Eine polyedrische Zusammensetzung ist ein Polyeder, das selbst aus mehreren anderen Polyedern zusammengesetzt wird, die ein allgemeines Zentrum teilen. Sie sind die dreidimensionalen Analoga von polygonalen Zusammensetzungen wie der hexagram.

Benachbarte Scheitelpunkte einer Zusammensetzung können verbunden werden, um sich zu formen, ein konvexes Polyeder hat den konvexen Rumpf genannt. Die Zusammensetzung ist ein facetting des konvexen Rumpfs.

Ein anderes konvexes Polyeder wird durch den kleinen für alle Mitglieder der Zusammensetzung üblichen Hauptraum gebildet. Dieses Polyeder kann als der Kern für eine Reihe von stellations einschließlich dieser Zusammensetzung betrachtet werden. (Sieh Liste von Polyeder-Modellen von Wenninger für diese Zusammensetzungen und mehr stellations.)

Regelmäßige Zusammensetzungen

Eine regelmäßige Polyeder-Zusammensetzung kann als eine Zusammensetzung definiert werden, die, wie ein regelmäßiges Polyeder, mit dem Scheitelpunkt transitiv, mit dem Rand transitiv, und gesichtstransitiv ist. Mit dieser Definition gibt es 5 regelmäßige Zusammensetzungen.

Am besten bekannt ist die Zusammensetzung von zwei tetrahedra, häufig genannt den stella octangula, ein Name, der ihm durch Kepler gegeben ist. Die Scheitelpunkte der zwei tetrahedra definieren einen Würfel und die Kreuzung der zwei ein Oktaeder, das dieselben Gesichtsflugzeuge wie die Zusammensetzung teilt. So ist es ein stellation des Oktaeders, und tatsächlich, der einzige begrenzte stellation davon.

Der stella octangula kann auch als eine doppelregelmäßige Zusammensetzung betrachtet werden.

Die Zusammensetzung von fünf tetrahedra kommt in zwei enantiomorphic Versionen, die zusammen die Zusammensetzung von 10 tetrahedra zusammensetzen. Jede der vierflächigen Zusammensetzungen ist Selbstdoppel-, und die Zusammensetzung von 5 Würfeln ist zur Zusammensetzung von 5 octahedra Doppel-.

Doppelregelmäßige Zusammensetzungen

Eine doppelregelmäßige Zusammensetzung wird aus einem regelmäßigen Polyeder (einer der Platonischen Festkörper oder Kepler-Poinsot Polyeder) und sein Stammkunde Doppel-, eingeordnet gegenseitig über einen allgemeinen Zwischenbereich oder midsphere, solch zusammengesetzt, dass der Rand eines Polyeders den Doppelrand des Doppelpolyeders durchschneidet. Es gibt fünf solche Zusammensetzungen.

Die doppelregelmäßige Zusammensetzung eines Tetraeders mit seinem Doppelpolyeder ist auch die regelmäßige Stella octangula, da das Tetraeder Selbstdoppel-ist.

Das Würfel-Oktaeder und Dodekaeder-Ikosaeder doppelregelmäßige Zusammensetzungen sind der erste stellations des cuboctahedron und icosidodecahedron beziehungsweise.

Die Zusammensetzung des kleinen stellated Dodekaeders und großen Dodekaeders schaut äußerlich dasselbe als das kleine stellated Dodekaeder, weil das große Dodekaeder innen völlig enthalten wird. Deshalb das Image, das über Shows das kleine stellated Dodekaeder in wireframe gezeigt ist.

Gleichförmige Zusammensetzungen

1976 hat John Skilling Gleichförmige Zusammensetzungen von Gleichförmigen Polyedern veröffentlicht, die 75 Zusammensetzungen (einschließlich 6 als unendliche prismatische Sätze von Zusammensetzungen, #20-#25) gemacht von gleichförmigen Polyedern mit der Rotationssymmetrie aufgezählt haben. (Jeder Scheitelpunkt ist mit dem Scheitelpunkt transitiv, und jeder Scheitelpunkt ist mit jedem anderen Scheitelpunkt transitiv.) Diese Liste schließt die fünf regelmäßigen Zusammensetzungen oben ein.

Hier ist ein bildlicher Tisch der 75 gleichförmigen Zusammensetzungen, wie verzeichnet, durch Skilling. Die meisten werden durch jedes Polyeder-Element einzigartig gefärbt. Einige als chiral Paare werden durch die Symmetrie der Gesichter innerhalb jedes Polyeders gefärbt.

• 1-19: Verschieden (4,5,6,9,17 sind die 5 regelmäßigen Zusammensetzungen)
• 20-25: Prisma-Symmetrie, die in der Prisma-Symmetrie, eingebettet ist
• 26-45: Prisma-Symmetrie, die in octahedral oder icosahedral Symmetrie, eingebettet ist
• 46-67: Vierflächige Symmetrie, die in octahedral oder icosahedral Symmetrie, eingebettet ist
• 68-75: Enantiomorph-Paare

Andere Zusammensetzungen

• Zusammensetzung von drei octahedra
• Zusammensetzung von vier Würfeln

Zwei Polyeder, die Zusammensetzungen sind, aber ihre Elemente starr in den Platz schließen ließen, sind der kleine Komplex icosidodecahedron (Zusammensetzung des Ikosaeders und großen Dodekaeders) und des großen Komplexes icosidodecahedron (Zusammensetzung des kleinen stellated Dodekaeders und großen Ikosaeders). Wenn die Definition eines gleichförmigen Polyeders verallgemeinert wird, sind sie gleichförmig.

Gruppentheorie

In Bezug auf die Gruppentheorie, wenn G die Symmetrie-Gruppe einer polyedrischen Zusammensetzung ist, und handelt die Gruppe transitiv auf den Polyedern (so dass jeder, der Polyedern an einigen von anderen, als in gleichförmigen Zusammensetzungen gesandt werden kann), dann wenn H der Ausgleicher eines einzelnen gewählten Polyeders, die Polyeder ist, mit dem Bahn-Raum G/H identifiziert werden kann - entspricht der coset gH, an den Polyeder g das gewählte Polyeder sendet.

Links

• MathWorld: Polyeder-Zusammensetzung
• Stella: Polyeder-Navigator - Software hat gepflegt, die Images auf dieser Seite zu schaffen. Kann Netze für viele Zusammensetzungen drucken.
• Zusammengesetzte Polyeder - von Polyedern der Virtuellen Realität
• Gleichförmige Zusammensetzungen von gleichförmigen Polyedern
• Die 75 Gleichförmigen Zusammensetzungen von Skilling von Gleichförmigen Polyedern
• Die gleichförmigen Zusammensetzungen von Skilling von gleichförmigen Polyedern
• Polyedrische Zusammensetzungen
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Zusammensetzung des Kleinen Stellated Dodekaeders und Großen Dodekaeders {5/2,5} + {5,5/2 }\
• Zusammengesetzte Polyeder - von der Virtuellen Realität