In der Geometrie, ein Oktaeder (Mehrzahl-: Octahedra) ist ein Polyeder mit acht Gesichtern. Ein regelmäßiges Oktaeder ist ein Platonischer Festkörper, der aus acht gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt ist, von denen vier sich an jedem treffen.

Ein Oktaeder ist der dreidimensionale Fall des mehr Gesamtkonzeptes eines Kreuzes polytope.

Dimensionen

Wenn die Rand-Länge eines regelmäßigen Oktaeders a, der Radius eines umschriebenen Bereichs ist (derjenige, der sich berührt, das Oktaeder an allen Scheitelpunkten) ist

und der Radius eines eingeschriebenen Bereichs (Tangente zu jedem der Gesichter des Oktaeders) ist

während der midradius, der die Mitte jedes Randes berührt, ist

Orthogonale Vorsprünge

Das Oktaeder hat vier spezielle orthogonale Vorsprünge, in den Mittelpunkt gestellt, an einem Rand, Scheitelpunkt, Gesicht, und normal zu einem Gesicht. Das zweite und dritte entsprechen dem B und Coxeter Flugzeuge.

Kartesianische Koordinaten

Ein Oktaeder kann mit seinem Zentrum am Ursprung und seinen Scheitelpunkten auf den Koordinatenäxten gelegt werden; die Kartesianischen Koordinaten der Scheitelpunkte sind dann

: (±1, 0, 0);

: (0, ±1, 0);

: (0, 0, ±1).

Gebiet und Volumen

Die Fläche A und der Band V eines regelmäßigen Oktaeders der Rand-Länge zu sein:

So ist das Volumen viermal mehr als das eines regelmäßigen Tetraeders mit derselben Rand-Länge, während die Fläche zweimal ist (weil wir 8 gegen 4 Dreiecke haben).

Geometrische Beziehungen

Das Interieur der Zusammensetzung von zwei Doppeltetrahedra ist ein Oktaeder, und diese Zusammensetzung, genannt den stella octangula, ist sein erstes und nur stellation. Entsprechend ist ein regelmäßiges Oktaeder das Ergebnis, von einem regelmäßigen Tetraeder, vier regelmäßigen tetrahedra der Hälfte der geradlinigen Größe abzuschneiden (d. h. das Tetraeder zu berichtigen). Die Scheitelpunkte des Oktaeders liegen an den Mittelpunkten der Ränder des Tetraeders, und in diesem Sinn bezieht es sich auf das Tetraeder ebenso, das der cuboctahedron und icosidodecahedron mit den anderen Platonischen Festkörpern verbinden. Man kann auch die Ränder eines Oktaeders im Verhältnis der goldenen Mitte teilen, um die Scheitelpunkte eines Ikosaeders zu definieren. Das wird durch die ersten Stellen-Vektoren entlang den solchen Rändern des Oktaeders getan, dass jedes Gesicht durch einen Zyklus begrenzt wird, dann ähnlich jeden Rand in die goldene Mitte entlang der Richtung seines Vektoren verteilend. Es gibt fünf octahedra, die jedes gegebene Ikosaeder auf diese Mode definieren, und zusammen sie eine regelmäßige Zusammensetzung definieren.

Octahedra und tetrahedra können abwechseln lassen werden, um einen Scheitelpunkt, Rand und Gesichtsuniform tessellation vom Raum, genannt das Oktett-Bruchband durch den Volleren Buckminster zu bilden. Das ist das einzige solch mit Ziegeln zu decken, spart den regelmäßigen tessellation von Würfeln, und ist eine der 28 konvexen gleichförmigen Honigwaben. Ein anderer ist ein tessellation von octahedra und cuboctahedra.

Das Oktaeder ist unter den Platonischen Festkörpern einzigartig, indem es eine gerade Zahl von Gesichtern hat, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Folglich ist es das einzige Mitglied dieser Gruppe, um Spiegelflugzeuge zu besitzen, die keines der Gesichter durchführen.

Mit der Standardnomenklatur für Festkörper von Johnson würde ein Oktaeder ein Quadrat bipyramid genannt. Die Stutzung von zwei entgegengesetzten Scheitelpunkten läuft auf ein Quadrat bifrustum hinaus.

Das Oktaeder ist 4-verbunden, bedeutend, dass es die Eliminierung von vier Scheitelpunkten nimmt, um die restlichen Scheitelpunkte zu trennen. Es ist eines von nur vier 4-verbundenen simplicial gut bedeckten Polyedern, bedeutend, dass alle maximalen unabhängigen Sätze seiner Scheitelpunkte dieselbe Größe haben. Die anderen drei Polyeder mit diesem Eigentum sind der fünfeckige dipyramid, die Brüskierung disphenoid und ein unregelmäßiges Polyeder mit 12 Scheitelpunkten und 20 Dreiecksgesichtern.

Uniform colorings und Symmetrie

Es gibt 3 Uniform colorings vom Oktaeder, das durch die Dreiecksgesichtsfarben genannt ist, die um jeden Scheitelpunkt gehen: 1212, 1112, 1111.

Die Symmetrie-Gruppe des Oktaeders ist O, vom Auftrag 48, der dreidimensionalen hyperoctahedral Gruppe. Die Untergruppen dieser Gruppe schließen D (Auftrag 12), die Symmetrie-Gruppe eines Dreiecksantiprismas ein; D (Auftrag 16), die Symmetrie-Gruppe eines Quadrats bipyramid; und T (Auftrag 24), die Symmetrie-Gruppe eines berichtigten Tetraeders. Diese symmetries können durch verschiedenen colorings der Gesichter betont werden.

Doppel-

Das Oktaeder ist das Doppelpolyeder zum Würfel.

Netze

Es hat elf Maßnahmen von Netzen.

Dieses Beispiel zeichnet es sowohl als ein dipyramid als auch als ein Antiprisma:

Zusammenhängende Polyeder

Das Oktaeder ist eine einer Familie von gleichförmigen mit dem Würfel verbundenen Polyedern.

Tetratetrahedron

Das regelmäßige Oktaeder kann auch als ein berichtigtes Tetraeder betrachtet werden - und kann einen tetratetrahedron genannt werden. Das kann durch ein 2-farbiges Gesichtsmodell gezeigt werden. Mit diesem Färben hat das Oktaeder vierflächige Symmetrie.

Vergleichen Sie diese Stutzungsfolge zwischen einem Tetraeder und seinem Doppel-:

Die obengenannten Gestalten können auch als zur langen Diagonale eines tesseract orthogonale Scheiben begriffen werden. Wenn diese Diagonale vertikal mit einer Höhe 1 orientiert wird, dann kommen die fünf Scheiben oben an Höhen r, 3/8, 1/2, 5/8, und s vor, wo r jede Zahl in der Reihe ist (0,1/4], und ist s jede Zahl in der Reihe [3/4,1).

Dieses Polyeder ist topologisch als ein Teil der Folge von regelmäßigen Polyedern mit Symbolen von Schläfli {3, n} verbunden, ins Hyperbelflugzeug weitergehend.

Tetrahemihexahedron

Das regelmäßige Oktaeder teilt seine Ränder und Scheitelpunkt-Einordnung mit einem nichtkonvexem gleichförmigem Polyeder: Der tetrahemihexahedron, mit dem es vier der Dreiecksgesichter teilt.

Octahedra in der physischen Welt

• Besonders in roleplaying Spielen ist dieser Festkörper als ein "d8", einer der allgemeineren nichtkubischen Würfel bekannt.
• Wenn jeder Rand eines Oktaeders durch einen Ein-Ohm-Widerstand ersetzt wird, ist der Widerstand zwischen entgegengesetzten Scheitelpunkten 1/2 Ohm und das zwischen angrenzenden Scheitelpunkten 5/12 Ohm.
• Natürliche Kristalle des Diamanten, Alauns oder fluorite sind allgemein octahedral als die raumfüllende vierflächige-octahedral Honigwabe.
• Die Teller der Kamacite-Legierung in octahedrite Meteorsteinen werden eingeordnet, den acht Gesichtern eines Oktaeders anpassend.
• Viele Metallionen koordinieren sechs ligands in einem octahedral oder verdrehter octahedral Konfiguration.

Octahedra in der Musik

Sechs Musiknoten können auf den Scheitelpunkten eines Oktaeders auf solche Art und Weise eingeordnet werden, dass jeder Rand einen Konsonanten dyad vertritt und jedes Gesicht eine konsonante Triade vertritt; sieh hexany.

Anderer octahedra

Die folgenden Polyeder sind zum regelmäßigen Polyeder kombinatorisch gleichwertig. Sie alle haben sechs Scheitelpunkte, acht Dreiecksgesichter und zwölf Ränder, die ein für einen den Eigenschaften eines regelmäßigen Oktaeders entsprechen.

• Dreiecksantiprismen: Zwei Gesichter sind gleichseitig, liegen auf parallelen Flugzeugen, und haben eine allgemeine Achse der Symmetrie. Die anderen sechs Dreiecke sind gleichschenklig.
• Tetragonal bipyramids, in dem mindestens ein der äquatorialen Vierseite auf einem Flugzeug liegen. Das regelmäßige Oktaeder ist ein spezieller Fall, in dem alle drei Vierseite planare Quadrate sind.
• Polyeder von Schönhardt, ein nichtkonvexes Polyeder, das in tetrahedra nicht verteilt werden kann, ohne neue Scheitelpunkte einzuführen.

Mehr allgemein kann ein Oktaeder jedes Polyeder mit acht Gesichtern sein. Das regelmäßige Oktaeder hat 6 Scheitelpunkte und 12 Ränder, das Minimum für ein Oktaeder; nichtregelmäßiger octahedra kann nicht weniger als 12 Scheitelpunkte haben, und 18 edges.http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/polynum0.htm Andere nichtregelmäßige octahedra schließen den folgenden ein:

• Sechseckiges Prisma: Zwei Gesichter sind parallele regelmäßige Sechsecke; sechs Quadrate verbinden entsprechende Paare von Sechseck-Rändern.
• Pyramide von Heptagonal: Ein Gesicht ist ein Heptagon (gewöhnlich regelmäßig), und die restlichen sieben Gesichter sind Dreiecke (gewöhnlich gleichschenklig). Es ist für alle Dreiecksgesichter nicht möglich, gleichseitig zu sein.
• Gestutztes Tetraeder: Die vier Gesichter vom Tetraeder sind gestutzt, um regelmäßige Sechsecke zu werden, und es gibt noch vier gleichseitige Dreieck-Gesichter, wo jeder Tetraeder-Scheitelpunkt gestutzt war.
• Tetragonal trapezohedron: Die acht Gesichter sind kongruente Flugdrachen.

Siehe auch

• Stella octangula
• Oktaeder von Triakis
• Oktaeder von Hexakis
• Gestutztes Oktaeder
• Octahedral molekulare Geometrie
• Symmetrie von Octahedral
• Graph von Octahedral

Links

• Editable druckfähiges Netz eines Oktaeders mit der interaktiven 3D-Ansicht
• Papiermodell des Oktaeders
• K.J.M. MacLean, eine geometrische Analyse der fünf platonischen Festkörper und anderen halbregelmäßigen Polyeder
• Die gleichförmigen Polyeder
• Polyeder der virtuellen Realität die Enzyklopädie von Polyedern