In der Mathematik kann man ein Produkt von Gruppenteilmengen auf eine natürliche Weise definieren. Wenn S und T Teilmengen einer Gruppe G dann sind, ist ihr Produkt die Teilmenge von durch definiertem G

Bemerken Sie, dass S und T Untergruppen nicht zu sein brauchen. Der associativity dieses Produktes folgt aus dem des Gruppenproduktes. Das Produkt von Gruppenteilmengen definiert deshalb eine natürliche monoid Struktur auf dem Macht-Satz von G.

Wenn S und T Untergruppen von G sind, braucht ihr Produkt keine Untergruppe zu sein. Es wird eine Untergruppe sein, wenn, und nur wenn ST =, wie man sagt, TS und die zwei Untergruppen permutieren. In diesem Fall ist ST die Gruppe, die durch S und T, d. h. ST = TS = erzeugt ist

Wenn G eine begrenzte Gruppe und S und T und Untergruppen von G dann ist, ist ST eine Teilmenge von G von durch die Produktformel gegebenem Größe-ST:

Bemerken Sie, dass das gilt, selbst wenn weder S noch T normal sind.

Insbesondere wenn sich S und T (Untergruppen jetzt) nur in der Identität schneiden, dann hat jedes Element von ST einen einzigartigen Ausdruck als ein Produkt der St. mit s in S und t in T. Wenn S und T auch permutieren, dann ist ST eine Gruppe, und wird ein Produkt von Zappa-Szep genannt. Noch weiter, wenn S oder T in ST normal sind, dann wird ST ein halbdirektes Produkt genannt. Schließlich, wenn sowohl S als auch T in ST normal sind, dann wird ST ein direktes Produkt genannt.

Siehe auch

• Direktes Produkt von Gruppen
• Halbdirektes Produkt