Der Kasten-Muller verwandelt sich (durch George Edward Pelham Box, und Mervin Edgar Muller 1958) ist eine pseudozufällige Zahl-Stichprobenerhebungsmethode, um Paare von unabhängigen, normalen, normalerweise verteilt (Nullerwartung, Einheitsabweichung) Zufallszahlen in Anbetracht einer Quelle gleichförmig verteilter Zufallszahlen zu erzeugen.

Es wird in zwei Formen allgemein ausgedrückt. Die grundlegende Form, wie gegeben, durch den Kasten und Muller nimmt zwei Proben von der Rechteckverteilung auf dem Zwischenraum und stellt sie zu zwei Standard, normalerweise verteilte Proben kartografisch dar. Die polare Form nimmt zwei Proben von einem verschiedenen Zwischenraum, [−1, +1], und stellt sie zu zwei normalerweise verteilten Proben ohne den Gebrauch des Sinus oder der Kosinus-Funktionen kartografisch dar.

Der Kasten-Muller verwandelt sich wurde entwickelt, weil eine mehr rechenbetont effiziente Alternative zum Gegenteil ausfallende Methode umgestaltet. Der Zikkurat-Algorithmus gibt eine noch effizientere Methode.

Grundlegende Form

Nehmen Sie U an, und U sind unabhängige zufällige Variablen, die im Zwischenraum gleichförmig verteilt werden. Lassen Sie

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und

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Dann sind Z und Z unabhängige zufällige Variablen mit einer Normalverteilung der Standardabweichung 1.

Die Abstammung basiert auf der Tatsache, dass in einem zweidimensionalen Kartesianischen System, wo X und Y-Koordinaten durch zwei unabhängige beschrieben werden und normalerweise zufällige Variablen verteilt hat, die zufälligen Variablen für R und Θ (gezeigt oben) in den entsprechenden Polarkoordinaten auch unabhängig sind und als ausgedrückt werden können

:und:

Weil R das Quadrat der Norm des Standards bivariate normale Variable ist (X, Y), hat es den chi-karierten Vertrieb mit zwei Graden der Freiheit. Im speziellen Fall von zwei Graden der Freiheit fällt der chi-karierte Vertrieb mit dem Exponentialvertrieb zusammen, und die Gleichung für R ist oben eine einfache Weise, den erforderlichen Exponentialvariate zu erzeugen.

Polare Form

Die polare Form wurde zuerst von J. Bell vorgeschlagen und dann von R. Knop modifiziert. Während mehrere verschiedene Versionen der polaren Methode beschrieben worden sind, wird die Version von R. Knop hier beschrieben, weil es am weitesten verwendet teilweise wegen seiner Einschließung in Numerische Rezepte ist.

Gegebener u und v, unabhängig und gleichförmig verteilt im geschlossenen Zwischenraum [−1, +1], Satz s = R = u + v. (Klar Wenn werfen s = 0 oder s  1, u und v weg und urteilen ein anderes Paar (u, v) ab. Weil u und v gleichförmig verteilt werden, und weil nur innerhalb des Einheitskreises hinweist, sind zugelassen worden, die Werte von s werden im offenen Zwischenraum (0, 1) auch gleichförmig verteilt. Die Letzteren können gesehen werden, indem er die kumulative Vertriebsfunktion für s im Zwischenraum (0, 1) berechnet. Das ist das Gebiet eines Kreises mit dem Radius, der dadurch geteilt ist. Davon finden wir die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion, den unveränderlichen Wert 1 auf dem Zwischenraum (0, 1) zu haben. Ebenso so wird der Winkel θ geteilt dadurch im Zwischenraum [0, 1 gleichförmig verteilt), und unabhängig von s.

Wir identifizieren jetzt den Wert von s mit diesem von U und mit diesem von U in der grundlegenden Form. Wie gezeigt, in der Zahl können die Werte und in der grundlegenden Form durch die Verhältnisse und beziehungsweise ersetzt werden. Der Vorteil besteht darin, dass das Rechnen der trigonometrischen Funktionen direkt vermieden werden kann. Das ist nützlich, wenn trigonometrische Funktionen teurer sind, um zu rechnen, als die einzelne Abteilung, die jeden ersetzt.

Da die grundlegende Form zwei normalen Standard erzeugt, geht ab, so tut diese abwechselnde Berechnung.

:und:

Das Kontrastieren den zwei Formen

Die polare Methode unterscheidet sich von der grundlegenden Methode, in der es ein Typ der Verwerfungsstichprobenerhebung ist. Es wirft einige erzeugte Zufallszahlen weg, aber es ist normalerweise schneller als die grundlegende Methode, weil es einfacher ist zu rechnen (vorausgesetzt, dass der Zufallszahlengenerator relativ schnell ist) und mehr numerisch robust ist. Es vermeidet den Gebrauch von trigonometrischen Funktionen, die in vielen Rechenumgebungen verhältnismäßig teuer sind. Es wirft 1 &minus weg; π/4  21.46 % des Gesamteingangs hat gleichförmig Zufallszahl-Paare erzeugt verteilt, d. h. wirft 4/π &minus weg; 1  27.32 % gleichförmig verteilte Zufallszahl-Paare pro Zufallszahl-Paar von Gaussian haben erzeugt, 4/π  1.2732 Eingangszufallszahlen pro Produktionszufallszahl verlangend.

Die grundlegende Form verlangt drei Multiplikationen, ein Logarithmus, eine Quadratwurzel und eine trigonometrische Funktion für jeden normalen variate. Auf einigen Verarbeitern können der Kosinus und Sinus desselben Arguments in der Parallele mit einer einzelnen Instruktion berechnet werden. Namentlich für auf Intel gegründete Maschinen kann man den fsincos Assemblerbefehl oder die expi Instruktion (gewöhnlich verfügbar von C als eine innere Funktion) verwenden, um Komplex zu berechnen

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und trennen Sie gerade die echten und imaginären Teile.

Die polare Form verlangt zwei Multiplikationen, ein Logarithmus, eine Quadratwurzel und eine Abteilung für jeden normalen variate. Die Wirkung ist, eine Multiplikation und eine trigonometrische Funktion mit einer einzelnen Abteilung zu ersetzen.

Siehe auch

• Gegenteil gestaltet Stichprobenerhebung um
• Polare Methode von Marsaglia, ähnlich verwandeln sich, um Zu boxen-Muller, der Kartesianische Koordinaten, statt Polarkoordinaten verwendet
• Zikkurat-Algorithmus, eine sehr verschiedene Weise, normale Zufallszahlen zu erzeugen

Links

• Kasten-Muller verwandelt sich auf MathWorld