff auf die ganze Blüte von Gaussian verweist, von der viele in Z nicht liegt.

Eine Gaussian ganze Zahl ist erster Gaussian wenn und nur wenn auch:

• einer von a, b ist Null, und der andere ist eine Primzahl der Form (mit n eine natürliche Zahl) oder seine Verneinung, oder
• beide sind Nichtnull, und ist eine Primzahl (der von der Form nicht sein wird).

Der folgende behandelt diese Bedingungen ausführlich.

2 ist ein spezieller Fall (auf der Sprache der Theorie der algebraischen Zahl, 2 ist die einzige verzweigte Blüte in Z [ich]).

Die ganze Zahl 2 Faktoren als als eine ganze Zahl von Gaussian, der zweite factorisation (in dem ich eine Einheit bin) zeigend, dass 2 durch das Quadrat von erstem Gaussian teilbar ist; es ist die einzigartige Primzahl mit diesem Eigentum.

Die notwendigen Bedingungen können als folgender festgesetzt werden: Wenn eine ganze Zahl von Gaussian erster Gaussian ist, dann ist entweder seine Norm eine Primzahl, oder seine Norm ist ein Quadrat einer Primzahl. Das ist, weil für jede ganze Zahl von Gaussian, bemerken Sie

:.

Hier bedeutet "teilt sich"; d. h. wenn ein Teiler dessen ist.

Jetzt ist eine ganze Zahl, und kann so factored als ein Produkt von Primzahlen durch den Hauptsatz der Arithmetik sein. Definitionsgemäß des Hauptelements, wenn erster Gaussian ist, dann teilt es (in Z [ich]) einige. Außerdem teilt

: so in Z.

Das gibt nur zwei Optionen: Entweder die Norm dessen ist eine Primzahl oder das Quadrat einer Primzahl.

Wenn tatsächlich für eine Primzahl, dann teilen sich beide und. Keiner kann eine Einheit, und so sein

: und

wo eine Einheit ist. Das soll dass entweder oder, wo sagen.

Jedoch ist nicht jede Primzahl erster Gaussian. 2 ist nicht weil. Keiner ist Primzahlen der Form, weil der Lehrsatz von Fermat auf Summen von zwei Quadraten uns versichert, dass sie für ganze Zahlen geschrieben werden können und, und. Der einzige Typ von restlichen Primzahlen ist der Form.

Primzahlen der Form sind auch Blüte von Gaussian. Dafür denken für, und es kann factored sein. Dann. Wenn der factorization, dann nichttrivial ist. Aber keine Summe von Quadraten von ganzen Zahlen kann geschrieben werden. So muss der factorization trivial gewesen sein und ist erster Gaussian.

Wenn eine ganze Zahl von Gaussian ist, deren Norm eine Primzahl ist, dann erster Gaussian ist, weil die Norm multiplicative ist.

Als ein integrierter Verschluss

Der Ring von ganzen Zahlen von Gaussian ist der integrierte Verschluss von Z im Feld von Gaussian rationals Q (i), aus den komplexen Zahlen bestehend, deren echter und imaginärer Teil beide vernünftig sind.

Als ein Euklidisches Gebiet

Es ist leicht, grafisch zu sehen, dass jede komplexe Zahl innerhalb von Einheiten einer ganzen Zahl von Gaussian ist.

Stellen Sie einen anderen Weg, jede komplexe Zahl (und folglich jede ganze Zahl von Gaussian) haben eine maximale Entfernung von

:

Einheiten zu einem Vielfache von z, wo z jede ganze Zahl von Gaussian ist; das dreht Z [ich] in ein Euklidisches Gebiet, wo

:

Historischer Hintergrund

Der Ring von ganzen Zahlen von Gaussian wurde von Carl Friedrich Gauss in seiner zweiten Monografie auf der quartic Reziprozität (1832) eingeführt (sieh http://www.ems-ph.org/journals/show_pdf.php?issn=0013-6018&vol=53&iss=1&rank=2). Der Lehrsatz der quadratischen Reziprozität (den er zuerst geschafft hatte, 1796 zu beweisen) verbindet die Lösbarkeit der Kongruenz x  q (mod p) zu diesem von x  p (mod q). Ähnlich verbindet Kubikreziprozität die Lösbarkeit von x  q (mod p) zu diesem von x  p (mod q), und biquadratic (oder quartic) Reziprozität ist eine Beziehung zwischen x  q (mod p) und x  p (mod q). Gauss hat entdeckt, dass das Gesetz der biquadratic Reziprozität und seine Ergänzungen leichter festgesetzt wurden und sich als Behauptungen über "ganze komplexe Zahlen" erwiesen haben (d. h. die ganzen Zahlen von Gaussian), als sie als Behauptungen über gewöhnliche ganze Zahlen (d. h. die ganzen Zahlen) sind.

In einem Kommentar bemerkt er, dass die ganzen Zahlen von Eisenstein das natürliche Gebiet sind, um Ergebnisse auf der Kubikreziprozität festzusetzen und zu beweisen, und anzeigt, dass ähnliche Erweiterungen der ganzen Zahlen die passenden Gebiete sind, um höhere Reziprozitätsgesetze zu studieren.

Dieses Papier hat nicht nur die ganzen Zahlen von Gaussian eingeführt und hat bewiesen, dass sie ein einzigartiges factorization Gebiet sind, hat es auch die Begriffe Norm, Einheit, primär, und beigeordnet eingeführt, die jetzt in der Theorie der algebraischen Zahl normal sind.

Ungelöste Probleme

Das Kreisproblem von Gauss befasst sich mit den ganzen Zahlen von Gaussian per se nicht, aber bittet stattdessen um die Zahl von Gitter-Punkten innerhalb eines Kreises eines gegebenen am Ursprung in den Mittelpunkt gestellten Radius. Das ist zur Bestimmung der Zahl von ganzen Zahlen von Gaussian mit der Norm weniger als ein gegebene Wert gleichwertig.

Es gibt auch Vermutungen und ungelöste Probleme über die Blüte von Gaussian. Zwei von ihnen sind:

Die echten und imaginären Äxte haben den unendlichen Satz der Blüte von Gaussian 3, 7, 11, 19... und ihre Partner. Gibt es irgendwelche anderen Linien die haben ungeheuer viele Blüte von Gaussian auf ihnen? Insbesondere gibt es ungeheuer viele Blüte von Gaussian der Form 1+ki?

Ist

es möglich, zur Unendlichkeit mit der Blüte von Gaussian als Sprungbretter spazieren zu gehen und von der begrenzten Länge Schritte unternehmend? Das ist als das Burggraben-Problem von Gaussian bekannt; es wurde 1962 von Basil Gordon aufgestellt und bleibt ungelöst.

Siehe auch

• Hurwitz quaternion
• Ganze Zahl von Eisenstein

• (in Französisch)
• Quadratische ganze Zahl
• Algebraische ganze Zahl
• Beweise des Lehrsatzes von Fermat auf Summen von zwei Quadraten
• Beweise der quadratischen Reziprozität
• Das Aufspalten von Hauptidealen in Erweiterungen von Galois beschreibt die Struktur von Hauptidealen in den ganzen Zahlen von Gaussian
• Tisch der ganzen Zahl von Gaussian factorizations

Referenzen

• C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda. Comm. Soc. Reg. Sci. Göttingen 7 (1832) 1-34; nachgedruckt in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, Seiten 93-148.

Links

• www.alpertron.com.ar/GAUSSIAN.HTM ist Java applet, der Ausdrücke bewertet, die ganze Zahlen von Gaussian und Faktoren sie in die Blüte von Gaussian enthalten.
• www.alpertron.com.ar/GAUSSPR.HTM ist Java applet, der eine grafische Ansicht von der Blüte von Gaussian zeigt.

• Henry G. Baker (1993) Gaussian Komplizierte Ganze Zahlen für die Gaussian 'Grafik', Benachrichtigungen von ACM SIGPLAN, Vol. 28, Ausgabe 11. DOI 10.1145/165564.165571 (HTML)
• IMO Kompendium-Text auf quadratischen Erweiterungen und Gaussian Ganzen Zahlen im Problem, lösend