Ein ideales Benzin ist ein theoretisches aus einer Reihe zufällig bewegender, aufeinander nichtwirkender Punkt-Partikeln zusammengesetztes Benzin. Das ideale Gaskonzept ist nützlich, weil es dem idealen Gasgesetz, einer vereinfachten Gleichung des Staates folgt, und der Analyse unter der statistischen Mechanik zugänglich ist.

An üblichen Zuständen wie Standardtemperatur und Druck benimmt sich echtestes Benzin qualitativ wie ein ideales Benzin. Vieles Benzin wie Luft, Stickstoff, Sauerstoff, Wasserstoff, edles Benzin und etwas schwereres Benzin wie Kohlendioxyd kann wie ideales Benzin innerhalb der angemessenen Toleranz behandelt werden. Allgemein benimmt sich ein Benzin mehr wie ein ideales Benzin bei der höheren Temperatur und der niedrigeren Dichte (d. h. dem niedrigeren Druck), weil die durch zwischenmolekulare Kräfte durchgeführte Arbeit weniger bedeutend im Vergleich zur kinetischen Energie der Partikeln wird, und die Größe der Moleküle weniger bedeutend im Vergleich zum leeren Raum zwischen ihnen wird.

Das ideale Gasmodell neigt dazu, bei niedrigeren Temperaturen oder höherem Druck zu scheitern, wenn zwischenmolekulare Kräfte und molekulare Größe wichtig werden. Es scheitert auch für schwerstes Benzin, wie Wasserdampf oder viele Kühlmittel. An einem Punkt des niedrigen Temperatur- und Hochdrucks erlebt echtes Benzin einen Phase-Übergang, solcher betreffs einer Flüssigkeit oder eines Festkörpers. Das Modell eines idealen Benzins beschreibt jedoch nicht oder erlaubt Phase-Übergänge. Diese müssen durch kompliziertere Gleichungen des Staates modelliert werden.

Das ideale Gasmodell ist in beiden die Newtonische Dynamik (als in der "kinetischen Theorie") und in der Quant-Mechanik (als ein "Benzin in einem Kasten") erforscht worden. Das ideale Gasmodell ist auch verwendet worden, um das Verhalten von Elektronen in einem Metall (im Modell von Drude und dem freien Elektronmodell) zu modellieren, und es ist eines der wichtigsten Modelle in der statistischen Mechanik.

Typen von idealem Benzin

Es gibt drei grundlegende Klassen von idealem Benzin:

• das klassische oder Ideal-Benzin von Maxwell-Boltzmann,
• das ideale Quant Benzin von Bose, das aus bosons und zusammengesetzt ist
• das ideale Quant Benzin von Fermi, das aus fermions zusammengesetzt ist.

Das klassische ideale Benzin kann in zwei Typen getrennt werden: Das klassische thermodynamische ideale Benzin und das ideale Quant Benzin von Boltzmann. Beide sind im Wesentlichen dasselbe, außer dass das klassische thermodynamische ideale Benzin auf der klassischen statistischen Mechanik basiert, und bestimmte thermodynamische Rahmen wie das Wärmegewicht nur zu innerhalb einer unentschiedenen zusätzlichen Konstante angegeben werden. Das ideale Quant Benzin von Boltzmann überwindet diese Beschränkung durch die Einnahme der Grenze des Quants Benzin von Bose und Quant Benzin von Fermi in der Grenze der hohen Temperatur, um diese zusätzlichen Konstanten anzugeben. Das Verhalten eines Quants Benzin von Boltzmann ist dasselbe als dieses eines klassischen idealen Benzins abgesehen von der Spezifizierung dieser Konstanten. Die Ergebnisse des Quants Benzin von Boltzmann werden in mehreren Fällen einschließlich der Sackur-Vierpolröhre-Gleichung für das Wärmegewicht eines idealen Benzins und der Ionisationsgleichung von Saha für ein schwach ionisiertes Plasma verwendet.

Klassisches thermodynamisches ideales Benzin

Die thermodynamischen Eigenschaften eines idealen Benzins können durch zwei Gleichungen beschrieben werden:

Die Gleichung des Staates eines klassischen idealen Benzins ist das ideale Gasgesetz

:

Diese Gleichung wird aus dem Gesetz von Boyle abgeleitet: (an unveränderlichem T und n); das Gesetz von Charles: (an unveränderlichem P und n); und das Gesetz von Avogadro: (an unveränderlichem T und P). Durch das Kombinieren der drei Gesetze würde es das demonstrieren, das das bedeuten würde. Unter idealen Bedingungen, oder eher.

Die innere Energie eines idealen Benzins, das gegeben ist durch:

:

wo

:* P ist der Druck

:* V ist das Volumen

:* n ist der Betrag der Substanz des Benzins (in Maulwürfen)

:* R ist die Gaskonstante (8.314 J · Kmol)

:* T ist die absolute Temperatur

:* k ist eine Konstante, die im Gesetz von Boyle verwendet ist

:* b ist die unveränderliche Proportionalität; kommt V/T gleich

:* der unveränderlichen Proportionalität zu sein; kommt V/n gleich

:* U ist die innere Energie

:* ist die ohne Dimension spezifische Hitzekapazität am unveränderlichen Volumen,  3/2 für monatomic Benzin, 5/2 für diatomic Benzin und 3 für kompliziertere Moleküle.

Der Betrag von Benzin in J · K ist

:

wo

:* N ist die Zahl von Gaspartikeln

:* ist der unveränderliche Boltzmann (1.381×10J · K).

Der Wahrscheinlichkeitsvertrieb von Partikeln durch die Geschwindigkeit oder Energie wird durch den Vertrieb von Boltzmann gegeben.

Das ideale Gasgesetz ist eine Erweiterung experimentell entdeckter Gasgesetze. Echte Flüssigkeiten an der niedrigen Dichte und hohen Temperatur kommen dem Verhalten eines klassischen idealen Benzins näher. Jedoch, bei niedrigeren Temperaturen oder einer höheren Dichte, geht eine echte Flüssigkeit stark vom Verhalten eines idealen Benzins besonders ab, weil es sich von einem Benzin in einen flüssigen oder festes verdichtet. Die Abweichung wird als ein Verdichtbarkeitsfaktor ausgedrückt.

Hitzekapazität

Die Hitzekapazität am unveränderlichen Volumen von nR = 1 J·K jedes Benzins, einschließlich eines idealen Benzins ist:

:

Das ist die ohne Dimension Hitzekapazität am unveränderlichen Volumen, das allgemein eine Funktion der Temperatur wegen zwischenmolekularer Kräfte ist. Für gemäßigte Temperaturen ist die Konstante für ein Monoatombenzin, während für ein diatomic Benzin es ist. Es wird gesehen, dass makroskopische Maße auf der Hitzekapazität Auskunft über die mikroskopische Struktur der Moleküle geben.

Die Hitzekapazität am unveränderlichen Druck 1 J·K ideales Benzin ist:

:

wo der enthalpy des Benzins ist.

Manchmal wird eine Unterscheidung zwischen einem idealen Benzin gemacht, wo sich und mit dem Druck und der Temperatur und einem vollkommenen Benzin ändern konnte, für das das nicht der Fall ist.

Wärmegewicht

Mit den Ergebnissen der Thermodynamik nur können wir einen langen Weg in der Bestimmung des Ausdrucks für das Wärmegewicht eines idealen Benzins gehen. Das ist ein wichtiger Schritt seitdem gemäß der Theorie von thermodynamischen Potenzialen, wenn wir das Wärmegewicht als eine Funktion von U ausdrücken können (U, ist ein thermodynamisches Potenzial), und der Band V, dann werden wir eine ganze Behauptung des thermodynamischen Verhaltens des idealen Benzins haben. Wir werden im Stande sein, sowohl das ideale Gasgesetz als auch den Ausdruck für die innere Energie davon abzuleiten.

Da das Wärmegewicht ein genaues Differenzial, mit der Kettenregel, der Änderung im Wärmegewicht ist, wenn das Gehen von einer Verweisung 0 zu einem anderen Staat mit dem Wärmegewicht S festsetzt, kann als wo geschrieben werden:

:

\int_ {T_0} ^ {T} \left (\frac {\\teilweiser S} {\\teilweiser T }\\Recht) _V \! dT

+ \int_ {V_0} ^ {V} \left (\frac {\\teilweiser S} {\\teilweise V }\\Recht) _T \! dV

</Mathematik>

wo die Bezugsvariablen Funktionen der Zahl von Partikeln N sein können. Mit der Definition der Hitzekapazität am unveränderlichen Volumen für das erste Differenzial und der passenden Beziehung von Maxwell für das zweite haben wir:

:

\int_ {T_0} ^ {T} \frac {C_v} {T }\\dT +\int_ {V_0} ^ {sind V }\\(\frac {\\teilweiser P} {\\teilweiser T }\\Recht) _VdV abgereist.

</Mathematik>

Das Ausdrücken in Bezug auf, wie entwickelt, in der obengenannten Abteilung, das Unterscheiden der idealen Gasgleichung des Staates und die Integrierung von Erträgen:

:

\hat {c} _VNk\ln\left (\frac {T} {T_0 }\\Recht) +Nk\ln\left (\frac {V} {V_0 }\\Recht)

Nk\ln\left (\frac {VT^ {\\Hut {c} _v}} {f (N) }\\Recht)

</Mathematik>

wo alle Konstanten in den Logarithmus als f (N) vereinigt worden sind, der etwas Funktion der Partikel Nummer N ist, die dieselben Dimensionen wie damit das Argument des Logarithmus hat, ohne Dimension sein. Wir erlegen jetzt die Einschränkung dass das Wärmegewicht auf, umfassend sein. Das wird bedeuten, dass, wenn die umfassenden Rahmen (V und N) mit einer Konstante multipliziert werden, das Wärmegewicht mit derselben Konstante multipliziert wird. Mathematisch:

:

Davon finden wir eine Gleichung für die Funktion f (N)

:

Das Unterscheiden davon in Bezug auf a, das Setzen eines gleichen der Einheit, und dann das Lösen der Differenzialgleichung geben f (N) nach:

:

wo eine Konstante mit den Dimensionen dessen ist. Das Ersetzen in die Gleichung für die Änderung im Wärmegewicht:

:

Das ist darüber, so weit wir mit der Thermodynamik allein gehen können. Bemerken Sie, dass die obengenannte Gleichung rissig gemacht wird - weil sich die Temperatur Null nähert, nähert sich das Wärmegewicht negativer Unendlichkeit im Widerspruch zum dritten Gesetz der Thermodynamik. In der obengenannten "idealen" Entwicklung gibt es einen kritischen Punkt, nicht an der absoluten Null, an der das Argument des Logarithmus Einheit wird, und das Wärmegewicht Null wird. Das ist unphysisch. Die obengenannte Gleichung ist eine gute Annäherung nur, wenn das Argument des Logarithmus viel größer ist als Einheit - bricht das Konzept eines idealen Benzins an niedrigen Werten von V/N zusammen. Dennoch wird es einen "besten" Wert der Konstante im Sinn geben, dass das vorausgesagte Wärmegewicht so nah ist wie möglich am wirklichen Wärmegewicht in Anbetracht der fehlerhaften Annahme von ideality. Es hat für die Quant-Mechanik gemusst, einen angemessenen Wert einzuführen, für dessen Wert die Sackur-Vierpolröhre-Gleichung für das Wärmegewicht eines idealen Benzins nachgibt. Es leidet auch unter einem auseinander gehenden Wärmegewicht an der absoluten Null, aber ist eine gute Annäherung an ein ideales Benzin über eine große Reihe von Dichten.

Thermodynamische Potenziale

Da die ohne Dimension Hitzekapazität am unveränderlichen Druck eine Konstante ist, können wir das Wärmegewicht darin ausdrücken, was sich erweisen wird, eine günstigere Form zu sein:

:

wo jetzt die unentschiedene Konstante ist. Das chemische Potenzial des idealen Benzins wird von der entsprechenden Gleichung des Staates berechnet (sieh thermodynamisches Potenzial):

:

wo G der Gibbs freie Energie ist und so dass gleich ist:

:

Die thermodynamischen Potenziale für ein ideales Benzin können jetzt als Funktionen von T, V, und N als geschrieben werden:

:

Die informativste Weise, die Potenziale zu schreiben, ist in Bezug auf ihre natürlichen Variablen, da jede dieser Gleichungen verwendet werden kann, um alle anderen thermodynamischen Variablen des Systems abzuleiten. In Bezug auf ihre natürlichen Variablen sind die thermodynamischen Potenziale eines Ideal-Benzins der einzelnen Arten:

::::

In der statistischen Mechanik,

die Beziehung zwischen Helmholtz freie Energie

und der

Teilungsfunktion

ist

grundsätzlich, und wird verwendet, um den zu berechnen

thermodynamische Eigenschaften

Sachen; sieh

Konfiguration integrierter

für mehr Details.

Mehrteilsysteme

Durch den Lehrsatz von Gibbs ist das Wärmegewicht eines Mehrteilsystems der Summe der Wärmegewichte jeder chemischen Art (das Annehmen keiner Oberflächeneffekten) gleich. Das Wärmegewicht eines Mehrteilsystems wird sein

:

wo die Summe über alle Arten ist. Ebenfalls sind die freien Energien den Summen der freien Energien jeder Art so dass gleich, wenn Φ ein thermodynamisches Potenzial dann ist

:

wo Φ in Bezug auf seine natürlichen Variablen ausgedrückt wird. Zum Beispiel wird die innere Energie sein

:

wo N als definiert wird

:

Ideal gasses wird in der echten Welt nicht gefunden. So sind sie von echtem gasses verschieden. Es gibt grundlegende in der kinetischen Theorie von gasses gemachte Annahmen.

Geschwindigkeit des Tons

Die Geschwindigkeit des Tons in einem idealen Benzin wird durch gegeben

:wo

: ist der adiabatische Index

: ist der universale unveränderliche Gas-

: ist die Temperatur

: ist die Mahlzahn-Masse des Benzins.

Gleichungstisch für ein ideales Benzin

Sieh Tisch von thermodynamischen equations#Equation Tisch für ein Ideales Benzin.

Ideales Quant-Benzin

In der obengenannten erwähnten Sackur-Vierpolröhre-Gleichung, wie man fand, war die beste Wahl des unveränderlichen Wärmegewichtes zum Quant Thermalwellenlänge einer Partikel proportional, und der Punkt, an dem das Argument des Logarithmus Null wird, ist dem Punkt grob gleich, an dem die durchschnittliche Entfernung zwischen Partikeln gleich der Thermalwellenlänge wird. Tatsächlich sagt Quant-Theorie selbst dasselbe Ding voraus. Jedes Benzin benimmt sich als ein ideales Benzin an hoch genug Temperatur und niedrig genug Dichte, aber am Punkt, wo die Sackur-Vierpolröhre-Gleichung beginnt zusammenzubrechen, wird das Benzin beginnen, sich als ein Quant-Benzin zu benehmen, das entweder aus bosons oder aus fermions zusammengesetzt ist. (Sieh das Benzin in einem Kasten-Artikel für eine Abstammung des idealen Quant-Benzins, einschließlich des Ideales Benzin von Boltzmann.)

Benzin neigt dazu, sich als ein ideales Benzin über eine breitere Reihe des Drucks zu benehmen, wenn die Temperatur die Temperatur von Boyle erreicht.

Ideal Benzin von Boltzmann

Das Ideal Benzin von Boltzmann gibt dieselben Ergebnisse wie das klassische thermodynamische Benzin nach, aber macht die folgende Identifizierung für den unentschiedenen unveränderlichen Φ:

:

wo Λ die Thermalwellenlänge von de Broglie des Benzins ist und g die Entartung von Staaten ist.

Ideales Benzin von Bose und Fermi

Ein ideales Benzin von bosons (z.B ein Foton-Benzin) wird durch die Statistik von Bose-Einstein geregelt, und der Vertrieb der Energie wird in der Form eines Vertriebs von Bose-Einstein sein. Ein ideales Benzin von fermions wird durch die Fermi-Dirac Statistik geregelt, und der Vertrieb der Energie wird in der Form eines Fermi-Dirac Vertriebs sein.

Siehe auch

• Verdichtbarkeitsfaktor
• Dynamisches Billard - Billardbälle als ein Modell eines idealen Benzins
• Tisch von thermodynamischen Gleichungen
• Ideales Benzin ohne Skalen