Sprosse sind ein Bleistift-Und-Papierspiel mit interessanten mathematischen Eigenschaften. Es wurde von Mathematikern John Horton Conway und Michael S. Paterson an der Universität von Cambridge am Anfang der 1960er Jahre erfunden.

Regeln

Das Spiel wird von zwei Spielern gespielt, mit einigen Punkten gestützt eine Platte von Papier anfangend. Spieler wechseln sich ab, wo jede Umdrehung daraus besteht, eine Linie zwischen zwei Punkten (oder von einem Punkt bis sich) zu ziehen und einen neuen Punkt irgendwo entlang der Linie hinzuzufügen. Die Spieler werden durch die folgenden Regeln gezwungen.

• Die Linie kann gerade oder gekrümmt sein, aber muss sich nicht berühren oder sich oder jede andere Linie bekreuzigen.
• Der neue Punkt kann oben auf einem der Endpunkte der neuen Linie nicht gelegt werden. So spaltet der neue Punkt die Linie in zwei kürzere Linien.
• Kein Punkt kann mehr als drei ihm beigefügte Linien haben. Zu den Zwecken dieser Regel zählt eine Linie vom Punkt bis sich als zwei beigefügte Linien, und neue Punkte werden aufgezählt als, zwei ihnen bereits beigefügte Linien zu haben.

Im so genannten normalen Spiel, der Spieler, der die letzten Bewegungsgewinne macht. Im Misère-Spiel verliert der Spieler, der die letzte Bewegung macht. (Misère Sprosse sind vielleicht das einzige misère kombinatorische Spiel, das konkurrenzfähig in einem organisierten Forum gespielt wird.

Das Diagramm auf dem Recht zeigt ein 2-Punkte-Spiel von Sprossen des normalen Spieles. Nach der vierten Bewegung sind die meisten Punkte tot - sie haben drei ihnen beigefügte Linien, so können sie nicht als Endpunkte für eine neue Linie verwendet werden. Es gibt zwei Punkte (gezeigt im Grün), die noch lebendig sind, weniger als drei Linien beifügend. Jedoch ist es unmöglich, eine andere Bewegung zu machen, weil eine Linie von einem lebenden Punkt bis sich vier Verhaftungen machen würde, und eine Linie von einem lebendem Punkt bis den anderen Linien durchqueren würde. Deshalb ist keine fünfte Bewegung möglich, und der erste Spieler verliert. Lebende Punkte am Ende des Spiels werden Überlebende genannt und spielen eine Schlüsselrolle in der Analyse von Sprossen.

Zahl von Bewegungen

Es ist aus den Regeln von Sprossen nicht offensichtlich, dass das Spiel immer seit der Zahl der Punkt-Zunahme an jeder Bewegung endet. Die richtige Annäherung soll die Zahl von Leben (Gelegenheiten denken, eine Linie zu verbinden), statt der Zahl von Punkten. Dann können wir zeigen, dass, wenn das Spiel mit N-Punkten anfängt, es in nicht mehr als 3n−1 Bewegungen und nicht weniger als 2n Bewegungen enden wird.

In den folgenden Beweisen nehmen wir an, dass ein Spiel mit n anfängt, wird fleckig und dauert für genau die M Bewegungen.

Maximale Zahl von Bewegungen

Jeder Punkt fängt mit drei Leben an, und jede Bewegung reduziert die Gesamtzahl von Leben im Spiel durch ein (zwei Leben werden an den Enden der Linie verloren, aber der neue Punkt hat ein Leben). So am Ende des Spiels gibt es 3n−m restliche Leben. Jeder überlebende Punkt hat nur ein Leben (sonst es würde eine andere Bewegung geben, die sich diesem Punkt mit sich anschließt), also gibt es genau 3n−m Überlebende. Es muss mindestens einen Überlebenden, nämlich der in der Endbewegung hinzugefügte Punkt geben. So 3n−m  1; folglich kann ein Spiel nicht mehr als 3n−1 Bewegungen dauern.

Minimale Zahl von Bewegungen

Am Ende des Spiels hat jeder Überlebende genau zwei tote Nachbarn in einem technischen Sinn "des Nachbars", der vom gewöhnlichen Graph-Begriff des Angrenzens verschieden ist; sieh das Diagramm rechts. Kein toter Punkt kann der Nachbar von zwei verschiedenen Überlebenden sein, für sonst würde es eine Bewegung geben, die sich den Überlebenden anschließt. Alle anderen toten Punkte (nicht Nachbarn eines Überlebenden) werden Pharisäer (vom Hebräer für "getrennte") genannt. Nehmen Sie an, dass es p Pharisäer gibt. Dann

:

da Initiale + Bewegungen = Gesamtpunkte am Ende des Spiels = Überlebende + Nachbarn + Pharisäer fleckig wird. Umordnen gibt:

:

So dauert ein Spiel für mindestens 2n Bewegungen, und die Zahl von Pharisäern durch 4 teilbar ist.

Wichtigkeit in echten Spielen

Echte Spiele scheinen, sich in einen Kampf zu verwandeln, ob die Zahl von Bewegungen k oder k+1 (für einen k, abhängig von den frühen Bewegungen im Spiel) mit anderen Möglichkeiten sein wird, die ziemlich unwahrscheinlich sind. http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=1091005&tstart=0 versucht Ein Spieler, eingeschlossene Gebiete zu schaffen, die Überlebende enthalten (so die Gesamtzahl von Bewegungen reduzierend, die gespielt werden) und die anderen Versuche, Pharisäer zu schaffen (so die Zahl von Bewegungen steigernd, die gespielt werden).

Wer hat den Gewinn?

Seit Sprossen ist ein begrenztes Spiel, wo keine ziehen, ist möglich, eine vollkommene Strategie besteht entweder für das erste oder für den zweiten Spieler abhängig von der Zahl von anfänglichen Punkten. Die Hauptfrage über eine gegebene Startposition ist dann zu bestimmen, welcher Spieler einen Gewinn zwingen kann, wenn er vollkommen spielt.

Wenn die Gewinnen-Strategie für den ersten Spieler ist, wird es gesagt, dass das Ergebnis der Position ein "Gewinn" ist, und wenn die Gewinnen-Strategie für den zweiten Spieler ist, wird es gesagt, dass das Ergebnis der Position ein "Verlust" ist (weil es ein Verlust aus dem Gesichtswinkel vom ersten Spieler ist).

Das Ergebnis wird durch das Entwickeln des Spielbaums der Startposition bestimmt. Das kann mit der Hand nur für eine kleine Zahl von Punkten getan werden, und alle neuen Ergebnisse seit 1990 sind durch die umfassende Suche mit Computern erhalten worden.

Normale Version

Das Gewinnen von Wegen für Ihre Mathematischen Spiele berichtet, dass, wie man bewies, das normale 6-Punkte-Spiel ein Gewinn für den ersten Spieler durch Denis Mollison mit einer handgefertigten Analyse von 47 Seiten war. Es hat als die Aufzeichnung seit langem bis zur ersten Computeranalyse gestanden, die an der Universität von Carnegie Mellon, 1990, von David Applegate, Guy Jacobson und Daniel Sleator getan wurde. Sie haben bis zu 11 Punkte mit etwas von der besten Hardware verfügbar zurzeit erreicht.

Applegate, Jacobson und Sleator haben ein Muster in ihren Ergebnissen beobachtet und haben vermutet, dass der erste Spieler eine Gewinnen-Strategie wenn die Zahl von Punkten hat, die durch sechs Blätter ein Rest drei, vier, oder fünf geteilt sind. Das ist eine mathematische Weise zu sagen, dass sich das Muster, das durch das Ergebnis im Tisch unten gezeigt ist, unbestimmt mit einer Periode von sechs Punkten wiederholt.

2001 haben Riccardo Focardi und Flamina Luccio eine Methode beschrieben, mit der Hand zu beweisen, dass das normale 7-Punkte-Spiel ein Verlust ist.

Dann wurden die Berechnungsergebnisse 2006 von Josh Jordan bis zu 14 Punkte erweitert. 2007 haben Julien Lemoine und Simon Viennot einen auf dem Konzept von nimbers gestützten Algorithmus eingeführt, um die Berechnung zu beschleunigen, bis zu 32 Punkte erreichend. Sie haben die Berechnung bis zu 44 Punkte 2011, und drei isolierte Startpositionen, mit 46, 47 und 53 Punkte erweitert.

Die Ergebnisse des normalen Spieles sind alle bis jetzt mit der Vermutung von Applegate, Jacobson und Sleator im Einklang stehend.

Version von Misère

Die Berechnungsgeschichte der misère Version von Sprossen ist dieser der normalen Version mit denselben beteiligten Leuten sehr ähnlich. Jedoch ist die misère Version schwieriger, zu rechnen, und fortzuschreiten, ist bedeutsam langsamer gewesen.

1990 haben Applegate, Jacobson und Sleator bis zu neun Punkte erreicht. Gestützt auf ihren Ergebnissen haben sie vermutet, dass das Ergebnis einem regelmäßigen Muster der Periode fünf folgt. Jedoch wurde diese Vermutung 2007 ungültig gemacht, als Josh Jordan und Roman Khorkov die misère Analyse bis zu 12 Punkte erweitert haben: Das misère 12-Punkte-Spiel ist ein Gewinn und nicht der vermutete Verlust. Dieselbe Mannschaft hat bis zu 16 Punkte 2009 erreicht. Dasselbe Jahr, Julien Lemoine und Simon Viennot haben 17 Punkte mit komplizierten Algorithmen erreicht. Sie sind im Stande gewesen, ihre Analyse bis zu 20 Punkte 2011 zu erweitern.

Die Ergebnisse für das Misère-Spiel werden jetzt vermutet, um einem Muster der Länge sechs (mit einigen außergewöhnlichen Werten) zu folgen: Der erste Spieler gewinnt in misère Sprossen, wenn der Rest (mod 6) Null, vier, oder fünf ist, außer dass der erste Spieler das Ein-Punkt-Spiel gewinnt und das Vier-Punkte-Spiel verliert. Der Tisch zeigt unten das Muster mit den zwei unregelmäßigen Werten im kühnen.

Rosenkohl

Eine Variante des Spiels, genannt Rosenkohl, fängt mit mehreren Kreuzen an, d. h. wird mit vier freien Enden fleckig. Jede Bewegung schließt das Verbinden zwei freien Enden mit einer Kurve ein (wieder jede vorhandene Linie nicht durchquerend) und dann einen kurzen Schlag über die Linie stellend, um zwei neue freie Enden zu schaffen.

So entfernt jede Bewegung zwei freie Enden und führt noch zwei ein. Trotzdem ist das Spiel begrenzt, und tatsächlich wird die Gesamtzahl von Bewegungen durch die anfängliche Zahl von Kreuzen vorher bestimmt: Die Spieler können das Ergebnis durch ihr Spiel nicht betreffen. Mit n anfänglichen Kreuzen wird die Zahl von Bewegungen 5n−2 sein, so wird ein Spiel, das mit einer ungeraden Zahl von Kreuzen anfängt, ein erster Spieler-Gewinn sein, während ein Spiel, das mit einer geraden Zahl anfängt, ein zweiter Spieler-Gewinn unabhängig von den Bewegungen sein wird.

Um das (das Annehmen zu beweisen, dass das Spiel endet), lassen Sie M die Zahl von Bewegungen anzeigen, und v, e, zeigen f die Zahl von Scheitelpunkten, Rändern und Gesichtern des planaren Graphen an, der am Ende des Spiels beziehungsweise erhalten ist. Wir haben:

• e = 2 M seitdem an jeder Bewegung, der Spieler fügt 2 Ränder hinzu.
• v = n + M seitdem an jeder Bewegung, der Spieler fügt einen Scheitelpunkt hinzu (und das Spiel fängt mit n Scheitelpunkten an).
• f = 4n, da es genau ein freies Ende in jedem Gesicht am Ende des Spiels gibt, (und die Zahl von freien Enden ändert sich während des Spiels nicht).

Die Euler Eigenschaft für planare Graphen ist 2, so 2 = f-e+v = 4n-2m+n+m = 5n-m, folglich M = 5n-2.

• Elwyn R. Berlekamp, John Conway und Richard K. Guy, Wege für Ihre Mathematischen Spiele, 1992 Gewinnend.
• Ivars Peterson, "Sprosse für den Frühling," Wissenschaftsnachrichten online.

Links

• Die ganze (?) Liste von Verweisungen für das Spiel von Sprossen
• Weltspiel der Spross-Vereinigung. Danny Purvis, Vereinigung von Spross-Spielern
• Das Spiel von Sprossen an der Universität Utahs, mit einem interaktiven applet für das Mensch-gegen-Mensch-Spiel.
• SproutsWiki, Website von Julien Lemoine und Simon Viennot, mit dem Quellcode und den Dualzahlen ihres Programms
• 3graph, ein freeware Spross-Programm (Windows)