In der Mengenlehre ist das Axiom-Diagramm des Ersatzes ein Diagramm von Axiomen in der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZFC), der behauptet, dass das Image jedes Satzes unter irgendwelchem definierbar kartografisch darzustellen, auch ein Satz ist. Es ist für den Aufbau von bestimmten unendlichen Sätzen in ZFC notwendig.

Das Axiom-Diagramm wird durch die Idee motiviert, die, ob eine Klasse ein Satz ist, nur vom cardinality der Klasse abhängt, nicht auf der Reihe seiner Elemente. So, wenn eine Klasse "klein genug ist", um ein Satz zu sein, und es eine Bijektion von dieser Klasse bis eine zweite Klasse gibt, stellt das Axiom fest, dass die zweite Klasse auch ein Satz ist. Jedoch, weil ZFC nur von Sätzen, nicht richtigen Klassen spricht, wird das Diagramm nur für definierbare Bijektionen festgesetzt, die mit ihren Definieren-Formeln identifiziert werden.

Behauptung

Nehmen Sie an, dass P eine definierbare binäre Beziehung ist (der eine richtige Klasse sein kann) solch dass für jeden Satz x, gibt es einen einzigartigen Satz y solch, dass P (x, y) hält. Es gibt eine entsprechende definierbare Funktion F, wo F (X) = Y wenn und nur wenn P (X, Y); F wird auch eine richtige Klasse sein, wenn P ist. Ziehen Sie in Betracht (vielleicht richtig) Klasse B hat solchen für jeden Satz y definiert, y ist in B, wenn, und nur wenn es einen x in mit F (x) = y gibt. B wird das Image unter F genannt, und F (A) oder (verwendende Notation des Satz-Baumeisters) {F (x) angezeigt: x  A\.

Das Axiom-Diagramm des Ersatzes stellt fest, dass, wenn F eine definierbare Klassenfunktion als oben ist, und A jeder Satz ist, dann ist das Image F (A) auch ein Satz. Das kann als ein Grundsatz der Kleinheit gesehen werden: Das Axiom stellt dass fest, wenn A klein genug ist, um ein Satz zu sein, dann ist F (A) auch klein genug, um ein Satz zu sein. Es wird durch das stärkere Axiom der Beschränkung der Größe einbezogen.

Weil es unmöglich ist, über definierbare Funktionen in der Logik der ersten Ordnung zu messen, wird ein Beispiel des Diagramms für jede Formel φ auf der Sprache der Mengenlehre mit freien Variablen unter w..., w, A, x, y eingeschlossen; aber B ist in φ nicht frei. Auf der formellen Sprache der Mengenlehre ist das Axiom-Diagramm:

:

\forall w_1, \ldots, w_n \, \forall \, ([\forall x \in Ein &\\, \exists! y \, \phi (x, y, w_1, \ldots, w_n, A)] \\

&\\Rightarrow \exist B \, \forall y \, [y \in B \Leftrightarrow \exist x \in \, \phi (x, y, w_1, \ldots, w_n, A)])

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Axiom-Diagramm der Sammlung

Das Axiom-Diagramm der Sammlung ist nah mit und oft verwirrt mit dem Axiom-Diagramm des Ersatzes verbunden. Während Ersatz sagt, dass das Image selbst ein Satz ist, sagt Sammlung bloß, dass eine Superklasse des Images ein Satz ist. Mit anderen Worten ist der resultierende Satz, B, nicht erforderlich, minimal zu sein.

Diese Version der Sammlung hat auch an der Einzigartigkeitsvoraussetzung an φ Mangel. Nehmen Sie an, dass die freien Variablen von φ unter w..., w, x, y sind; aber weder A noch B sind in φ frei. Dann ist das Axiom-Diagramm:

:

\forall w_1, \ldots, w_n \, [(\forall x \, \exist \, y \phi (x, y, w_1, \ldots, w_n)) \Rightarrow \forall \, \exist B \, \forall x \in \, \exist y \in B \, \phi (x, y, w_1, \ldots, w_n)] </Mathematik>

D. h. die durch φ definierte Beziehung ist nicht erforderlich, eine Funktion zu sein - ein x in A kann vielfachem y in B entsprechen. In diesem Fall hat das Image B gesetzt, dessen Existenz behauptet wird, muss mindestens einen solchen y für jeden x des ursprünglichen Satzes ohne Garantie enthalten, dass es nur einen enthalten wird.

Das Axiom-Diagramm wird manchmal uneingeschränkt auf dem Prädikat, φ festgesetzt:

:

In diesem Fall kann es Elemente x in geben, die zu keinen anderen Sätzen durch φ vereinigt werden. Jedoch verlangt das Axiom-Diagramm, wie festgesetzt, dass, wenn ein Element x A mit mindestens einem Satz y vereinigt wird, dann hat das Image B gesetzt, mindestens einen solchen y enthalten wird. Das resultierende Axiom-Diagramm wird auch das Axiom-Diagramm von boundedness genannt.

Das Axiom-Diagramm der Sammlung ist zum Axiom-Diagramm des Ersatzes über den Rest der ZF Axiome gleichwertig. Jedoch ist das nicht so in der konstruktiven Kopie von ZF, wo Sammlung stärker ist.

Beispiel-Anwendungen

Die Ordinalzahl ω\· 2 = ω + ω (das Verwenden der modernen Definition wegen von Neumanns) ist die erste Ordnungszahl, die ohne Ersatz nicht gebaut werden kann. Das Axiom der Unendlichkeit behauptet die Existenz der unendlichen Folge ω = {0, 1,2...}, und nur diese Folge. Man würde gern ω\definieren · 2, um die Vereinigung der Folge {ω, ω + 1, ω + 2 zu sein...}. Jedoch brauchen willkürliche Klassen von Ordnungszahlen nicht Sätze zu sein (die Klasse aller Ordnungszahlen ist nicht ein Satz, zum Beispiel). Ersatz erlaubt, jede begrenzte Nummer n in ω mit dem entsprechenden ω + n zu ersetzen und versichert, dass diese Klasse ein Satz ist. Bemerken Sie, dass man einen gut bestellten Satz leicht bauen kann, der zu ω\isomorph ist · 2, ohne den Ersatz aufzusuchen - nehmen einfach die zusammenhanglose Vereinigung von zwei Kopien von ω mit der zweiten Kopie, die größer ist als das erste - aber dass das nicht eine Ordnungszahl ist, da es durch die Einschließung nicht völlig bestellt wird.

Klar dann verlangt die Existenz einer Anweisung einer Ordnungszahl zu jedem gut bestellten Satz Ersatz ebenso. Ähnlich verlangt der Kardinal von von Neumann Anweisung, die eine Grundzahl jedem Satz zuteilt, Ersatz, sowie Axiom der Wahl.

Jede zählbare Ordnungs-Grenze verlangt Ersatz für seinen Aufbau analog zu ω\· 2. Größere Ordnungszahlen verlassen sich auf den Ersatz weniger direkt. Zum Beispiel kann ω, die erste unzählbare Ordnungszahl, wie folgt gebaut werden - der Satz von zählbaren bestellt gut besteht als eine Teilmenge von P (N×N) durch die Trennung, und powerset (ist eine Beziehung auf A eine Teilmenge von A×A, und so hat ein Element der Macht P (A×A) gesetzt. Eine Reihe von Beziehungen ist so eine Teilmenge von P (A×A)). Ersetzen Sie jeden gut bestellten Satz durch seine Ordnungszahl. Das ist der Satz von zählbaren Ordnungszahlen ω, der, wie man selbst zeigen kann, unzählbar ist. Der Aufbau verwendet Ersatz zweimal; einmal, um eine Ordnungsanweisung für jeden gut bestellten Satz zu sichern und wieder gut bestellte Sätze durch ihre Ordnungszahlen zu ersetzen. Das ist ein spezieller Fall des Ergebnisses der Zahl von Hartogs, und der allgemeine Fall kann ähnlich bewiesen werden.

Das Axiom der Wahl ohne Ersatz (ZC Mengenlehre) ist nicht stark genug, um zu zeigen, dass Sätze von Borel bestimmt werden; dafür ist Ersatz erforderlich.

Geschichte und Philosophie

Das Axiom-Diagramm des Ersatzes war nicht ein Teil von 1908 axiomatisation von Ernst Zermelo der Mengenlehre (Z); seine Einführung durch Adolf Fraenkel 1922 ist, was moderne Mengenlehre Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF) macht. Das Axiom wurde von Thoralf Skolem später in demselben Jahr unabhängig erfunden. Obwohl es die Endversion von Skolem der Axiom-Liste ist, die wir heute verwenden, bekommt er gewöhnlich keinen Kredit, seitdem jedes individuelle Axiom früher entweder von Zermelo oder von Fraenkel entwickelt wurde.

Das Axiom-Diagramm des Ersatzes vergrößert drastisch die Kraft von ZF sowohl in Bezug auf die Lehrsätze, die es beweisen kann als auch in Bezug auf seine probetheoretische Konsistenz-Kraft im Vergleich zu Z. Insbesondere ZF beweist die Konsistenz von Z, weil der Satz V ein Modell von Z constructible in ZF ist. (Der zweite Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel zeigt, dass jede dieser Theorien einen Satz enthält, die eigene Konsistenz der Theorie "ausdrückend", die in dieser Theorie unbeweisbar ist, wenn diese Theorie entspricht (dieses Ergebnis wird häufig als der Anspruch lose ausgedrückt, dass keine dieser Theorien seine eigene Konsistenz beweisen kann, wenn es entspricht, aber die Arbeit von Solomon Feferman [1960] Shows, dass Sorge im Angeben des Inhalts des zweiten Unvollständigkeitslehrsatzes genommen werden muss.) Ist die Grundzahl die erste, die, wie man zeigen kann, in ZF, aber nicht in Z besteht.

Das Axiom-Diagramm des Ersatzes ist für die Beweise von den meisten Lehrsätzen der gewöhnlichen Mathematik nicht notwendig. Tatsächlich kann Mengenlehre von Zermelo bereits Arithmetik der zweiten Ordnung und viel Typ-Theorie in begrenzten Typen interpretieren, die der Reihe nach genügend sind, um den Hauptteil der Mathematik zu formalisieren. Ein bemerkenswerter mathematischer Lehrsatz, der verlangt, dass das Axiom des Ersatzes in ZF bewiesen wird, ist der Borel determinacy Lehrsatz.

Das Axiom des Ersatzes hat wirklich eine wichtige Rolle in der Studie der Mengenlehre selbst. Zum Beispiel ist das Ersatzdiagramm erforderlich, um die Ordnungszahlen von von Neumann von ω\zu bauen · 2 vorwärts; ohne Ersatz würde es notwendig sein, eine andere Darstellung für Ordinalzahlen zu finden.

Obwohl das Axiom-Diagramm des Ersatzes ein Standardaxiom in der Mengenlehre heute ist, wird es häufig aus Systemen der Typ-Theorie und Fundament-Systemen in der topos Theorie weggelassen.

Beziehung zum Axiom-Diagramm der Spezifizierung

Das Axiom-Diagramm der Spezifizierung, das andere Axiom-Diagramm in ZFC, wird durch das Axiom-Diagramm des Ersatzes und das Axiom des leeren Satzes einbezogen. Rufen Sie zurück, dass das Axiom-Diagramm der Spezifizierung einschließt

:

für jede Formel θ auf der Sprache der Mengenlehre, in der B nicht frei ist.

Der Beweis ist wie folgt. Beginnen Sie mit einer Formel θ (C), der B und einen Satz A nicht erwähnt. Wenn kein Element E A θ dann befriedigt, ist der Satz B gewünscht durch das relevante Beispiel des Axiom-Diagramms der Trennung der leere Satz. Wählen Sie sonst einen festen E in Einem solchem, dass θ (E) hält. Definieren Sie eine Klassenfunktion F solch, dass F (D) = D, wenn θ (D) hält und F (D) = E, wenn θ (D) falsch ist. Dann der Satz B = F "= A&cap; {Xθ (x)} besteht durch das Axiom des Ersatzes, und ist genau der Satz B erforderlich für das Axiom der Spezifizierung.

Dieses Ergebnis zeigt, dass es zu axiomatize ZFC mit einem einzelnen unendlichen Axiom-Diagramm möglich ist. Weil mindestens ein solches unendliches Diagramm erforderlich ist (ZFC ist nicht begrenzt axiomatizable), das zeigt, dass das Axiom-Diagramm des Ersatzes als das einzige unendliche Axiom-Diagramm in ZFC, wenn gewünscht, stehen kann. Weil das Axiom-Diagramm der Spezifizierung ziemlich abhängig ist, wird es manchmal aus zeitgenössischen Behauptungen der Zermelo-Fraenkel Axiome weggelassen.

Spezifizierung ist noch, jedoch, für den Gebrauch in Bruchstücken von ZFC, wegen historischer Rücksichten, und zum Vergleich mit der Alternative axiomatizations von der Mengenlehre wichtig. Eine Formulierung der Mengenlehre, die das Axiom des Ersatzes nicht einschließt, wird wahrscheinlich eine Form des Axioms der Spezifizierung einschließen, um sicherzustellen, dass seine Modelle eine robuste Sammlung von Sätzen enthalten. In der Studie von Modellen der Mengenlehre ist es manchmal nützlich, Modelle von ZFC ohne Ersatz zu denken.

Der Beweis verwendet oben das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte im Annehmen, dass, wenn A dann nichtleer ist, es ein Element enthalten muss (in der intuitionistic Logik, ist ein Satz "leer", wenn es kein Element enthält, und "nichtleer" die formelle Ablehnung davon ist, der schwächer ist als, "enthält wirklich ein Element"). Das Axiom der Spezifizierung wird in die intuitionistic Mengenlehre eingeschlossen.

Paul Halmos, Naive Mengenlehre. Princeton, New Jersey:D. Van Nostrand Company, 1960. Nachgedruckt vom Springer-Verlag, New York, 1974. Internationale Standardbuchnummer 0-387-90092-6 (Ausgabe des Springers-Verlag).

• Jech, Thomas, 2003. Mengenlehre: Die Dritte Millennium-Ausgabe, Revidiert und Ausgebreitet. Springer. Internationale Standardbuchnummer 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Mengenlehre: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise. Elsevier. Internationale Standardbuchnummer 0-444-86839-9.