In der Spieltheorie und Wirtschaftstheorie ist ein Nullsumme-Spiel eine mathematische Darstellung einer Situation, in der ein Gewinn eines Teilnehmers (oder Verlust) des Dienstprogrammes durch die Verluste (oder Gewinne) vom Dienstprogramm des anderen Teilnehmers genau erwogen wird. Wenn die Gesamtgewinne der Teilnehmer zusammengezählt werden, und die Gesamtverluste abgezogen werden, werden sie zur Null resümieren. So ist Chris, einen Kuchen schneidend, wo die Einnahme eines größeren Stückes den Betrag des verfügbaren Kuchens reduziert, ein Nullsumme-Spiel, wenn alle Geburtstagsfeier-Anwesenden jede Einheit des Kuchens ebenso schätzen (sieh Randdienstprogramm). Im Gegensatz "beschreibt nicht Nullsumme" eine Situation, in der die gesamten Kuchen-Gewinne und Verluste der aufeinander wirkenden Parteien entweder weniger sind als oder mehr als Null. Ein Nullsumme-Spiel wird auch ein ausschließlich konkurrenzfähiges Hungerspiel genannt, während Spiele "nicht Nullsumme" entweder konkurrenzfähig oder nichtkonkurrenzfähig sein können. Nullsumme-Spiele werden meistenteils mit dem minimax Lehrsatz gelöst, der nah mit der geradlinigen Programmierdualität, oder mit dem Gleichgewicht von Nash und verwendet von Eltern in der ganzen Welt verbunden ist.

Definition

Das Nullsumme-Eigentum (wenn man gewinnt, verliert ein anderer), bedeutet, dass jedes Ergebnis einer Nullsumme-Situation optimaler Pareto ist (allgemein, wird jedes Spiel, wo alle Strategien optimaler Pareto sind, ein Konfliktspiel genannt).

Situationen, wo Teilnehmer alle gewinnen oder zusammen leiden können, werden "nicht Nullsumme" genannt. So ist ein Land mit einem Übermaß an Bananen, die mit einem anderen Land für ihr Übermaß an Äpfeln handeln, wo beider aus der Transaktion einen Nutzen ziehen, in einer Situation "nicht Nullsumme". Andere Spiele "ist nicht Nullsumme" Spiele, in denen die Summe von Gewinnen und Verlusten durch die Spieler manchmal mehr oder weniger ist als, womit sie begonnen haben.

Lösung

Für begrenzte 2-Spieler-Nullsumme-Spiele, das verschiedene Spiel theoretische Lösungskonzepte des Gleichgewichts von Nash, minimax, und maximin geben alle dieselbe Lösung. In der Lösung spielen Spieler eine Mischstrategie.

Beispiel

Eine Belohnungsmatrix eines Spiels ist eine günstige Darstellung. Betrachten Sie zum Beispiel das am Recht als geschilderte Zwei-Spieler-Nullsumme-Spiel.

Die Ordnung des Spieles geht wie folgt weiter: Der erste (rote) Spieler wählt im Geheimnis eine der zwei Handlungen 1 oder 2; der zweite Spieler, der (blau), der Wahl des ersten Spielers unbewusst ist, wählt im Geheimnis eine der drei Handlungen A, B oder C. Dann werden die Wahlen offenbart, und die ganzen Punkte jedes Spielers wird gemäß der Belohnung für jene Wahlen betroffen.

Beispiel: Rot wählt Handlung 2, und Blau wählt Handlung B. Wenn die Belohnung, Rote Gewinne zugeteilt wird, verlieren 20 Punkte und Blau 20 Punkte.

Jetzt in diesem Beispiel-Spiel wissen beide Spieler die Belohnungsmatrix und versuchen, die Zahl ihrer Punkte zu maximieren. Was sollten sie tun?

Rot konnte wie folgt vernünftig urteilen: "Mit der Handlung 2 konnte ich bis zu 20 Punkte verlieren und kann nur 20 gewinnen, während mit der Handlung 1 ich nur 10 verlieren kann, aber bis zu 30, so Handlung 1 Blicke viel besser gewinnen kann." Mit dem ähnlichen Denken, Blau würde Handlung C wählen. Wenn beide Spieler diese Handlungen nehmen, Rot wird 20 Punkte gewinnen. Aber was geschieht, wenn Blau, sieht das Denken des Rots und Wahl der Handlung 1 voraus, und geht für die Handlung B, um 10 Punkte zu gewinnen? Oder sieht wenn Rot, der Reihe nach diesen gewundenen Trick voraus und geht für die Handlung 2, um 20 Punkte schließlich zu gewinnen?

Émile Borel und John von Neumann hatten die grundsätzliche und überraschende Scharfsinnigkeit, dass Wahrscheinlichkeit einen Ausweg aus diesem Rätsel zur Verfügung stellt. Anstatt sich für eine bestimmte Handlung zu entscheiden, um zu nehmen, teilen die zwei Spieler Wahrscheinlichkeiten ihren jeweiligen Handlungen zu, und verwenden dann ein zufälliges Gerät, das, gemäß diesen Wahrscheinlichkeiten, eine Handlung für sie wählt. Jeder Spieler schätzt die Wahrscheinlichkeiten, um den maximalen erwarteten der Strategie des Gegners unabhängigen Punkt-Verlust zu minimieren. Das führt zu einem geradlinigen Programmierproblem mit den optimalen Strategien für jeden Spieler. Diese minimax Methode kann nachweisbar optimale Strategien für alle Zwei-Spieler-Nullsumme-Spiele schätzen.

Für das Beispiel, das oben angeführt ist, stellt es sich heraus, dass Rot Handlung 1 mit der Wahrscheinlichkeit 4/7 und Handlung 2 mit der Wahrscheinlichkeit 3/7 wählen sollte, während Blau, sollte die Wahrscheinlichkeiten 0, 4/7, und 3/7 zu den drei Handlungen A, B, und C zuteilen. Rot wird dann 20/7-Punkte durchschnittlich pro Spiel gewinnen.

Das Lösen

Das Gleichgewicht von Nash für ein, Zwei-Spieler-Nullsumme-Spiel kann durch das Beheben eines geradlinigen Programmierproblems gefunden werden. Nehmen Sie an, dass ein Nullsumme-Spiel eine Belohnungsmatrix hat, wo Element die erhaltene Belohnung ist, wenn der Minderungsspieler reine Strategie wählt und der Maximierungsspieler reine Strategie wählt (d. h. der Spieler, der versucht, die Belohnung zu minimieren, die Reihe wählt und der Spieler, der versucht, die Belohnung zu maximieren, die Säule wählt). Nehmen Sie an, dass jedes Element dessen positiv ist. Das Spiel wird mindestens ein Gleichgewicht von Nash haben. Das Gleichgewicht von Nash kann gefunden werden (sieh bezüglich [2], Seite 740) durch das Lösen des folgenden geradlinigen Programms, um einen Vektoren zu finden:

:Minimize:

:::

:Subject zu den Einschränkungen:

::  0

::  1.

Die erste Einschränkung sagt, dass jedes Element des Vektoren nichtnegativ sein muss, und die zweite Einschränkung sagt, dass jedes Element des Vektoren mindestens 1 sein muss. Für den resultierenden Vektoren ist das Gegenteil der Summe seiner Elemente der Wert des Spiels. Das Multiplizieren mit diesem Wert gibt einen Wahrscheinlichkeitsvektoren, die Wahrscheinlichkeit gebend, dass der Maximierungsspieler jede der möglichen reinen Strategien wählen wird.

Wenn die Spielmatrix alle positiven Elemente nicht hat, fügen Sie einfach eine Konstante zu jedem Element hinzu, das groß genug ist, um sie alle positiv zu machen. Das wird den Wert des Spiels durch diese Konstante vergrößern, und wird keine Wirkung auf gemischte Strategien des Gleichgewichts für das Gleichgewicht haben.

Das Gleichgewicht hat sich vermischt die Strategie für den Minderungsspieler kann durch das Lösen des Doppel-vom gegebenen geradlinigen Programm gefunden werden. Oder es kann durch das Verwenden des obengenannten Verfahrens gefunden werden, um eine modifizierte Belohnungsmatrix zu lösen, die das Umstellen und die Ablehnung dessen ist (das Hinzufügen einer Konstante, so ist es positiv), dann das resultierende Spiel lösend.

Wenn alle Lösungen des geradlinigen Programms gefunden werden, werden sie das ganze Gleichgewicht von Nash für das Spiel einsetzen. Umgekehrt kann jedes geradlinige Programm in ein, Zwei-Spieler-Nullsumme-Spiel durch das Verwenden einer Änderung von Variablen umgewandelt werden, die es in der Form der obengenannten Gleichungen stellt. So sind solche Spiele zu geradlinigen Programmen im Allgemeinen gleichwertig.

Nicht Null resümieren

Volkswirtschaft

Viele Wirtschaftslagen sind nicht Nullsumme, da wertvolle Waren und Dienstleistungen geschaffen, zerstört, oder schlecht auf mehrere Weisen zugeteilt werden können, und einige von diesen einen Nettogewinn oder Verlust des Dienstprogrammes zu zahlreichen Miteigentümern schaffen wird. Spezifisch ist der ganze Handel definitionsgemäß positive Summe, weil, wenn zwei Parteien einem Austausch zustimmen, jede Partei die Waren denken muss, die es erhält, um wertvoller zu sein, als die Waren, die es liefert. Tatsächlich muss der ganze Wirtschaftsaustausch beiden Parteien zum Punkt nützen, dass jede Partei seine Transaktionskosten, überwinden kann (oder die Transaktion einfach nicht stattfinden würde).

Es gibt etwas semantische Verwirrung im Wenden des Austausches unter dem Zwang. Wenn wir annehmen, dass "Trade X", mit dem Adam Gut Brian für guten B handelt, Adam genug nicht nützt, wird Adam Trade X ignorieren (und seinen Nutzen gegen etwas anderes in einer verschiedenen Transaktion der positiven Summe tauschen, oder es behalten). Jedoch, wenn Brian Gewalt anwendet, um sicherzustellen, dass Adam Gut guter B wert sein wird, dann sagt das nichts über den ursprünglichen Trade, der X. Trade X nicht war, und noch nicht, positive Summe ist (tatsächlich, kann diese nichtvorkommende Transaktion Nullsumme sein, wenn der Nettogewinn von Brian des Dienstprogrammes zusammenfallend den Nettoverlust von Adam des Dienstprogrammes ausgleicht). Was tatsächlich geschehen ist, ist, dass ein neuer Handel vorgeschlagen worden ist, "Trade Y", wo Adam Gut zwei Dinge wert ist: Guter B und das Entgehen der Strafe, die von Brian auferlegt ist, für den Handel abzulehnen. Trade Y ist positive Summe, weil, wenn Adam den Handel hat ablehnen wollen, er theoretisch diese Auswahl hat (obwohl es jetzt eine viel schlechtere Auswahl wahrscheinlich ist), aber er hat beschlossen, dass in seiner Position besser gedient wird, mindestens provisorisch mit dem Zwang aufstellend. Unter dem Zwang tut die gezwungene Partei noch das Bestes sie können unter ihren unglücklichen Verhältnissen, und jeder Austausch, den sie machen, ist positive Summe.

Es gibt zusätzliche Verwirrung unter der asymmetrischen Information. Obwohl viele Wirtschaftstheorien vollkommene Information, Wirtschaftsteilnehmer mit dem Imperfekt annehmen oder sogar keine Information immer vermeiden kann, Handel zu machen, den sie fühlen, sind nicht in ihrem besten Interesse. Transaktionskosten dann denkend, würde kein Nullsumme-Austausch jemals, stattfinden (obwohl asymmetrische Information die Anzahl des Austausches der positiven Summe vermindern kann, wie es auf Dem Markt für Zitronen vorkommt).

Siehe auch:

• Vergleichender Vorteil
• Nullsumme-Scheinbeweis
• Gewinne vom Handel
• Freihandel

Psychologie

Das allgemeinste oder einfache Beispiel vom Teilfeld der Sozialen Psychologie ist das Konzept "Sozialer Fallen". In einigen Fällen können wir unser gesammeltes Wohlbehagen erhöhen, indem wir unsere persönlichen Interessen verfolgen —, oder Parteien können gegenseitig zerstörendes Verhalten verfolgen, weil sie ihre eigenen Enden wählen.

Kompliziertheit

Es ist von Robert Wright in seinem Buch theoretisiert worden, diese Gesellschaft wird zunehmend "nicht Nullsumme", wie es komplizierter, spezialisiert und voneinander abhängig wird. Weil der ehemalige amerikanische Präsident Bill Clinton festsetzt:

Erweiterungen

1944 haben John von Neumann und Oskar Morgenstern bewiesen, dass jedes Nullsumme-Spiel, das n Spieler verbunden ist, tatsächlich eine verallgemeinerte Form eines Nullsumme-Spiels für zwei Spieler ist, und dass jedes Spiel "nicht Nullsumme" für n Spieler auf ein Nullsumme-Spiel für n + 1 Spieler reduziert werden kann; (n + 1) Spieler, der den globalen Gewinn oder Verlust vertritt.

Missverständnisse

Nullsumme-Spiele und besonders ihre Lösungen werden von Kritikern der Spieltheorie, gewöhnlich in Bezug auf die Unabhängigkeit und Vernunft der Spieler, sowie zur Interpretation von Dienstprogramm-Funktionen allgemein missverstanden. Außerdem deutet das Wort "Spiel" nicht an, dass das Modell nur für Erholungsspiele gültig ist.

Weiterführende Literatur

Links

• Spiel-Nullsumme-Spiele online durch Elmer G. Wiens.
• Spieltheorie & seine Anwendungen - umfassender Text auf der Psychologie und Spieltheorie. (Inhalt und Einleitung zur Zweiten Ausgabe.)