Das Steigen der Kettenbedingung (ACC) und die hinuntersteigende Kettenbedingung (DCC) sind Endlichkeitseigenschaften, die durch einige algebraische Strukturen, am wichtigsten, Ideale in bestimmten Ersatzringen zufrieden sind. Diese Bedingungen haben eine wichtige Rolle in der Entwicklung der Struktur-Theorie von Ersatzringen in den Arbeiten von David Hilbert, Emmy Noether und Emil Artin gespielt.

Die Bedingungen selbst können in einer abstrakten Form festgesetzt werden, so dass sie Sinn für jeden teilweise bestellten Satz haben. Dieser Gesichtspunkt ist in der abstrakten algebraischen Dimensionstheorie wegen Gabriels und Rentschlers nützlich.

Definition

sagt, befriedigt ein teilweise bestellter Satz (poset) P das Steigen der Kettenbedingung (ACC), wenn jede steigende Kette von Elementen schließlich endet. Gleichwertig, in Anbetracht jeder Folge von Elementen von P

dort besteht eine positive ganze Zahl n solch dass

Ähnlich, wie man sagt, befriedigt P die hinuntersteigende Kettenbedingung (DCC), wenn jede hinuntersteigende Kette von Elementen schließlich, oder gleichwertig wenn eine hinuntersteigende Folge endet

Elemente von P stabilisiert sich schließlich (d. h. es gibt keine unendliche hinuntersteigende Kette).

Anmerkungen

• Eine subtil verschiedene und stärkere Bedingung als, "keine unendlichen ersteigenden/hinuntersteigenden Ketten enthaltend", ist "enthält keine willkürlich lange ersteigenden/hinuntersteigenden Ketten (fakultativ, 'an einem gegebenen Element' gestützt hat)". Zum Beispiel befriedigt die zusammenhanglose Vereinigung des posets {0}, {0,1}, {0,1,2} usw. sowohl den ACC als auch den DCC, aber hat willkürlich lange Ketten. Wenn ein weiter 0 in allen diesen Sätzen identifiziert, dann ist jede Kette begrenzt, aber es gibt willkürlich lange Ketten, die an 0 gestützt sind.
• Die hinuntersteigende Kettenbedingung auf P ist zu P gleichwertig wohl begründet zu sein: Jede nichtleere Teilmenge von P hat ein minimales Element (auch hat die minimale Bedingung genannt).
• Ähnlich ist die steigende Kettenbedingung zu P gleichwertig, der wohl begründet gegenteilig ist: Jede nichtleere Teilmenge von P hat ein maximales Element (die maximale Bedingung).
• Jeder begrenzte poset befriedigt sowohl ACC als auch DCC.
• Ein völlig bestellter Satz, der die hinuntersteigende Kettenbedingung befriedigt, wird einen gut bestellten Satz genannt.

Siehe auch

• Artinian
• Noetherian
• Dimension von Krull
• Das Steigen der Kettenbedingung für Hauptideale

Zeichen

• Atiyah, M. F. und ich. G. MacDonald, Einführung in die Ersatzalgebra, Bücher von Perseus, 1969, internationale Standardbuchnummer 0-201-00361-9
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebra, Ringe und Module. Kluwer Akademische Herausgeber, 2004. Internationale Standardbuchnummer 1-4020-2690-0
• John B. Fraleigh, Victor J. Katz. Eine Vorspeise in der abstrakten Algebra. Addison Wesley Publishing Company. 5 Hrsg., 1967. Internationale Standardbuchnummer 0-201-53467-3
• Nathan Jacobson. Grundlegende Algebra I. Dover, 2009. Internationale Standardbuchnummer 978-0-486-47189-1