In der Geometrie ist ein fester Johnson ein ausschließlich konvexes Polyeder, dessen jedes Gesicht ein regelmäßiges Vieleck ist, aber der, d. h., nicht ein Platonischer Festkörper, Archimedean fest, Prisma oder Antiprisma nicht gleichförmig ist. Es gibt keine Voraussetzung, dass jedes Gesicht dasselbe Vieleck sein muss, oder dass sich dieselben Vielecke um jeden Scheitelpunkt anschließen. Ein Beispiel eines festen Johnsons ist die Quadratpyramide mit gleichseitigen Seiten (J); es hat 1 Quadratgesicht und 4 Dreiecksgesichter.

Als in jedem ausschließlich konvexen Festkörper treffen sich mindestens drei Gesichter an jedem Scheitelpunkt, und die Summe ihrer Winkel ist weniger als 360 Grade. Da ein regelmäßiges Vieleck Winkel mindestens 60 Grade hat, hieraus folgt dass höchstens sich fünf Gesichter an jedem Scheitelpunkt treffen. Die fünfeckige Pyramide (J) ist ein Beispiel, das wirklich einen Grad 5 Scheitelpunkt hat.

Obwohl es keine offensichtliche Beschränkung gibt, dass jedes gegebene regelmäßige Vieleck kein Gesicht eines festen Johnsons sein kann, stellt es sich heraus, dass die Gesichter von Festkörpern von Johnson immer 3, 4, 5, 6, 8, oder 10 Seiten haben.

1966 hat Norman Johnson eine Liste veröffentlicht, die alle 92 Festkörper eingeschlossen hat, und ihnen ihre Namen und Zahlen gegeben hat. Er hat nicht bewiesen, dass es nur 92 gab, aber er hat wirklich vermutet, dass es keine anderen gab. Victor Zalgaller 1969 hat bewiesen, dass die Liste von Johnson abgeschlossen war.

Der Festkörper von Johnson ist das verlängerte Quadrat gyrobicupola (J) einzigartig, indem es lokal mit dem Scheitelpunkt gleichförmig ist: Es gibt 4 Gesichter an jedem Scheitelpunkt, und ihre Einordnung ist immer dasselbe: 3 Quadrate und 1 Dreieck. Jedoch ist es nicht mit dem Scheitelpunkt transitiv, weil es verschiedene Isometrie an verschiedenen Scheitelpunkten hat, es einen Johnson fest aber nicht fester Archimedean machend.

Namen

Die Namen werden unten verzeichnet und sind beschreibender, als sie klingen. Die meisten Festkörper von Johnson können von Anfang an wenige (Pyramiden, cupolae, und Rotunde), zusammen mit den Festkörpern von Platonic und Archimedean, Prismen und Antiprismen gebaut werden.

• Bi-bedeutet, dass zwei Kopien des fraglichen Festkörpers Basis-zu-Basis angeschlossen werden. Für cupolae und rotundae können sie angeschlossen werden, so dass wie Gesichter (ortho-) oder verschieden von Gesichtern sich (gyro-) treffen. In dieser Nomenklatur würde ein Oktaeder ein Quadrat bipyramid sein, ein cuboctahedron würde ein dreieckiger gyrobicupola sein, und ein icosidodecahedron würde ein fünfeckiger gyrobirotunda sein.
• Verlängert bedeutet, dass ein Prisma mit der Basis des fraglichen Festkörpers oder zwischen den Basen der fraglichen Festkörper angeschlossen worden ist. Ein rhombicuboctahedron würde ein verlängertes Quadrat orthobicupola sein.
• Gyroelongated meint, dass ein Antiprisma mit der Basis des fraglichen Festkörpers oder zwischen den Basen der fraglichen Festkörper angeschlossen worden ist. Ein Ikosaeder würde ein gyroelongated fünfeckiger bipyramid sein.
• Vermehrt bedeutet, dass eine Pyramide oder Kuppel mit einem Gesicht des fraglichen Festkörpers angeschlossen worden sind.
• Verringert bedeutet, dass eine Pyramide oder Kuppel vom fraglichen Festkörper entfernt worden sind.
• Gewunden bedeutet, dass eine Kuppel auf dem fraglichen Festkörper rotieren gelassen worden ist, so dass verschiedene Ränder, als im Unterschied zwischen ortho- und gyrobicupolae zusammenpassen.

Die letzten drei Operationen — Zunahme, Verringerung und Kreisbewegung — können mehr durchgeführt werden als einmal auf einem genug großen Festkörper. Wir fügen bi-zum Namen der Operation hinzu, um anzuzeigen, dass es zweimal durchgeführt worden ist. (Ein bigyrate Festkörper hat zwei seiner rotieren gelassenen cupolae gehabt.) Fügen wir tri-hinzu, um anzuzeigen, dass er dreimal durchgeführt worden ist. (Ein tridiminished Festkörper hat drei seiner Pyramiden oder entfernten cupolae gehabt.)

Manchmal, bi-allein ist nicht spezifisch genug. Wir müssen zwischen einem Festkörper unterscheiden, der zwei parallele Gesichter verändert und dasjenige gehabt hat, das zwei schiefe veränderte Gesichter gehabt hat. Wenn die veränderten Gesichter parallel sind, tragen wir Para-zum Namen der Operation bei. (Ein parabiaugmented Festkörper hat zwei parallele vermehrte Gesichter gehabt.), Wenn sie nicht sind, fügen wir meta - zum Namen der Operation hinzu. (Ein metabiaugmented Festkörper hat 2 schiefe vermehrte Gesichter gehabt.)

Enumeration

Legende:

• J - Johnson feste Zahl
• Netz - Glatt gemachtes (entfaltetes) Image
• V - Zahl von Scheitelpunkten
• E - Zahl von Rändern
• F - Zahl von Gesichtern (ganzer)
• F - Zahl von 3-seitigen Gesichtern
• F - Zahl von 4-seitigen Gesichtern
• F - Zahl von 5-seitigen Gesichtern
• F - Zahl von 6-seitigen Gesichtern
• F - Zahl von 8-seitigen Gesichtern
• F - Zahl von 10-seitigen Gesichtern

Siehe auch

• Nahes Fräulein Johnson fester
• Katalanischer fester
• Polyeder von Toroidal
• Norman W. Johnson, "Konvexe Festkörper mit Regelmäßigen Gesichtern", kanadische Zeitschrift der Mathematik, 18, 1966, Seiten 169-200. Enthält die ursprüngliche Enumeration der 92 Festkörper und der Vermutung, dass es keine anderen gibt.

• Der erste Beweis, dass es nur 92 Festkörper von Johnson gibt.

Links

• Sylvain Gagnon, "Konvexe Polyeder mit regelmäßigen Gesichtern", Strukturtopologie, Nr. 6, 1982, 83-95.
• Papiermodelle von Polyedern Viele Verbindungen
• Festkörper von Johnson durch George W. Hart.
• Images aller 92 Festkörper, kategorisiert, auf einer Seite
• VRML Modelle von Festkörpern von Johnson durch Jim McNeill
• VRML Modelle von Festkörpern von Johnson durch Vladimir Bulatov